e.t.s. minas: métodos matemáticos soluciones tema 3...
Post on 22-Oct-2020
22 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
Soluciones Tema 3
Resolución aproximada de ecuacionesFrancisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña
Curso 2006/07Octubre 2006, Versión 1.1
Ejercicio 1 Consideramos la ecuación
x− e−x = 0
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución en el intervalo [0, 1].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo[0, 1].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], ¿cuán-tas iteraciones nos hacen falta para asegurar 4 decimales exactos?
(d) Calcula las 5 primeras iteraciones.
(a) α ' 0.5
x 21.510.50-0.5-1
2.5
2
1.5
1
0.5
0-0.5
-1
(b) Existenciaf(x) = x− e−x
1
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 2
f es continua en [0,1], además
f(0) = −1 ª, f(1) = 0. 63212 ⊕
por lo tanto, existe una solución α ∈ (0, 1) .Unicidad.
f 0(x) = 1 + e−x
positiva para todo x, por lo tanto, f % en el intervalo y la raíz es única.(c) Exigimos
|en| =b− a2n
=1
2n≤ 0.5× 10−4
2n ≥ 10.5× 10−4
n ≥ ln(20000)ln 2
= 14. 29
necesitamos n = 15 iteraciones.
(d) Iteraciones
Fase 1a1 = 0 f(a1) = −1 ªc1 = 0.5 f(c1) = −0.1065 ª a2 = 0.5b1 = 1 f(b1) = 0.6321 ⊕ b2 = 1
Fase 2a2 = 0.5 f(a2) = −0.1065 ª a3 = 0.5c2 = 0.75 f(c2) = 0.2776 ⊕ b3 = 0.75b2 = 1 f(b2) = 0.6321 ⊕
c3 = 0.625
c4 = 0.5625
c5 = 0.59375 ¤
Ejercicio 2 Consideramos la ecuación
x− e−x = 0
(a) Construye una representación gráfica con Maple y estima gráficamenteel valor de la raíz.
(b) Escribe un programa que permita aplicar el método de la bisección.Verifica el buen funcionamiento con el valor de las 5 iteraciones cal-culadas en el ejercicio anterior.
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 3
(c) Si partimos de intervalo [0, 1], ¿cuántas iteraciones nos hacen faltapara asegurar 7 decimales exactos?
(d) Usa el programa y el número de iteraciones calculado para aproximarla raíz con 7 decimales.
(e) Calcula el valor de la raíz con Maple, verifica el resultado del apartadoanterior.
(a) Valor estimado α ' 0.57£> plot(x-exp(-x),x=0..1);
(b) Un programa simple es el siguiente⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
> f:=x->x-exp(-x);a:=0; b:=1; n:=3;for i from 1 to n doc:=evalf((a+b)/2);fc:=f(c);if evalf(fc*f(a)) s:=fsolve(x-exp(-x)=0);
s := 0.567143904
Error real|e25| = |α− c25| = 0.12× 10−8 ¤
Ejercicio 3 Consideramos la ecuación
lnx =1
x
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 4
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución en el intervalo [1, 2].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo[1, 2].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [1, 2], ¿cuán-tas iteraciones nos hacen falta para asegurar 5 decimales exactos?
(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.
(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resulta-do de las primeras iteraciones comparando con los valores calculadosmanualmente.
(f) Resuelve la ecuación con Maple.
(a) α ' 1.7
x 420-2-4
5
4
3
2
1
0
-1
(b) Existencia
f(x) =1
x− lnx
es contínua en [1, 2], además
f(1) = 1 ⊕, f(2) = −0. 19 ª
por lo tanto, existe una solución α ∈ (1, 2) .Unicidad.
f 0(x) =−1x2− 1x
negativa para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f & en el intervalo y la raíz esúnica.
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 5
(c) Exigimos
|en| =b− a2n
=1
2n≤ 0.5× 10−5
n ≥ln¡2× 105
¢ln 2
= 17. 6096
necesitamos n = 18 iteraciones.
