espacios de dimensión infinita

Espacios de dimensión infinitaEspacios de dimensión infinita

• El espacio de Hilbert• Espacios de Funciones • Espacios L2

• Bases de espacios L2

• Bases ortogonales• Series de Fourier• Aproximación de Funciones• Polinomios de Legendre

Curso Propedéutico de Matemáticas DEPFIECurso Propedéutico de Matemáticas DEPFIEM. C. José Juan Rincón PasayeM. C. José Juan Rincón Pasaye

El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert

El espacio R contiene las sucesiones de números reales de la forma: [x1,x2,x3,...], por ejemplo:[0, 3, 6, 9, 12, 15,...] (sucesión aritmética)[1, ½, ¼, 1/8, ...] (Sucesión geométrica)[1, ½, 1/3, ¼, ...] (Sucesión armónica)[1, 1, 2, 3, 5, 8,...] (Sucesión de Fibonacci)[0, sen(1), sen(2), sen(3),....] Etc..

Este espacio es demasiado grande y con pocas propiedades interesantes, ya que la norma de sus vectores puede ser infinita.

Si nos restringimos a considerar solamente sucesiones de “longitud” finita o norma euclideana finita obtenemos un espacio Vectorial llamado Espacio de Hilbert o espacio l2.

Así, un vector [x1,x2,x3,...] está en el espacio de Hilbert si ||x||2=x1

2+x22+x3

2,+... Es un número finito.

Ejemplo: Averiguar si la sucesión geométrica de razón q: [q0,q1,q2,q3,...,] pertenece al espacio de Hilbert:Solución: Sea S = 1+q2+q4+q6+...+q2n

Es fácil ver que q2S = S-1+q2n+2, despejando S

Tomando el límite cuando n , la suma es finita si y sólo si |q|<1.

Tarea: Averiguar si la sucesión siguiente: [p,2p,3p,4p,...] pertenece al espacio de Hilbert. Para ello,

a) Sea S = p2+2p2+3p2+...+np2. Encontrar una expresión compacta para S.

b) Tomar el límite de S cuando n . c) Concluir para diferentes casos de p.

El espacio de Hilbert es de interés especial porque en él está bien definido el producto interno (no se hace infinito).

Así, para dos vectores arbitrarios x= [x1,x2,x3,...], y= [y1,y2,y3,...] en este espacio:

<x,y>= x1y1+x2y2+x3y3... <

De hecho, al igual que en todo espacio vectorial, se cumple la desigualdad de Schwartz-Cauchy:

|<x,y>| ||x|| ||y||

Y como x, y tienen norma finita, <x,y> será finito.

Ejemplo: ¿qué significa la desigualdad de Schwartz para vectores en R3?Solución. Sean dos vectores arbitrarios en R3, x=[x1,x2,x3], y= [y1,y2,y3], la desigualdad de Schwartz garantiza que:

|x1y1+x2y2+x3y3|2 (x12+x2

2+x32)(y1

2+y22+y3

Por ejemplo, sean x=[1 2 3], y= [4 5 6], la desigualdad da: 1024 (14)(77)=1078

Tarea:1) Usando la desigualdad de Schwartz en Rn,

demostrar que para cualesqiera n números x1,x2,...,xn, se cumple que:

|x1+x2+...+xn|2 n (x12+x2

2+...+xn2)

Dar un ejemplo en R3.2) Demostrar que la desigualdad de Schwartz se

convierte en igualdad cuando los vectores son Linealmente Dependientes en Rn. Dar un ejemplo en R3.

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Los vectores en el espacio R se pueden pensar como funciones evaluadas en valores discretos de una variable, por ejemplo, la sucesión geométrica

[1, 1/2, 1/4, 1/8,...] es la función f(x)=(1/2)x, valuada en x=0,1,2,3,...En forma similar, la sucesión aritmética

[2, 4, 6, 8, 10,...]Se expresa como la función f(x) =2x+2 valuada en x=0,1,2,3,...

