funciones cuadráticas · 2016-04-15 · o ya determinamos que el vértice es −1,7 . o como a...
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Funciones cuadráticas
¿Qué es una Función Cuadrática?
• Es una función cuya regla de correspondencia está dada por un polinomio cuadrático, tal como
• Es una función cuya regla puede escribirse en la forma general
para 𝑎, 𝑏, 𝑐, coeficientes reales donde a ≠ 0.
Ejemplo
La función 𝑔(𝑥) = 2 𝑥 − 3 2 + 1 es cuadrática
porque su regla de correspondencia puede
escribirse en la forma general:
Características generales
• Gráfica: tiene la forma de ∪ o ∩, llamada
parábola.
• Dominio: todos los Reales, −∞, ∞ .
• Vertice: punto donde la función cuadrática
alcanza su valor mínimo o máximo.
• Intercepto en y: (0, c)
• Intercepto en x: valores donde f(x) = 0. (a lo
más 2 interceptos en x)
Funciones cuadráticas de la forma
f(x) = ax2 • Si b = 0 y c = 0 , entonces f(x) = ax2 .
o La gráfica es una parábola con con intercepto en
y en (0, 0) .
o Su vértice está en el eje de y.
Funciones cuadráticas de la forma
f(x) = ax2 + c Si b = 0 y c ≠ 0 , entonces
f(x) = ax2 + c .
o La gráfica es una parábola con intercepto
en y en (0, c) .
o Su vértice está en el eje de y.
Ejemplo
vértice (0,0) intercepto en y = intercepto en x = 0 creciente en el intervalo decreciente en
Observemos las caraterísticas de 𝑓 𝑥 = −1
2𝑥2
(−∞, 0)
(0, ∞)
• f(0) =
• f(-2)=
• f(2)=
• vértice:
• intercepto en y:
• interceptos en x:
Ejemplo Observemos las características de
f(x) = - ½ x2 + 4
Forma General • La forma general de una función
cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , nos permite
ver :
o el intercepto en y: (0,c)
o coeficiente principal: a
• a >0 gráfica abre hacia arriba (U), la
función tiene un valor mínimo.
• si a<0 la gráfica está invertida ∩
(abre hacia abajo). La función tiene
un valor máximo.
Ejemplo • Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4 determinar
o si la gráfica de f abre hacia arriba () o hacia
abajo ()
o si f tiene un máximo o un mínimo
o el intercepto en y
o el (los) intercepto(s) en x
continúa
Ejemplo • Para f(x) = -(6 - 3x + 4x2) determinar lo siguiente:
• forma general:
o el intercepto en y
• f(0)=
• f(0) =
o ¿abre hacia arriba? ¿abre hacia abajo?
o ¿f tiene un máximo o un mínimo?
o determinar el (los) intercepto(s) en x requiere resolver
Teorema para hallar el vértice
El vértice de la gráfica de una función cuadrática
f(x) = ax2 + bx + c,
tiene coordenada de x igual a
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
y coordenada de y igual a
y= 𝑓(−𝑏
2𝑎)
Ejemplo
Determine el vértice de la gráfica de
f(x) = 2x2 + 10x - 12
𝑥 = −𝑏
2𝑎 y= 𝑓(−
𝑏
2𝑎)
Coordenada de x: Coordenada de y:
Ejemplo
Encuentre el dominio y el campo de valores. Identifique los interceptos. Identifique el vértice. Identifique el valor máximo o mínimo. Encuentre los intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente.
Observe la gráfica de f(x) = −𝟏
𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔.
dom: −∞, ∞
cam
po
de
val
ore
s: [
𝟒,∞
)
Ejemplo (cont.) Dado f(x) = -3x2 – 6x + 4 determinar si el vértice es un
máximo o un mínimo de f
o Ya determinamos que el vértice es −1,7 .
o como a < 0, la parábola abre hacia abajo y la
función tiene un máximo.
• y = 7 es el valor máximo
o simplemente, el
máximo de f
• El máximo de f ocurre en
x = -1.
Ejemplo Para f(x) = – x2 – 2x + 8 , determinar los interceptos.
Solución:
• intercepto en y:
o f(0) = – (0)2 – 2(0) + 8
o El int-y es (0, 8).
• interceptos en x:
– x2 – 2x + 8 = 0
– (x2 + 2x – 8) = 0
x2 + 2x – 8 = 0
(x + 4) (x – 2) = 0
x = -4 x = 2
Los int-x son (-4, 0)
y (2,0).
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
a =-1, b = -2, c = 8
𝑥 =2 ± (−2)2−4(−1)(8)
2(−1)
𝑥 =2 ± 36
−2
𝑥 = −4, 𝑥 = 2
Como alternativa pueden utilizar la fórmula cuadrática.
Forma Estándar Una ecuación cuadrática está en la forma estándar
f(x) = a(x – h)2 + k .
• La forma estándar nos permite ver
características útiles de la gráfica de f :
o (h,k) es el vértice de la gráfica
o a es coeficiente principal:
• a >0 gráfica abre hacia arriba (U), f tiene un
mínimo
• a<0 la gráfica abre hacia abajo , f tiene un
máximo
Ejemplo Determinar las coordenadas del vértice
a) f(x) = -2(x – 5)2 + 4
Solución:
Ejemplo Determinar las coordenadas del vértice
b) g(x) = 3(x + 2)2 + 1
Solución:
Ejemplo
Determinar las coordenadas del vértice
c) h(x) = -(x + 4)2 – 7
Solución:
Ejemplo
1) f(x) = -3x2 – 6x + 4
2) f(x) = 2x2 + 12x + 22
Escribir las funciones en forma estándar.
Ejemplo Hallar la ecuación de una función cuadrática,
f(x) = ax2 + bx + c , que tiene vértice V(2, 3) y
que pasa por (5, -15) .
Solución:
Ejemplo Hallar la ecuación (en
forma general) de una
función cuadrática
cuya gráfica se
muestra.
Solución:
Aplicaciones Pag. 187
Aplicaciones Pag. 188
Ejemplos adicionales
Ejemplo
Determinar interceptos en x y el vértice con TI-84. .
Usando la TI 84 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5
• Complete la tabla de valores:
X Y
-2
0
1
3
15
Entrar la función bajo “Y= “ luego ir a “TBLSET” Para llenar la tabla de la derecha • comenzar la tabla en
-2 • indicar el incremento
en las x • oprimir <ENTER> e
ir a <TABLE>
X Y
-2 9
-1 0
1 -5
3 4
4 15
Usando la TI 84 Determine los interceptos en x 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5.
• Obtener la gráfica de la
función.
• Oprimir <CALC>
• Elegir “Zero” que es para hallar
los ceros de la función.
• Colocar el cursor en un valor
más pequeño que el
intercepto, oprimir enter
• Colocar el cursor en un valor
más grande que el intercepto,
oprimir enter
• Coloque el cursor cerca del
intercepto, oprima enter
Usando la TI 84 Determine el máximo o mínimo 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5.
• Obtener la gráfica de la
función.
• Observe la gráfica y determine
si tiene un máximo o mínimo.
• Oprimir <CALC>
• Elegir “minimum” o “maximum”
• Colocar el cursor en un valor
de x más pequeño que la
coordenada en x del vértice
• Colocar el cursor en un valor
de x más grande que la
coordenada en x del vértice
• Coloque el cursor cerca la
coordenada en x del vértice,
oprima enter
El vértice es (0.75, - 6.125)
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