(d) Iteraciones
c1 = 1.5
c2 = 1.75
c3 = 1.875
c4 = 1.8125
(e) c18 = 1.763225557
(f) α = 1.763222834, |e18| = 0.2723× 10−5 2
Ejercicio 4 Consideramos la ecuación
lnx = e−x
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución en el intervalo [1, 2].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo[1, 2].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [1, 2], ¿cuán-tas iteraciones nos hacen falta para asegurar 5 decimales exactos?
(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.
(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resulta-do de las primeras iteraciones comparando con los valores calculadosmanualmente.
(f) Resuelve la ecuación con Maple.
(a) α ' 1.3
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 6
x 543210-1
5
4
3
2
1
0-1
-2
(b) Existenciaf(x) = lnx− e−x
es contínua en [1, 2], además
f(1) = −0.37 ª, f(2) = 0.55 ⊕
por lo tanto, existe una solución α ∈ (1, 2) .Unicidad.
f 0(x) =1
x+ e−x
positiva para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f % en el intervalo y la raíz esúnica.
(c) El intervalo tiene longitud 1, el resultado es el mismo que en el ejercicioanterior, necesitamos n = 18 iteraciones.
(d) Iteraciones
c1 = 1.5
c2 = 1.25
c3 = 1.375
c4 = 1.3125
(e) c18 = 1.309803011(f) α = 1.309799586, |e18| = 0.3425× 10−5 2
Ejercicio 5 Un proyectil de 2 gramos de masa ha sido lanzado vertical-mente al aire y está descendiendo a su velocidad terminal1. La velocidadterminal se puede escribir, después de evaluar todas las constantes, como
(0.002) (9.81) = 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2
1Shames, I. H., Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, 1982, pag. 417.
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 7
donde v es la velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derechorepresenta la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza depresión.
(a) Sabemos por una estimación grosera, que la velocidad terminal es v '30m/s. Estudia si los intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raíz.
(b) Verifica el resultado construyendo un gráfico con Maple.
(c) Determina el número de pasos que se necesitan para aproximar la so-lución con 2 decimales usando el método de la bisección.
(d) Calcula la aproximación con un programa, verifica manualmente elvalor de los dos primeros pasos.
(e) Calcula el valor de la velocidad terminal con Maple.
(a) La función
f(v) = 1.962× 10−2 − 1.4× 10−5v1.5 − 1.15× 10−5v2
es continua en todo R.
f(20) = 0.01377, f(30) = 0.006 970, f(40) = −0.002 322
tenemos una solución en el intervalo [30, 40]. Valor aproximado gráficamenteα ' 37.7
x 403836343230
006
004
002
0
002
(b) Exigimos40− 302n
≤ 0.5× 10−2
y resulta n = 11.
(c) c1 = 35, c2 = 37.5, c11 = 37.73926
(d) Resultado con Maple v = 37.73458, |e11| = 0.00468 ¤
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 8
Ejercicio 6 El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resolvien-do una ecuación de criticalidad 2 Un ejemplo simple de este tipo de ecuacio-nes es
tan (0.1x) = 9.2 e−x
La solución físicamente significativa es la menor raíz positiva. Se sabe, porexperiencia, que la raíz se encuentra en el intervalo [3, 4].
(a) Demuestra que, efectivamente, la ecuación tiene una raíz en [3, 4] yque tal raíz es única.
(b) Aproxima el valor de la raíz con 5 decimales usando el método de labisección.
(c) Verifica el resultado sustituyendo en la ecuación.
(d) Calcula el valor de la raíz con Maple.