¿y qué pasa si x toma valores continuos?

Si x toma valores continuos en el intervalo de números reales [a,b] los vectores se transforman en funciones de valor real en ese intervalo.

Sin embargo, este conjunto de funciones es demasiado extenso y sólo algunos subconjuntos son de interés, especialmente los de funciones de norma finita.

¿Pero y ... Como se define la norma de una función?

La manera natural de redefinir el producto interno para funciones, es transformando la sumatoria en una integral, así, para las funciones f, g definidas en el intervalo [a,b]:

De acuerdo a esto, la norma de la función f, será

aduugufgf )()(,

2/12 )(,

aduuffff

Ejemplo: Para las funciones f(x) = sen(x), g(x)=cos(x), definidas en el intervalo [0,2]

a) Producto interno: = 0, es decir, son funciones ortogonales.

b) Normas: =

= c) Normalización: las siguientes funciones son

ortonormales:

0)cos()sin(, duuugf

2 )(sin

2 )(cos

)cos()(ˆ),sin()(ˆ 11 xxgxxf

Ejemplo: a) ¿Cuál es el ángulo entre las funciones del

ejemplo anterior? , es decir, =90°

b) ¿cuál es la proyección ortogonal de la función h(x) = sin(x+) sobre sin(x)?

=cos() sin(x)Lo cual era de esperarse, ¿porqué?

0,cos gfgf

)sin()sin()sin(1, 2

0xduuuf

Tarea: a) ¿Cuál es el ángulo de la función

h(x)=cos(x+), respecto a f(x)=sin(x)?b) ¿Cuál es la proyección ortogonal de h sobre f?c) ¿y sobre g(x)=cos(x)?d) ¿Cuál es la norma de h(x)?

Espacios LEspacios L22

Las Normas lp definidas para vectores en R se transforman en las normas Lp que se definen para una función f(x) en el intervalo [a,b]como sigue

Así, las funciones de norma L2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L2.

p dxxff/1

Ejemplo: ¿Para que valores de r la siguiente función está en L2 considerando el intervalo [0,1]?

f(x) = xr

Solución: como

Entonces la función xr pertenece a L2 si y sólo sir > -1/2

rparardxxf r

La siguiente gráfica representa la función f(x)=xr para diferentes valores de r

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

r=-1/2

r=-1/5

Bases de Espacios LBases de Espacios L22

Si tuvieramos una base para un espacio de funciones podríamos expresar cualquier función como una Combinación Lineal (serie) de funciones de la base.

Algunas bases comúnmente utilizadas son:{1,x,x2,x3,...} Series de Taylor{1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...}Series de Fourier{1,senx+cosx,sen2x+cos2x,...}Series de Hartley

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

Dada una base {f1,f2,f3,...} de L2 es posible obtener la serie correspondiente de una función arbitraria f calculando los coeficientes c1,c2,... de dicha serie:

f= c1f1+c2f2+c3f3+...Esto en general es complicado, pero si la base es ortogonal el problema se vuelve simple.

De hecho, el planteamiento es válido para cualquier espacio vectorial. Y los coeficientes calculados no son más que las coordenadas del vector f en la base dada.

Sea por ejemplo {b1,b2,b3,...bn} una base de Rn, y sea x=[x1,x2,x3,...,xn] un vector arbitrario en Rn, entonces:

x= c1b1+c2b2+c3b3+...+cnbn

Si la base no es ortogonal, esto conduce a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Pero si la base es ortogonal, tomando el producto interno con b1 tenemos

<x,b1> = c1<b1,b1>+c2<b1,b2>+...+cn<b1,bn>De donde

En forma similar:

Y si la base es ortonormal: las expresiones se reducen a:

,,...,,,,

bxcbxcbxc ,,...,,,,2211

Ejemplo: En R2, sea la base a) Verificar que es una base ortonormalb) Encontrar las coordenadas del vector

arbitrario x=[x1,x2] en esta base.

