encontrar raíces de funciones es uno de...

1

Encontrar raíces de funciones es uno de los

problemas más comunes en ingeniería

Los métodos numéricos para encontrar raíces de

funciones son utilizados cuando las técnicas

analíticas no pueden ser aplicadas.

Esto último depende, en gran medida, de la naturaleza de la función f(x).

Clase 6 2

Clase 6 3

32 VVVRTPV

C

f

kf )

8ln(Re

12

0)1(

qFFz

i

iji

0)( xf

En general puede representarse por :

Clase 6 4

y = f(x)

x

0)( xf

0

Solución

Dada una función f(x)

Se trata de hallar un valor x*

tal que : f(x*)=0

Es decir, encontrar las soluciones de la ecuación

f(x) = 0

Este procedimiento será más o menos

complicado dependiendo de la expresión algebraica de la función f(x).

Clase 6 5

Solución Iterativa

A partir de un valor inicial x0

Se genera una secuencia

x0, x1, x2, x3, ….. Xn

Clase 6 6

*lim/ xxn

x nn

Clase 6 7

Raíces de Funciones:

Conceptos básicos

Error del método

Restricciones

a) x* se sitúa dentro de

b) Hay una sola raiz en I

Clase 67

*xxE nn

CxfxfbaI )()(,

)( * Rx

Estimar un valor inicial para la

solución buscada

Usar una fórmula para actualizar

(acelerar) la solución aproximada

Usar un criterio para detener el

proceso de actualización

Clase 6 8

Clase 6 9

Inicio

Aproximaci

ón Inicial

Fórmula de

Actualizació

n

Converg

e?Fin

NO

SI

Métodos Iterativos

Conceptos Básicos

Debe distinguirse entre el proceso

iterativo completo y la fórmula de

actualización

La verificación del término

“Satisfactorio” del proceso es esencial y

debe Anticipar todas las posibles salidas

del método iterativo

Debe incluirse test de validación de la

consistencia de datos

Clase 6 10

Criterios de convergencia

› Error Absoluto

› Error Relativo

Clase 6 11

)(xf ii xx 1

)(

)()( 1

i

ii

xf

xfxf

i

ii

x

xx 1

Existen muchos métodos para hallar raíces de funciones:› Método de Bisección

› Método de Newton-Raphson

› Método de la Secante

› Método de Método de la Regla Falsa (Regula Falsi)

› Método de Punto fijo

› Método de Wegstein

Todos estos métodos comparten las mismas características:

Clase 6 12

La búsqueda de la raíz se inicia en:

› un intervalo conocido donde se

encuentre la raíz o,

› un punto inicial cercano a la raíz.

La raíz encontrada es una aproximación a la raíz

Clase 6 13

Clase 6 14

Encuentra la raíz de una función dado un

intervalo

Se basa en el teorema de Bolzano:

Teorema de Bolzano:

Si f(x) es una función continua en el intervalo

[a, b], y si, además, en los extremos del

intervalo la función f(x) toma valores de signo

opuesto (f(a)*f(b) < 0), entonces existe al

menos un valor c (a, b) para el que se

cumple: f(c) = 0.

Método de la Bisección:

1. Establecer:

f(x): función a la cual se le busca una raíz.

[a, b]: intervalo para iniciar la búsqueda

> 0 : margen de error

2. Calcular:

c = (a+b)/2

si |f(c)| < entonces,c es la raíz, finalizar.

de lo contrario, si f(a)*f(c)<0 entonces,

b = cde lo contrario,

a = c

3. Repetir el paso 2 hasta que se finalice.

Clase 6 16

Y

X

Existe una raíz en el intervalo [a, b] ya que f(a)*f(b) < 0 (Teorema de

Bolzano)

y = f(x)

ab

c

Sea c = (a+b)/2. Si f(c) = 0 entonces c es la raíz, de lo contrario, la raíz se

encuentra en el intervalo [a, c] si f(a)*f(c) < 0 ó en el intervalo [c, b] si

f(c)*f(b) < 0.

a

Como la raíz se encuentra en el intervalo [c, b] porque f(c)*f(b) < 0,

entonces cambiamos el valor de a por el de c.

c

Volvemos a calcular c = (a+b)/2. Si f(c) = 0 entonces c es la raíz, de lo

contrario, la raíz se encuentra en el intervalo [a, c] si f(a)*f(c) < 0 ó en el

intervalo [c, b] si f(c)*f(b) < 0.

