fisica3– e cy t_3+4_camp_pot_gaussunsam
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1
Física 3 – ECyT – UNSAM2012
Introducción al electromagnetismoDocentes:
Gerardo García BermúdezSalvador Gil
www.fisicarecreativa.com/unsam_f3
Clases 3 y 4
Campo y Potencial Eléctrico Ley de Gauss
2
Ley de Gauss
Clase 3 Revisión de los visto Campo Eléctrico Concepto de flujo de un campo
vectorial Ley de Gauss- Ley fundamental Aplicaciones
3
Electricidad y MagnetismoCuatro leyes básicas
Ley de Coulomb – Las cargas eléctricas se atraen o repelen
Ley de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados
Ley de Ampere – Las corrientes generan campos Magnéticos
Ley de Inducción de Faraday – Campos magnéticos en movimiento generan campos eléctricos. Tensiones eléctricas
4
Leyes básicas
Ley de Coulomb – Gauss Las cargas eléctricas se atraen o repelen
Ley de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados
221F
d
qqK
e
⋅=
5
Leyes básicas
Ley de Ampere – Las corrientes generan campos Magnéticos
A Ley de Inducción de Faraday – Un campo magnético variables (flujos variable) genera un campo eléctrico o tensión
6
Propiedades de las cargasConservación de la carga
Cuantización de la carga
Ley de Coulomb
Principio de superposición
La materia es de naturaleza esencialmente eléctrica, de hecho es la fuerza eléctrica la que liga los electrones al núcleo
221
02
2112 4
1d
qqd
qqkF e
⋅=⋅=πε
7
Principio de superposición de las fuerzas eléctricas
)()(ai iaNeta
qFqF ∑=
Las fuerzas eléctricas son muchísimas más fuertes que las fuerzas gravitatorias ~1040
rr
qqF ˆ
41
221
012
⋅=πε
8
Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales.
Junto a las fuerzas nucleares (Fuertes y débiles) son las cuatro fuerzas básicas del universo.
Hay una gran semejanza matemática de la Ley de Coulomb y la Ley de Gravitación Universal de Newton.
Semejanzas en r2 semejanzas en los productos mAmB y qAqB
Diferencias en las constantes
Diferencias en los signos.
221
r
qqkF
ee
⋅= 2
21
rmm
GFe
⋅=
9
Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales
Átomo de hidrógeno K=8.99 109 N/m2c2
G=6.67 10-11 N/m2kg2
Me=9.11 10-31 kg Mp=1.67 10-27 kg e= 1.6 10-19C
221
rqq
kFe
⋅=
221
rmm
GFe
⋅=Fe(N)= 8.2 10-8 N
Fg(N)= 3.6 10-47 N
Fe/Fg= 4.4 x 10-40
Las interacciones Eléctricas son Muchísimas más fuertes que las gravitatorias
10
Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa será
..+++= adacaba FFFF
∑=i
aiai
ia rr
qkq 2
o escrita de la siguiente forma:
∑=i
aiai
iaa r
rqq
F 3
041πε
Principio de superposición
Superpoción Lineal de las Fuerzas
11
CAMPO ELÉCTRICO
Campo Eléctrico; Fuerza por unidad de carga que se ejerce en un punto P de espacio sobre una carga de prueba q0
CAMPO ELÉCTRICO de UNA CARGA PUNTUALQ0Q
Q0, carga de prueba 0qF
E
=
EqF
⋅= 0rrQ
E ˆ4
12
0πε=
20
041
rqQ
F⋅=
πε
000qF
E Limq
→=
12
Líneas de Campo Eléctrico
Idea introducida por Faraday.Las líneas de campo en cada punto tienen la
dirección del campo.El número de líneas por unidad de área, es
proporcional a la intensidad del campo.Dan una idea grafica de la dirección e
intensidad del campo
13
Fotocopias e Impresoras LáserFotocopiadora Impresora Láser
Cilindro Fotosensible
El cilindro se carga
La imagen reflejada descarga selectivamente