Solución:a) En efecto, <b1,b1>=<b2,b2>=1 y <b1,b2>=0.

b) c1 = <x,b1> = (x1-x2)/2

c2 = <x,b2> = (x1+x2)/2

],[],,[ 21

Tarea:a) En R2, proponer una base ortonormal diferente

a la del ejemplo anterior y encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x1,x2] en dicha base.

b) Sea {b1,b2,...bn} una base no ortogonal de Rn, y sea x=[x1,x2,...,xn] un vector arbitrario en Rn, usar el producto interno para expresar la matriz A del sistema Ac=x, donde x es el vector arbitrario y c es el vector de las coordenadas c1,c2,...,cn de x la base dada

Series de FourierSeries de Fourier

Al igual que en cualquier espacio vectorial, en L2 las bases ortogonales facilitan el cálculo de las coordenadas de un vector arbitrario.Una base ortogonal en el intervalo [0,2] para L2 es la siguiente

{1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x),...}Ya que:

0)()()(),(

mnparamnpara

dxmxsennxsenmxsennxsen

0)cos()cos()cos(),cos(

mnparamnpara

dxmxnxmxnx

enterosmntodoparadxmxnxsenmxnxsen 2

,0)cos()()cos(),(

Así, una función arbitraria f(x) definida en el intervalo [0,2], se puede expresar en ese intervalo como Combinación Lineal (Serie de Fourier) de las funciones de la base anterior, como:

f(x)=a0+a1cos(x)+a2cos(2x)+a3cos(3x)+...+b1sen(x)+b2sen(2x)+b3sen(3x)+...

Donde los coeficientes a0,a1,a2,a3,...,b1,b2,b3,...Son las coordenadas de la función f(x) en la base dada y se calculan como ya se dijo, es decir:

Para k=0,1,2,3,4,...

La serie obtenida para f(x) será válida solamente en el intervalo [0,2] si f(x) está en L2.Si queremos generalizar la serie de Fourier para cualquier valor de x f(x) deberá cumplir las condiciones de Dirichlet

02 )cos()(1

)cos()cos(),( dxkxxf

kxkxxfak

02 )()(1

)()(),( dxkxsenxf

kxsenkxsenxfbk

Ejemplo: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente función:

xparaxpara

Solución: Calculamos los coeficientes ak:

en forma similar para los coeficientes bk:

Por lo cual, la serie de fourier queda:

0)cos(1)cos(1)cos()(1 dxkxdxkxdxkxxfak

4)(1)(1

parkpara

imparkparakdxkxsendxkxsenbk

1)(4)( xsenxsenxsenxsenxf

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Fourier Series In the same way a vector can be decomposed and represented in a basis of vectors, a function can be represented in a basis of functions.

Similarly to geometry or linear algebra, an appropriate basis can make the problem easier. For harmonic problems, which compose many, if not most, mathematical and physical problems the Fourier Series is an invaluable tool. In the following, we will consider only the 2π periodic functions.

First, let us consider the representation of the function in some orthonormal basis:

Orthonormality of the basis means that the scalar product of different basis functions equals 0, and of the function with itself equals 1:

nn xcxf

ijjiji dxxxxx

)()()(),(

Fourier Series How to find cn in (1) ? Let us multiply (1) by φn(x):

Here we used the orthonormality of the basis {φn(x)}. If the basis functions are

,then the series

With an and bn generated by (3) is called a Fourier series, generated by f.

