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Leccion 4El Modelo de Espacio-Estado
1
Estados: Definicion y ejemploEstados: variables internas que describen la evolucion del sistema. Elconocimiento de estas variables en t = t0 junto al conocimiento de laentrada para t ≥ t0 determina el comportamiento del sistema para t ≥ t0Ejemplo
y(s)
u(s)= g(s) =
1 + s
1 + 2s+ 5s2⇔ (1 + 2s+ 5s2)y(s) = (1 + s)u(s)
Transformada inversa:
5y(t) + 2y(t) + y(t) = u(t) + u(t) (1)
Definiendo: x1(t) = y(t), x2(t) = y(t)− 15u(t), (1) es equivalente a
Ecuacion de estados Ecuacion de salidas
x1(t) = x2(t) + 1
5u(t)x2(t) = − 1
5x1(t)− 25x2(t) + 3
25u(t)y(t) = x1(t) =
[1 0
] [x1(t)x2(t)
]
Solucion unica fijada una condicion inicial x1(t0) = x10, x2(t0) = x20.[x1(t)x2(t)
]=Vector de estados del sistema.
2
Estados: Definicion y ejemploEstados: variables internas que describen la evolucion del sistema. Elconocimiento de estas variables en t = t0 junto al conocimiento de laentrada para t ≥ t0 determina el comportamiento del sistema para t ≥ t0Ejemplo
y(s)
u(s)= g(s) =
1 + s
1 + 2s+ 5s2⇔ (1 + 2s+ 5s2)y(s) = (1 + s)u(s)
Transformada inversa:
5y(t) + 2y(t) + y(t) = u(t) + u(t) (1)
Definiendo: x1(t) = y(t), x2(t) = y(t)− 15u(t), (1) es equivalente a
Ecuacion de estados Ecuacion de salidasx1(t) = x2(t) + 1
5u(t)x2(t) = − 1
5x1(t)− 25x2(t) + 3
25u(t)y(t) = x1(t) =
[1 0
] [x1(t)x2(t)
]
Solucion unica fijada una condicion inicial x1(t0) = x10, x2(t0) = x20.[x1(t)x2(t)
]=Vector de estados del sistema.
3
Estados: FormalismoLos sistemas de control:
Evolucionan en el tiempo: T =conjunto tiempo, T ⊂ R unintervalo (sistemas continuos) o T = Z o N (sistemasdiscretos)Variables externas: entradas (controles, perturbaciones,ruido,. . . ) y salidas (medidas o variables que debencontrolarse). Debe especificarse:
U= conjunto de valores de las entradas,U ⊂ u(·) : T → U= conjunto de funciones de entrada ofunciones de control.Y= conjunto de valores de las salidas.
Variables Internas: Estados: variables que describen laevolucion del sistema. Tres condiciones:
(I) El estado actual y la funcion de control determinan los futurosestados del sistema: Dado x(t0) = x0 y una funcion de controlu(·) ∈ U , x(t) determinado de forma unica para todo t en uncierto intervalo Tt0,x0,u(·) de T (periodo de existencia de latrayectoria x(·) que comienza en x0 en el instante t0 bajo elcontrol u(·)).
4
Estados: Formalismo(II) Dado x(t0) = x0, el estado x(t) para t ≥ t0 solo depende de
los valores u(·) en [t0, t).(III) Los valores de las salidas en el instante t estan determinados
completamente por los valores en t de las entradas, u(t), y delos estados, x(t).
Transicion de estados: Aplicacion que define la evolucion delos estados (solucion de las ecuaciones, generalmente). Esconsecuencia de (I) y (II)
x(t) = ψ(t; t0, x0, u(·)), t ∈ Tt0,x0,u(·).
ψ= funcion de transicion de estados. Solo depende de larestriccion de u(·) a [t0, t).X=conjunto de valores de los estados.Funcion de salidas: Por (III) existe
y(t) = η(t, x(t), u(t))
que solo depende de x(t) y u(t) para cada t.
5
Ejemplo
x(t) =
[0 1−1
5 −25
]x(t) +
[15325
]u(t)
y(t) = x1(t) =[1 0
]x(t)
Suponiendo la condicion inicial x(t0) = x0 (diremos que el estadoesta en la posicion x0 en el instante t0):
Funcion de transicion de estados
(A =
[0 1−1
5 −25
], b =
[15325
])
ψ(t; t0, x0, u(·)) = eA(t−t0)x0 +
∫ t
t0
eA(t−s)bu(s) ds, t ∈ [t0, t1].
posicion del estado en el instante t: x(t) = ψ(t; t0, x0, u(·)).
