ex amen alg lineal escuela colomb

Departamento de Matematicas

Examen Final de Algebra Lineal

9 de noviembre de 2009

Nombre: Nota:

• No se puede utilizar calculadora cientıfica.

• No se permite consultar textos o apuntes.

• Durante el examen, el profesor no respondera preguntas.

El parcial consta de 21 preguntas de seleccion multiple con un valor de 0,25 cada una.

En cada una de las siguientes preguntas seleccione la opcion que considere correcta y marquela en la

tabla que encuentra a continuacion. En caso de doble marcacion la pregunta sera anulada.

a b c d

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

a b c d

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

1. Si A y X son matrices cuadradas n×n inver-

tibles tales que (2In−AX)T = 3In, entonces:

a) X = (AT )−1

b) X = −2In

c) X = −A−1

d) No existe una matriz X que cumpla la

condicion.

2. La matriz adjunta de la matriz

(

2 −1

3 5

)

es

a)

(

5 3

−1 2

)

b)

(

10 −3

−3 10

)

c)

(

5 1

−3 2

)

d)

(

10 3

3 10

)

1

3. Dadas las matrices A =

(

0 −2 1

1 −1 3

)

y

B =

(

1 −1 2

0 3 −1

)

. El producto (AT B)T

es:

a)

(

4 −7

8 −6

)

b)

0 3 −1

−2 −1 −3

1 8 1

c)

(

6 −5

−5 10

)

d)

0 −2 1

3 −1 8

−1 −3 −1

4. Sean A, B y C matrices cuadradas e inver-

tibles. La inversa de ABC es:

a) A−1B−1C−1

b) C−1B−1A−1

c) C−1A−1B−1

d) B−1C−1A−1

5. Sea C de tamano 1 × n para n > 1, tal que

C = AB, entonces:

a) A es un vector fila.

b) B es un vector columna.

c) A y B son matrices cuadradas.

d) A y B son de igual tamano.

6. Dadas las matrices A y B de tamano 4 × 4

tal que det(A) = 2 y det(B) = −3. El deter-

minante de la matriz −A−1BT es:

a) 6

b) −3/2

c) −6

d) 3/2

7. Dados dos vectores u y v ambos en R3, un

vector perpendicular a los dos vectores al

mismo tiempo es:

a) 2u + 3v

b) u · vc) Proyvu

d) 2u × v

8. Dado el triangulo con vertices A(3,−1, 4),

B(3, 1, 2) y C(1,−1, 3). El coseno del angu-

lo en C es:

a)1√5

b)16√

26√

14

c)−1√

5

d)−16√26√

14

9. Si u = (1,−1, 2) y v = (3, 1, 0), entonces

(3u · 2v)(u × v) es:

a) (−24,−36, 24)

b) 0

c) (−24, 72, 48)

d) 36

10. Dado el sistema Ax = b donde

A =

1 2 3

0 −1 1

2 0 3

se puede afirmar que:

a) Si b = 0, el sistema tiene una unica so-

lucion.

b) Si b = 0, el sistema tiene soluciones no

triviales.

c) Si b 6= 0, el sistema no tiene solucion.

d) Si b 6= 0, el sistema tiene infinitas solu-

ciones.

2

11. Dado el sistema de ecuaciones

{

2x + ay = 1

ax + 2y = 1

La afirmacion falsa es:

a) Si a 6= ±2 el sistema tiene una unica

solucion.

b) Si a = 2 el sistema tiene infinitas solu-

ciones.

c) Si a = −2 el sistema no tiene solucion.

d) El sistema siempre tiene solucion por-

que es un sistema de dos ecuaciones con

dos incognitas.

12. Dado el sistema de ecuaciones

x + 2z = 0

−x + y − 2z + t = 4

2y + z + t = 1

x + 3z + t = −1

Si el determinante de la matriz de coeficien-

tes es 2, el valor de z es:

a) 3

b) 4

c) −4

d) −3

13. El punto de corte entre la recta de ecuacion

x − 1

2=

y − 1

1=

z − 5

1

y el plano de ecuacion 3x − 2y + z = 1 es:

a) (1, 1, 5)

b) (3,−2, 1)

c) (−1, 0, 4)

d) (5, 3,−6)

14. Considere las rectas con ecuaciones

L1 :x − 2

−2=

y − 1

−2=

z + 1

4

L2 :x

2=

y + 1

−1=

z − 5

5

La ecuacion de la recta ortogonal a las rectas

anteriores y que pasa por el punto (−1, 3, 4)

es:

a)x + 1

−1=

y − 3

3=

z − 4

1

b)x + 1

1=

y − 3

−3=

z − 1

1

c)x − 1

−1=

y − 3

3=

z − 4

1

d)x + 1

−1=

y + 3

3=

z + 4

1

15. Dado H ={

→

x∈ R3| →x= (a, a, a − b); a, b ∈ R

3

}

un subespacio vectorial de R3. Una base pa-

ra H es:

a) {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1,−3)}

b) {(2, 1, 6), (1, 1/2, 3)}

c) {(1, 1, 1), (0, 0,−1)}

d) {(0, 0,−1)}

16. Sea V un espacio vectorial real de dimen-

sion finita. Si S = {v1, v2, . . . , vn} genera a

V , entonces:

a) S es un conjunto de vectores linealmen-

te independiente de V .

b) Todo conjunto de vectores linealmente

independientes de V tiene por lo menos

n elementos.

c) Para todo i, 1 ≤ i ≤ n; S − {vi} no

genera a V .

d) Todo conjunto de vectores linealmente

independiente de vectores tiene a lo su-

mo n elementos.

3

17. Sea H ={

(x, y, z) ∈ R3|2x + 11y − 17z = 0

}

un espacio vectorial. Su dimension es:

a) 2

b) 3

c) 1

d) 0

18. Dado L : R3 −→ R

3 con

T ((x, y, z)) = (x, y, z) × (2, 1, 1)

A) L es una transformacion lineal.

B) El vector (4, 2, 2) pertenece al nucleo de

la transformacion lineal

C) El vector (−4, 5, 3) pertenece a la ima-

gen de la transformacion lineal.

De las afirmaciones anteriores.

a) Solo A es verdadera.

b) Solo B es verdadera.

c) Solo C es falsa.

d) Todas son verdaderas.

19. Los valores de λ para los cuales{

(λ2, 0, 1), (0, λ, 2), (1, 0, 1)}

es una base pa-

ra R3, son:

a) 0, 1 y −1

b) 2 y −2

c) No existen valores reales para λ.

d) Todos los numeros reales, excepto 0, 1

y −1.

20. Sea L : R2 → R

3 una transformacion lineal

tal que:

L

([

1

−1

])

=

1

2

−1

y

L

([

2

−1

])

=

0

1

2

El valor para L

([

8

−5

])

es:

a)

8

11

−18

b)

2

7

4

c)

−6

5

8

d)

1

3

1

21. La ecuacion caracterıstica asociada a la ma-

triz

A =

2 1 2

2 2 −2

3 1 1

es:

a) −3λ3 + λ2 − λ + 8 = 0

b) λ3 − 5λ2 + 2λ + 8 = 0

c) 2λ3 − λ2 − 2λ + 8 = 0

d) 2λ3 − λ2 − λ − 8 = 0

4