El tonner se pega en la zona cargada
14
Las líneas de campo son, si ambas cargas son de signo contrario:
Campo Eléctrico (para un dipolo eléctrico )
+ -
15
Simetría Teorema: El Campo eléctrico siempre esta contenido
en el plano de simetría de una distribución de cargas
+ +
Plano de simetría
Plano de simetría
E E
+
+ +
16
Permite calcular el campo creado por una distribución
de cargasr
rrdq
krrq
kE eiii
ie
∫∑ ⋅==→
3)(
3
Distribuciones Continuas: densidades de carga :
Volumétrica ρ =dQ/dV, {C/m3}
Superficial σ =dQ/dA, {C/m2}
Linealλ =dQ/dL, {C/m}
Principio de superposición
SUMA VECTORIAL
17
Líneas de campo en esferas y planos
Esfera con carganegativa Plano positivo
Simetría esférica Simetría planar
Plano simetría
18
Campo de un Dipolo
+ -
y
y
d/2
θEx
d/2
r1θ
r2
El campo disminuye más rápido que para una carga puntual
Algo para recordar…
drq
rd
rq
senrq
Ex 3101
210
210
)1(
812/
41
41
πεπεθ
πε===4/222
1 dyr +=
32/320
)2()1(
))2/(1(4
1
y
d
yd
qEEE xxx +
=+=πε
+
−⋅⋅= ...22
31
41
30 y
dyqd
Ex πε
304
1yp
Ex ⋅≈πε
......!2
)1(!1
1)1( 2 +−+++=+ xnn
xn
x n
dqp .≡
19
Campo de un Dipolo Ejercicio
Ex
El campo disminuye más rápido que para una carga puntual
Algo para recordar…
drq
rd
rq
senrq
Ex 3101
210
210
)1(
812/
41
41
πεπεθ
πε===4/222
1 dyr +=
?)( =xEx
......!2
)1(!1
1)1( 2 +−+++=+ xnn
xn
x n
dqp .≡
+ -
y
d/2
r1r2
x
Ex
304
1yp
Ex ⋅≈πε
304
1xp
Ex ⋅≈πε
20
Campo de hilo cargado (L, Q)
2
000 )/2(1
14
1
LyyE
y+
≈ λπε
El campo disminuye más lentamente que para una carga puntual
λ=Q/L
rx
rdx
rdq
dEy 20
20 4
1cos
41 λ
πεθ
πε==
y
y0
Ey
x-x
rθ
θ
r
∫ +⋅=
2/
2/ 2/320
20
0 )(4
L
Ly yx
dxyE
πελ
2
0
200
2/
0 2/32
0
20
0 )2/(
2/2
1
)(42
yL
Lyyx
dxyE
L
y+
=+
⋅= ∫ λ
πεπελE
20
22 yxr +=
21
Campo eléctrico sobre el eje de un anillo cargado, Q, a
dE
dExθ
rrdq
Ed ˆ4
12
0πε=
204
1rad
dEθλ
πε=
θαλπε
cos4
12
0 rad
dEx =
αθλπε
πd
xaa
Ex ∫+=
2
02/3220 )(
cos4
12/322
02/322
0 )(41
)(cos
21
xaxQ
xaa
Ex +⋅=
+=
πεθλ
ε
Simetría
λ=Q/2π.a
22
CampoCampo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente cargado.
2/3220 )(4
1xa
xdQdEx +
⋅=πε
2/3220 )(
24
1xa
xdaadEx +
⋅⋅⋅⋅= πσπε
+
−=+⋅⋅= ∫ 22
00 2/322
0
12)(2 xR
xxadaax
ER
x εσ
εσ
σ =Q/πR2
Ex
23
CampoCampo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente
cargado de radios R∞
+
−=∞→ 22
0
12 xR
xLimER
x εσ
Ex
02εσ=xE
El campo es contante
24
Campo entre dos placas paralelas
++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Superposición S02ε
σ=xE
02εσ=xE
El campo uniforme confinado entre las placas
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
++++++++++++++++
0=xE
0=xE
0εσ=xE
25
Resumen de Campo Eléctrico El Campo Eléctrico es un campo vectorial. Líneas de Campo: en cada punto tiene la dirección
y sentido de la fuerza eléctrica. Simetrías Es una propiedad del punto Para calcular el campo de una distribución-
Superposición Densidad de carga: λ,σ, ρ Campo de un Dipolo: p=q.d Campo de una línea de carga , Anillo, Disco, etc.
eFE
//
rr
rdqkr
r
qkE eii
i
ie
∫∑ ⋅==→
3)(
3
Concepto de Flujo
Flujo Flujo ≈≈ Lat.Lat. Fluxus Fluxus ≈≈ Fluir, manar. Fluir, manar.El flujo de un campo de velocidad
está asociado al caudal o volumen del liquido que para en la unidad de tiempo.
vA
v.dt Q=dVdt=
= A.v.dt/dt
Q=A.v.
