equilibrio de particuladfequlibrio2d-090820093033-phpapp02

7/23/2019 Equilibrio de particuladfequlibrio2d-090820093033-phpapp02

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UNIVERSIDADNACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN

Recinto UNI Norte - Sede Regional Estelí

Ing. Sergio Navarro Hudiel

Agosto 2009

CONDICIONES DE EQUILIBRIO BASADO EN LA PRIMERA LEYDE NEWTON

“Un cuerpo se encuentra en equilibriotraslacional si y solo si la suma vectorial delas fuerzas que actúan sobre el es igual acero” .

“Todos los cuerpos tienden a permanecer en el estadode movimiento que tienen a menos que una causaexterna (fuerza) altere dicha condición”

ΣFx = 0 y ΣFy = 0

Cuando dos o más fuerzas actúan sobre una partícula en tresdimensiones , las componentes rectangulares de su resultante R se obtienen al sumar las componentes correspondientes de lasfuerzas dadas.

La partícula está en equilibrio cuando la resultante de todas

las fuerzas que actúan sobre ella es cero.

Rx = F x R

y Rz = F z

F x = 0 F y = 0 F z = 0

En dos dimensiones , sólo se necesitan dos de estas ecuaciones:

Para resolver un problema que comprende una partícula enequilibrio, dibuje un diagrama de cuerpo libre en el que se

muestren todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Lascondiciones que se deben satisfacer para que la partícula estéen equilibrio son:

F x = 0 F y = 0

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

a) Hacer un dibujo que represente claramente elproblema que se desea resolver

b) Construye un diagrama de cuerpo libre

sustituyendo por medio de fuerzas todo aquelefecto que recibe el cuerpo, provocado por sucontacto con otros cuerpos o por la fuerzagravitacional y que originan que se encuentren enequilibrio. Indique la magnitud, dirección ysentido de las fuerzas conocidas. Use símbolospara señalar las cantidades que se desconocen.

c) Haga un sistema de referencia utilizando ejesrectangulares y coloque al cuerpo en equilibrioen el origen del sistema de coordenadas.

d) Aplique las ecuaciones de equilibrio quenecesite para encontrar las respuestas a las

incógnitas buscadas.

En estos problemas, se hace uso de igual forma de lasfunciones trigonométricas.

Mediante una serie de despejes y sustitución devalores en las ecuaciones que se obtengan, se hallanlos valores de las fuerzas o vectores. Los signos de lasX y las Y en los cuadrantes, de igual forma se debende tener en cuenta, para obtener los resultadoscorrectos.

Problema

8.5 ft

12 ft 7.5 ft

396 lb

Dos cables están atados entre sí en C y cargados como se

muestra. Determine la tensióna) en el cable AC , b) en el cable BC .

8.5 ft

12 ft 7.5 ft

C 396 lb

1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la partícula . En estediagrama se muestra la partícula y todas las fuerzas queactúan sobre ella.

2. Iguale a cero la resultante, o suma, de las fuerzas ejercidas sobre la partícula. Obtendrá una ecuación vectorial que constade términos con los vectores unitarios i, j y k . Hay tres ecua-

ciones escalares, que pueden resolverse para las incógnitas.

396 lb

T BC = 0 F x = 0 : 1212.5

T AC 7.58.5+

T BC = 1.088 T AC

F y = 0 : T AC 48.5+

3.512.5 T BC 396 lb = 0

Dibuje un diagrama de cuerpolibre de la partícula .

Iguale a cero la resultante, o suma, de las fuerzas ejercidas sobre la partícula .

396 lb

a) Sustituya T BC por su expresión:

T AC 48.5+

3.512.5 (1.088 T AC ) _ 396 lb = 0

(0.280 + 0.512) T AC _ 396 lb = 0

b) T BC = 1.088 (500 lb)

T AC = 500 lb

T BC = 544 lb

El motor está suspendido por un sistema de cables. La masadel motor es de 200 kg. ¿Qué valores tienen las tensiones enlos cables AB y AC?

Una pelota de 100 N suspendida de un cordel estirada hacia un lado por otro cordel B y mantenidade tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30°con la pared vertical. Encuéntrese las tensiones enlos cordeles A y B de acuerdo a la siguiente figura.

Resolviendo:F θ comp. X comp. YA 60 - A cos 60 A sen 60B 0 B 0W 0 0 -100 N

Σ Fx =- A cos60 + B = 0Σ Fy = A sen 60 -100 N = 0

Pasando - A cos60 del otro lado de la igualdad condiferente signo:Σ Fx = B = A cos60 Σ Fx = B = A (0.5).Como desconocemos A y B, esta última expresión

queda como la ecuación 1.

Pasamos del otro lado de la igualdad el peso de 100 N, condiferente signo:

Σ Fy = A sen 60 = 100 N.Σ Fy = A (0.8660) = 100 N.

De esta última expresión podemos despejar A, pasando elvalor de 0.8660, dividiendo al peso de 100 N:

A = 100 N = 115.47 Newton.0.8660

Ahora regresamos a la ecuación 1:B = A (0.5).

