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Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA Proceedings – Vol. 4, año 2011
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7.03 ANÁLISIS DE LA EFICIENCIA ECONÓMICA EN LAS ESCUELAS RURALES DEL
PAÍS MEDIANTE ÍNDICES DE MALMQUIST.
AUTORES:
JUAN CARLOS MIRANDA CASTILLO
jmiranda@uach.cl
LUIS OJEDA SILVA
lojeda@uach.cl
GASTÍN VERGARA DÍAZ
gastonvergara@uach.cl
Universidad Austral de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Instituto de Estadística
Casilla Nº 567 – Valdivia - Chile
Teléfono: 56-63-221202
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RESUMEN
El objetivo de esta investigación fue analizar la eficiencia económica de un conjunto de
escuelas rurales ubicadas en diferentes Regiones de Chile: la técnica utilizada consistió en la
aplicación de modelos del análisis envolvente de datos (DEA), con aplicación de los Índices de
Malmquist y su descomposición, considerando la prueba SIMCE como variables relevante sobre
los indicadores.
Palabras Claves: Análisis envolvente de datos (DEA), Índice de Malmquist, eficiencia, Escuela
Rural, SIMCE
ABSTRACT
The objective of this research was to analyze the economic efficiency of a set of rural
schools located in different regions of Chile: the technique used was the application of models
of data envelopment analysis (DEA), with application of Malmquist Index and their
decomposition, considering the relevant variables SIMCE on indicators.
Key Words: Data envelopment analysis (DEA), Malmquist Index, efficiency, Rural School, SIMCE
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1. Introducción
La política educacional del Estado de Chile se ha constituido en un tema de País, por su
rol como herramienta insustituible para promover tanto el desarrollo social como el
económico, así como la competitividad de los países en un mundo cada vez más globalizado, lo
que obliga a medir con mayor precisión los recursos que se asignan y las contribuciones que
por esa vía se alcanzan (Donoso et al, 1999). Se busca de esta forma mejorar la calidad de la
educación, lograr equidad y proponer la participación de todos los jóvenes en el proceso
educativo (Araya y Miranda, 2002).
Una distinción urbano-rural tiene una proyección referida a los logros de aprendizajes
registrados por el sistema nacional de medición del rendimiento escolar. Las escuelas rurales
muestran niveles de logro inferior a las urbanas. Los puntajes más bajos se observan en
pequeñas escuelas multigrado, caracterizadas por el aislamiento geográfico y su instalación en
comunidades rurales de difícil acceso y contextos culturales de carácter tradicional.
Estas escuelas, tradicionalmente excluidas de iniciativas pedagógicas, representan unos
de los sectores más críticos respecto de la calidad de las prácticas pedagógicas y sus resultados,
así, como de mayor inequidad en el sistema educacional chileno subvencionado por el Estado
(Miranda, y Araya 2003).
En lo que respecta a la prueba SIMCE (Sistema de Medición de Calidad de la
Educación), este es un Sistema Nacional de Evaluación de resultados de aprendizaje del
Ministerio de Educación de Chile. El SIMCE es un estimador parcial de la calidad educacional de
un establecimiento ya que provee antecedentes acerca del grado de incidencia de algunos
factores sobre los estimadores de calidad de la educación. Por lo que resulta de interés
conocer cómo estas escuelas mejoran sus posibilidades de obtener buenos resultados en ella.
Su propósito principal es contribuir al mejoramiento de la calidad y equidad de la educación,
informando sobre el desempeño de los estudiantes en diferentes subsectores del currículum
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nacional, y relacionándolos con el contexto escolar y social en el que ellos aprenden. El
Ministerio de Educación es el responsable de su diseño, aplicación y procesamiento de la
información, entregando orientaciones de apoyo a los establecimientos educacionales. A partir
del año 1988, alternadamente, se aplica el SIMCE a los 4º y 8º años básicos de todo el país que
tienen ocho alumnos o más en el curso. (SIMCE, 2010)
Hasta el año 2005, la aplicación de las pruebas se alternó entre 4º Básico, 8° Básico y 2°
Medio. A partir del año 2006, se evalúa todos los años a 4° Básico y se alternan 8° Básico y 2°
Medio. Desde el año 2010 se incorpora la evaluación en 3° Medio del subsector Inglés. (SIMCE,
2010)
Una vez contextualizado el estudio señalamos que en esta investigación se aplicó el
modelo de Análisis Envolvente de Datos (DEA) y el Índice de Malmquist para la medición de la
productividad del sector educacional, específicamente en lo que respecta al programa
MECE/RURAL y utilizando como variable básica de interés, los resultados de la prueba SIMCE.
De lo anteriormente señalado, se puede señalar que la técnica DEA permitió medir e identificar
las unidades escolares más eficientes en la aplicación de una política pública.
A continuación se explica la metodología aplicada y los fundamentos teóricos de los
modelos que se utilizan. Luego, se presentan los resultados obtenidos y las conclusiones sobre
la aplicabilidad de estas herramientas para la medición de la productividad en el sector
educacional, específicamente de las escuelas rurales insertas en el programa MECE/RURAL de
nuestro País. (MINEDUC, 1998)
2. Material y metodología de análisis
El proceso de evaluación de la eficiencia a través del modelo DEA se inicia con la
selección de las unidades de decisión que serán objeto de análisis, que en este estudio
corresponden a una parte de la matriz de datos levantada en el “Estudio de Evaluación de la
Línea de Educación Rural del Programa MECE” que fuera realizado por investigadores de la
Universidad Austral de Chile (1997).
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Los datos utilizados en el análisis provienen de una muestra probabilística de escuelas
rurales que forman parte de toda la población distribuida en las regiones del país. El total de la
muestra que fue de 504 escuelas se obtuvo a través de un muestreo estratificado con afijación
proporcional, bajo los criterios de 95% de confianza, con un error del 4% y asumiendo una
varianza teórica del 0,25.
Del total de escuelas señaladas anteriormente y después de la depuración de las bases
de datos consideradas en el análisis en el período 1999-2009 se consideraron para el estudio,
sólo 19 registros (escuelas) del total País.
En relación con los indicadores, las variables de entrada y los resultados del programa
MECE/RURAL, estimados para realizar la aplicación del método, estos son atribuibles a la
puesta en marcha del programa MECE/RURAL (endógena) y otras son propias del proceso
educativo, como los resultados de la Prueba SIMCE (exógena) tal y como se muestra en el
cuadro 1.
Cuadro 1: Indicadores de Input y Output educativos
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Fuente: Elaboración propia a partir de Miranda (2003)
El tratamiento metodológico del modelo que se utilizó para la obtención de los
resultados que a continuación se muestran, fue el Análisis Envolvente de Datos (DEA) y el
Índice de Malmquist en una aplicación al sector educacional, específicamente a las escuelas
rurales del programa MECE/RURAL. Con el objetivo de analizar la eficiencia interna de las
escuelas dentro de la muestra.