(a) Existencia. El primer punto positivo en el que tan(t) es disontinua est1 = π/2. Si x ∈ [3, 4], entonces 0.1x ∈ [0.3, 0, 4], por lo tanto, la función
f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x
es contínua en [3, 4]. Además
f(3) = −0. 1487f(4) = 0. 2543
¾T. Bolzano=⇒ Existe un α ∈ (3, 4) tal que f(α) = 0
Unicidad. Calculamos la derivada
f 0(x) =0.1
cos2 (0.1x)+ 9.2e−x
Como f 0(x) > 0 en (3, 4), tenemos f % y la raíz es única.(b) Como el intervalo es de longitud 1, necesitamos 18 intervalos. El re-sultado de la iteración 18 es c18 = 3.292926791, por lo tanto la soluciónes
α = 3.29293
(c) Sustituyendo en la ecuación obtenemos
f(c18) = f(3.29293) = 0.2 442× 10−5
Sin embargo, esto no nos asegura nada acerca de la proximidad de c18 a laraíz (¿por qué?)
(d) Resultado maple α = 3.292924615, |e18| = 0.2176× 10−5 ¤2Lamarsh, J. R., Introduction to Nuclear Reactor Theory, Addison-Wesley, 1966.
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 9
Ejercicio 7 Consideramos la ecuación
x = e−x
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución α próxima a x0 = 0.5.
(b) Aproxima el valor de la solución con 8 decimales mediante el método deNewton-Raphson, usando como criterio de parada el error estimado.
(c) Demuestra que la solución obtenida es correcta.
(a) α ' 0.5
x 3210-1
4
3
2
1
0
-1
(b)f(x) = x− e−x
f 0(x) = 1 + e−x
Método
⎧⎨⎩ x0 = 0.5xj+1 = xj − xj − e−xj1 + e−xj
Detenemos las iteraciones cuando los 8 primeros decimales quedan fijos
x0 = 0. 5x1 = 0. 56631 1003x2 = 0. 56714 3165x3 = 0. 56714 3290x4 = 0. 56714 3290
En principio, el resultado es
ᾱ = 0. 56714 329
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 10
aunque no tenemos garantizado que el resultado sea correcto, puesto quehemos detenido las iteraciones usando el error estimado.(c) Error máximo admisible ² = 0.5× 10−8,
a = ᾱ− ² = 0.567143285, b = ᾱ+ ² = 0.567143295
f(a) = −8. 478× 10−9, f(b) = 7. 194× 10−9
Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar
|α− ᾱ| < 0.5× 10−8
y por lo tanto, la aproximación calculada ᾱ tiene 8 decimales exactos. ¤
Ejercicio 8 Resuelve la ecuación de criticalidad
tan (0.1x) = 9.2 e−x
usando el método de Newton-Raphson y el valor inicial x0 = 3.5. Calcula lasolución con 5 decimales exactos.
(a)f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x
f 0(x) =0.1
cos2 (0.1x)+ 9.2e−x
Método
⎧⎪⎨⎪⎩x0 = 3.5
xj+1 = xj −tan (0.1xj)− 9.2 e−xj
0.1cos2(0.1xj)
+ 9.2e−xj
Detenemos las iteraciones cuando los 5 primeros decimales quedan fijos
x0 = 3. 5x1 = 3. 27703 008x2 = 3. 29283 161x3 = 3. 29292 461x4 = 3. 29292 461
ᾱ = 3.29292
Verificamos el resultado; error máximo admisible ² = 0.5× 10−5,
a = ᾱ− ² = 3.292915, b = ᾱ+ ² = 3.292925
f(a) = −4. 35953 4× 10−6, f(b) = 1. 74609× 10−7
Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar
|α− ᾱ| < 0.5× 10−5 ¤
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 11
Ejercicio 9 Resuelve la ecuación
(0.002) (9.81) = 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2
usando el método de Newton-Raphson a partir del valor inicial v0 = 30m/s.Calcula la solución con 3 decimales exactos.
Valores de las iteraciones
v0 = 30v1 = 38.657611v2 = 37.744895v3 = 37.734579v4 = 37.734578
Valor de la velocidadv̄ = 37.735
Error máximo ² = 0.5× 10−3
a = v̄ − ² = 37.7545 f(a) = 0.77× 10−7b = v̄ + ² = 37.7355 f(b) = −0.919× 10−6
¾cambio de signo
Podemos asegurar que
|v − v̄| ≤ 0.5× 10−3 ¤
Ejercicio 10 Aproxima el valor de√41 con 6 decimales exactos usando el
método de Newton-Raphson.