Funcion de salida (respuesta del sistema)(C =
[1 0
])
y(t) = η((t, x(t), u(t)) = Cx(t)
6
Sistemas diferenciales
(i) T ⊂ R es un intervalo abierto.
(ii) U ⊂ Rm, Y ⊂ Rp y X ⊂ Rn abiertos.
(iii) U = C(T , U) o PC(T , U)
(iv) x(t) = ψ(t; t0, x0, u(·)) es la unica solucion del P.C.I.1
x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ t0, t ∈ Tx(t0) = x0
(v) η : T ×X × U → Y es continua.
1Una condicion suficiente para que exista y sea unica es queg(t, x) = f(t, x, u(t)) sea continua a trozos respecto de t y continuamentediferenciable respecto a x (i.e., ∃ ∂g
∂xi, y son continuas). El Teorema de
Caratheodory da condiciones suficientes para la existencia y unicidad desoluciones para funciones mas generales.
7
Sistemas recursivos o en diferencias finitas
(i) T = N o Z.
(ii) U,X, Y conjuntos no vacıos
(iii) x(t) = ψ(t; t0, x0, u(·)) es la unica solucion del sistema en
diferencias finitas
x(t+ 1) = f(t, x(t), u(t))
con la condicion inicial x(t0) = x0 con t0 ∈ T , x0 ∈ X yt ≥ t0.
8
Sistemas linealesUn sistema dinamico es lineal si
(i) U , U , X, Y son espacios vectoriales sobre K (un cuerpo)(ii) Las aplicaciones
ψ(t; t0, ·, ·) : X × U → X(x, u(·)) → ψ(t; t0, x, u(·))
η(t, ·, ·) : X × U → Y(x(t), u(t)) → η(t, x(t), u(t))
son lineales para todo t, t0 ∈ T , t ≥ t0Algunas consecuencias de la linealidad:
ψ(t; t0, 0X , 0U ) = 0X , η(t; 0X , 0U ) = 0Y , t, t0 ∈ T , t ≥ t0Principio de descomposicion:(x0, u(·)) = (x0, 0U ) + (0X , u(·))⇒
⇒ ψ(t; t0, x0, u(·)) = ψ(t; t0, x
0, 0U ) + ψ(t; t0, 0X , u(·)) ,
Movimiento libre Movimiento forzado(Lo mismo para las salidas) 9
Mas sobre sistema lineales
Principio de superposicion: La salida de una suma deestados y entradas es la suma de las salidas de cada uno delos estados y entradas:
ψ(t; t0,
∑ki=1 λixi,
∑ki=1 λiui(·)
)=∑k
i=1 λiψ(t; t0, xi, ui(·)),η(t,∑k
i=1 λixi,∑k
i=1 λiui
)=∑k
i=1 λiη(t, xi, ui).
Leyes de superposicion para los movimientos libre yforzado:
ψ(t; t0,
∑ki=1 λixi,
∑ki=1 λi0U
)=∑k
i=1 λiψ(t; t0, xi, 0U )
ψ(t; t0, 0x,
∑ki=1 λiui(·)
)=∑k
i=1 λiψ(t; t0, 0X , ui(·))
(Lo mismo para las salidas)
10
Sistemas lineales de dimension finita
Sistemas Diferenciales Sistemas en Diferenciasx(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)
x(t+ 1) = A(t)x(t) +B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)
T ⊂ R un intervalo, PC =continuas a trozos:
A(t)= matriz de estados: A(·) ∈ PC(T ,Rn×n)B(t= matriz de controles o entradas: B(·) ∈ PC(T ,Rn×m)C(t)= matriz de salidas: C(·) ∈ PC(T ,Rp×n)D(t)=matriz de salidas directas: D(·) ∈ PC(T ,Rp×m)
El problema de condiciones iniciales:x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t), t ∈ Tx(t0) = x0 (2)
tiene solucion unica: Para cada (t0, x0, u(·)) ∈ T × Rn× PC(T ,R),
ψ(·; t0, x0, u(·)) : T → Rn es una aplicacion continua definida comola unica solucion del P.C.I. (2). ψ es diferenciable en todo t ∈ Texcepto en los puntos de discontinuidad de A(·), B(·) y u(·). 11
Estados de equilibriox ∈ X es un estado de equilibrio o estacionario de un sistemabajo el control u(·) si
ψ(t; t0, x, u(·)) = x
parar todo t ∈ T con t ≥ t0.0X es un estado de equilibrio para los sistemas dinamicoslineales bajo el control u(·) = 0U porqueψ(t; t0, 0X , 0U ) = 0X , t, t0 ∈ T , t ≥ t0.Si x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ∈ T es la ecuacion del sistema,para cada u(·) ∈ U , los estados de equilibrio bajo el controlu(·) son las soluciones constantes de
x(t) = f(t, x, u(t)) (i.e., f(t, xe, u(t)) = 0)Es decir, sus soluciones de equilibrio: Si en un instante inicialt0 ∈ T el estado es x(t0) = xe y el sistema esta bajo elcontrol de u(·) entonces el estado de Σ es x(t) = xe paratodo t ≥ t0, t ∈ T .