Como la raíz se encuentra en el intervalo [a, c] porque f(a)*f(c) < 0,

entonces cambiamos el valor de b por el de c.

bc

Volvemos a calcular c = (a+b)/2 y repetimos el proceso hasta que se obtenga

la raíz.

Clase 6 17

Ejemplo:

Hacer un programa en MATLAB que permita obtener la raíz de la función por el Método de la Bisección:

604.0)9.0(

1

01.0)3.0(

1)(

22

xxxf

Clase 6 18

Ejemplo: La función

604.0)9.0(

1

01.0)3.0(

1)(

22

xxxf

Clase 6 19

Clase 6 20

Ejemplo:Interfaz Gráfica

)´(

)(

0

001

Xf

XfXX

)´(

)(

1

112

Xf

XfXX

1,)(́

)(

1

11

n

Xf

XfXX

n

nnn

Clase 6 21

y = f(x)

Y

X

Aproximación inicial: X0La aproximación X1 es la intersección con el eje X de la línea tangente a la gráfica

de f en (X0, f(X0))

X1 X0X2

La aproximación X2 es la intersección con el eje X de la línea tangente a la gráfica

de f en (X1, f(X1))

Cuál es el valor

aproximado

para la raíz?

1,)(́

)(

1

11

n

Xf

XfXX

n

nnn

Clase 6 22

La anterior función corresponde a la intersección de la recta tangente de f(x) en Xn-1 con el eje

de las X.

Dicha intersección, llamada Xn, corresponde a

una aproximación de la raíz para la función f(x), cuando f(Xn)=0 ó f(Xn) ≤ epsilon

Este método no siempre es convergente.

Clase 6 23

El método es atrapado por una raíz imaginaria de la función f(x):

Clase 6 24

Cuando la raíz es un Punto de Inflexión: f’’(x)=0

Clase 6 25

El método “cae” en un punto máximo ó mínimo (o

en sus cercanías):

Clase 6 26

Método de Newton-Raphson:Algoritmo

f(x): función cuya raíz se va a encontrar.

f’(x): derivada de f(x)

X0 : punto de inicio partir del cual se va a iniciar el

proceso.

2. Si f(X0)=0 entonces la raíz es X0,

de lo contrario:

Calcule X1 mediante la ecuación:

haga X0 igual a X1.

3. Repetir el paso 2 hasta que |f(X0)| ≤ epsilon

4. Mostrar X0

)´(

)(

0

001

Xf

XfXX

Clase 6 27

Ejemplo:

Hacer un programa en MATLAB que permita obtener

la raíz de la función por el Método de Newton-Raphson: 6

04.0)9.0(

1

01.0)3.0(

1)(

22

xxxf

Clase 6 28

Ejemplo: La función

604.0)9.0(

1

01.0)3.0(

1)(

22

xxxf

Clase 6 29

Ejemplo: La derivada

2222 04.0)9.0(

)9.0(2

01.0)3.0(

)3.0(2)(

x

x

x

xxf

Parte de un intervalo [x0,x1]

Estima la pendiente de la recta que une los extremos del intervalo como:f’(x0)=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

Sustituye f’(x0) en el método de Newton para calcular la nueva raíz como:

Los dos últimos puntos obtenidos x1, x2 se emplean en la iteración siguiente.

)()(

))((

01

01002

XfXf

XXXfXX

Clase 6 30

Clase 6 31

Secante

)()(

))((

1

11

ii

iiiii

XfXf

XXXfXX

Clase 6 32

Método de falsa posición

x2

x1

f(x2)

f(x1)

x3

Este método considera cual límite

del intervalo está más próximo a la

raíz.

De la figura

13

1

23

2

xx

xf

xx

xf

12

12113

xfxf

xxxfxx

Despejando

f(x3)

1

1111

xfxf

xxxfxx

i

ii

Clase 6 33

Encontrar la raíz de la función, por los métodos de la secante y falsa posición:

040138.667 146843.0 xe

xxf

Clase 6 34

Iteración de punto fijo

Un punto fijo de una función g(x) es un número p tal que

g(p) = p.

