ejercicios resueltos 3 ea
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1
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VARIAS VARIABLES
Ejercicios resueltos 3
1. La ecuación 04242 222 zyxzyx
a. ¿Qué superficie representa?
b. Determine los puntos de corte con los ejes coordenados
c. Determine las ecuaciones de la traza respecto el plano XY y de la sección plana para 1z
d. Esboce su gráfica
Solución:
a) Completando cuadrados se obtiene:
15
2
5
1
5
12222
zyx
, es hiperboloide de una
hoja.
b) Con el eje x 0,0,2,0,0,02,00 xxzy
Con el eje y 0,2,0,0,0,02,00 yyzx
Con el eje z 4,0,0,0,0,04,00 zzyx
c) Traza con plano XY
11
1
1
1222
yx
, es una hipérbola.
Sección plana z=1
14
1
2
122
yx
, es una hipérbola.
d)
2
2. Trace el sólido en el primer octante que está contenido en el cilindro 32 yx , por debajo del plano
4 zx y a la derecha del plano xy 2 . Luego describa el sólido como un conjunto de
puntos zyx ;; de R3.
Solución
En el plano xy
xy
yx
2
32
013
0322
xx
xx
2;1 yx
xzxyxxzyxE 40;32;10/;; 2
También
232;40;10/;; xyxxzxzyxE
3. E es el sólido limitado por 0:,0:;2:,3: , 4: 5432
22
1 zSxSxySzySyxS
a) Trace el sólido E.
b) Describa el sólido como un conjunto de puntos (x, y, z) de R3.
Solución:
x
0;2;1
4
3
3
z
1
z
3 y
y
y
3
z
2
2
x
3
2
x
y
2
2tan2tan 1 x
y
xy 2
5
4,
5
2
3
y-3z0;x-4y2;5
2x0/,, 2xzyxE
rsen-3z0;y-2r0;2
2t/,, 1anzrE
4. Trace el sólido en el primer octante que está contenido en el cilindro 22 yx , por debajo del plano
4 zx y a la derecha del plano xy . Luego describa el sólido como un conjunto de puntos (x, y,
z) de R3.
Solución
En el plano xy
yx
yx
22
012
022
xx
xx
11 y;x
xz;xyx;x/z;y;xE 40210 2
x
2
z
4
2
y
11;
4
z
x 2
5
y
1
5. Dada las superficies 2:,1: 2
2
1 zxSxyS
a. Esboce la gráfica de la región del primer octante limitada por las superficies dadas y los planos
coordenados y descríbala en forma ordenada.
b. Dibuje una gráfica similar a la anterior donde resalte la curva intersección C de las superficies
dadas.
c. Determine una función vectorial que describe la curva C.
Solución:
a.
xzxyxRzyxE 20;10;20/,, 2
b.
20:
2
12
t
tz
ty
tx
c. 20;2;1; 2 tttttr
C
x
2
z
y
5
6. Considere las superficies 0: 2
1 yxS y 2: 2
2 zxS
a. Encuentre una función vectorial para la curva de intersección de 1S y 2S
b. Trace la curva para 0z
c. Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica de la función de la parte (a) en
el punto donde zx .
Solución
a) 22
1 0: xyyxS
22
2 22: xzzxS
Sea: Rt
tz
ty
tx
2
2
2
22 2;; tttt r
b) 22020 2 ttz
c)
2
1012022 22
t
tttttttzx
Considerando 1t
1;1;11 r
2;2;11'22;2;1' rr ttt
R
z
y
x
L
;
21
21
1
:
0;2;2
0;2;2
6
7. Dada la función 12
,2
xy
yxyxf
a. Encuentre y trace el dominio de la función.
b. etermine la ecuación de la curva de nivel para k = 2 y grafíquela.
Solución:
a. xyyxRyxfxy
yx
,2/;Dom
0
02 22
2
b. 2k 022212
, 2
2
xyy
xy
yxyxf , es una parábola
8. Dada la función real 222,, zyxzyxf . ¿Qué figuras representan las superficies de nivel para:
1;0;1 kkk
Solución:
11;1 222222 zyxzyxk Hiperboloide de dos hojas
0222 zyxk Cono
1;1 222 zyxk Hiperboloide de una hoja
y
x 2 1
K=2
7
9. Considere las superficies del cilindro 4: 22
1 yxS y la superficie xyzS :2
a. Encuentre una función vectorial que representa la curva de intersección de 1S y 2S
b. Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica de la función de la parte (a)
en el punto donde x = y
Solución:
Sea: tseny
tcosx
2
2
entonces, tcostsenz 4
tsen;tsen;tcostr 2222
tcos;tcos;sentt'r 2422
Si 4
ttcossentyx
2224
;;r
022
4;;'r
Ru;
uz
uy
ux
:L
2
22
22
8
10. Un móvil se desplaza de acuerdo a la función 03
4;2;
2
2/32
tt
tt
tr . Donde t está en segundos
y las componentes en metros.