12
Pendulo invertidoSe quiere aplicar una fuerza en la base del pendu-lo amortiguado para devolverlo a la posicion vertical.:u(t) actua sobre el pendulo oponiendose a su movi-miento. Recordando la expresion para el par de fuerzas:x(t)F2(t)− y(t)F1(t) = N(t) = mr2ω(t)):
m`2θ(t) = −cθ(t) +mg` sen θ(t)− u(t)` cos θ(t).
Suponiendo, por sencillez que ` = g = c = 1m y supri-
miendo el argumento t:
θ = −θ + sen θ − u cos θ.Ecuaciones de espacio-estado (x1 = θ y x2 = θ):
x1 = x2(t)x2 = −x2(t) + senx1 − u cosx1
⇒ f(t, x, u) =
[x2
−x2 + senx1 − u cosx1
].
Los estados estacionarios bajo el control u(·): soluciones constantes def(t, x, u) = 0. Si u(t) = 0:
f(t, x, 0) =
[x2
−x2 + senx1
],
f(t, x, 0) = 0 (x constante) si y solo si x2 = 0 y x1 = kπ, k = 0, ±1,±2, . . .
13
Satelites de comunicacionesOrigen: centro de la TierraMT= Masa de la tierraMS= Masa del sateliteG= cte de gravitacion universal (6,67428×10−11 N·m2
Kg2)
Ω= velocidad angular de la Tierra (7,27 ×10−5rad/seg)
Posicion del satelite: sobre el ecuadorCoordenadas polares: (r, θ, ψ)→ (r, θ)Ecuaciones del movimiento (Fr(t), Fθ(t) fuerzas ejercidas porpropulsores en el satelite en las direcciones radial y tangencial):
MS r(t) = MSr(t)θ(t)
2 − GMTMS
r(t)2 + Fr(t)
MSr(t)θ(t) = −2MS r(t)θ(t) + Fθ(t)
Renombrando Fr = Fr/MS , Fθ = Fθ/MSr(t) = r(t)θ(t)2 − GMT
r(t)2 + Fr(t)
r(t)θ(t) = −2r(t)θ(t) + Fθ(t)14
Orbita geosıncrona
Es la orbita geosıncrona (mismoperiodo que la Tierra), circular ycon inclinacion cero (ψ = 0)
Velocidades angulares iguales: θ(t) = θ0 + ΩtCambio de variables: x1(t) = r(t), x2(t) = r(t),x3(t) = θ(t)− (θ0 + Ωt), x4(t) = θ(t)− Ωθ0 angulo de referencia ⇒ x3(0) = 0
Sistema en espacio-estado:
x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)
=
x2(t)
x1(t)(x4(t) + Ω)2 − GMT
x1(t)2+ Fr(t)
x4(t)
−2x2(t)(x4(t) + Ω)
x1(t)+Fθ(t)
x1(t)
15
Estados estacionarios
Supondremos control 0: Fr(t) = Fθ(t) = 0.
xi(t) = cte⇒ x1 = R0, x3 = Θ0, x2 = x4 = 0⇓ ( 2a ecuacion)
0 = x1(t)Ω2 − GMTx1(t)2
= R0Ω2 − GMT
R20
⇓R0 =
(GMT
Ω2
) 13 ≈ 42164 Km
Como x3(t) es constante y x3(0) = 0, debe ser x3(t) = 0.