Formulamosx =√41⇐⇒ x2 − 41 = 0
Tomamos la función
f(x) = x2 − 41f 0(x) = 2x
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 12
Método ⎧⎨⎩x0 = 6.5
xj+1 = xj −x2j − 412xj
Iteracionesx0 = 6.5x1 = 6.4038462x2 = 6.4031243x3 = 6.4031242
Valor aproximado con 6 decimales
ᾱ = 6.403124
Verificamos la solución. Error máximo ² = 0.5× 10−6
a = ᾱ− ² = 6.4031235 f(a) = −0.49× 10−5a = ᾱ− ² = 6.4031245 f(b) = 0.34× 10−5
¾cambio de signo
Podemos asegurar que
|α− ᾱ| ≤ 0.5× 10−6 ¤
Ejercicio 11 Aproxima el valor de 5√23 con 6 decimales exactos usando el
método de Newton-Raphson.
Formulamosx =
5√23⇐⇒ x5 − 23 = 0
Tomamos la función
f(x) = x5 − 23f 0(x) = 5x4
Valor inicial25 = 3215 = 1
¾⇒ x0 = 1.5
Método ⎧⎨⎩x0 = 1.5
xj+1 = xj −x51 − 234x4j
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 13
Iteracionesx0 = 1.5x1 = 2.10864198x2 = 1.91958682x3 = 1.87445650x4 = 1.87217680x5 = 1.87217123x6 = 1.87217123
Valor aproximado con 6 decimales
ᾱ = 1.872171 ¤
Ejercicio 12 Dado un número c, podemos calcular su inverso x = 1/c re-solviendo la ecuación
1
x− c = 0
(a) Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemoscalcular inversos sin hacer divisiones.
(b) Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores inicialesdeben estar próximos a la solución para que el método converja.
(a) Formulamos
x =1
c⇐⇒ 1
x− c = 0
Tomamosf(x) =
1
x− c
f 0(x) =−1x2
Método ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x0 = aproximación inicial
xj+1 = xj −
1
xi− cÃ− 1x2j
! = 2xj − Cx2j½x0 = aproximación inicialxj+1 = 2xj − Cx2j
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 14
(b) Para α =1
9, valor inicial x0 = 0.1
Iteracionesx0 = 0.1x1 = 0.11x2 = 0.1111x3 = 0.11111111x4 = 0.1111111
1
9= 0.111111
Para α =1
45, valor inicial x0 = 0.01
x4 = x5 = 0.02222222
1
45= 0.022222
Para α =1
678, valor inicial x0 = 0.001
x5 = x6 = 0.00147493
ᾱ = 0.001475 ¤
Ejercicio 13 Consideramos la ecuación
x = cos(x)
(a) Demuestra que la formulación
x =x+ cos(x)
2
es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijopara todo valor inicial x0 en el intervalo [0, 1].
(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimalesexactos.
(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.
(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica elresultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenidoen el apartado anterior.
(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 15
En primer lugar, obsevamos que
x = cos(x)⇐⇒ x = x+ cos(x)2
pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a amboslados y despejando x.
g(x) =x+ cos(x)
2(a) Veamos que la función
g(x) =x+ cos(x)
2
cumple las condiciones del teorema de punto fijo.
• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, porlo tanto, es de clase C1[0, 1].
• (Condición 2) Sean
m = minx∈[0,1]
g(x), M = maxx∈[0,1]
g(x)
si x ∈ [0, 1], entonces g(x) ∈ [m,M ]. Debemos resolver un problema deextremos absolutos de una función contínua sobre un intervalo cerrado.
g0(x) =1− sin(x)
2
se cumple g0(x) > 0, en todo [0, 1], por lo tanto g % en [0, 1] y
m = minx∈[0,1]
g(x) = g(0) = 0. 5, M = maxx∈[0,1]
g(x) = g(1) = 0. 77015 1
por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en
[0.5, 0. 77015 1] ⊂ [0, 1].
