ejercicios univariado
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Modulo de EjerciciosCalculo Univariado
Jaime Florez
2016
II
Modulo de Ejercicios
Calculo Univariado
Ingenierıa Agroindustrial
Universidad Del Tolima
Vida=
∫ muerte
nacimiento
felicidad
tiempod tiempo
Jaime A. Florez S.
Primera Version
Ibague - 2016
Introduccion
El presente modulo taller pretende ser una herramienta de apoyo en el
desarrollo del curso Calculo Univariado del programa ingenierıa agroindus-
trial de la Universidad Del Tolima, por ende se encuentra organizado de
manera que el educando identifique el conjunto de ejercicios a realizar tras
finalizar cada una de las 12 clases que compone el total del curso.
La tematica del curso y los ejercicios seleccionados responden a lo que
en la experiencia de su servidor es mas relevante para la formacion del in-
geniero agroindustrial en contraste con las limitaciones del medio y de la
intensidad horaria.
Ası pues, esta primera version de modulo de talleres se encuentra di-
vidido en tres Capıtulos (uno por cada parcial) y cada uno en 4 secciones
(una por cada clase presencial).
Los ejercicios del primer capıtulo tienen por objetivo principal que el
estudiante pueda identificar y redefinir (si es posible) las continuidades de
una funcion con indeterminacion y/o a trozos, proceso mediante el cual el
futuro ingeniero debera afianzar las habilidades algebraicas y trigonometri-
cas que necesita.
III
IV
En el segundo capıtulo los ejercicios planteados pretenden generar en el
educando las habilidades necesarias para determinar la derivada de cual-
quier funcion continua, culminando con ejercicios sencillos de optimizacion.
Finalmente, el tercer capıtulo pretende a generar las habilidades basicas
de integracion. En aras de conseguir este proposito, cada seccion se enfoca
en una tecnica de integracion. Desgraciadamente, el tiempo no es suficiente
para estudiar las fracciones parciales, por lo que el capıtulo culmina con
una seccion de bonus dirigida a las mentes inquietas que se interesen por
esta tecnica.
Considero ademas, que este material puede ser de utilidad para otros
actores, por lo que en mi calidad de academico y como defensor del copy
left, autorizo su reproduccion y divulgacion por medio digital y fısico. Si
es de su interes, puede solicitar una copia a la direccion electronica jaflo-
rezs@ut.edu.co
Fraternalmente,
Jaime A. Florez S.
Indice general
V
Capıtulo 1
Lımites
1.1. Clase 1: Acuerdo pedagogico
1.1.1 Repasar los casos de factorizacion.
1.1.2 Repasar las identidades trigonometricas.
1.1.3 Repasar lo concerniente a la ecuacion de la recta.
1.2. Clase 2: Funciones a trozos y lımites laterales
1.2.1 Grafica las siguientes funciones y halla los valores solicitados. Jus-
tifica detalladamente tus respuestas.
a. f(1) y lımx→1
f(x) para f(x) =
2 si x < 1
−1 si x = 1
−3 si 1 < x
1
2 CAPITULO 1. LIMITES
b. f(−4) y lımt→−4
f(t) para f(t) =
t+ 4 si t ≤ −4
4− t si −4 < t
c. g(2) y lımx→2
g(x) para g(x) =
x2 si x ≤ 2
8− 2x si 2 < x
d. h(1) y lımr→1
h(r) para h(r) =
2r + 3 si r < 1
2 si r = 1
7− 2r si r > 1
e. f(−2) y lımt→−2
f(t) para f(t) =
3 + t2 si t < −2
0 si t = −2
11− t2 si −2 < t
f. g(0) y lımx→0
g(x) para g(x) =
−2 si x < 0
2 si 0 ≤ x1.2.2 Indica si la afirmacion es verdadera o falsa, justifica detallada-
mente tu respuesta.
a. Para la funcion g(x) = x2−1x−1 g(1) no existe pero lım
x→1g(x) si.
b. Para la funcion g(x) =√x+9−3x g(0) no existe pero lım
x→0g(x) si.
c. Para la funcion g(x) = x2 − 1 g(1) no existe pero lımx→1
g(x) si.