En lo que respecta al tratamiento informático de los datos, éste se realizó por medio
del programa DEAP (A Data Envelopment Analysis computer program) versión 2.1, desarrollado
por Tim Coelli, Centre for Efficiency and Productivity Analysis University of Queensland.
3. Marco de referencia del estudio
En la literatura pueden encontrarse diversas aserciones respecto a terminologías
importantes que se tratarán en este estudio. Según lo que señala Álvarez (2002) y citado por
Chirinos y Urdaneta (2007), la idea de comparar empresas según su comportamiento es de
indudable interés para el análisis económico. En este sentido surgen conceptos como los de
productividad y eficiencia, a los que recientemente se ha unido el de competitividad, por lo que
es de fundamental importancia la definición de estos conceptos, destacando sus diferencias.
Por lo cual debemos referirnos al trabajo de Farrell (1957), considerado el precursor de las
medidas modernas de la eficiencia. De acuerdo con Farrell, la eficiencia técnica nos indicará si
los recursos y la tecnología disponibles están siendo aprovechados de manera adecuada.
Por tanto, para cuantificar la eficiencia técnica será necesario considerar alguno de los
siguientes enfoques:
Orientación al producto: en este enfoque se tendrá como objetivo primordial medir la
eficiencia considerando la máxima producción alcanzable dada cierta cantidad de
insumos (eficiencia centrada en el producto).
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Orientación al insumo: la medida de la eficiencia debe estar en relación con la mínima
combinación de insumos posible para una cantidad de producción (eficiencia centrada
en el insumo).
La eficiencia es uno de los determinantes de la productividad: mientras que la eficiencia se
refiere a qué tan bien se desempeña una unidad productiva con la tecnología existente, la
productividad se refiere a la cantidad producida por insumo.
Según Álvarez (2002) y citado por Chirinos y Urdaneta (2007), la maximización del beneficio
exige que una empresa tome correctamente las tres decisiones siguientes:
Debe elegir la producción (Output) que maximice el beneficio, de todos los niveles de
producción posibles.
Debe elegir la combinación de insumos (inputs) que minimiza el costo de producción,
de entre todas las combinaciones de insumos que permiten obtener el producto
anterior.
La empresa debe producir el bien o servicio elegido con la cantidad mínima de insumos
posible, lo que es lo mismo, optimizar el uso de los recursos.
En este sentido establece el autor tres tipos de eficiencia:
Eficiencia de escala: cuando una empresa está produciendo en una escala de tamaño
óptima, que es la que le permite maximizar el beneficio.
Eficiencia asignativa: cuando la empresa combina los insumos en la proporción que
minimiza el costo de producción.
Eficiencia técnica: cuando la empresa obtiene el máximo de producción posible con la
combinación de insumos empleada.
En lo que concierne a Productividad esta se entiende como el ratio entre productos generados
e insumos utilizados por una unidad productiva (Sanin y Zimet, 2003). Por ende, la misma
puede variar tanto por diferencias en la tecnología existente, recogida en la función de
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producción, como por diferencias en la eficiencia del proceso productivo o por diferencias en el
entorno en que se produce.
Álvarez (2002) y citado por Chirinos y Urdaneta (2007), señala que estos términos son
usados en el sentido de que es bueno para las empresas una mejora en cualquiera de ellos, lo
que induce a que en ocasiones se usen de forma indistinta. Sin embargo, según este autor, eso
es un error, ya que no sólo los conceptos hacen referencia a aspectos diferentes de la
producción, sino que no es cierto que siempre sea bueno un aumento de los mismos. No
siempre una mejora en la eficiencia lleva asociada una mejora en la productividad y viceversa.
La clave está en entender que fijando una de las variables (input o output) ambos conceptos
son equivalentes, pero cuando ambos varían, la productividad se ve afectada necesariamente
por un efecto tamaño que incorpora la ley de los rendimientos decrecientes; esto implica que
mayores producciones, manteniendo la tecnología constante, sólo pueden alcanzarse a costa
de una menor productividad.
Para comprender mejor lo expuesto anteriormente, nos referiremos a lo que señalan
Guerrero y Rivera (2009) los cuales indican que resulta útil considerar un proceso de
producción en que solo se emplea un insumo para elaborar un producto.
La relación entre la cantidad del producto y la cantidad del insumo puede interpretarse
gráficamente, como se muestra en el gráfico 1, donde la curva OB representa la frontera de
producción. La eficiencia quedará definida al comparar la producción observada con respecto a
esa frontera, es decir, que a las empresas que operen por sobre la frontera se las considerará
técnicamente eficientes.
Por ejemplo, si una empresa opera en el punto A del gráfico 1 se puede deducir
fácilmente que es ineficiente, pues podría incrementar su producción hasta el punto B
empleando la misma cantidad de insumos, o bien producir lo mismo usando menos insumos
(punto C). De acuerdo a la definición de productividad analizada anteriormente, esta quedaría
representada por la pendiente de la recta que parte del origen y pasa por el punto en cuestión.
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De esta manera, se puede observar que las empresas eficientes son también más productivas,
pues, como se aprecia en el gráfico 1, las pendientes de las rectas OB ó OC (puntos eficientes)
son mayores que las de la recta OA.
Figura 1: Métodos de Estimación Frontera de Producción
Fuente: Esteban, J. y Coll, V. (2003)
Después de haber establecido lo que se entenderá por eficiencia y productividad se
revisará los modelos de frontera que son útiles para el análisis de la eficiencia relativa. En
estudios empíricos sobre análisis de fronteras se distinguen tres enfoques: el análisis
envolvente de datos, los modelos de fronteras de producción estocástica y aquellos que usan
las técnicas estadísticas multivariadas (componentes principales y análisis de factores,
principalmente). En tanto los dos primeros fueron desarrollados explícitamente para el estudio
empírico de las fronteras para determinar una jerarquización de las unidades (individuos,
entidades) en términos de las eficacias productivas, el tercero no es sino una utilización de las
características básicas de esas técnicas.
4. Modelos de frontera: Fundamentos teóricos y metodológicos
La metodología frontera parte de la existencia de una frontera que estará representada
por una función que puede ser de producción, de beneficios o de costos y que se puede
estimar a través de técnicas de carácter paramétrico o no paramétrico.
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La Figura 1 siguiente muestra una descomposición del método de Esteban y Coll (2006).
Gráfico 1 Fronteras de producción y eficiencia técnica
Fuente: Revista Cepal-Cambio en la productividad total, Guerrero y Rivera (2009)
A continuación describiremos los modelos no paramétricos que son base fundamental
de nuestro estudio.