En general, la función f(x)=0 puede escribirse como

x=F(x)

Dado un problema f(x) = 0, se puede definir una función

F(x) con un punto fijo en x de diferentes maneras.

x3 + 4x2 –10 = 0

x = F1(x) = x + x3 + 4x2 -10

x = F2(x) = ½(10 – x3)½

Clase 6 35

Punto Fijo : Solución

y = g(x)

y

x

y = x

x*

F(x*)

Clase 6 36

Gráfica del algoritmo de

punto fijo

y = g(x)

y

x

y = x

x0

x1= F(x0)

x3 x2x1

x2= F(x1)

x3= F(x2)

y = g(x)

y

x

y = x

x0

x1= F(x0)

x2x1

x2= F(x1)

x3= F(x2)

Clase 6 37

Casos de no convergencia

y = g(x)

y

x

y = x

y = g(x)

y

x

y = x

Clase 6 38

Ejemplo

Sea la función: x3 + 4x2 –10 = 0 tiene una raíz en [1, 2]

Puede despejarse en:

a. x = F1(x) = x – x3 – 4x2 +10

b. x = F2(x) = ½(10 – x3)½

c. x = F3(x) = (10/(4 + x))½

d. x = F4(x) = x – (x3 + 4x2 – 10)/(3x2 + 8x)

Clase 6 39

Teorema de punto fijo

Si g C [a, b] y g(x) C [a, b] para toda x C [a, b], además

supongamos que existe g’(x) en (a, b) y una constante positiva k<1

cuando

|g’(x)| <= k, pata toda x (a, b),

Entonces, para cualquier punto p0 en [a, b] la sucesión definida por

pn = g(pn–1), n >=1

Converge en el único punto fijo p en [a, b].

Clase 6 40

Análisis del ejemplo

Caso (a)

g1(x) = x – x3 – 4x2 +10

g1’(x) = 1 – 3x2 – 8x

g1’(1) = – 11, g1’(2) = – 28

No se cumple |g1’(x)| <1

Caso (b)

g2(x) = ½(10 – x3)½

g2’(x) = – 3/4x2(10 – x3)–½

g2’(1) = – 0.25, g1’(2) = – 2.1213

No se cumple |g1’(x)| <1

Caso (c)

g3(x) = (10/(4 + x))½

g3’(x) = (– 5/3.16)(4 + x)–1.5

<= (– 5/3.16)(5)–1.5 <= 0.15

Para toda x en [1, 2]

Caso (d)

g4(x) = x – (x3 + 4x2 – 10)/(3x2 +

8x)

Se cumple |g4’(x)| es aún menor

que en el caso (c) para toda x en

[1, 2]

Clase 6 41Clase 641

Clase 641

Metodo Wegstein

y = F(x)

y

x

y = x

F(x0)

F(x1)

x2x1x0

)(xFx

0x Valor inicial

)( 01 xFx

iii xtxFtx )1()(1

st

1

1

1

1)()(

ii

ii

xx

xFxFs

Clase 6 42

Tarea

17. Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de

semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se llena de agua hasta una

distancia h de la parte superior, el volumen V de agua es

V = f(r,h)

Escriba un programa en MATLAB amigable para el usuario que lea los datos

de este problema y encuentre la profundidad h del abrevadero. Utilice el

método de Wegstein para encontrar la solución.

h

r

L

Clase 6 43

MÉTODOS NUMÉRICOS

Sistemas de ecuaciones no lineales

f1(x,y)=0

f2(x,y)=0

Clase 6 44

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

f1(x, y)=0

f2(x, y)=0

x

y

x*

y*

Clase 6 45

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES

-2

0

2

4

6

8

10

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2x xy 10

2y 3xy 57 (2, 3)

Clase 6 46

810),( 22

1 yxxyxf

Clase 6 47

810),( 2

1 yxxyyxf

Clase 6 48

Clase 6 49

Clase 6 50

MÉTODO DE PUNTO FIJO EN

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Considera la intersección de dos funciones no

lineales f1(x, y)=0 y f2(x, y)=0.