Y sustituimos el valor de A para hallar B tenemos:

B = 115.47 N x 0.5 = 57.73 Newton.

Entonces los valores serán:

A = 115.47 Newton. Y B = 57.73 Newton.

Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas F A y F B sobre elgancho. La magnitud de F A es de 100 lb, la tensión en el cable B seha ajustado para que la fuerza F A + F B sea perpendicular a la pared a

la que está unido el gancho.¿Cuál es la magnitud de F B?¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cablessobre el gancho?

F A + FB = RRx = F Ax + FBxRy = F Ay + FBy

Como la fuerza resultante debe ser perpendicular a la pared, entoncesdebe asumirse que Ry = 0F

Ax = 100 lb * Cos50 °

F Ax = 64,278 lbF Ay = 100 lb * Sen50 °F Ay = 76,604 lb

Ry = 0Ry = F Ay + FBy76,604 lb + F B * Sen70 ° = 0FB = 81,52 lbFBx = 81,52 lb * Cos70 °FBx = 27,881 lb

Por lo tanto:R = RxR = F Ax + FBxR = 64,278 lb + 27,881 lb

R = 92,159 lb

Dos cuerdas T1 y T2, sostienen un objeto cuyo peso

es de 500 N, como se ve en la figura siguiente,elaborar el diagrama de cuerpo libre y hallar lastensiones de las cuerdasT1 yT2.

Cuadro de fuerzasF

θComp. X Comp. Y

T1 40 T1 cos 40 T1 sen 40T2 0 -T2 0W 0 -500 N

ΣFx =T1 cos 40 -T2 =0 Σ Fy= T1 sen 40 -500 N = 0.

Pasamos T2 del otro lado de la igualdad con signo positivo:Σ Fx = T1 cos40 = T2. Σ Fx = T1(0.7660) = T2. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión queda provisionalmente comola ecuación 1. De laΣ Fy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad, con signo positivo:Σ Fy= T1sen 40 = 500 N. Ahora sacamos el seno de 40 :Σ Fy= T1 (0.6427) = 500 N. Despejando el valorde T1, tenemos: T1 = 500 N = 778 N

0.6427Ahora regresamos a la ecuación a la ecuación 1, T1 (0.7660) = T2.y sustituimos el valor de T1, para hallar T2, tenemos:T2 = 778 N x 0.7660 = 596 NLas tensiones son entonces: T1 =778 NY T2 = 596 N

Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está suspendido de unaarmadura como se ve en la figura. Determinar el valor de latensión de la cuerda y el empuje de la barra.

F θ comp. X comp. YT 35 -T cos 35 T sen 35E 0 E 0W 0 0 -500 N

Σ Fx = -T cos 35 + E = 0Σ Fy =T sen 35 - 500 N = 0

De la Σ Fx, pasamos -T cos 35 , del otro lado de la igualdadcon signo positivo:

ΣFx = E = T cos 35 .Ahora sacamos el coseno de 35 . E = T (0.8191).Como desconocemos E y T, esta última expresión quedaprovisionalmente como la ecuación 1.

Ahora de la Σ Fy, pasamos el peso del otro lado de laigualdad con signo positivo:

Σ Fy = T sen 35 = 500 N.Ahora sacamos el seno de 35 .

T (0.5735) = 500 N.Despejando T, tenemos:T = 500 N = 871. 68 Newton

0.5735

Ahora regresamos a la ecuación 1 para hallar elvalor del Empuje E, y sustituyendo el valor de T,tenemos:

E = 871.68 N x 0.8191 = 714.08 Newton .Entonces los resultados son:

T = 871. 68 Newtons. Y E = 714.08 Newtons.

Como el cuerpo está en equilibrio:Σ Fx = 0 = E + (-Tx)Σ Fy = 0 = Ty + (-P)

Sustitución

Σ Fx = E – T cos 35°= 0E = T cos 35°.

Σ Fy = T sen 35°- P = 0T sen 35° = P

T = P___ = 500 N = 871.68 Nsen 35° 0.5736

Sustituyendo el valor de la tensión para encontrar el del empujetenemos:

E = T cos 35° = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N.

Encontrar las tensiones de las cuerdas T1 y T2 de la figurasiguiente que soportan un peso de 300 N

F θ comp. X comp. YT1 56 T1cos 56 T1 sen56T2 34 -T2 cos 34 T2 sen34W 0 0 -300 N

Σ Fx = T1cos 56 -T2 cos 34 = 0.Σ Fy =T1sen 56 + T2 sen 34 -300 N = 0.

De la Σ Fx, pasamos T2 cos 34 , del otro lado de la igualdad con signopositivo:

Σ Fx = T1cos 56 = T2 cos 34 . Ahora sacamos los cosenos de losángulos:

Σ Fx = T1 x 0.5591 = T2 x 0.8290. Ahora despejamos T1, paraexpresarlo en relación a T2 en una sola cantidad:

T1 = 0.8290T2

0.5591

T1 = 1.4827 T2.