5. Modelos no paramétricos
ERIAS REY (1998) explica que los modelos no paramétricos a diferencia de los modelos
paramétricos, pretenden estimar una frontera de producción eficiente sin una forma funcional
explícita previa (Cobb-Douglas, translog, entre otras), con el objeto de identificar la eficiencia
técnica y la eficiencia asignativa del conjunto de observaciones objeto de estudio.
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ÁLVAREZ (2002) señala que la metodología no paramétrica para medir los índices de
eficiencia siguen tres pasos:
Descripción de los supuestos de las propiedades de la tecnología de producción
que permiten establecer aquellos planes de producción que se consideran
realizables;
Definición del tipo de índice que se desea estimar y;
La construcción de un programa matemático que calcule el índice que se desea
estimar.
En cuanto a las propiedades de la tecnología de producción, éstas permiten describir la
tecnología con la que se realiza la actividad de producción, es decir delimitar el conjunto de
planes de producción que se consideran tecnológicamente realizables.
ÁLVAREZ (2002) dice: "La caracterización no paramétrica de la tecnología se completa
formulando una serie de supuestos adicionales acerca de las propiedades teóricas que
satisface la tecnología. Por lo tanto, el hecho de aceptar los supuestos implica incluir en el
Conjunto de Posibilidades de Producción (CPP) algunos procesos productivos que no han sido
realmente observados”.
Algunos de los supuestos definidos son:
1. Es tecnológicamente posible no producir nada.
2. Si dos procesos productivos pertenecen al CPP, todas las combinaciones lineales de estos
dos procesos, también pertenecen al conjunto CPP
3. Hay dos versiones sobre la eliminación de inputs:
a. La versión estricta, que establece que es posible desechar el exceso de inputs a coste
cero. Una unidad productiva es capaz de producir la misma cantidad de Output
utilizando una cantidad mayor de cualquier input.
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b. La versión débil, establece que es posible mantener el nivel de producción siempre que
se produzca un incremento equiproporcional en la cantidad empleada de todos los
inputs.
4. Rendimiento constante de escala, implica re-escalar la actividad de cualquier proceso
productivo perteneciente al conjunto de procesos productivos.
Para ambos casos (paramétrico y no paramétrico) se interpretará como unidades
eficientes aquellas que se localicen sobre la frontera de producción, de beneficios o de costes,
e ineficientes las que se sitúen por debajo de la función de producción y de beneficios o por
encima de la frontera de costes. La frontera de producción es aquella función que determina el
producto máximo que se puede alcanzar dada una cierta combinación de recursos.
La medición de la eficiencia se basa principalmente en comparar la actuación real de
una empresa con respecto a un óptimo, es decir, comparar lo que hace la empresa con lo que
debería haber hecho para maximizar el beneficio.
La técnica de frontera genera una superficie o frontera en un espacio que tiene como
ejes a los recursos o factores productivos y a los productos y servicios que genera como ejes
adicionales.
La técnica de frontera genera una superficie o frontera en un espacio que tiene como
ejes los insumos y los productos, tal y como se muestra en el gráfico 1. En el espacio de entrada
y salida cada punto representa una entidad, la línea segmentada ilustra la frontera eficiente,
generada por un modelo probando cada entidad en particular, en relación con su eficiencia.
Cada vértice de la frontera es una entidad que destaca sobre el resto, el conjunto de
posibilidades de producción; es decir, los puntos ubicados por debajo de ella representan el
espacio en el cual es factible que se sitúen las entidades afines (Mercado et al., 1998).
Las entidades situadas en la frontera tienen valores de eficiencia o productividad en el
modelo de optimización iguales a 1 (100%). Sin embargo sólo se consideran eficientes, si las
restricciones se satisfacen en el sentido estricto.
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Con lo estudiado anteriormente, se ha llegado a definir una frontera eficiente
compuesta de aquellos procesos que permiten obtener el mayor producto dado un conjunto
de inputs, o bien, obtener el mismo producto reduciendo el vector de inputs. Estas dos
orientaciones se las denomina input y output y son las que se emplean para llegar a la frontera
eficiente.
Dentro de los modelos no paramétricos se encuentra el DEA (acróstico de Data
Envelopment Analysis) cuyo marco conceptual-metodológico se desarrollará a continuación.
6. Análisis envolvente de datos (DEA)
La metodología empleada en este estudio para medir las eficiencias comparativas y
determinar cambios de productividad, se denomina Análisis Envolvente de datos y
corresponde a una importante y altamente fructífera herramienta basada en técnicas de
programación lineal con que se producen bienes y se proporcionan servicios. Es una
metodología eminentemente comparativa, ya que entrega medidas de eficiencia para cada
Unidad de toma de decisión (DMU por sus siglas en Inglés) comparándola con cada una de las
restantes DMU que conforman la muestra. Se asume que cada DMU emplea unos recursos
(input) para entregar productos (output) y aquellas DMU que se incluyen en los modelos se
asumen como homogéneas, es decir emplean el mismo tipo de entrada para producir los
mismos tipos de salida.
Las medidas de eficiencia corresponden a la relación de las salidas sobre las entradas,
las cuales se ponderan para cada DMU, logrando para cada una los mejores índices de
eficiencia, lo cual da la ventaja fundamental sobre cualquier otra técnica de las técnicas
tradicionales- Igualmente permite trabajar unidades que producen varias salidas haciendo uso
de diversos insumos.
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Los pesos ponderados asignados a las entradas y salidas, se obtienen a través de
modelos de programación lineal, que a través de restricciones, evitan que las eficiencias
superen el 100%.
La técnica DEA fue desarrollada inicialmente por Charnes, Cooper y Rodhes en 1978,
para calcular el índice de eficiencia técnica, resolviendo un programa matemático de
optimización el cual puede ser considerado como una aplicación al caso de múltiples outputs
del análisis tradicional de ratios propuesto por Farrell en 1957.
El análisis de frontera permite comparar unidades de ejecución en una organización o
sector, basado exclusivamente en las mediciones de entrada (insumos) a la unidad y en su
desempeño medido en sus salidas (productos).
Cuando se tiene un insumo (entrada) para obtener un producto (salida), la eficiencia de
la unidad de decisión, está dada por: EF = Y/X, donde: Y= output; X= input
En caso de que se utilice más de un insumo (entradas) para producir varios productos
(salidas), se deben ponderar tanto las entradas como las salidas, obteniéndose la siguiente
definición para la eficiencia del DMU: EF = aiYi / biXi
La frontera de eficiencia está conformada por aquellas DMU eficientes, es decir, está
determinada por el número máximo de productos que se pueden fabricar utilizando diversas
combinaciones de recursos, con los mínimos costos de producción. Después que se obtiene la
función de producción, se compara cada unidad del conjunto de producción con la frontera,
bajo el supuesto que las desviaciones existentes son comportamientos ineficientes de
producción.