a. ¿Cuánto recorre en los primeros 10 segundos?
b. Determine las coordenadas del punto donde se encuentra cuando recorre 30 m.
c. Para el instante t =16 s, determine las componentes tangencial y normal de la aceleración
Solución:
a. 244'2;2;' 22/1 ttttttt rr
7022
2
10
0
210
0t
tdttL En los primeros 10s recorre 70m.
b. 606043022
22
2 22
0
2
0tttt
tt
tdtt
tt
se encuentra en el punto
68;12;186 r
c. 4
17''
4
1;0;116''
1;0;1'' trr
ttr
9
4;
9
1;
9
8
16'
16'
r
rT
19
4;
9
1;
9
8
4
1;0;1'' Trat
4
11
16
17na
Las componentes de la aceleración son: 2m/s1ta
2m/s25.0na
9
11. El vector posición de un objeto que se mueve en el espacio está definido por
kjir tetet tt 2sen22cos 22 . Las componentes están medidas en metros y t en segundos
a. Determine la velocidad, y la aceleración en el punto 0;2;1 .
b. Calcule la rapidez y la distancia recorrida durante el primer segundo.
c. ¿En qué punto se encuentra el objeto cuando ha recorrido metros?
solución:
a. 00;2;1 t
kjirv ttettett tt 2cos2sen202sen2cos2' 22
2;0;2220'0 kirv m/s
kjira tetett tt 2cos802sen8'' 22
8;0;080''0 kra m/s2
b. Rapidez smeettt
t /77,202222' 2
1
2
rv
meedteL t 035,912222 21
0
1
0
22
c.
58,017,122,3ln2
22,32
2
122222
2
00
22
tt
eeedtets
t
tt
ttt
kjir 97.2226,158,0 Se encuentra en el punto 97,2;2;26,1
12. Dada la función real yx
yxyxf
,
a. Halle la derivada de la función yxf , en el punto 1,1A en la dirección dada por el vector
1;1 .
b. La razón de cambio máximo de yxf , en el punto A , ¿puede ser 2?
Solución:
a. 22
2;
2,
yx
x
yx
yyxf
2
1;
2
11,1 f
2
1;
2
1u
2
1
2
1;
2
1
2
1;
2
11,1 fDu
10
La máxima derivada direccional es: 2
1
4
1
4
11,1 f y se da en la dirección del gradiente
1;12
1;
2
1 . Por tanto, no puede ser 2.
13. El vector posición de un objeto que se mueve en el espacio está definido por
kjir tetet tt 2sen22cos 22 . Las componentes están medidas en metros y t en segundos
(a) Determine la rapidez en el punto 0;2;1
(b) Calcule la distancia recorrida entre los puntos 1;00;1 y
(c) Reparametrice la curva con respecto a la longitud de arco medida desde el punto 0;1 en la
dirección en la que se incrementa t . Exprese la reparametrización en su forma más sencilla.
(d) ¿En qué punto se encuentra el objeto cuando ha recorrido 4
metros?
solución
a. 1
21
1
222
t
t;
ttr
22
2
22 1
22
1
4
t
t;
t
tt'r
1
22
t
t'r 110
001
t;
t;
Luego la rapidez en 01; es 20 'r
b. mtansttandtt
ts
t
21212
1
2 11
0
2
c. ts
tanttans
22 1
2
22
1
2
2
12
22
1
12
2
2222 ssec
stan
;s
secs
tan
stan
;s
tan
sr
ssen;scossr
d. 2
2
2
2
4;r
11
14. Considere la función xyxyyxf )(cos);( 2 .
a. Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto 3;2;1P .
b. Encuentre )2;1(xyf
Solución
a. yxy
xsenxcoxyxf x
)(cos
)()();(
2
2)2;1( xf
xxy
yxf y
)(cos2
1);(
2
2
3)2;1( yf
El plano tangente es:
423422
3123 zyxyxz
b.
1)(cos2
)()();(
232
xy
xsenxcoxyxf xy
1)2;1( xyf
15. Considere la función 22);( xyxyyxf . Determine el plano tangente a la gráfica de
f en el punto 4;0 .
.
Solución:
2
5
2
22);( 4,0
2
xy
xyxyxyxf x
2
1
2
232);( 4,0
2
xy
yxxyxf x
4)4;0( f
0122542
10
2
54 zyxyxz
12
16. Considere la función 22 2ln2);( yxyxyxf .
a. Determine el domino de f y represéntelo gráficamente
b. Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto 1;0;1P .
Solución:
a. 2
2
2
02
xy
yx
2
2
2
02
yx
yx
b. 22 2
1
2 yxyx
xy;xf x
201 ;f x
22 2
2
22
1
yx
y
yxy;xf y
2
101 ;f y
02
1121 yxz
0624 zyx
11;
22 ;
13
17. Una placa delgada de metal, localizada en el plano xy tiene una temperatura dada por:
22 21
100),(
yxyxT
, donde T se mide en ºC y yx; en metros.
a. Trace dos isotermas (curvas de nivel de la temperatura)
b. Determine la razón de cambio de la temperatura en )1;2(P en la dirección del vector
jiv 43
c. ¿En qué dirección cambia la temperatura con mayor rapidez en P?
d. ¿Cuál es la razón máxima de cambio en P?
