estudio de la hiperbola

Estudio de la hiperbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la hipérbola

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario

Es la mediatriz del segmento .

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices

Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

Distancia focal

Es el segmento de longitud 2c.

Eje mayor

Es el segmento de longitud 2a.

Eje menor

Es el segmento de longitud 2b.

Ejes de simetría

Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas

Son las rectas de ecuaciones:

Relación entre los semiejes

ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA:

   Teorema (Asíntotas de una hipérbola)

  Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las

asíntotas son

y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

Observación : las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo de

dimensiones y centro .Esto sugiere una forma simple de trazar tales asíntotas.

Si en la ecuación de la hipérbola b2x2 - a2y2 = a2b2 Despejamos y se obtiene:

Que puede escribirse del modo siguiente:

Una forma particularmente útil de la ecuación de la hipérbola equilátera es:

xy= k. Puesto que la ecuación de una hipérbola es:

x2/a2 - y2/b2 =1

La hipérbola conjugada tiene por ecuación:

y2/b2 - x2/a2 = 1

Las asíntotas de una hipérbola son dos. En una hipérbola equilátera las asíntotas son perpendiculares.

Se denominan hipérbolas conjugadas cuando ocurre que el eje transverso de una es igual al eje conjugado de la otra.

- PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA:

La ecuación de la tangente a la hipérbola b2x2 - a2y2 = a2b2 en cualquier punto P1 (x1y1) de la curva es b2x1x-a2y1y = a2b2.

Las ecuaciones de la tangente a la hipérbola b2x2- a2y2=a2b2 de pendiente m son:

|m| > b/a

c) La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

1.- SEGMENTO RECTILINEO DIRIGIDO: Es la porción de una línea comprendida entre dos de sus puntos, los dos puntos se llaman extremos del segmento.

2.- SISTEMA COORDENADO EN EL PLANO: Consta de dos rectas dirigidas x' x, y' y llamadas ejes de coordenadas perpendiculares entre sí.

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

3.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:

Las distancias entre dos puntos que tienen ordenadas (valores y) es igual al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas, por tanto la distancia entre dos puntos debe ser considerada positiva.

La distancia entre dos puntos que tienen abscisas (valores x) es igual al valor absoluto de la diferencia de las ordenadas.

4.- LINEA RECTA: Es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualquiera P1(x1,y1) P2 (x2,y2), de el lugar del valor de la pendiente “m”. Se calcula así: m=y2-y1 ó x2-x1 donde x2

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

   Teorema (ecuación canónica de la hipérbola)

La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es

con eje transversal horizontal. Y

con eje transversal vertical.

  Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de  

unidades del centro. Además  

Se llama ecuación reducida u ordinaria a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(−c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

Ecuación ordinaria

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

La tangente a la hipérbola y los espejos hiperbólicos.

En la hipérbola de abajo se ha trazado una recta tangente en el punto P. La tangente a la hipérbola en cualquier punto tiene la siguiente propiedad:  

La recta tangente en un punto P es bisectriz del ángulo que forman los radio vectores de ese punto.

Esta propiedad se utiliza en los espejos hiperbólicos. Los rayos emitidos desde un foco de un hipérbola se reflejan enla rama más alejada de dicho foco y salen de la

hipérbola como si fuesen emitidos por el otro foco.

APLICACIONES DE LA HIPERBOLA

La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Si se dirige un haz de luz en dirección de un foco, por ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco f'.Este principio se usa en los telescopios del tipo Cassegrain.

El sistema de navegación loran (acrónimo de long range navigation) usa las propiedades de la reflexión de la hipérbola

Sistema de navegación LORAN

La propiedad de la definición de la hipérbola "la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante", se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales. En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes.

bibliografia

http://tutormatematicas.com/ALG/Hiperbola_formulas_graficacion.html

http://www.vitutor.com/geo/coni/h_2.html

http://www.ite.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2006/curva_conicas/hiperbola.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0122-04/conicas/hiperbola.html

http://www.interactiva.matem.unam.mx/conicas/html/aplicac_hiperbola.html