De acuerdo con las características del caso que se desea estudiar, se puede medir la
eficiencia de un DMU: la orientada a la entrada cuando se minimiza la cantidad de insumos
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(recursos) utilizados para obtener el mejor nivel de producción; y, orientada a la salida, cuando
se maximiza la cantidad de productos elaborados usando un nivel fijo de insumos.
Existen tres tipos de estimación disponibles cuando se utiliza un solo insumo y un solo
producto, a saber: retornos constantes a escala, retornos no crecientes a escala y retornos
variables a escala. De ellas debe resaltarse que la forma de estimación más exacta es la de
retornos variables a escala.
A través del DEA se puede construir una frontera o un hiperplano de producción que
permita medir la eficiencia relativa de un conjunto de unidades de decisión que producen
similares productos a partir de un conjunto común de insumos. La eficiencia se puede medir en
términos de insumos, donde la cantidad utilizada de insumos es la variable que se puede
alterar, ya que el nivel del output es considerado como un valor dado; o bien en términos de
producción, interpretándose como la cantidad máxima de producción que se alcanzaría a partir
de un conjunto de insumos dado (Seijas, 2004).
La técnica DEA ofrece información muy completa e individualizada de las unidades de
decisión analizadas y permite conocer aspectos de interés tanto de las empresas eficientes
como de las ineficientes. Junto a esto, permite incorporar variables no discrecionales, de
naturaleza categórica o, incluso, añadir información procedente de opiniones de expertos, para
delimitar el conjunto de empresas eficientes.
De un modo general, se puede establecer que el DEA es una técnica encaminada a la
evaluación de la eficiencia de una serie de elementos objeto de estudio habitualmente
denominados DMU, siendo los elementos de juicio para dicha evaluación múltiples variables de
entrada y de salida para cada una de las DMU consideradas. En contraste con los tradicionales
métodos paramétricos, cuyo propósito es optimizar un ajuste de regresión a los referidos
datos, el DEA realiza una optimización para cada observación individual, con el objetivo de
calcular una frontera constituida por intervalos graduales y delimitados por un conjunto de
DMU´s eficientes.
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En estas condiciones, el DEA produce una superficie de producción extrema de carácter
empírico, la cual en términos económicos representa la que se muestra como la frontera de la
mejor práctica productiva posible; es decir, la máxima salida empíricamente obtenible para
cualquier DMU en la población observada, dado su nivel de entradas. Para cada DMU
ineficiente (cualquiera que se encuentre bajo la frontera), el DEA identifica las fuentes y el nivel
de ineficiencia para cada una de las salidas y de las entradas. El nivel de ineficiencia se
determina por comparación respecto a una DMU de referencia o respecto a una combinación
convexa de otras DMU de referencia situadas en la frontera eficiente, que utilicen el mismo
nivel de entradas, y que produzcan el mismo o un mayor nivel de salidas.
El cuerpo conceptual y metodológico del DEA encuentra su implementación práctica en
una serie de modelizaciones, que en función de sus diferentes concepciones, arrojan
resultados que dan pie a una variedad de posibilidades interpretativas. A la hora de decantarse
por un modelo concreto es preciso fundamentalmente, considerar dos cuestiones. Por un lado
definir la caracterización geométrica de la frontera empírica que determinará la práctica de
mayor eficiencia. Ésta frontera puede ser convexa o no, lo cual es equivalente a decir que el
modelo seleccionado permita la consideración de retornos de escala variables (en el caso de
frontera convexa) o constantes (en el caso de frontera no convexa). La otra cuestión objeto de
consideración es si se debe orientar la formulación del modelo hacia la consecución de una
maximización de las salidas, una minimización de las entradas o bien otorgar el mismo énfasis
al conjunto de entradas-salidas (Chirinos y Urdaneta (2007).
Utilizando técnicas de programación lineal, se traza una frontera de eficiencia (Gráfico
2) que se construye a partir de las DMU´s más eficientes y que define el nivel máximo de
output que pueden conseguir con los inputs utilizados. Las DMU´s más eficientes son aquellas
que se sitúen en la frontera eficiente, previamente calculada por el modelo (Pedraja y Salinas
1994).
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Gráfico 2 Output orientados al DEA
Fuente: Pedraja y Salinas 1994, El Análisis Envolvente de Datos (DEA) y su aplicación al Sector Publico: una nota introductoria
La formulación del modelo matemático DEA, en forma de programación lineal,
considerando la notación de MIRANDA (2003) es la siguiente:
Sujeto a:
(1)
c=1,…,p,…,z y Vi, Wk >0 i y j
Yic y Xkc son respectivamente los valores observados de outputs e inputs de las "j"
DMUs de la muestra; así las variables de ponderación o soluciones del modelo serían Vi y Wk.
La optimización produce un conjunto de valores positivos o nulos que denominaremos V* y
W*, que generarán el óptimo, para la función de máximo igual a 1. Por tanto, la función
objetivo siempre tomará valores entre 0 y 1 para las distintas unidades estudiadas.
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kpi XW
Para resolver la ecuación anterior (1), es necesario convertir el modelo a una forma
lineal equivalente, fijando el denominador a una constante (la unidad) y maximizando el
numerador de la siguiente forma:
Sujeto a: (2)
para c=1,…,p,…,z
y
Vi, Wk >0 i y j
La importancia de los resultados de la metodología propuesta se ve reflejada cuando
esta permite identificar las unidades escolares en las que se están usando eficientemente los
recursos.
Finalmente se señala una clasificación de los modelos DEA, siguiendo a autores como
Coll y Blasco (2006), entre otros.
7. Caracterización de los modelos DEA
Los modelos DEA pueden ser clasificados, básicamente, en función de:
a) El tipo de medida de eficiencia que proporcionan: modelos radiales y no radiales.
b) La orientación del modelo: input orientado, output orientado o input-output
orientado.
c) La tipología de los rendimientos a escala que caracterizan la tecnología de producción,
entendida ésta como la forma (procedimientos técnicos) en que los factores
productivos (inputs) son combinados para obtener un conjunto de productos (outputs),
de tal forma que esa combinación de factores puede caracterizarse por la existencia de
rendimientos a escala: constantes o variables a escala.
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Dentro del contexto anterior, se exponen los modelos DEA básicos, DEA-CCR y DEA-BCC:
Modelos CCR, que supone rendimientos a escala constantes. Fueron establecidos
por Charnes, Cooper y Rhodes (1978) como programas fraccionales lineales que
pueden ser formulados y resueltos como programas lineales.