Concepto de FlujoCaudal = volumen del
liquido que para en la unidad de tiempo.
vA
v.dt
Q=dVdt=
= A.v.dt/dt
v
v.dt
Q=A.v.
A A’θ A=A’.cos θ
Q=A.v=A’.v.cosθ
vAQ ⋅=
28
FLUJO o descarga de un líquido
AvAvv
⋅==Φ ) cos( θAvAv
v
⋅=⋅=Φ
∫ ⋅=Φ Sdvv
dtdAdtvdVv⋅Φ=⋅= ).(
Definición de FlujoCampo Vectorial
La “cantidad” de campo que atraviesa una superficie imaginaria S.
Si tenemos un campo vectorial,
podemos en general definir un flujo que pasa por una superficie S, asociado a dicho campo, definido por:
∫∫ ⋅=ΦSB
SdB
),,( zyxB
),,( zyxB
),,( zyxB
Flujo Eléctrico- Ley de GaussFlujo Eléctrico- Ley de Gauss
Es la cantidad de “líneas de campo que atraviesan las superficie S.”
Unidades de Flujo E= N-m2/C
∫∫ ⋅=ΦSE
SdE
El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida ε0
31
Carl Friedrich Gauss 1777-1855Matemático, astrónomo y físico alemán. Contribuyó significativamente en muchos campos, teoría de númerosanálisis matemático,geometría diferencial, geodesia, magnetismo óptica. "el príncipe de las matemáticas" "el matemático más grande desde la antigüedad"
El cálculo de la órbita de Ceres en 1801, como entretenimiento, nombrado en 1807 director del Observatorio Astronómico de Göttingen
32
Flujo de campo
ε0Φ(S1)= +q
netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00
εε
ε0Φ(S2)= -q
ε0Φ(S3)= 0
33
Ley de Gauss y Conservación de cargas
Para un campo vectorial A cualquiera
)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S
SdA
i=dq/dt ∫∫=s
SdJi
.Q
Conservación de la carga
∫∫−=s
SdJdtdQ
.J
J
J
J
34
Ley de Gauss del magnetismo
No hay polos magnéticos aislados Si B es campo magnético
Como no hay polos magnéticos aislados
Esta es ley de Gauss del magnetismo 0. =∫∫S
SdB
)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S
SdB
La ley de Gauss
La expresión anterior puede generalizarse La expresión anterior puede generalizarse para cualquier distribución de carga. El valor para cualquier distribución de carga. El valor del la carga de segundo miembro es la carga del la carga de segundo miembro es la carga neta interior a la superficie.neta interior a la superficie.
0
.ε
inE
qSdE∫∫ =≡Φ
La ley de Gauss y la ley de Coulomb tienen el mismo contenido físico. Sin embrago para caso no estáticos se considera al ley de Gauss como más fundamental. No tiene la implicancia de acción instantánea, implícitas en la ley de Coulomb.
Superficies GaussianasEs una superficie cerrada (imaginaria) Es una superficie cerrada (imaginaria) que rodea una distribución de cargas.que rodea una distribución de cargas.
0
.εq
SdEE ∫∫ =≡Φ
0.∫∫ =≡Φ SdE
E
37
Ley de Gauss- Ley de Coulomb
De la ley de Coulomb sabemos que:
Por la simetría del problema:
Ley de Gauss
∫∫∫∫ ⋅=⋅=Φ dSESdESE
rr
qE ˆ
41
2
0πε
=
ESd
//
Sd
24 rEdSE
E⋅==Φ ∫∫ π
0/εq
E=Φ
38
Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?
Sólo es útil para situaciones donde hay simetría.
Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección.
Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).
