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Alonso Ramírez Manzanares Métodos Numéricos 29.11.2012
El método de Gradientes ConjugadosMAT-251
Dr. Alonso Ramírez ManzanaresDepto. de MatemáticasUniv. de Guanajuatoe-mail: alram@cimat.mxweb: http://www.cimat.mx/~alram/met_num/
Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: joaquin@cimat.mx
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• En el problema
• donde la matriz es simétrica y definida positiva, y cuando la matriz es rala.
• Usaremos
Intro
xT Ay = (Ax)T y
=
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La forma cuadrática
• Es un escalar
• De tal forma que para nuestro caso f(x) es minimizada por la solución
• Ya que
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¿es un minimo?
• En el caso de matrices positivas definidas
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¿es un minimo?
• En el caso de matrices positivas definidas
positivo
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¿es un minimo?
• En el caso de matrices positivas definidas
positivo
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¿es un minimo?
• En el caso de matrices positivas definidas
positivo
Se demuestra operando sobre f(p) = f(x+d)
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La forma cuadrática en 2D
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El gradiente de la forma cuadrática en 2D
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Forma cuadratica dependiendo la matriz
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¿Cómo minimizar f(x)?
• Usando la dirección de máximo descenso
• Damos una serie de “pasos”
• En este enfoque tenemos 2 guias:
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Escojer α
Es aquel punto tal que su gradiente es perpendicular a la linea de búsqueda
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Escojer
• Calculando derivadas direccionales
• y por regla de la cadena
• ¿Cuál es la ? Usando
α
α= 0
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Comportamiento de maximo descenso
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Eigen vectors
• Los eigen vectores de la matriz definen los ejes de la forma cuadrática. Cada eigen valor es proporcional a la magnitud de la pendiente en esa orientación.
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Metodo de descenso máximo cuando nos movemos por eigen direcciones
Si r(0) es un eigen vector Si todos los eigenvalores son iguales
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Para el análisis se usan norma energética
• La cual se define como
Estos 2 vectores tienen la misma norma energética con respecto a A.
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Usando el análisis de la norma energética, los eigen valores de A y el punto de arranque x(0).
• Se pueden ver casos patológicos o benéficos
Estas gráficas están en el espacio de los eigen vectores
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Si estamos en 2D
• ¿Cuántos pasos da este caso patológico?
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Direcciones conjugadas
• La idea es movernos por n direcciones de búsqueda que son ortogonales
• y dar un solo paso en esa dirección, a lo más en n pasos estamos en el mínimo.
• Queremos algo como esto:
• PERO NO CONOCEMOS e(i)
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Entonces se usan
• direcciones de búsqueda A-ortogonales o conjugadas, lo cual se escribe
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Tamaños de paso con direcciones A-ortogonales
• Podemos usar en análisis similar pero con A-ortogonalidad
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Pasos del método de GC
Se dá un paso en alguna dirección, x(1) se escoje tal que e(1) es A-ortogonal a d(0).
El error inicial se puede ver como una combinación lineal de vectores A-ortogonales. Cada paso elimina uno de ellos.
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En nuestro ejemplo se comporta
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El algoritmo es:
• Se hace hasta convergencia:
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El algoritmo es:
• Se hace hasta convergencia:
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El algoritmo es:
• Se hace hasta convergencia:
Este factor nos da el peso del vector para que se mantengan A-ortogonales, tipo Gram-Schmidt.
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Precondicionamiento:
• Queremos resolver
• Para una matriz M simétrica y positiva definida fácil de invertir resolvemos
• Si este nuevo sistema es mas fácil de resolver. Si la matriz de arriba no es simétrica ni definida podemos calcular
• Se puede probar que las matrices y tienen los mismo eigen valores, entonces podemos resolver
• Donde es simétrica y definida positiva.
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