Modelos BCC, que estiman la frontera de producción con rendimientos variables,
haciendo posible rendimientos a escala constantes, crecientes y decrecientes en
diferentes tramos de aquella. Fueron introducidos por Banker, Charnes y Cooper
(1984).
En ambos tipos de modelos se pueden distinguir dos orientaciones: output e input. La
primera se ocupa del máximo movimiento hacia la frontera vía proporcional aumento de los
outputs, mientras que la segunda se centra en el máximo movimiento hacia la frontera a través
de una reducción proporcional de los inputs.
Por lo tanto, parece razonable suponer que la obtención de mejores niveles de
producción a partir de los recursos disponibles es el objetivo más adecuado. Por otro lado, BCC
o rendimientos variables a escala porque la medida de eficiencia obtenida es una medida de
eficiencia técnica pura, es decir, netas de cualquier efecto escala, aunque también se aplicará
el modelo DEA-CCR para poder descomponer la eficiencia técnica global en eficiencia técnica
pura y eficiencia de escala.
En el gráfico 3 se ilustra el caso de dos unidades A y B que a partir de un único input
obtienen un único output. Se han representado la frontera de rendimientos constantes y la de
rendimientos variables a escala. Considerando una Orientación Output, puede observarse
como la eficiencia de la unidad B viene dada por el cuociente CB/CB2 bajo los supuestos de
rendimientos constantes a escala (RCE), mientras que si la unidad B opera con tecnología de
rendimientos variables, la eficiencia vendría dada por CB/CB1.
Gráfico 3 Rendimientos Constantes y Variables de Escala
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La diferencia entre una medida y otra, es decir, la distancia B2B1, es la eficiencia de
escala (EE), que puede ser interpretada como la parte de la ineficiencia presente en la
eficiencia técnica global (ETG) que obedece a la escala de producción de la unidad que se
evalúa, es decir, es el resultado de descontar a la ETG la eficiencia técnica pura (ETP). Por lo
tanto, ETG = ETP · EE.
Si EE = 1 entonces ETG = ETP, lo que indica que la unidad no presenta ineficiencias de
escala y por lo tanto, opera en una escala óptima.
El modelo DEA- CCR, Orientación Output en su forma envolvente puede expresarse de
la siguiente forma:
Max Zo = + ε (Is+ + Is-)
y
x
B
A
C
B1
B2
RVE
RCE
Fuente : Esteban, J. y Coll, V. (2006)
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Sujeto a:
yo – Y + s+ = 0
(3)
X + s- = xo
,s+, s- ≥ 0
Donde s+ y s- representan las variables de holgura, l es un vector fila cuyas
componentes son todas igual a la unidad y ε es un infinitésimo no-arquímedeo.- La idea de esta
formulación es maximizar la suma de las variables de holgura Is+ + Is- , entre aquellas
soluciones que maximizan . Al multiplicar esta suma por un ε suficientemente pequeño como
para no alterar el valor , se le asigna una prioridad menor a la maximización de las variables
de holgura frente a la maximización de .
Entonces, para determinar la eficiencia de una unidad se examinan todas la
combinaciones lineales de las otras unidades que consumen como máximo tanto como la
unidad que se está analizando en las m dimensiones del input y que a lo largo de las s
dimensiones del output produzcan una cantidad mayor de outputs.
indica la proporción en la que todos los outputs podrían aumentarse mientras se
mantienen los inputs constantes si la unidad analizada actuara también como la unidad
hipotética con la que es comparada. Más aún, podría haber una actuación mejor de algún input
y output si alguna de las variables de holgura fueran positivas. Por lo tanto, una unidad es
eficiente si * = 1 y todas las variables de holgura son cero. Una unidad es ineficiente si * > 1
y/o las variables de holgura son no nulas. La eficiencia técnica output de la unidad evaluada
será igual a 1/.
El modelo DEA-BCC, en su forma envolvente, permite determinar la puntuación de
eficiencia técnica pura (ETP) y su formulación matemática orientación output es la siguiente:
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Max Zo = + ε (Is+ + Is-)
Sujeto a:
Yo – Y + s+ = 0
(4)
X + s- = Xo
I = 1
,s+, s- ≥ 0
A diferencia del modelo (3) este problema añade una restricción adicional, restricción
de convexidad, I = 1 pero a igual que el modelo (3) en este modelo la eficiencia técnica
output, que en este caso es la eficiencia pura, viene dada por 1/ e indica en qué medida los
niveles outputs de la unidad que se está analizando pueden ser aumentados radialmente dado
sus niveles de inputs. La unidad será evaluada como eficiente si y solo si = 1 y las variables de
holgura son todas nulas. A partir de los valores óptimos de la solución para cada unidad del
modelo (2) pueden determinarse valores objetivos, conjuntos de referencia para las unidades
ineficientes, porcentajes de mejora input/output, porcentajes de contribución input/output,
etc.
Por otro lado, para determinar si los rendimientos a escala son constantes (CRS),
crecientes (IRS) o decrecientes (DRS) se seguirá a Färe et al. (1985) quienes sugieren un
método de dos pasos para estimar los retornos a escala. Si la EE =1 indica que la unidad que se
evalúa tiene rendimientos constantes a escala y si EE < 1 indica que puede tener rendimientos
crecientes o decrecientes. Cuando EE < 1 se resuelve el programa lineal ( 1 ) pero con la
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restricción I ≤ 1 para determinar si la ineficiencia de escala se asocia con IRS o DRS. Este es
el modelo NIRS (Non Incremental Return to Scale), ya que al agregar esta restricción no se
permiten rendimientos crecientes a escala. Por lo tanto, se tienen tres modelos el CRS o
rendimientos constantes a escala, el VRS o rendimientos variables a escala y el NIRS.
Entonces si:
Los modelos CRS, VRS y NIRS producen exactamente la misma medida de
eficiencia, entonces la unidad exhibe rendimientos constantes a escala.
La eficiencia de los modelos CRS y NIRS son iguales y menores que la eficiencia del
modelo VRS, entonces la unidad tiene rendimientos locales crecientes en la región
de la frontera.
La eficiencia de los modelos VRS y NIRS son iguales y mayores que la eficiencia del
modelo CRS entonces la unidad presenta rendimientos locales decrecientes en la
región de la frontera.