2. La intersección de las curvas f1(x, y)=0 y f2(x, y)=0

nos da la raiz (xr, yr).

3. El método consiste en obtener las funciones que

tengan las mismas raices (xr, yr):

x=g1(x, y)

y=g2(x, y)

4. Considerar un valor inicial (x0, y0), como

aproximación a la raíz, evaluar: x1=g1(x0, y0)

y1=g2(x0, y0)

5. El proceso se repite n veces hasta tener valores

muy cercanos a las raíces.

Clase 6 51

5. El proceso se repite n veces hasta tener valores muy cercanos a

las raíces.

),(1

1

1

iii yxgx ),(2

1

1

iii yxgy

METODO DE DESPLAZAMIENTOS SUCESIVOS

),(1

1

1

iii yxgx ),( 1

2

1

1

iii yxgy

Clase 6 52

MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

iteració

ix

iy

i erri

0 1.5 3.5 ---

1 2.0000 3.4480 0.5027

2 1.8355 2.9875 0.4890

3 2.0734 3.1319 0.2782

4 1.9211 2.9428 0.2427

5 2.0559 3.0626 0.1803

6 1.9537 2.9572 0.1468

7 2.0363 3.0365 0.1145

8 1.9713 2.9721 0.0915

2x xy 10 2y 3xy 57

x = 2 y = 3

)(

101

ii

iyx

x

x

yy i

i3

571

2

1

2

1 )()( iiii yyxx

Clase 6 53

MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Sin embargo, con el método del punto fijo, la convergencia depende de la manera en que se formulen las ecuaciones de recurrencia y de haber elegido valores iniciales lo bastante cercanos a la solución. En las dos formulaciones siguientes el método diverge.

iteración xi

yi

1 1.5 3.5

2 1.45578231 5.166666667

3 0.64724246 5.413376566

iteración xi

yi

1 1.5 3.5

2 2.21428571 -24.375

3 -0.20910518 429.713648

x = (57 - y)/3y2

y = (10 - x2)/x

x = (10 - x2)/y y = 57 - 3xy2

Clase 6 54

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS

DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1

Clase 6 55

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS

DE ECUACIONES NO LINEALES

Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección

entre dos funciones no lineales.

Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la

expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de

una variable independiente en la determinación de la raíz.

Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se

escribe, para cada ecuación no lineal:

0)()(),(),( 22

2

111

1

1211211

i

x

i

x

ii xxx

fxx

x

fxxfxxf

ii

0)()(),(),( 22

2

211

1

2212212

i

x

i

x

ii xxx

fxx

x

fxxfxxf

ii

Clase 6 56

),()()( 21122

2

111

1

1 iii

x

i

x

xxfxxx

fxx

x

f

ii

),()()( 21222

2

211

1

2 iii

x

i

x

xxfxxx

fxx

x

f

ii

)( 111

ii xx )( 222

ii xx

),( 2112

2

11

1

1 iii

x

i

x

xxfx

f

x

f

ii

),( 2122

2

21

1

2 iii

x

i

x

xxfx

f

x

f

ii

Clase 6 57

i

i

i

i

ii

ii

f

f

x

f

x

f

x

f

x

f

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

*

fJ *iii xx 11

1

1 iii xx 22

1

2

Clase 6 58

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS

DE ECUACIONES NO LINEALES

iteración xi

yi

ui

vi

ux uy vx vy Jacobiano

1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125

2 2.03602882 2.8438751 -0.064374959 -4.756208497 6.915932746 2.036028823 24.26287675 35.74127004 197.7843034

3 1.99870061 3.002288563 -0.004519896 0.04957115 6.999689781 1.998700609 27.04120985 37.00405588 204.9696292

4 1.99999998 2.999999413 -1.28609E-06 -2.21399E-05 6.999999381 1.999999984 26.99998944 36.99999267 204.9999473

5 2 3 0 2.23821E-12 7 2 27 37 205

x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0

x = 2

y = 3

Clase 6 59

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS

DE ECUACIONES NO LINEALES

Sistema de ecuaciones lineales por el método de Newton Raphson

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

1 2 3 4 5 6

convergencia

ite

racio

nes

x

y

2x xy 10 2y 3xy 57