Solución
a. kyxT ),(
12/99
101210
12/11
21250
2222
2222
yxyxk
yxyxk
b. 49
400)1,2(
21
)2(100),(
222
xx T
yx
xyxT
49
400)1,2(
21
)4(100),(
222
xy T
yx
yyxT
1;149
400T
5
4;
5
3u
mTDu /42,117
80
5
4;
5
31;1
49
400)1,2(
, disminuye a razón de 11, 42 grados
por metro.
c. En la dirección del gradiente, esto es: 1;1 w
d. La razón máxima de cambio en P es el módulo del gradiente, esto es: mT /54,11249
400
k=10
k=50
3 1 x
y
14
18. La temperatura en un punto yx; a menos de 5 metros de una hoguera está dada por
102594
130),(
22
yxyxT .donde T se mide en ºC y yx; en metros.
a. Determine la razón de cambio de la temperatura en )1,2(P en la dirección del vector jiv
b. ¿En qué dirección cambia la temperatura con mayor rapidez en P?
c. ¿Cuál es la razón máxima de cambio en P?
Solución
a.
2322 25942
8130/x
yx
xy;xT
225
5212 ;Tx
2322 25942
18130/y
yx
yy;xT
225
1172 |;Tx
225
117
225
5212 ;;f
2
1
2
1;u
m/C,;TDu 38350
117
50
5212
b. En la dirección de 225
117
225
5212 ;;f
c. m/C,;;f 623225
117
225
5212
15
19. Dada la función 22 122);( yyyxyxf
a. Halle los puntos críticos de f.
b. Clasifique dichos puntos en puntos de máximo, de mínimo o de silla.
Solución
a. 0004);( yóxxyyxf x
0)2862);( 22 yyxyxf y
1,01
3
1,0
3
1
011302860 2
y
yyyyyx
0,11
0,110220 2
x
xxy
yyxf xx 4);( xyxf xy 4);( 812);( yyxf yy
22216324848124);( xyyxyyyxH
yxfyxH xx ;);(
SillaHay1601,
SillaHay1601,
SillaHay1610,
mínimohay3
4
3
16
3
1,0
16
20. Dada la función 13);( 323 xyyxyxf . Halle los puntos críticos de f(x, y) y clasifique
dichos puntos en puntos de máximo, de mínimo o de silla.
Solución:
a. 3
1,
3
1019);( 2 xxxyxf x
3
2,0023);( 2 yyyyyxf y
3
2;
3
1;0;
3
1;
3
2;
3
1;0;
3
1..CP
0);(
62);(
18);(
yxf
yyxf
xyxf
xy
yy
xx
yxyxD 3136);(
yxyxD 3136);( xyxfxx 18);( Tipo
0;
3
1 12 6 punto de mínimo
3
2;
3
1 -12 punto de silla
0;
3
1 -12 punto de silla
3
2;
3
1 12 -6 punto de máximo
21. Dada la función 14 44 yxxy)y;x(f
a. Halle los puntos críticos de f.
b. Clasifique dichos puntos en puntos de máximo, de mínimo o de silla.
Solución
a. 0044 33 xyxyy;xf x
0044 33 yxyxy;xf y
09 xx
110
110
y;y;y
x;x;x Puntos Críticos 111100 ;;;;;
b. 212xy;xf xx
212yy;xf yy
4y;xf xy
silla;D 01600
Máximo;f;;D xx 01211012811
Máximo;f;;D xx 01211012811
17
22. Dada la función yyxxyxf 332 31);( . Halle los puntos críticos de f(x, y) y clasifique dichos
puntos en puntos de máximo, de mínimo o de silla.
Solución:
3
2,0032);( 2 xxxxyxf x
3
2019);( 2 yyyxf y
3
1,
3
2,
3
1,
3
2,
3
1,0,
3
1,0
xyxf xx 62);(
yyxf yy 18);(
0);( yxf xy
xyyxH 3136);(
relativo mínimo23
1,0,12
3
1,0
fH
silla123
1,0
H
silla,123
1,
3
2
H
relativo máximo23
1,
3
2,12
3
1,
3
2
fH
23. Un plato para mascota está formado por dos semiesferas, la parte interior de 6 cm de radio y la de la
parte exterior tiene su centro en el origen del sistema de coordenadas mostrado. Determine las
ecuaciones de ambas superficies y luego describa la región comprendida entre las superficies y encima
del plano 0z .
Ecuaciones:
De la parte interna:
cos121236666 2222222222 zzyxzyxzyx
De la parte exterior
2672262222 zyx
6 cm
6 cm z
y x
18
Luego
4cos1226
26cos12;24
;20/;;
E
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