Cuando conviene usar la ley de Cuando conviene usar la ley de Gauss para calcular camposGauss para calcular campos
La Ley de gauss es de validez universal Es “útil” para calcular campo E, cuando
por simetría podemos suponer que sobre una dada superficie E =constante y conocemos su dirección.
Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).
Ejemplo- Hilo delgado de cargaEjemplo- Hilo delgado de cargaEste problema tiene Simetría cilíndrica.
• Tomamos una superficie Gauussina como se ve el la figura.
• La carga encerrada es q=λ l• Sobre las tapas ΦE=0, pues es
perpendicular a
• Sobre la cara lateral es paralelo a
• Por lo tanto
∫ =⋅⋅==Φπ
ελπ
2
0
2o
rEEdS
Sd
dS E
E
Sd
rE
λπε
02
1=
rr
Eo
ˆ2
1 λπε
=
41
Ley de Gauss- Campo de una placa plana
o
o
qEA
qAdE
ε
ε
=
=⋅∫∫
o
AAE
εσ=2
εσ2
=E
o
Eεσ
2=
Ejemplo-Ejemplo- Esférica maciza con una Esférica maciza con una distribución uniforme de carga distribución uniforme de carga
RadioRadio aa
ra
∫∫∫ ==⋅=ΦSSSEdSEdSESdE ..
2)( 41
r
QE
oar
⋅=> πε
r
a
r > a
0
2/4. επ QrE
E=⋅=Φ
1/r2
Ejemplo-Ejemplo- Esférica maciza con una Esférica maciza con una distribución uniforme de carga distribución uniforme de carga
RadioRadio aa
Er a ∫∫∫ ==⋅=Φ
SSSEdSEdSESdE ..
raQ
Eo
ar 3)( 41 ⋅=< πε
r < a
3
3
0
24.
a
rQrE
E επ =⋅=Φ
2)( 41
r
QE
oar
⋅=> πε
Ejemplo- Placa plana cargadaEjemplo- Placa plana cargadaEsfera cargada uniformementeEsfera cargada uniformemente
E rr ao
< = ρε3
Ea
rr a
o> = ρ
ε
3
23
Palca plana con distribución Palca plana con distribución de carga uniformede carga uniforme
Eo
= σε2
45
00
12
εσ
εσ ==E
Dos placas conductoras cargadas
Conclusiones
La ley de Gauss es útil para La ley de Gauss es útil para determinar campos cuando hay determinar campos cuando hay simetría en el problemasimetría en el problema
Ojo, Pero su validez es universal.Ojo, Pero su validez es universal.
47
Potencial Eléctrico
Clase 4 Revisión de los visto Campo Eléctrico- Ley de Gauss Trabajo y energía Concepto de Potencial eléctrico Campo y Potencial Aplicaciones
48
Expresión Matemática de la Ley de Gauss
Electricidad: El flujo de campo = carga al interior de una superficie Gaussiana
Magnetismo No hay polos aislados
Conservación de cargas
0. =∫SSdB
0εinS qSdE =∫ ⋅
∫−=S
SdJdt
dQ .
49
Ley de Gauss
El flujo de campo eléctrico a través de cualesquier superficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga neta encerrada, por la misma, entre la constante ε0.
netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00
εε
Si aplicamos la Ley de Gauss a Si aplicamos la Ley de Gauss a un conductor, cargado y un conductor, cargado y estado estacionario estado estacionario (Electrostática) Entonces: No (Electrostática) Entonces: No hay campo en su interior.hay campo en su interior.
Si tomamos una sup. Si tomamos una sup. Gaussiana, cercana a la Gaussiana, cercana a la superficie externa superficie externa qqnetaneta=0=0
La carga en el conductor esta La carga en el conductor esta en la superficie.en la superficie.
Ley de Gauss - Conductores
netaSqSdE =⋅∫
0
ε
51
Ejemplo 3
52
Superficies esféricas Gaussianas
a) carga puntual positiva
Flujo Positivo
a) carga puntual negativa
Flujo Negativo
53
Campo eléctrico de una carga puntual
r
EdA
Q
Considere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio r será:
0
24ε
π QrEdAESdE ===⋅=Φ ∫∫
netaESQSdE =Φ=⋅∫ 00 εε
204
1
r
QE
πε=
Por la simetría del problema:
y E=E(r)
y
rE ∝
20
.