Ecuación 1 . Como desconocemos T1 y T2, esta última expresiónqueda provisionalmente como la ecuación 1.

Seguimos con la sumatoria de fuerzas Y. Primero pasamos el pesodel otro lado de la igualdad con signo positivo: Σ Fy =T1 sen 56 +T2 sen 34 = 300 N.Ahora sacamos los senos de los ángulos:Σ Fy = T1 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N.

Ahora, sustituimos el valor de T1, obtenida en la ecuación 1:

Σ Fy = 1.4827 T2 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N.

Se realizan las multiplicaciones:Σ Fy = T2 (1.2291) + T2 (0.5591) = 300 N.

Dado que las dos cantidades tienen como factor común a T2,entonces se pueden sumar:Σ Fy = T2 (1.7882) = 300 N. Ahora despejamos a T2: T2 = 300 N= 167.76 newtons .

1.7882Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el valor de T1: T1= 1.4827 x 167.76 N = 248.73 newtons .Entonces los valores de T1 = 167.76 N y T2 = 248.73 N.

Un tanque de acero debe colocarse en la fosa mostrada

en la figura de abajo. Sabiendo que α

= 20 ,determínese la magnitud de la fuerza P requerida si laresultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe deser vertical.

Diagrama de cuerpo libre.

α = 20°

P = ?425 lb

F θ comp X comp. YP 20 P cos 20 P sen 20425 lb 30 - 425 cos 30 425 sen 30

Σ Fx = P cos 20 - 425 cos 30 = 0.Σ Fy = P sen 20 + 425 sen 30 = 0.Σ Fx = P cos 20 = 425 cos 30 .Σ Fx = P (0.9396) = 425 (0.8660).Σ Fx = P (0.9396) = 368 lb.

Despejando P tenemos: P = 368 lb = 391.7 lb.0.9396

Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como semuestra en la figura Determínese la tensión en el cableAC

F θ comp. X comp. YTAC 50 TAC cos 50 TAC sen 50TBC 30

-TBC cos 30 TBC sen 30W 0 0 - 500 N

Σ Fx = TAC cos 50 -TBC cos 30 = 0.Σ Fx = TAC cos 50 = TBC cos 30 .Σ Fx = TAC (0.6427) = TBC (0.8660).

Despejando T AC tenemos:

TAC = TBC 0.8660. = TAC = TBC1.3474 ec. 1.0.6427

Σ Fy = TAC sen 50 + T BC sen 30 - 500 N = 0.

Pasando el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo:Σ Fy = TAC sen 50 + T BC sen 30 = 500 N.

Sacando los senos de los ángulos:Σ Fy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N

Sustituyendo el valor de T AC de la ecuación 1, tenemos:Σ Fy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 NΣ Fy = TBC (1.3474) (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N.

Efectuando la multiplicación:

ΣFy = T BC (1.0321) + T BC (0.5) = 500 N.

Como T BC es un factor común a ambas cantidades, estas sepueden sumar:

Σ Fy = T BC ( 1.5321) = 500 N.

Despejando el valor de T BC tenemos:

T BC = 500 N = 326.34 Newtons.1.5321

Para encontrar el valor de T AC regresamos a la cuación 1:TAC = T BC 1.3474

TAC = 326.34 N x 1.3474 = 439.7 Newtons

T 1 T 2

Se desea colgar del techo un cuerpo de 2kg de masa mediante dos cuerdas igualde largas y que forman entre sí un ángulode 60 º. Calcula la tensión que soportacada cuerda.

Si el cuerpo está en equilibrio:F = T1 + T2 + P = 0Descomponiendo en componentes cartesianas:P = – m ·g · j (Va hacia abajo)

T1 = T 1x · i +T 1y · jT2 = T 2x · i +T 2y · jSi F = 0 Fx = 0 ; Fy = 0

T 1x T 2x

T 1y T 2y

60º60º

T 1 T 2

Las componentes cartesianas seobtienen a partir de T y del ángulo :T1x = T1 · cos 120º = – T1/2 – T1y = T1 · sen 120º = 3/2 T 1T2x = T2 · cos 60º = T 2/2

– T2y = T2 · sen 60º = 3/2 T 2

Fx = T1x + T2x = – T1/2 + T 2/2 = 0 T 1 = T2 –

Fy = T1y + T2y + P = 3 T1 – 19,6 N = 0

T 1 = T 2 = 11,3 N

T 1x T 2x

T 1y T 2y

60º60º

Los cables AB y AC ayudan a soportar el techo en voladizo. Lasmagnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son |F AB | = 100kN y |F AC | = 60 kN. Determine la magnitud de la fuerza resultante.

R = Rx + RyRx = F ABx + F ACRy = F AByF ABx = 100lb * Cos30 ° F ABy = 100lb * Sen30 °F ABx = 86,602 lb F ABy = 50 lbRx = 86,602 lb + 60lb Ry = 50 lbRx = 146, 602 lb

R2 = Rx 2 + Ry 2

R2 = (146, 602 lb) 2 + (50lb) 2

R = 54 893 lb

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