Además, cuando se resuelven estos modelos, cada unidad que resulta eficiente obtiene
una puntuación del 100% o la unidad, las unidades ineficientes tienen una puntuación menor
por lo que su ordenación no presenta problema. El método DEA no jerarquiza las unidades que
resultan eficientes por lo que en este trabajo se recurre a dos métodos planteados en la
literatura para poder ordenar las unidades eficientes, ya que no necesariamente todas las
eficientes son igualmente eficientes. Uno de los métodos es el Global Leader y el otro es el de
la Puntuación de Supereficiencia.
i) Global Leader. Este método introducido por Oral y Yolalan (1990) destaca a la unidad
que puede ser considerada como la que presenta mejor rendimiento. Consiste en
detectar las unidades que aparezcan con mayor frecuencia en los conjuntos de
referencia de las unidades ineficientes. Si una unidad eficiente no actúa como
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referencia de ninguna de las restantes unidades ineficientes puede significar que dicha
unidad eficiente solo lo es en un sector o bien que posee una combinación
input/output muy poco común.
ii) Puntuación de Supereficiencia. Propuesto por Andersen y Petersen (1993) consiste en
comparar la unidad que se está analizando, con una combinación lineal de todas las
otras unidades que se están considerando, donde la unidad que se analiza (unidad o)
es excluida.
Este modelo se propone para rendimientos constantes a escala y es el
siguiente:
Max Zo = + ε (Is+ + Is-)
Sujeto a:
Σ j Xj + s- = xo
jo
(5)
yo-Σ j Xj + s+ = 0
jo
s- ,s+, j ≥ 0
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8. Índice de MALMQUIST
El análisis de rendimiento descansa en el concepto de función de distancia, que por su
capacidad para caracterizar la tecnología de producción, se está convirtiendo en la actualidad
en la piedra angular del análisis de eficiencia y productividad en las actividades. (Álvarez, 2002).
La formulación del modelo se realiza a través del concepto de función de distancias y
su aplicación para definir índices de productividad. La instrumentación empírica exige
caracterizar la tecnología empleando la técnica de optimización del análisis envolvente de
datos (DEA).
Mientras la metodología DEA emplea lo que se denomina, en la literatura, “funciones
distancia”, que representan la inversa de la medición original de Farrell (1957) de eficiencia
técnica. Esta metodología utiliza solamente información sobre cantidades, tanto de los
productos, como de los insumos empleados.
Los Índices Malmquist fueron introducidos originalmente en el ámbito de la teoría del
consumo. Esta propuesta fue posteriormente aplicada a la medición de la productividad, por
Caves, Christensen y Diewert (1982), en un contexto de funciones de producción, y por Färe et
al 1994), en un contexto (DEA) no paramétrico.
Este índice permite medir el crecimiento de la productividad entre dos períodos t y t+1.
La metodología de Índices de Malmquist propuesta por Caves, Christensen y Diewert (1982), se
basa en el cálculo de la distancia que separa a cada DMU de la tecnología de referencia en cada
período utilizando para ello la función distancia (calculada mediante la técnica DEA).
El cálculo del Índice de Malmquist es uno de los métodos más utilizados para analizar la
evolución de la productividad y sus componentes a lo largo del tiempo. Dado que solamente se
necesitan datos relativos a cantidades, no es necesario realizar supuestos sobre la forma
funcional de la función de producción y permite descomponer la productividad total de los
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factores de una unidad productiva en el cambio debido a la mejora de la eficiencia técnica (y
ésta a su vez en eficiencia pura y eficiencia de escala) y el debido al cambio técnico o progreso
tecnológico. Es por ello que ha sido extensamente utilizado en el sector público.
La representación gráfica del Índice de Malmquist es posible si consideramos
nuevamente el proceso de producción de un producto mediante el empleo de un insumo. En el
gráfico 4 se muestran las “distancias” que deberán obtenerse para medir el cambio que existió
entre la productividad desde el punto E (t+1) al D (t), considerando como fronteras las
tecnologías de ambos períodos.
Gráfico 4 Representación gráfica del Índice de Malmquist
Fuente: Coelli, D.S. Prasada Rao y G.E. Battese, An Introduction to Efficiency and Productivity Analysis, Boston,
Kluwer Academic Publisher, 1998.
Una de las ventajas de esta metodología es que no requiere información sobre precios
y solamente utiliza datos sobre unidades físicas de insumos y de productos.
Tampoco requiere hacer supuestos sobre maximización de beneficios o,
alternativamente, sobre minimización de costos, y está libre de los errores de una mala
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especificación en la forma funcional. Sin embargo, una de sus debilidades es que no distingue
entre “noise” e ineficiencia técnica, como ocurre en las estimaciones realizadas a través de
fronteras estocásticas. Cualquier desviación de la frontera sería considerada, en este caso,
como ineficiencia. Debido a ello, los shocks externos desfavorables, que afecten la
performance de una economía, serían captados como ineficiencias (al no computar los efectos
aleatorios, la metodología DEA podría sobreestimar la medición de aquéllas).
En lo que sigue se emplea la propuesta de Färe et. al. (1994), que hace uso de las
funciones distancia. Estos autores miden el crecimiento de la productividad como una media
geométrica de dos índices de productividad Malmquist. (Caves et. al., 1982)
NAVARRO (1999) explica que el Índice de Malmquist puede establecerse desde dos
enfoques:
1) El Índice de Malmquist de productividad basado en el output y;
2) El Índice de Malmquist de productividad basado en el input
El primer caso; analiza las diferencias de productividad como las diferencias en el máximo
output alcanzable dados unos niveles de inputs. El segundo caso; analiza las diferencias de
productividad como las diferencias en el mínimo nivel de inputs que permite producir unos
niveles de outputs determinados.
CAVES et. al. (1982), quien demuestra que ambos índices proporcionan idénticos
resultados tan sólo en el caso de que los rendimientos a escala sean constantes.
La función de distancia en insumos se define con respecto a dicha tecnología como:
t
CCR
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i TyxyxDC ),(:min),(
(6)
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Donde t
CCRT representa la tecnología CCR que satisface los supuestos formulados en el
trabajo de Charnes, Cooper y Rhodes (1978), el conjunto de procesos productivos que se
consideran factibles bajo dichos supuestos (rendimientos constantes a escala, eliminación
gratuita de insumos y producción). La función de distancia indica la proporción a la que pueden
reducirse todos los inputs para obtener la misma productividad que la empresa más
productiva, siendo por tanto una medida de productividad relativa.
Esta función se define coma la inversa de la expansión proporcional máxima del vector
de outputs yt, dados los inputs xt, para que el individuo (xt,yt) sea eficiente y se encuentre
situado en la frontera del período t. DCt(xt, yt ) toma valores inferiores a la unidad, si y sólo si,
(xt, yt), y toma el valor unitario, si y sólo si, (xt,yt) se sitúa en la frontera de producción. En este
último caso, la unidad evaluada será técnicamente eficiente.
Dado que se trata de comparar la evolución de la productividad, el Índice de Malmquist
precisa funciones de distancia con respecto a diferentes períodos de tiempo. Así, en un período
posterior t+1, la función de distancia se define como:
t
CCR
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i TyxyxDC ),(:min),( 11111
(7)
Esta función mide el máximo cambio proporcional en los outputs necesario para que
(xt+1,yt+1) sea factible con la tecnología del momento t. En este caso, el valor de la función
distancia puede exceder la unidad, debido a que la observación evaluada no es posible con la
tecnología de otro período.