Estado estacionario a control 0: (R0, 0, 0, 0) → r(t) = R0,θ(t) = θ0 + Ωt
16
Solucion de los sistemas lineales
La unica solucion del P.C.I.x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)x(t0) = x0
es
x(t) = Φ(t, t0)x0 +
∫ t
t0
Φ(t, s)B(s)u(s) ds, t ∈ T
donde Φ(t, t0) es una matriz fundamental de soluciones: cada unade sus columnas es solucion del sistema x(t) = A(t)x(t) ydet Φ(t, t0) 6≡ 0, y la matriz de transicion de estados: unicasolucion de
X(t) = A(t)X(t), t ∈ TX(t0) = In
17
Sistemas diferenciales lineales invariantes en el tiempo
x(t) = Ax(t) +Bu(t), t ∈ R A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×my(t) = Cx(t) +Du(t) C ∈ Rp×n, D ∈ Rp×m
Matriz fundamental de soluciones o de transicion de estados:Φ(t, t0) = eA(t−t0)
eAt =∞∑
k=0
tk
k!Ak, t ∈ R (Matlab: expm)
Solucion (funcion de transicion de estados):
x(t) = eA(t−t0)x0 +
∫ t
t0
eA(t−τ)Bu(τ) dτ, t ∈ R
Respuesta del sistema:
y(t) = Cx(t)+Du(t) = CeA(t−t0)x0+
∫ t
t0
CeA(t−τ)Bu(τ) dτ+Du(t)
18
Matriz de transicion: Forma de JordanSi A ∈ Rn×n, existe T ∈ Cn×n t.q. T−1AT = J , con
J =
J1
. . .
Jr
, Jj =
λj 1 0 · · · 00 λj 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.. . .
. . ....
0 0 · · · λj 10 0 · · · 0 λj
∈ Cnj×nj ,
Esta es la forma de Jordan de A y λ1, . . . , λr ∈ C son los valores propios(v.p.) distintos (λi 6= λj) de A. Se cumple que:
eJt
=
eJ1t
. . .
eJkt
, e
Jjt = eλjt
1 t t2
2!· · · t
nj−2
(nj−2)!tnj−1
(nj−1)!
0 1 t · · · tnj−3
(nj−3)!tnj−2
(nj−2)!
.
.
.
.
.
.
.
.
.. . .
.
.
.
.
.
.0 0 0 · · · 1 t0 0 0 · · · 0 1
.
Si λj = aj + ibj ⇒ eλjt = eajteibjt = eajt(cos(bjt) + i sen(bjt))
eA(t−τ) = TeJ(t−τ)T−1
(Matlab: eig) (valores propios)(Matlab (symbolic toolbox): jordan) (forma de Jordan)
19
Oscilador lineal amortiguado
mx+ cx+ kx = 0 (movimiento libre)x(0) = x0, x(0) = v0
Con el cambio
ω0 =√
km ζ = c
2√km
(frecuencia natural) (razon de amortiguamiento)
x+ 2ζω0x+ ω20x = 0
Ecuaciones de estado (x1 = x, x2 = x):[x1
x2
]=
[0 1−ω2
0 −2ζω0
] [x1
x2
],
[x1(0)x2(0)
]=
[x0
v0
]
20
Oscilador lineal amortiguadoPolinomio caracterıstico:
λ2 + 2ζω0λ+ ω20 =
(λ+ ζω0 + ω0
√ζ2 − 1
)(λ+ ζω0 − ω0
√ζ2 − 1
)
Solucion general: x(t) = TeJtT−1
[x0v0
]
Movimiento subamortiguado: 0 < ζ < 1.
eJt =
[e(−ζω0+ωdi)t 0
0 e(−ζω0−ωdi)t
]
ωd = ω0
√1− ζ2 (frecuencia de amortiguamiento)
e(−ζω0±ωdi)t = e−ζω0t(cos(ωdt)± i sen(ωdt))x(t) = e−ζω0t (A cos(ωdt) +B sen(ωdt))
x(t) = Ae−ζω0t cos(ωdt− φ)
Movimiento sobreamortiguado: ζ > 1.
eJt =
[e(−ζ+
√ζ2−1)ω0t 0
0 e(−ζ−√ζ2−1)ω0t
]
x(t) = Ae(−ζ+√ζ2−1)ω0t +Be(−ζ−
√ζ2−1)ω0t
21
Oscilador lineal amortiguadoMovimiento crıticamente amortiguado: ζ = 1.