4
1.
r
qQEqF
πε==
54
Campo eléctrico de una carga puntual
20
.
4
1.
r
qQEqF
πε==
netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00
εε
0
24
επ q
rEdAESdE ===⋅=Φ ∫∫
2
0
14
1
rE
πε=
netaSQSdE =⋅∫
0ε
La ley de Gauss es equivalente a la ley de Coulomb
55
Textos R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, Física para estudiantes de
ciencias e ingeniería, 4ª ed., vol. II (México, 1992). Sears, F. et al., Física Universitaria: Volumen II (Addison Wesley
Longman, México D.F., 1999). G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. D. Giancoli, Física: Principios y aplicaciones, Prentice Hall,
México, 1997. Gettys, Keller, Skove Fisica Clásica y Moderna Mc Graw-Hill
México, 1996 http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html
http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/
56
Trabajo para mover una carga
∫∫ −==2
1
2
12,1
.. ldEqldFW
∫−=≡2
1
2,112
. ldEq
WV
Diferencia de Potencial= Trabajo por unidad de carga
Eq
.Eq
.Eq
.
F F F1 2
57
Trabajo para mover una carga
Eq
.Eq
.Eq
.
F F F
lEqW
∆=∆ ..
Potencial= Trabajo por unidad de carga
lEqW
V
∆−=∆=∆ .
xEVx
∆−=∆ . xV
Ex ∂
∂−=
yV
Ey ∂
∂−=zV
Ez ∂
∂−=max
∂∂−=
lV
E VE ∇−=
58
Trabajo para mover una carga
Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinito
yV
Ey ∂
∂−=z
VE
z ∂∂−=
VE ∇−=
xV
Ex ∂
∂−=
∫−=≡2
1
2,112
. ldEq
WV
Si conocemos el potencial, podemos calcular el campo y si sabemos el campo, podemos calcular el potencial
59
Carga Puntual
Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=
∫−=≡2
1
2,112
. ldEq
WV
2
0
14
1
rE
πε=
=∆12
V
=−=−=−=∆ ∫∫∫ 2
1
2
1
2
0
2
112 4
1 r
r
r
r r
drdrErdEV
πε
−=−=∆
2101212
114
1rr
VVVπε
∞
−−=−= 114
1
20122 r
VVVπε
60
Física 3 – ECyT – UNSAM2010
Introducción al electromagnetismoDocentes:
Gerardo García BermúdezSalvador Gil
www.fisicarecreativa.com/unsam_f3
Clase 5
61
Potencial En general:
El trabajo para mover una carga de 1 a 2 no depende del camino.
La fuerza eléctrica (el potencial electrico) es conservativo
0.1,1
=−=∆ ∫CldEW
62
Carga Puntual
Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=
∫−=≡2
1
2,112
. ldEq
WV
2
0
14
1
rE
πε=
rQ
rV0
41
)(πε
=
∫∫∫=v rdq
rV0
41
)(πε
Por el teorema de superposición
rr
rdqkr
r
qkE
eii
i
ie
∫∑ ⋅==→
3)(
3 SUMA VECTORIAL
SUMA Escalar
63
Trabajo y Energía Campo eléctrico no uniforme y trayectoria no rectilínea
Debemos dividir la trayectoria en pequeños desplazamientos infinitesimales, de forma que
∫∫ ⋅−=⋅=B
Ao
B
A ext
ext
ABrdEqrdFW
∫ ⋅−==−B
Ao
ext
ABAB
rdEq
WVV El potencial en este caso
será
B
AE
F
rd
Eqo
qo
64
Dipolo en campo Uniforme
-
+d
q
F=q.E θθτ senEdqsendF ..... == Ep ×=τ
θθθθ dsenEdqdsendFdW ⋅=⋅= .....
EpU.)( =θ)(cos.. θdEpdW −=
EEF
F θ
θU
0 180º
E
65
DÍPOLO ELÉCTRICO Es un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distancia
Momento dipolar
Energía de un dipolo eléctricoTrabajo necesario
para girarlo en contra de un campo
eléctrico
Dipolo en un campo eléctrico uniforme
Ep ×=τ
EpU ⋅−=
66
Polarización Eléctrica
Cuando se coloca una carga positiva, los átomos se polarizan o alinean con el campo
Se rompe la simetría original, y los átomos se polarizarán, quedando la nube electrónica con carga negativa orientada hacia la localización de la carga positiva introducida. Ep
⋅= α α= Polarizabilidad
67
Dipolos
Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo de los átomos está más positivamente cargado y el otro más negativamente cargado.
