francisco a. riaño s.. teorema de pitÁgoras francisco a. riaño s

Francisco A. Riaño S.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Francisco A. Riaño S.

OBJETIVOS

• AFIANZAR EL CONCEPTO DE TRIÁNGULO RECTÁNGULO

• VER LA RELACIÓN QUE EXISTE ENTRE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

• DEDUCCIÓN DE ECUACIONES.Francisco A. Riaño S.

          del griego:fijar, sujetar fuertemente una cosa a otra.        (cateto) perpendicular, línea que cae a plomo.

Francisco A. Riaño S.

CONCEPTOS• Triángulo rectángulo,

es el que tiene un ángulo recto.

• Hipotenusa, es el lado del triángulo opuesto al ángulo recto.

• Cateto, son los lados del triángulo que forman el ángulo recto.

Cateto

Ca

teto

Hipotenusa

Francisco A. Riaño S.

TEOREMA DE PITÁGORAS

EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO, EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA, ES GUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE

LOS CATETOS

a

a A a a a2x

ÁREA DE UN CUADRADO

El área de un cuadrado es igual al

producto de sus lados

A

Francisco A. Riaño S.

a2 b2 c2

SUMA DE ÁREAS

Francisco A. Riaño S.

SUMA DE ÁREAS

Francisco A. Riaño S.

a2 b2 c2

ECUACIONES

Francisco A. Riaño S.

a2 c2b2

ECUACIONES

Francisco A. Riaño S.

a2c2b2

ECUACIONES

Francisco A. Riaño S.

TEXTO ORIGINAL

ESCRITO POR PITAGORAS

Francisco A. Riaño S.

Esta prueba es la traducción, en lenguaje matemático actual, de la ideada por el mismísimo Pitágoras que empleó la figura siguiente:

Alrededor del triángulo ABC, se construyen tres cuadrados: el rojo, de área a2, el azul de área b2, y el bicolor verde y café, de área c2.                                       •Los triángulos rectángulos ABC y HBC son semejantes (o similares) pues comparten el mismo ángulo B. Por lo tanto tenemos la igualdad de los cocientes: BH / BC = BC / BA, es decir a'/a = a/c (hoy en día , se diría que su valor es el seno de B). Por el producto cruzado: a2 = a'c, o sea que las áreas roja y anaranjada son iguales.•De la misma manera, a partir de los triángulos ABC y HAC, se deduce que b'/b = b/c (sen A) y luego b2 = b'c, o sea que las áreas azul y verde son iguales. Sumando las áreas roja y azul, obtenemos las áreas anaranjada y verde, es decir: a2 + b2 = a'c + b'c = (a' + b')c = c2

Esta prueba utiliza el teorema de Tales, un caso particular de los triángulos semejantes, teorema que sólo es válido en los espacios euclidianos (sin curvatura).

DEMOSTRACION DE PITÁGORAS

Francisco A. Riaño S.

a = c2 - b2

b = c2 - a2

a2 + b2 = c2

c = a2 + b2

b2 = c2 - a2

a2 = c2 - b2 a2 + b2 = c2

RESUMEN DE ECUACIONES

Francisco A. Riaño S.

Disección de Perigal

En Wennington (Essex) está la abandonada tumba del matemático inglés Henry Perigal (1801/1898). En ella puede adivinarse la inscripción: "[...] estudioso e ingenioso geometrista. Investigó y enunció las leyes del movimiento circular compuesto. Querido y admirado por un gran número de parientes y amigos"Se le atribuye una ingeniosa comprobación del teorema de Pitágoras. Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro (no necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas paralela y perpendicular a la hipotenusa del triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el cuadrado construido sobre el otro cateto podemos cubrir el cuadrado contruido sobre la hipotenusa.

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