J =
[−ω0 1
0 −ω0
], eJt = e−ω0t
[1 t0 1
]
Solucion general: x(t) = TeJtT−1
[x0
v0
]
x(t) = e−ω0t [(v0 + ω0x0)t+ x0]
Observacion: Las tres figuras tienen una caractrıstica comun:despues de un tiempo en el que el sistema evoluciona con cambiossignificativos, tiende al estado estacionario. Es una propiedadgeneral de los sistemas lineales amortiguados (c ≥ 0). 22
Respuesta de los sistemas linealesx(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t),y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)
y(t) = C(t)Φ(t, t0)x0 +
∫ t
t0
C(t)Φ(t, s)B(s)u(s) ds+D(t)u(t) , t ∈ T .
respuesta al movimientolibre (control 0)
respuesta al movimientoforzado (estado inicial 0)
La respuesta al movimiento forzado se divide en dos:
Respuesta transitoriaRespuesta de estado estacionario
23
Respuesta a un impulso
impulso unidad en τ : δτ (t) :=
0, t 6= τ+∞, t = τ∫ +∞
−∞f(u)δ(t− u) du =
∫ +∞
−∞f(t− u)δ(u) du = f(t)
Respuesta a un impulso= Salida al estado inicial cero en t0 deu(t) = ejδ(t− t0).
hj(t, t0) =
[∫ t
t0
C(t)Φ(t, s)bj(s)δ(s− t0) ds+D(t0)(t)δ(t− t0)
]ej ,
Matriz de Respuesta a un Impulso:
H(t, s) =
C(t)Φ(t, s)B(s) +D(s)δ(t− s) t ≥ s0 t < s
y(t) = C(t)Φ(t, t0)x0 +
∫ t
t0
H(t, s)u(s) ds,
Sistemas invariantes en el tiempo:H(t, s) = CeA(t−s)B +Dδ(t− s) =: H(t− s),y(t) = eA(t−t0)x0 +
∫ t
t0
H(t− s)u(s) ds =
= eA(t−t0)x0 +
∫ t
t0
CeA(t−s)Bu(s) ds+Du(t). 24
Respuesta transitoria y de estado estacionarioMATLAB: impulse,impulseplotEjemplo: Oscilador armonico lineal( ω0 = 0,5, ζ = 0,25)[
x1
x2
]=
[0 1−ω2
0 −2ζω0
] [x1
x2
]+
[01
]δ(t); y(t) = x(t)
>> w=0.5; z=0.25;
>> A=[0 1; -w^2 -2*z*w]; B=[0;1]; C=eye(2);
>> sis=ss(A,B,C,0)
>> impulse(sis)
25
Respuesta a un salto unidadx(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)
Hipotesis: A invertible
Funcion salto unidad
γ(t) :=
0, t < t01, t ≥ t0 ⇒ uj(t) = γ(t)ej , 1 ≤ j ≤ m
Respuesta del sistema (x(0) = 0): 1 ≤ i ≤ p, para cada uj , t ≥ t0sij(t) =
∫ t
t0
cieA(t−s)Bγ(s)ej ds+ dijγ(t) =
= ci
∫ t
t0
eA(t−s)bj ds+ dij =
= ci
[(−A−1eA(t−s)bj
]tt0
+ dij
= ciA−1eAtbj − ciA−1bj + dij
Matriz de respuesta a un salto:
S(t) = CA−1eAtB −CA−1B +D
respuesta transitoria respuesta de estado estacionario
CA−1eAtB → 0 si Reλi(A) < 0, 26
Respuesta a un salto unidadx(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)
Hipotesis: A invertible
Funcion salto unidad
γ(t) :=
0, t < t01, t ≥ t0 ⇒ uj(t) = γ(t)ej , 1 ≤ j ≤ m
Respuesta del sistema (x(0) = 0): 1 ≤ i ≤ p, para cada uj , t ≥ t0sij(t) =
∫ t
t0
cieA(t−s)Bγ(s)ej ds+ dijγ(t) =
= ci
∫ t
t0
eA(t−s)bj ds+ dij =
= ci
[(−A−1eA(t−s)bj
]tt0
+ dij
= ciA−1eAtbj − ciA−1bj + dij
Matriz de respuesta a un salto:
S(t) = CA−1eAtB −CA−1B +D
respuesta transitoria respuesta de estado estacionario
CA−1eAtB → 0 si Reλi(A) < 0, 27
Parametros en la respuesta a un salto unidad
El valor de estado estacionario yee: valor final de la salida(suponiendo convergencia).
Tiempo de Subida Tr: cantidad de tiempo que se requierepara que la senal pase del 10 % al 90 % de su valor final.
Sobreelongacion (Overshoot) Mp: porcentaje del valor finalque la senal sube por encima de este en la etapa transitoria.