Cada átomo polarizado de esta forma se convierte en un dipolo.
Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el efecto del campo eléctrico producido por la carga positiva introducida.
Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto del material será distinto al campo eléctrico que mediríamos cuando colocamos la misma carga eléctrica positiva en el espacio libre, sin la presencia del material y sus átomos formando dipolos.
68
POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES
Para una distribución discreta de cargas
∑ ∑==n n n
nn r
qVV
04
1πε
Para una distribución continua de cargas
⇔
Ley de Gauss
∫ ∫==r
dqdVV
oπε41
netaSQSdE =⋅∫
0ε
En un dado problema, ¿qué ley uso o qué calculo primero, el campo E o el potencial V(r)?
VE ∇−=
∫∞
−=r
ldErV
.)(
69
Cascarón Esférico hueco
=0
)( 2r
Qk
rE eR
Q
r ≥ R
r ≤ R
E(r)
Hay simetría Ley de Gauss
Primero el campo E
70
PotencialPotencial eléctrico en el interior y el exterior de un cascarón esférica de carga.
Cascarón Esférico hueco
=
RQ
k
r
Qk
rV
e
e
)(r ≥ R
∫∞−=
rdrrErV ').'()(
=0
)( 2r
Qk
rE e
r ≤ R
Después el potencial
71
2
cos 24 r
aqV
o
θπε
⋅=
Recordando la definición de momento dipolar eléctrico
qap ⋅= 2
22
ˆ.4
1 cos 4
1
r
rp
r
pV
oo
πεθ
πε=⋅=
V = 0 para α = 90º
No se requiere trabajo para llevar una carga de prueba desde el infinito hasta el dipolo a lo largo de la línea perpendicular al punto medio entre las dos cargas.
Dipolo - +
2a
P=2a.q-q q
- +
r
θ
r1r1
rar +=1 θcos2
222
1⋅⋅−+= rarar
)cos)/(1(1
θ⋅−≈ rarr
)cos)/(1(2
θ⋅+≈ rarr
No hay simetría – Primero V(r)
72
Campo creado por un dipolo
Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy pequeña ( d = 2a ).
Aproximación r>> l
- +-a a
rr-a
r+a
)()( 33 arar
qkar
ar
qkE
+
+−+−
−=
dqp = Momento dipolar - +
−⋅=
⋅∇−=∇−= p
rr
rrp
r
k
r
pkVE
)(3
cos32
θ
X
Z
Y
d
73
CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICO
Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas libres que pueden moverse en su interior.
Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su carga libre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En
estas condiciones se dice que el conductor está en Equilibrio Electrostático (E’ = Eo).
+++++++++++++ oE
'E
Cualquier exceso de carga se colocará en la superficie del conductor, ya que el campo eléctrico externo no es lo suficientemente intenso como para vencer las fuerzas de ligadura.
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Condiciones que se deben cumplir en todo conductor
IToda la carga libre de un conductor se coloca en su superficie.
Dado un conductor, supongamos una superficie gaussiana justo en el interior de la superficie del conductor. Como E =0 dentro del conductor, también será nulo en todos los puntos de la superficie gaussiana. Por lo tanto el flujo a través de la superficie del conductor es cero.
Por el Teorema de Gauss
o
qε
=Φ intComo 0=Φ 0int =q
Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor
Conductor
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El campo eléctrico en la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie y vale
oεσ
Para hallar el campo eléctrico en la superficie del conductor consideremos un elemento infinitesimal plano, con densidad superficial de carga σ. Como superficie gaussiana tomamos un cilindro con una cara en el exterior y otra en el interior del conductor
Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficie debe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través de la cara superior.