}sin,{cos nxnx

)(),()(),(n n

iinninni ccxxcxxf

0 )sincos()(~n

nn nxbnxaaxf

La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier

Vamos a obtener una base ortogonal en el espacio vectorial de Hilbertde las funciones de cuadrado sumable en el intervalo (a,b) a partir de lassiguientes funciones:

gl(x) sen(klx) ; l1,2,3,fl (x)cos(klx ) ; l 0,1, 2,3,

donde el índice l toma valores enteros y k debe ser determinado paraque se cumpla la ortogonalidad de las funciones:

(gl(x), f j(x)) 0

(gl(x), gj (x)) lj gl (x)2

( fl (x), f j(x)) lj fl (x) 2

(gl(x), f j(x)) 0

sen(klx )cos(kjx)a

sen[k(l j)x]sen[k(l j]x) a

cos[k(l j)x]k(l j)

cos[k(l j)x]

k(l j)

(gl(x), f j(x)) 0

sen(klx )cos(kjx)a

sen[k(l j)x]sen[k(l j )x a

cos[k(l j)x]k(l j)

cos[k(l j)x]

k(l j)

cos[k(l j)b] cos[k(l j)a]k(l j)

cos[k(l j )b] cos[k(l j)a]

k(l j)

(gl(x), fl (x))0

sen(klx )cos(klx)a

sen(2klx)2a

cos(2klx )2kl

cos(2klb) cos(2kla)

(gl(x), gj (x)) 0 ; l j

sen(klx )sen(kjx )a

cos[k(l j)x] cos[k(l j)x a

sen[k(l j)x]k(l j )

sen[k(l j)x]

k(l j)

sen[k( l j)b] sen[k(l j)a]k( l j)

sen[k(l j)b] sen[k(l j)a]

k(l j)

( fl (x), f j(x)) 0 ; l j

cos(klx)cos(kjx) a

cos[k(l j)x] cos[k(l j)x a

sen[k(l j)x]k(l j)

sen[k(l j)x]

k(l j)

sen[k( l j)b] sen[k(l j)a]k( l j )

k(l j)

Para que se cumplan las anteriores relaciones de ortogonalidad:

cos[k(l j)b] cos[k(l j)a]k(l j)

cos[k(l j )b] cos[k(l j)a]

k(l j)

cos(2klb) cos(2kla)

sen[k( l j)b] sen[k(l j)a]k( l j)

k(l j)

sen[k( l j)b] sen[k(l j)a]k( l j )

k(l j)

la condición que debe verificarse es:

kb ka 2n ; n

Luego la siguiente familia de funciones constituye una base ortogonal:

gl(x) sen(2

b alx) ; l 1, 2,3,

fl (x)cos(2

b alx ) ; l 0,1,2,3,

y las respectivas normas son:

(gl(x), gl(x)) sen(klx )sen(klx)a

dx sen2(klx)a

(gl(x), gl(x)) 1 cos(2klx )

sen(2klx )4kl

( fl (x), fl(x)) cos(klx) cos(klx )a

dx cos 2(klx)a

( fl (x), fl(x)) 1 cos(2klx )

sen(2klx )4kl

( f0(x), f0 (x)) a

dx b a L

gl(x) sen(2L

lx ) ; l 1,2,3,

fl (x)cos(2L

lx) ; l0,1,2,3,

(gl(x), f j(x)) 0

(gl(x), gj (x)) ljL2

( fl (x), f j(x)) L2

(1 l 0 ) lj

Por tanto, una función, f(x), de cuadrado integrable en el intervalo (a,b)se puede descomponer en esta base ortogonal. A ese desarrollo se le dael nombre de “serie de Fourier” de la función f(x):

f (x) l fl(x)l0

lgl(x)l1

f (x) 0 l cos(2L

l sen(2L

Dentro del intervalo (a,b) la función f(x) es idéntica a su desarrollo en serie de Fourier. Sin embargo, fuera del intervalo (a,b), el desarrollo en serie cumple una propiedad de periodicidad (que no tendría por qué tener la f(x) fuera de (a,b)), porque las funciones de labase ortogonal son periódicas.

gl(x) sen(2L

lx ) ; l 1,2,3,

fl (x)cos(2L

lx) ; l0,1,2,3,

gl(x nL) gl(x) ; nfl (x nL) fl(x) ; n

sen 2L

(x nL)

Lx); n

(x nL)

La base {exp(iklx)}:

Teniendo en cuenta la fórmula de Euler:ixe cos(x) i sen(x)

se ve que los elementos de la base ortogonal de senos y cosenos sepueden escribir en función de exponenciales complejas:

cos(klx) 12

iklxe iklxe sen(klx )

iklxe iklxe

Además puede comprobarse que estas exponenciales complejascumplen la condición de ortogonalidad:

iklxe , ikjxe 0 ; l j

Luego, efectivamente:

b a iklxe , ikjxe 0 ; l j

iklxe , ikjxe [ iklxe ]*

ikjxe dx

iklxe , ikjxe iklxea

ikjxe dx ik( l j)xea

dx ik( l j )xe

ik(l j)

Además el producto de una exponencial compleja por sí misma; esdecir, la norma al cuadrado de una exponencial compleja es:

iklxe , ikjxe Llj ; k 2L

Luego el conjunto de las exponenciales complejas {exp(iknx)} conk=2/(b-a) y n un número entero es una base ortogonal del espacio deHilbert de las funciones de cuadrado sumable en el intervalo (a,b) :

iklxe , iklxe [ iklxe ]*

iklxe dx

iklxe , iklxe iklxea

iklxe dx a

dx b a L

Por tanto, una función, f(x), de cuadrado integrable en el intervalo (a,b)se puede descomponer en esta base ortogonal:

f (x) all

Hay que tener en cuenta que, ahora, los escalares del desarrollo, es decir,los al serán, en general, números complejos.

Dentro del intervalo (a,b) la función f(x) será idéntica a su desarrollo en función de las exponenciales. Sin embargo, fuera del intervalo (a,b), el desarrollo cumple una propiedad de periodicidad porque las funciones dela base ortogonal son periódicas, (periodicidad que no tendría por qué tener la f(x) fuera de (a,b))

Si queremos calcular los al del desarrollo de una función , f(x), haciendouso de la ortogonalidad tendremos lo siguiente:

f (x) all

( ikjxe , f (x)) ( ikjxe , all

iklxe ) all

( ikjxe , iklxe )

( ikjxe , f (x)) all

ljL a jL

a j 1L

( ikjxe , f (x))

Si la función f(x) es una función real, se cumplirá lo siguiente:

( f (x), ikjxe ) f (x)* ikjxe dxa

f (x) ikjxe dxa

( ikjxe , f (x)) ikjx[e ]* f (x)dx

ikjxe f (x)dxa

a j 1L

( ikjxe , f (x))

a j 1L

ikjxe f (x)dxa

ik ( j )x[e ]* f (x)dx

( ikjxe , f (x))

Por tanto, si la función f(x) es una función real, tenemos:

( f (x), ikjxe ) ( ikjxe , f (x))

Pero, para cualquier función:

( f (x), ikjxe ) ( ikjxe , f (x)) *

aj L *

Por tanto, si la función f(x) es una función real, se cumple que:

a j* a j

Vamos a utilizar lo anterior para ver cómo podemos, para el caso de una función real, encontrar la relación entre los coeficientes de la baseortogonal de las exponenciales complejas y los coeficientes de la seriede Fourier , es decir, de la base ortogonal de senos y cosenos:

f (x) all

iklxe a0 (a l iklxe al

iklxe )l1

Si la función f(x) es una función real: a l al*

f (x) a0 [al* iklxe * al

iklxe ]l1

f (x) a0 2 Re[aliklxe ]

Si escribimos los al del siguiente modo:

al alile

f (x) a0 2 Re[aliklxe ]

a0 2Re[ ali(klx l )e ]

f (x) a0 2 all1

cos(klx l )

f (x) a0 2 all1

[cos(klx)cos(l ) sen(klx )sen( l)]

f (x) 0 [ ll1

cos(klx ) l sen(klx )]

que es equiparable a la serie de Fourier de la función real, f(x):

donde:0 a0

l 2 al cos( l)

l 2 al sen(l )

o, equivalentemente:

al 12l

2 l2 i arctg

Aproximación de FuncionesAproximación de Funciones

En ocasiones se busca expresar una función f(x) en términos de otra función, o funciones más sencillas, esto es especialmente útil para simplificar cálculos o modelar comportamientos en forma aproximada.