• (Condición 3) Hemos de calcular
M1 = maxx∈[0,1]
¯̄g0(x)
¯̄la función objetivo es
h(x) =
¯̄̄̄1− sin(x)
2
¯̄̄̄=1− sin(x)
2
calculamosh0(x) = − cos(x)
como h0(x) < 0 en [0, 1], resulta h(x)&, por lo tanto
M1 = maxx∈[0,1]
¯̄g0(x)
¯̄= h(0) = 0.5
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 16
En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en elintervalo [0, 1] y que la iteración de punto fijo converge a él para todo valorinicial x0 ∈ (0, 1) .(b) El error cumple
|ej | = |α− xj | ≤ (0. 5)j (1− 0) = (0. 5)j
exigimos(0. 5)j ≤ 0.5× 10−5
y resolvemos en j, resulta
j ≥ln¡0.5× 10−5
¢ln (0. 5)
= 17. 6096
necesitamos j = 18 iteraciones.(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es
j xj0 0.51 0. 688791282 0. 730403063 0. 737654314 0. 738851255 0. 73904696
(d) Programa Maple ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
> g:=x->(x+cos(x))/2;x0:=0.5;n:=17;for i from 0 to n dox.(i+1):=evalf(g(x.i));od;
Obtenemosx18 = 0.73908513
(e) Valor obtenido con fsolve
α = 0.73908513 ¤
Ejercicio 14 Consideramos la ecuación
x = e−x
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 17
(a) Demuestra que la formulación
x =x+ e−x
2
es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijopara todo valor inicial x0 en el intervalo [0.5, 1].
(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimalesexactos.
(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.
(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica elresultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenidoen el apartado anterior.
(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.
En primer lugar, obsevamos que
x = e−x ⇐⇒ x = x+ e−x
2
pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a amboslados y despejando x.
g(x) =x+ cos(x)
2
(a) Veamos que la función
g(x) =x+ e−x
2
cumple las condiciones del teorema de punto fijo.
• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, porlo tanto, es de clase C1[0, 0.5].
• (Condición 2) Sean
m = minx∈[0,1]
g(x), M = maxx∈[0,1]
g(x)
calculamos
g0(x) =1− e−x2
estudiamos si g0(x) se anula
g0(x) = 0⇐⇒ 1− e−x = 0⇐⇒ e−x = 1⇐⇒ x = 0
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 18
Vemos que la derivada tiene un único cero que está fuera del intervalo[0.5, 1], por lo tanto, g0 es de signo constante en el intervalo. Como
g0(1) =1− e−12
= 0. 31606
se cumple g0(x) > 0, en todo [0.5, 1], en consecuencia g % en [0, 1] y
m = minx∈[0,1]
g(x) = g(0.5) = 0. 55326 5, M = maxx∈[0,1]
g(x) = g(1) = 0. 68394
por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en
[0. 55326 5, 0. 68394] ⊂ [0.5, 1].
• (Condición 3) Hemos de calcular
M1 = maxx∈[0,1]
¯̄g0(x)
¯̄la función objetivo es
h(x) =
¯̄̄̄1− e−x2
¯̄̄̄g0(x) positiva en [0.5,1]
=⇒ h(x) = 1− e−x
2
Calculamos
h0(x) =e−x
2
como h0(x) > 0 en [0.5, 1], resulta h(x)%, por lo tanto
M1 = maxx∈[0,1]
¯̄g0(x)
¯̄= h(1) = 0. 31606
En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en elintervalo [0.5, 1] y que la iteración de punto fijo converge a él para todovalor inicial x0 ∈ (0.5, 1) .(b) El error cumple
|ej | = |α− xj | ≤ (0. 31606)j (0.5− 0) = (0. 31606)j (0.5)
exigimos(0. 31606)j (0.5) ≤ 0.5× 10−5
y resolvemos en j, resulta
j ≥ln¡10−5
¢ln (0. 31606)
= 9. 99539
necesitamos j = 10 iteraciones.