A partir de estas funciones de distancia, Caves, Christensen y Diewert (1982) definen el
índice de productividad de Malmquist el cual mide la variación acontecida en la productividad
relativa de una empresa entre dos períodos, manteniendo fija la tecnología; es decir, la escuela
que se utiliza como referencia óptima:
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),(
),( 11
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
it
CCDyxDC
yxDCM
(8)
Un índice t
CCDM > 1 indica que la productividad en el período t+1 es superior a la del
período t, puesto que la expansión necesaria en los outputs del período t+1 para que la
observación sea factible en t es inferior a la aplicable a los outputs del período t. Por el
contrario, un t
CCDM < 1 indica que la productividad ha descendido entre los períodos t y t+1.
De la misma manera se puede definir este índice referido al período t+1, para lo cual se
deben utilizar las correspondientes funciones distancia, de forma que:
),(
),(1
1111
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
it
CCDyxDC
yxDCM
(9)
Con el fin de evitar caer en la arbitrariedad de optar por mantener el periodo de
referencia en t o en t+1, es habitual tomar la media geométrica de los dos índices
anteriormente expresados.
2
1
1
1111111
),(),(
),(),(),,,(
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
it
i
t
i
t
i
t
iCCDyxDCyxDC
yxDCyxDCyxyxM
(10)
En el caso de que ),,,( 11 t
i
t
i
t
i
t
iCCD yxyxM , ese incremento en la productividad relativa
de la empresa puede deberse a varias causas. En primer lugar es posible que la empresa haya
mejorado de hecho su eficiencia relativa, la empresa ha mejorado más que la empresa óptima.
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En segundo lugar, es posible que la tecnología disponible haya mejorado, pero se debe
recordar que se ha mantenido fijo el referente tecnológico. Färe et. al. (1994) propusieron una
descomposición del índice que permite separar ambas fuentes de variación en la
productividad:
21
1
11111
1
11111
),(),(
),(),(
),(
,(),,,(
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
it
i
t
i
t
i
t
iCCDyxDCyxDC
yxDCyxDC
yxDC
yxDCyxyxM
1,
,
1,
11
*
* ),,,(
tt
iCCR
tt
i
t
i
t
i
t
i
t
iCCD
EF
técnicocambioeficiencialaencambioyxyxM
(11)
El primer cociente de la expresión refleja el cambio que se ha producido en la eficiencia
relativa de la empresa, variación en la distancia que la separa de su frontera contemporánea;
mientras que el segundo término (entre corchetes) refleja el cambio en la productividad que
puede atribuirse al movimiento de la frontera CCR de la empresa de comparación entre los
periodos t y t+1. Nótese que, aunque este último componente se refiere al cambio técnico,
aparece con el indicador de la empresa i, puesto que para su cálculo se parte de los vectores de
actividad de dicha empresa. Por tanto, el índice de cambio técnico mide el desplazamiento de
la frontera al nivel de output producido por la empresa evaluada definiéndose como una media
geométrica con el fin de evitar decidir el nivel de actividad de referencia. Si han existido
mejoras tecnológicas, tendrá un valor superior a uno.
Por lo tanto, un Índice de Malmquist superior a la unidad indica mejoras de la
productividad, mientras que si toma valores inferiores a la unidad, implica pérdidas.
Además, debe tenerse en cuenta que, aunque el producto del cambio en la eficiencia
técnica y el cambio técnico debe ser, por definición, igual al Índice de Malmquist, estas dos
componentes pueden tener comportamientos en direcciones opuestas.
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El índice de cambio en la eficiencia puede ser a su vez descompuesto en un índice de
cambio en la eficiencia pura calculado con respecto a la tecnología con rendimientos variables
y un índice residual de cambio en eficiencia de escala. Siendo,
t
CCR
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i TyxyxDV ),(:min),(
(12)
La función de distancia definida con respecto a la tecnología TtBCC, que corresponde con
los supuestos formulados en Banker, Charnes y Cooper (1984). Al abandonar el supuesto de
rendimientos constantes, es posible construir un índice de eficiencia de escala comparando las
dos funciones de distancia definidas anteriormente,
),(
),(),(
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
it
i
t
i
t
iyxDV
yxDCyxEE
(13)
Y por lo tanto,
1,1,111111111
1 *),(
),(
),(
),(
),(
),(
tt
i
tt
it
i
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i
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i
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i
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i
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i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
it
i EEEPyxEE
yxEE
yxDV
yxDV
yxDC
yxDCEF
(14)
Con lo que el Índice de Malmquist queda descompuesto en tres índices que miden la
variación en la eficiencia pura (relativa a la frontera con rendimientos variables), en la
eficiencia de escala (posición relativa del referente en la frontera con rendimientos variables
con respecto al óptimo en la frontera con rendimientos constantes) y un índice de cambio
técnico (que refleja el desplazamiento de la frontera de rendimientos constantes).
Es posible mejorar la descomposición de Färe et al.(1994) separando dos componentes
del índice de cambio técnico. Ray y Desli (1997) propusieron calcular el índice de cambio
técnico utilizando como referencia la tecnología de rendimientos variables. La diferencia entre
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los índices de cambio técnico de Färe et al. (1994) y de Ray y Desli (1997) puede recogerse en
un índice residual de cambio de escala (en qué medida la posición del referente sobre la nueva
frontera con rendimientos variables se acerca más al tamaño óptimo reflejado en la frontera
con rendimientos constantes), como sugieren Simar y Wilson (1996) y Zofío y Lovell (1998),
quedando de la siguiente forma.
1tt,
i
1tt,
iBCC,
1tt,
i
1tt,
i
21
1111
11
21
1111
11111111
21
1111
1111111
E*T*EE*EP
),(),(
),(),(
*),(),(
),(),(
),(
),(
),(
),(
),(),(
),(),(
),(
),(),,,(
t
i
t
i
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i
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i
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i
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i
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i
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i
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i
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i
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i
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i
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i
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i
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i
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i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
it
i
t
i
t
i
t
iCCD
yxEEyxEE
yxEEyxEE
yxDVyxDV
yxDVyxDV
yxEE
yxEE
yxDV
yxDV
yxDCyxDC
yxDCyxDC
yxDC
yxDCyxyxM
(15)
Para calcular el Índice de Malmquist es necesario resolver las funciones de distancia
correspondientes a través del DEA. Así, el cálculo del Índice de Malmquist requiere buscar la
solución de cuatro programas de optimización para las n unidades productivas. En notación
matricial tenemos que:
Programas Programación Lineal (PL)
PL 1: max,(1
0
tt
t YXDC
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0
0
0
0
tt
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Xx
Yy
(16)
Donde x0t y y0t son los vectores de inputs y outputs asociados a la unidad 0 y λ es un
vector de pesos que de forma flexible ponderan las matrices Xt y Yt. El parámetro indica la
máxima proporción en la que los outputs de la unidad 0 pueden ser expandidos tal que
(x0t,y0t/) siga siendo factible tomando en consideración el desempeño del resto de unidades
(Xt,Yt).