Tiempo de Ajuste Ts: cantidad de tiempo necesaria para quela senal se situe en el 2 % de su valor final.
28
Ejemplo salto unidadOscilador lineal con ω0 = 0,6 rad/seg, ζ = 0,25:
x(t) + 0,30x(t) + 0,36 = 0,36ku(t)
Ecuaciones de espacio-estado:
x(t) =
[0 1
−0,36 −0,30
]+
[0
0,36k
]u(t)
y(t) =[1 0
]x(t),
Funcion de transferencia (con y(t) = x1(t)):
g(s) =0,36k
s2 + 0,30s+ 0,36= C(sI −A)−1B
>> A=[0 1;-0.36 -0.30]
>> B=[0;0.36], C=[1 0]
>> siso=ss(A,B,C,0)
>> g=tf(sis)
>> num=[0.36], den=[1 0.3 0.36]
>> sis=tf(num,den)
>> sises=ss(sis)
>> A1=sises.a, B1=sises.b,
>> C1=sises.cPara obtener los parametros del sistema: stepinfo(g) ostepinfo(sis) o stepinfo(sises) 29
Ejemplo salto unidad. Graficasstep(g) o step(sis) o step(sises) producen la misma gafica:la respuesta al movimiento forzado por el salto unidad
Para obtener la grafica de la evolucion de todos los estados delsistema:
>> [y t x]=step(sis);
>> plot(t,x(:,1), ’b-’,t,x(:,2), ’r--’)
30
Oscilador lineal y salto unidadLa forma de la curva que representa la respuesta del osciladorlineal a la funcion salto depende de la razon de amortiguamiento ζmientras que la velocidad depende de la frecuencia natural delsistema ω0.
Figura: Respuesta del osciladorlineal a la funcion salto unidadpara ω0 = 0,25, 0,5, 0,75
Figura: Respuesta del osciladorlineal a la funcion salto unidadpara ζ = 0, 0,2, 0,5, 1,05
31
La respuesta de frecuenciaEs la respuesta de un sistema lineal a una excitacion sinusoidal.Por ejemplo u(t) = cosωt = 1
2
(eiωt + e−iωt
)↔ u(t) = est
Respuesta:
y(t) = −CeAt(sI −A)−1B︸ ︷︷ ︸respuesta transitoria
+(C(sI −A)−1B +D
)est.︸ ︷︷ ︸
respuesta de estado estacionario
Matriz de transferencia del sistema: C(sI −A)−1B+D ∈ Cp×mp = m = 1 C(sI −A)−1B +D = Meiθ (M= magnitud, θ=fase)
Re(Λ(A)) < 0⇒ y(t)→ yee = Mest+iθ para t→∞u(t) = Au sen(ωt+ ψ)⇒ yee(t) = MAu sen(ωt+ (θ + ψ))
ganancia(ω) = M =AyAu,
fase(ω) = ϕ− ψ = θ
32
Parametros de la respuesta de frecuencia
La ganancia de frecuencia cero M0 es la ganancia del sistemapara ω = 0 (i.e. s = 0) .
M0 = −CA−1B +D
i.e., es la respuesta de estado estacionario a la funcion saltounidad. (Matlab: evalfr,respfreq)
El ancho de banda ωb es el rango de frecuencia en el que laganancia ha decrecido no mas que 1/
√2 de su valor de
referencia. (Matlab: bandwidth)
El pico resonante Mr y la frecuencia del pico ωr. El primeroes el valor maximo de la ganancia del sistema y el segundo esel valor de la frecuencia de entrada donde se alcanza elprimero. (Matlab: getPeakGain)2
2Las unidades de la ganancia devuelta son absolutas. Para pasar a Db(decibelios) se debe hacer la oparacion Db = 20 log(ua)
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Diagramas de Bode (Bode plot)Proposito: visualizar graficamente la fase y ganancia a una entradasinusoidal. MATLAB: bode, bodeplot, bodemag.EJEMPLO: oscilador lineal
funcion de transferencia: g(s) =kω2
0
s2+2ζω0s+ω20
Meiθ =kω2
0
(iω)2+2ζω0(iω)+ω20
=kω2
0
ω20−ω2+2iζω0ω
Figura: Respuesta de frecuencia para el oscilador lineal en funcion de ζ.La grafica superior representa la ganancia y la inferior la fase. Valorespequenos de ζ producen picos resonantes mas agudos y un cambio rapidoen la fase cuando ω = ω0
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