En este caso es posible simplemente truncar una serie a partir de algún término, o bien, obtener la aproximación mediante proyección ortogonal.

Sea una función f que se desea aproximar como la C. L. finita siguiente:

f =c1g1+c2g2+...+cngn

Donde g1,g2,...,gn son n funciones arbitrarias, mediante las cuales se desea expresar f.Tomando el producto interno con cada función g, obtenemos:

<f,g1> = c1<g1,g1>+c2<g2,g1>+...+cn<gn,g1><f,g2> = c1<g1,g2>+c2<g2,g2>+...+cn<gn,g2>

. . .<f,gn> = c1<g1,gn>+c2<g2,gn>+...+cn<gn,gn>

Lo cual puede ser expresado en forma matricial como:

nnnnnn

gggggg

gggggggggggg

,...,,

...,...,,............,...,,,...,,

Ejemplo: ¿cómo aproximar la función f(x) = x mediante una recta que pasa por el origen en el intervalo [0,1]?Solución: sea g(x)=x, buscamos la aproximación f(x)=cg(x), donde c=<f,g>/<g,g>, es decir:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

f(x)=x1/2

f(x)=(6/5)x

Ejemplo: ¿cómo aproximar la función f(x) = x mediante una recta que no pasa por el origen en el intervalo [0,1]?Solución: sea g1(x)=1, g2(x)=x, buscamos la aproximación f(x)=c1g1(x)+c2g2(x), resolvemos el sistema de ecuaciones:

Es decir,

De donde c1=4/15 c2=4/5

gggggggg

5/23/2

3/12/12/11

Con lo cual, la recta obtenida es f(x)=0.26666 +0.8x

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

x1/2 0.2666+0.8x

Tarea: Obtener el polinomio de grado 2 que aproxima a f(x)= x en el intervalo [0,1] y dibujar las dos gráficas juntas

Polinomios de LegendrePolinomios de Legendre

Si continuamos incrementando el grado del polinomio deseado (hasta n-1), llegaríamos a plantear un sistema cuya matriz es la siguiente:

La cual para n regularmente grande es una matriz mal condicionada.

)12/(1)1/(1/1...

)1/(13/12/1/12/11

Por ello, los polinomios {1, x, x2, x3,...,xn} no resultan muy prácticos para aproximar funciones, de hecho, no son ortogonales en el intervalo [0,1]

Existe una gran variedad de familias de polinomios ortogonales en algún intervalo dado. Por ejemplo, los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1,1]

Otras familias de polinomios ortogonales son los polinomios de Chevichev, Laguerre, Bessel, etc.

Los siguientes son los primeros 6 polinomios de Legendre

n Pn(x)

0 11 x2 ½(3x2-1)3 ½(5x3-3x)4 1/8(35x4-30x2+3)

5 1/8(63x5-70x3+15)

Tarea: Verificar la ortogonalidad de los primeros cuatro polinomios de Legendre. Verificar también si son ortonormales.

n Pn(x)

0 11 x2 ½(3x2-1)3 ½(5x3-3x)

Ejemplo: Expresar la función h(x)=cos(x) mediante un polinomio de grado 2, usando los polinomios de Legendre.Solución: obtendremos los coeficientes de la aproximación cos(x)c0P0(x)+c1P1(x)+C2P2(x):

2)cos(21,

11 0)cos(

23, dxxx

20)cos()13(45,

Con lo cual, la aproximación obtenida escos(x) f(x) = 2/+ 10/P2(x)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

cos(pi/2x)

Tarea:Hallar una aproximación para la función h(x)=sen(x) en el intervalo [-1,1], usando un polinomio de grado 2, usando polinomios de Legendre.

Graficar juntas la función h(x) y el polinomio obtenido.

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