d. f(2) = lımx→2
f(x) para la funcion f(x) =
2x− 1 si x 6= 2
1 si x = 2
1.3. CLASE 3: LIMITES INDETERMINADOS 3
1.3. Clase 3: Lımites indeterminados
1.3.1 Halla los siguientes lımites (si existen)
a. lımx→7
x2−49x−7 b. lım
t→5
t2−255−t c. lım
x→1/3
3x−19x2−1
d. lıms→4
3s2−8s−162s2−9s+4
e. lımy→−2
y3+8y+2 f. lım
x→4
3x2−17x+204x2−25x+36
g. lımx→−3
t3−27t−3 h. lım
x→−3
√x2−9
2x2+7x+3i. lımx→81
√81−99−x
j. lımx→−1
√x+5−2x+1 k. lım
x→1
3√x−1x−1 l. lım
h→0
√h+2−
√2
h
m. lımx→64
3√64−4x−4 n. lım
x→−5
3√−125+55+x o. lım
x→3
(x−1)5x5−1
p. lımx→0
1x+5− 1
5
x q. lımx→1
(x2
x−1 −1
x−1
)r. lım
x→4
2−√x
3−√2x+1
1.3.2 Halla los siguientes lımites (si existen)
a. lımθ→0
θ2
sin θ b. lımθ→0
sin2 θθ2
c. lımθ→0
1−cos θθ2
d. lımθ→0
tan θθ
e. lımx→0
2xsinx−x f. lım
θ→0
sin(2θ2)θ2
g. lımx→0
sin(2x)x cos(3x) h. lım
x→0
sinx√x
i. lımx→0
1−cos(2x)x j. lım
x→0
1x sin
(x3
)k. lım
x→0
(sin(3x))2
x2 cos(x)l. lımx→0
1−cos(x)sinx
m. lımx→0
tan(2x)tan(3x) n. lım
x→0x secx cscx o. lım
x→0
1−cos(2x)x sin(x) p. lım
x→0x cot(3x)
q. lımx→0
x−tanxsinx r. lım
x→0
1x2
sin2(x2
)s. lım
x→0
secx−1x secx t. lım
x→0x2 csc(2x) cot(2x)
1.4. Clase 4: Continuidad
1.4.1 En cada una de las figuras 1 a 7 se representa una funcion a
trozos. Indica a partir de la grafica en que puntos es discontinua la funcion
y si dicha discontinuidad es removible o escencial. Justifica detalladamente
tus procesos y respuestas.
1.4.2 Define las funciones f(x), g(x) y h(x) representadas en las figuras
1 a 3 como una funcion a trozos
4 CAPITULO 1. LIMITES
Figura 1.1: f(x)
Figura 1.2: g(x)
1.4. CLASE 4: CONTINUIDAD 5
Figura 1.3: h(x)
Figura 1.4: r(x)
6 CAPITULO 1. LIMITES
Figura 1.5: s(x)
Figura 1.6: u(x)
1.4. CLASE 4: CONTINUIDAD 7
Figura 1.7: v(x)
1.4.3 Determina si la funcion es continua o no. En caso de ser discon-
tinua, indica si la discontinuidad es escencial o removible, si es removible
redefine la funcion de modo que sea continua. Justifica detalladamente tus
procesos y respuestas.
a. f(x) = x2+x−6x+3 b. f(x) = x2−3x−4
x−4 c. g(t) = t3−27t−3
c. h(x) = x2−49x−7 d. f(t) = t2−25
5−t e. g(x) = 3x−19x2−1
f. f(t) = 3t2−8t−162t2−9t+4
g. h(y) = y3+8y+2 h. f(x) = 3x2−17x+20
4x2−25x+36
i. f(x) = x−9√x−3 j. f(x) = x−5√
x−1−2 k. g(x) =3√x−2x−8
l. h(x) =3√x+1−1
x m.3√64−4x−4 n.
3√−125+55+x
1.4.4 Determina cualeas de las funciones del numeral ?? son continuas.
En el caso de las discontinua, indica si la discontinuidad es escencial o
removible, si es removible redefine la funcion de modo que sea continua.
Justifica detalladamente tus procesos y respuestas.