o
intqs
ε==⋅=Φ ∫ EsdE
s q σ=into
Eεσ=
E
76
Distribución esférica, r ≥R
Distribución uniforme, r ≤R
2
04
1
r
QE
πε=
3
04
1
R
rQE
⋅=πε
Esfera cargada
R
E(r)
77
Distribución esférica, r ≥R
Carga uniforme, campo r ≤R
2
04
1
r
QE
πε=
3
04
1
R
rQE
⋅=πε
Esfera cargada
rQ
rV0
41
)(πε
=
)(21
41
)( 3
2
0
RVR
rQrV +⋅−=
πε
−= 2
2
0 223
41
)(R
r
R
QrV
πεR
78
Ejercicio: Ley de Gauss: Cascarón Esférico
Calcular Campo y Potencial en todo el espacio
R1 R2
r
79
2
04
1
r
qE
πε=
Cascaron esféricaUsando la ley de Gauss y las propiedades de simetría:
Para r < R2
0=EEntre a r < R2
Para r >R1
rrr
E0
3
2
033
44
1ερπρ
πε==
)(433
2
3
1RRq −= πρ
80
Electrostática
Campo electrostático y potencial
81
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. El trabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo, una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneas será
rdFdW ⋅−=
En términos de incrementos
rEV ∆⋅−=∆
E alar perpendicu r∆ 0=∆V V constante
E a paralelo r∆ Variación máxima de
potencial
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Superficies equipotenciales
Es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico
El trabajo desarrollado para mover una partícula de un punto A a otro punto B a lo largo de una superficie equipotencial es nulo, ya que
o
ABAB
qW
VV =−
A lo largo de una superficie
equipotencialBA VV = 0=ABW
83
Ejemplos de superficies equipotenciales
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Conductor en un campo eléctrico
El campo interior siempre es nulo.
Deforma las líneas de campo exterior.
Se produce una redistribución de carga en la superficie debido a la fuerza eléctrica.
Sobre la superficie del conductor el campo es siempre perpendicular a al superficie
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Potencial eléctrico
La fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico.
Por ser conservativa
Potencial eléctrico
Campo eléctrico = gradiente del potencial eléctrico
Unidades : el Voltio
)()( rEqrF
= )(rUF
∇−=
q
UV =
Energía potencial
Carga
)(rVE
∇−=
[ ] [ ]CJVV /==
Se puede elegir el origen de potencial
86
Superficies equipotenciales
El potencial es constante en todos sus puntos.
El vector gradientees ortogonal a S.
El gradiente va de menores a mayores valores de V.
1U
ctezyxV =),,(
V0
V1
V2
VN
0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii VVrVrE
ij
ij
VV
VVrVrE
>
<−−=∆⋅∇−=∆⋅ ⊥⊥ 0)(
Vectores campo eléctrico
87
Superficies equipotenciales
Campo producido por un dipolo
Campo producido por una carga puntual
Campo uniforme
Superficie equipotencial Campo eléctrico
88
Referencias Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D.
Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (México, 1992). Física II - SERWAY R. FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Ed.
CENGAGE LEARNING- Mexico 2003 Física Universitaria: Volumen II Sears, F. et al., (Addison Wesley
Longman, México D.F., 1999). G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. Física: Principios y aplicaciones, D. Giancoli, Prentice Hall, México,
1997. Física Clásica y Moderna Gettys, Keller, Skove -Mc Graw-Hill
México, 1996 http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html
http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/
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Problema 1 Calcular Campo y Potencial para: Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del
problema)
+Q
a
b
ra b
r
E
V(r)a b
Dentro del conductor E=0
+
+
+
+
+
++
+
+
+-
--
-
--
-
-
-
90
Problema 2
[ ]
−≈+= −
2
22/122
421
11
)2/(1
xd
xdx
r
-2Q
+Q
+Q
d/2
d/2
r
x
E
−=+−=
xrkQ
rQ
kxQ
kxV11
222
)(
222 )2/(dxr +=
2
2
2
2
8
1
42
11
111
x
d
xx
d
xxr−=−
−=≈−
3
2
82)(
xQd
kxV −= 4
2
43)(
xQd
kxE −=
91
Problema 3
92
93
Agradecimiento
Algunas figuras y dispositivas fueron tomadas de:
Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT Argentina
Clases E. y M. del Colegio Dunalastair Ltda. Las Condes, Santiago, Chile
Ángel López
FIN
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