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Fluctuaciones Multifractales en Senales Financieras

Yarleque, C. Rosales, F.† Posadas, A. Quiroz, R.

Octubre de 2006

Escalamiento Fractal y Sistemas Complejos

Departamento de Recursos Naturales y Sistemas de Produccion

Centro Internacional de la Papa (CIP)

2

Christian Yarleque

Fısico y Ms. en Matematica [Universidad del Callao y PUCP]

c.yarleque@cgiar.org

†Francisco Rosales

Economista y Ms. en Matematica [Universidad del Pacıfico y PUCP]

l.rosales@cgiar.org

Adolfo Posadas

PhD. en Fısica [Universidad de Rutgers]

a.posadas@cgiar.org

Roberto Quiroz

PhD. en Bioquımica [Universidad de Carolina del Norte]

r.quiroz@cgiar.org

Contenidos 3

Contenidos

1 Introduccion 4

2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 11

3 Metodo del Momento de Doble Traza 17

4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 20

5 Conclusiones 27

1 Introduccion 4

1 Introduccion

1 Introduccion 5

• Las senales financieras se realizan en los mercados especulativos (Bolsas

de Valores).

• La caracterizacion de estas realizaciones por metodos matematicos y

fısicos es antigua (Bachellier, 1905).

• Hasta el dıa de hoy no existe un modelo que caracterice adecuadamente

las particularidades de las senales financieras.

• Conseguir un modelo adecuado es importante porque permitirıa conocer

su ley de distribucion y la posibilidad de predecir el precio.

1 Introduccion 6

Figura 1: Senales Financieras.

1 Introduccion 7

ECONOFISICA=

Fısica Computacional

+

Matematica Financiera

+

Sistemas Complejos

1 Introduccion 8

• El analisis de Parametros Universales Multifractales aplicado a senales

financieras es visto como una rama de la econofısica .

• Este formalismo estudia procesos multiplicativos que capturan la no

linealidad del fenomeno.

• Es decir, capturan los conglomerados de volatilidad en las series de

tiempo financieras.

1 Introduccion 9

Figura 2: Procesos de Cascada.

1 Introduccion 10

Figura 3: Retornos DJ (a) y su valor absoluto (b).

2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 11

2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H

2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 12

Los procesos de Cascada se dividen en microcanonico y canonico

1. Microcanonico.

• Se discretiza el campo multifractal, el cual se rige por lımites de

valores extremos (δ → 0).

• Para escalas pequenas las singularidades son diferentes localmente .

• La relacion entre escalas λ mayores l0 y menores l se expresa mediante

λ =l0l

(1)

2. Canonico.

• Aquı No se definen los valores en cada punto del campo multifractal

en un proceso de cascada a menores escalas.

2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 13

• El proceso conserva indicadores estadısticos como la esperanza en

diferentes escalas de tiempo E = 〈Eλ〉 = 〈El〉.

• Ademas se debe cumplir que

ελ ∝ λγ (2)

〈εqλ〉 ∝ λK(q) (3)

P (ελ > λγ) ∝ λ−c(γ) (4)

〈|∆fλ|〉 ∝ ελλ−H (5)

2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 14

Donde d es la dimension euclidiana, γ el orden de singularidad para

γ > 0 (o regularidad si γ < 0), c(γ) es la funcion de codimension,

K(q) el momento de multiescalamiento, y H el parametro de

anisotropıa (o exponente de Hurst).

• En un proceso de cascada a medida que se incrementa el numero de

niveles , se incrementa tambien el rango de escalas . En este marco no

es posible obtener valores universales para los parametros antes

descritos.

• Una forma de resolver este problema y obtener universalidad fue

planteado en Schertzer et. al. (1991) mediante

2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 15

c(γ) =

8<: C1

hγ

C1α+ 1

α

iα

con α 6= 1

C1 exp“

γC1

− 1”

con α = 1

y

K(q) =

8<: C1α−1

(qα − q) con α 6= 1

C1q log(q) con α = 1

donde se deben cumplir las siguientes condiciones: q ≥ 0, α < 2,

H = dα′ y 1

α+ 1

α′ = 1

• El planteamiento indica como se da la mixtura de procesos

independientes e identicamente distribuidos (i.i.d.) manteniendo la

relacion entre la mayor y la menor escala invariante y finita, tambien

orientandose a valores universales en el lımite donde el numero de

procesos tiende al infinito.

2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 16

• Los parametros universales multifractales: α (ındice de Levy), C1

(codimension media) y H (exponente de Hurst) son finitos.

• Los valores de c(γ) y K(q) son divergentes, y dependen de los

parametros α y C1 ( Indice de Levy y la Codimension media).

3 Metodo del Momento de Doble Traza 17

3 Metodo del Momento de Doble Traza

3 Metodo del Momento de Doble Traza 18

• Su objetivo es analizar el comportamiento estadıstico multifractal en un

rango factible de escalas.

• Se obtiene el parametro K(q, n) mediante una doble ponderacion de

ordenes de momentos q y n.

• Las ecuaciones fundamentales de este calculo son las siguientes

3 Metodo del Momento de Doble Traza 19

Ωλ =

RAλ

εnλddxR

Aλddx

MDT =

*Xi

[Ωλ(Aλi)]q

+∝ λK(q,n)

K(q, n) = nαK(q, 1) =

8<: C1α−1

nα con α 6= 1

C1nq log(q) con α = 1

4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 20

4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas

4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 21

El comportamiento de las fluctuaciones del retorno σt de las senales

financieras, definidas en terminos del precio Pt definidas como

σt =

˛ln

„Pt

Pt−1

«˛, (6)

es caracterizado mediante parametros universales con los que se identifica el

comportamiento (universal) de la senal para un rango de escalas determinado.

Estos parametros son obtenidos experimentalmente mediante la Tecnica del

Momento Doble Traza. Los resultados son validados por la literatura

financiera con datos del mismo tipo que los presentados aquı.

4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 22

Figura 4: Retornos DJ (a) y su valor absoluto (b).

4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 23

Figura 5: DTM muestra la linealidad en la escala hasta el punto de inflexion cual

corresponde a λ = 210.

4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 24

Figura 6: Multifractalidad analizada en η = 1 ası, K(q, 1) = K(q).

4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 25

Figura 7: Linealidad en el Rango de Ordenes de Momento η.

4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 26

Tabla 1: Resultados P.U.M.

α C1 H

1.87 + /− 0.01 0.03 0.46

Tabla 2: Otras Variables P.U.M.

Rango de Escalas Orden de Momentos q Orden de Momentos n

20 → 210 0 → 3 0.2 → 4

5 Conclusiones 27

5 Conclusiones

5 Conclusiones 28

Al estimar la distribucion invariante para el proceso de cascada, se cuenta con

una herramienta mas solida para el analisis financiero en lo referido a

• Riesgo bajo el metodo Value at Risk.

• Prediccion de las fluctuaciones del mercado (turbulencia).

• Simulacion e interpolacion.

Referencias 29

Referencias

[1] J. Feder: Fractals. Plenum Press, NY, 1998.

[2] S. Lovejoy, D. Schertzer: Multifractal Fluctuations in Finance. Int. J. Theor.

Appl. Fin., Vol. 3, N. 3, 2002.

[3] B. Mandelbrot: Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration and

Risk. Springer-Verlag, 1997.