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 19
(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es
j xj0 0.751 0. 611183282 0. 576945803 0. 569278414 0. 567606035 0. 56724347
(d) Programa Maple. Es análogo al del problema anterior, ajustando ladefinición de la función g(x) y el número de iteraciones⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
> g:=x->(x+exp(-x))/2;x0:=0.75;n:=9;for i from 0 to n dox.(i+1):=evalf(g(x.i));od;
Obtenemosx10 = 0.56714334
La solución esᾱ = 0.56714
(e) Valor obtenido con fsolve
α = 0.5671432904 ¤
Ejercicio 15 Resuelve la ecuación
tan (0.1x) = 9.2 e−x
con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x− λf(x)
toma como intervalo inicial [3, 4].
Escribimos la ecuación en forma normal f(x) = 0, entonces
f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 20
Calculamosf(3) = −0. 14870 5, f(4) = 0. 25428 9
Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (3, 4). Esti-mamos el valor de f 0(α)
f 0(α) ' f(4)− f(3)2− 1 = 0. 40299 4
y calculamos λ
λ =1
f 0(α)' 10. 40299 4
= 2. 48143
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,½x0 = 3.5xj+1 = xj − 2. 48143 (tan(0.1xj)− 9.2e−xj )
Obtenemosj xj0 3. 51 3. 28358 812 3. 29412 903 3. 29277 454 3. 29294 345 3. 29292 236 3. 29292 497 3. 29292 468 3. 29292 46
Podemos tomarα = 3.292925 ¤
Ejercicio 16 Resuelve la ecuación
x = cos(x)
con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x− λf(x)
toma como intervalo inicial [0, 1].
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 21
Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con
f(x) = x− cos(x)
Calculamosf(0) = −1, f(1) = 0. 45970
Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (0, 1). Esti-mamos el valor de f 0(α)
f 0(α) ' f(1)− f(0)1− 0 = 1. 45970
y calculamos λ
λ =1
f 0(α)' 11. 45970
= 0. 6851
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,½x0 = 0.5xj+1 = xj − 0.6851 (xj − cos (xj))
Obtenemosj xj0 0.51 0. 758681812 0. 736115783 0. 739518184 0. 739021605 0. 739094446 0. 739083777 0. 73908 5338 0. 73908 510 |ē7| = 0.23× 10−6
Podemos tomarα = 0.739085 ¤
Ejercicio 17 Calcula√55 con 6 decimales exactos usando una formulación
de punto fijo del tipox = x− λf(x)
determina un intervalo inicial adecuado.
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 22
Formulamosx =√55⇐⇒ x2 = 55
Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con
f(x) = x2 − 55
Calculamos
f(7) = −6f(8) = 9
¾T. Bolzano=⇒ solución α ∈ (7, 8)
Estimamos
f 0(α) ' f(8)− f(7)8− 7 = 15
y calculamos λ
λ =1
f 0(α)' 115= 0.066667
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,(x0 = 7.5
xj+1 = xj − 0.066667³x2j − 55
´Obtenemos
j xj0 7.51 7. 41666 62502 7. 41620 36973 7. 41619 85454 7. 41619 8488 |ē4| = 0.57× 10−7
Podemos tomarα = 7.416198 ¤
Ejercicio 18 El coeficiente de fricción f para el flujo turbulento en un tuboestá dado por3
1√f= 1.14− 2.0 log10
µe
D+
9.35
Re√f
¶donde Re es el número de Reynolds, e es la rugosidad de la superficie deltubo y D es el diámetro del tubo. Determina el valor de f para los datos
(a) D = 0.1m, e = 0.0025, Re = 3× 104
(b) D = 0.1m, e = 0.0001, Re = 3× 106
3Correlación de Colebrook
-
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 23
Indicación: El orden de magnitud de f es 10−2; además es mejor reescribirla ecuación en la forma
f =
∙1.14− 2.0 log10
µe
D+
9.35
Re√f
¶¸−2
Ver resolución con Maple.(a) f = 0.054114(b) f = 0.019721
top related