Capıtulo 2
Derivadas
2.1. Clase 1: Derivada por lımites y teoremas de
diferenciacion
2.1.1 Halla la derivada de cada funcion con respecto a x, utilizando la
definicion
a. f(x) = π + 3x− 7x2 b. g(x) = 1x−4 c. h(x) =
√x
d. g(x) = x8 e. h(x) = 3x2 − 2x6 f. f(x) =√
5x− 2
g. g(x) = 3√x h. f(x) = 1
πx i. h(x) = 33√x
j. y = 2x4 − 3x3 k. y =3√
5x−√
2 l. f(x) = 1x+2
2.1.2 Halla la derivada de las siguientes funciones algebraicas utilizando
las reglas de diferenciacion
9
10 CAPITULO 2. DERIVADAS
a. y = 15x2 − 6x+ 12 b. f(t) = (2t2 − 4t+ 7)(5t− 4t5 + 1)
c. g(x) = 2t−πt3−t2+t d.h(x) = π
x5+ 1
x2+ 1
x
e. p(x) = 9x5+x2+x
f. s(x) = x5+x2+x9
g. f(t) = 43√t2 − 6
√x6 h. m(x) = (x2−1)(
√x3−1)
57√x5
i. n(x) = 6
√1+3x3
1−πx4 j. j(x) = (3x2 − 2x+ 1)(2x− 1)(√x− 1)
k. f(x) =
√1 +
√1 +√
1 + x l. y = 5
√(3x2−1)(2x−1)2
(3x3+1)4
m. y = 3
√16x4 + 5
x3+ 1√
xn. y = 3
√(3x−1)(2x−1)4x
(3x3+1)2
o. f(x) =35t−1
2t2
+7p. y =
3√
(3x−1)(2x−1)4x(3x3+1)2
2.2. Clase 2: Regla de la cadena y Derivada de las
funciones trigonometricas
2.2.1 Halla la derivada de las siguientes funciones trigonometricas uti-
lizando las reglas de diferenciacion
a. y = 4 sin θ − π3 cos θ b.f(x) = 6
3x7+ 2 tanx
c. f(x) = 4 sec2(x) d.h(t) = sec(t)2
e. y = 5 csc3(πx4 − 2x5)2 f.y =√
tan θ + tan√θ
g. g(x) = 6 cot(5x3+2)3 tan(3x4−10 h.y = sin(cos(x2+4))
2
i. f(x) = cos3(x)cot(x3)
j.y = 3√
csc(sec3(t))
k. g(t) = sin3(πt2 + 2t− 4) cos(√
3t+ 2) l.h(x) =tan(6x3+2) sec2( 6
x)√
csc(2x)
2.3. Clase 3: Derivada implıcita, exponencial y lo-
garıtmica
2.3.1 Halla la derivada de las siguientes funciones implıcitas
2.4. CLASE 4: MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES UNIVARIADAS11
a. x2 + y2 = 4 b. (x− y2)(x+ xy) = 4 c.3√x2 − 3
√y2 − 2y = 2
d. (x+ y)3 = x3 + y3 e. x−yx−2y = 5 f. cos(πy)− 3 sin(πx) = 1
g. sin(x) = x(1 + cot y) h. sin(x+ y) = y2 cosx i. x√
1 + y + y√
1 + 2x = 2x
j. xx−y = x2 + y k.
√x+ y +
√xy = 8 l. xy = cot(xy)
2.3.2 Halla la derivada de las siguientes funciones logarıtmicas y expo-
nenciales
a. g(x) = log3 x2 b. y = (log5 x)4 c. y = ln(x+
√x2 − 1)
d. f(x) = 23x e. y = 43√x f. y = (e−t + et)3
g. y = log10x
x2−1 h. h(t) = log4 tan tt2
i. y = ln(lnx3)
j. f(x) = π5x2 k. y = ln(π+2x
3
csc5(3+4x)2l. g(t) = ecot
2 x
m. f(x) = ln√
x2−12−5x n. y = ln
(cos 4+x2
x
)o. f(t) = ln(sin(πt− 1))
2.3.3 Halla la derivada de las siguientes funciones
a. y = arcsin 2x3 b. f(x) = arccot( 2x) c. g(t) = arc cos t−1t+1
d. y = lnx(arcsecx3)4 e. h(x) =√arctanxe−5x f. y = 2arcsin(πx
2) − e3
g. f(x) = 52x3−3 arccsc(2− x5) h. f(x) = 7arc cos
√3−7x
log3 9xi. y =
√1− 5x arc cos(5x)
2.4. Clase 4: Maximos y mınimos de funciones
univariadas
2.4.1 Traza la grafica de las siguiente funciones hallando puntos crıticos,
maximos y mınimos, donde crece y/o decrece la funcion, puntos de inflexion
y concavidad
12 CAPITULO 2. DERIVADAS
a. y = x3 − 6x2 − 9x− 54 b. f(x) = x3 + x− 1
c. g(t) = t3 + 3t2 − 9 d. y = 2x3 − 6x+ 4
e. h(x) = x2 − 4x− 1 f. f(x) = 2x3 − 2x2 − 16x− 1
g. y = 3x4 + 2x3 h. g(x) = x3 − 3x2 + 3
i. l(x) = x4 − 4x3 j. y = x3 + 3x2
k. s(t) = t3 − 6t2 + 9t− 3 l. y = x3 − 3x2 − 9x+ 10
m. y = x3 − 2x2 + x− 1 n. r(t) = t3 − 3t+ 2
Capıtulo 3
Integrales
3.1. Clase 1: Integral como antiderivada y cambio
de variable
3.1.1 Halla la integral de cada funcion, haciendo la sustitucion adecua-
da. Verifica tu respuesta mediante diferenciacion.