Los otros tres programas son:
PL 2: max,(1
11
1
0
tt
t YXDC
Sujeto a:
0
0
0
1)1(0
1)1(0
tt
tt
Xx
Yy
(17)
PL 3: max,(1
110
tt
t YXDC
Sujeto a:
0
0
0
)1(0
)1(0
tt
tt
Xx
Yy
(18)
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PL 4: max,(11
0
tt
t YXDC
Sujeto a:
0
0
0
10
10
tt
tt
Xx
Yy
(19)
En los últimos dos programas la eficiencia se calcula con las unidades de un período
pero tomando como referencia la frontera productiva de otro período. Ello puede suponer que
pueda tomar valores menores que la unidad, lo que no se produciría en datos de sección
cruzada. Para el cálculo de la eficiencia de escala los dos primeros programas deben ser
calculados también asumiendo rendimientos variables a escala añadiendo la restricción de que
Σ λn = 1.
9. Resultados
Con la finalidad de calcular el Índice de productividad de Malmquist, se determinaron
en primer lugar los índices de eficiencia de cada una de las escuelas rurales analizadas para los
períodos estudiados (T0=1999y T1=2009), mediante el análisis envolvente de datos (DEA). Se
utilizó una orientación a la salida (maximización de outputs) y se analizaron los modelos de
rendimientos constantes a escala (CRS, por sus siglas en inglés) propuesto por Charnes, Cooper
y Rhodes (1978) y de rendimientos variables a escala (VRS, por sus siglas en inglés) propuesto
por Banker, Charnes y Cooper (1984).
Tomando como base las distancias de cada uno de los períodos con respecto a la
frontera de rendimientos constantes y rendimientos variables a escala, calculadas mediante el
DEAP, se determinó el Índice de Malmquist según fórmula original y posteriormente se realizó
la descomposición de este índice en los índices de eficiencia técnica y eficiencia relativa y este
a su vez en eficiencia pura y eficiencia de escala, según lo propuesto por Färe et al (1994).
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10. Medición de la eficiencia en las escuelas rurales
En el Cuadro 4 se puede notar que en los dos períodos estudiados las escuelas que
alcanzaron la eficiencia de escala fueron las DMU´s 3,6 8, 12, 15 y 17. Estas escuelas fueron las
únicas que resultaron eficientes al considerar tanto la frontera de rendimientos constantes
como la de rendimientos variables a escala. (Ver apéndice 1 para visualizar los DMU asociados
a cada una de las escuelas)
En el caso de las escuelas señaladas, se puede notar que su eficiencia de escala es igual
a su eficiencia global, ya que su eficiencia técnica es del 100%. Esto significa que su ineficiencia
se debe al nivel de escala en el cual operan.
Cuadro 2 Eficiencias de escala
Fuente: Elaboración propia
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Después de haber determinado y analizado las distancias con respecto a las fronteras
eficientes en los dos períodos estudiados, se calculó el Índice de Malmquist para evaluar la
mejora o desmejora de la eficiencia de cada una de las escuelas de un período a otro.
El cuadro siguiente, muestra el Índice de Malqmist y los Índices de eficiencia relativa y técnica,
respectivamente.
Cuadro 3 Índices de Malmquist e Índices de eficiencia relativa y técnica
Fuente: Elaboración propia
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La causa que origina que se mantenga la mejora del índice de productividad de las
escuelas 12, 15, 17 y 19 es su eficiencia técnica. Esta afirmación se fundamenta en el hecho que
estas escuelas se ubican en la frontera eficiente en los dos períodos, por lo que su índice de
eficiencia relativa es igual o superior a 1. En el resto de las escuelas se observa una mejoría de
la Productividad, causada mayormente por el incremento de su eficiencia relativa.
El índice de eficiencia relativa, a su vez, se descompuso en dos índices más -
considerando la frontera con rendimientos variables a escala-, a saber: el de eficiencia pura y el
de eficiencia de escala. Los resultados se muestran en el Cuadro 4
Cuadro 4 Descomposición del índice de Eficiencia Relativa
Fuente: Elaboración propia
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Como puede observarse en el cuadro anterior, aunque algunas de las escuelas
mejoraron su eficiencia relativa, sólo las DMU 2, 5 y 14 mejoraron su eficiencia pura (en
relación con la frontera variable). La mejoría que se observa en el resto de las granjas
corresponde a que incrementaron su eficiencia de escala, lo cual evidencia que el tamaño de
escala al cual operan se ha acercado al óptimo de escala.
Por su parte, la DMU 10 fue la única que desmejoró tanto su eficiencia pura como su
eficiencia de escala, teniendo esta última (el alejamiento del nivel de escala más productivo),
un mayor impacto en la disminución de su eficiencia relativa.
11. Conclusiones
El análisis de los modelos DEA y los índices de eficiencia resultan útiles para la medición
de la productividad del sector educacional, especialmente de las escuelas rurales. Al
determinar cuáles son las escuelas más eficientes de la integración, se puede realizar un
análisis sobre cuáles son los mecanismos utilizadas en ellas, con el fin de aplicarlos al resto de
las escuelas que muestran algún nivel de ineficiencia.
En el análisis realizado de 19 escuelas rurales asociadas a un programa MECE/RURAL,
mediante la aplicación de los Modelos DEA se determinó que las escuelas que utilizan más
eficientemente sus recursos son las DMU´s 3, 6, 8, 12, 15 y 17, por cuanto en los dos períodos
analizados resultaron tener el mayor porcentaje de eficiencia y sirvió de parámetro de
comparación para el resto de las escuelas.
Mediante la descomposición realizada del índice de Malmquist, además de conocer la
evolución de la productividad de un período a otro, se pudo determinar cuáles fueron las
principales causas que originaron el incremento o la disminución de la productividad en cada
una de las escuelas analizadas.
Se observó que la mayoría de las escuelas, mejoraron su eficiencia de un período a
otro, debido mayormente al acercamiento a la escala óptima de producción. Esta circunstancia
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se tradujo en la mejora de su eficiencia relativa, así como en el progreso de la tecnología
utilizada, que se observa en el índice de eficiencia técnica.
La disminución de la eficiencia de la DMU 10 se debió principalmente a la desmejora de
su eficiencia pura, lo cual evidencia que los recursos no están siendo utilizados adecuadamente
por esta escuela.
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