a.∫ √
1− 6ydy b.∫
5√
3x− 4dx c.∫x 4√x2 − 5dx
d.∫x3(x4 − 1)dx e.
∫t4
(1−2t5)6dt f.∫
cos(4θ)dθ
g.∫
12t sin(3t2)dt h.
∫sec2(6x)dx i.
∫x2 sec( 2x3)dx
j.∫
sinx(5 + cosx)4dx k.∫
cos3 x sinxdx l.∫t3et
4dt
3.2. Clase 2: Integracion por partes
3.2.1 Halla la integral de cada funcion, aplicando la tecnica de integra-
cion por partes. Verifica tu respuesta mediante diferenciacion.
13
14 CAPITULO 3. INTEGRALES
a.∫x cosxdx b.
∫z sec2(3z)dz c.
∫arc cos(2x)dx
d.∫x secx tanxdx e.
∫t2e−3tdt f.
∫x3xdx
g.∫
ln tdt h.∫x2 sec2(6x)dx i.
∫ex cos(x)dx
j.∫x5exdx k.
∫x3√1−x2dx l.
∫ (ln t)2
t dt
3.3. Clase 3: integral de funciones trigonometri-
cas
3.3.1 Halla la integral de cada funcion trigonometrica.
a.∫
sin3 x cosxdx b.∫
cos2(3z)dz c.∫
sin3(2x)dx
d.∫
cos5 xdx e.∫
sin2 t cos3 tdt f.∫ex tan2(ex)dx
g.∫
cot3 tdt h.∫
tan4 xdx i.∫
csc3 xdx
j.∫
sec4 xdx k.∫
sec3 ztan4 z
dz l.∫
sin3 t cos3 tdt
3.4. Clase 4: Sustitucion trigonometrica y teore-
ma fundamental del calculo
3.4.1 Halla la integral de cada funcion, aplicando la tecnica de integra-
cion por sustitucion trigonometrica. Verifica tu respuesta mediante diferen-
ciacion.
a.∫
dxx2√4−x2 b.
∫ √4−z2z2
dz c.∫
dxx√4+x2
d.∫
x2√6+x2
dx e.∫
xx√x2−16dx f.
∫dx
(3+x2)3/2dx
g.∫
dx(5x2−9)3/2dx h.
∫x3√x2 − 9dx i.
∫x3√x2+9
dx
j.∫
x3√x2−9dx k.
∫z5√z2+2
dz l.∫
dtt2√16t2−9
3.4.2 Aplica el Teorema Fundamental del Calculo para hallar el area
sombreada de las siguientes figuras
3.5. BONUS: FRACCIONES PARCIALES 15
3.5. Bonus: Fracciones parciales
Halla la integral de cada funcion, aplicando la tecnia de integracion por
fracciones parciales. Verifica tu respuesta mediante diferenciacion.
a.∫
xx−6dx b.
∫z2
z+4dz c.∫
t−9t2+3t−10dt
d.∫
dxx2+3x−4dx e.
∫ 32
dxx2−1dx f.
∫ 10
x−1x2+3x+2
dx
g.∫
axx2−bxdx h.
∫ 10
2x+3x2+4x+4
dx i.∫ 10x3−4x−10x2−6x−6 dx
j.∫x2+2x−1x3−x dx k.
∫dz
z3+9z2+15z−25dz l.∫
t2
t3+3t2+3t+1dt
16 CAPITULO 3. INTEGRALES
Bibliografıa
[1] Stewart J., Calculus
[2] Leithold L., El Calculo.
[3] Swokowski E., Calculo con Geometrıa Analıtica.
[4] Edwards y Penney, Calculo con Geometrıa Analıtica.
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