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MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.
Unidad 7 Página 1
Unidad 12: DERIVADAS
EJERCICIOS PROPUESTOS (14 EJERCICIOS OBLIGATORIOS PARA ENTREGAR
JUNTO AL EXAMEN DEL SEGUNDO PARCIAL)
Encuentra en tu libro de texto la tasa de variación media.
Cuando estudiamos el crecimiento o variación de una función en un intervalo utilizamos la
tasa de variación media, y cuando lo hacemos en un valor concreto de x utilizamos la tasa de
variación instantánea.
Ejercicio 12 – 1 .-
Resuelve el ejercicio que aparece en el
siguiente video.
Video 12 – 1 – a :
https://www.youtube.com/watch?v=2RBCifEcV7w
La T.V.I se calcula como la T.V.M. pero en el intervalo (x, x+h) donde h es un valor
infinitamente pequeño. Veamos un ejemplo, siguiendo con la función del ejercicio anterior, la
temperatura de un sólido. Hallemos la T.V.I en el tiempo 1 minuto.
Interpretamos que en el tiempo 1 minuto la temperatura tiende a bajar 6 grados. (Hemos
obtenido h – 6 pero como h es prácticamente cero, redondeamos a 6).
A este valor de T.V.I. se denomina derivada de la función y en el valor de x = 1.
La derivada de una función en un valor de x tiene un significado geométrico y es el siguiente: la
inclinación de la recta tangente. Lo encontrarás en tu libro de texto.
https://www.youtube.com/watch?v=2RBCifEcV7w
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Observa que la curva de una función en cada valor de x, o punto de la curva, tiene una recta
tangente. Pues bien la inclinación de esa recta es el valor de la derivada.
(El cálculo de la inclinación de una recta que denominamos pendiente, lo estudiamos en la
unidad 4. Entonces tomábamos dos puntos y calculábamos el cociente de los incrementos de
las variables)
Ejercicio 10 – 2 .-
De una forma analítica hallar la derivada supone calcular un límite. Esto se hace de la
siguiente manera:
Debemos calcular la T.V.M en el intervalo (x, x+h) o lo que es lo mismo la T.V.I.
Hemos calculado de golpe todas las derivadas, es decir, la derivada en cualquier valor de x, a esto
se denomina función derivada. Por ejemplo, la derivada en x = 4 la obtenemos sustituyendo la x por
4 en la expresión de la derivada ( ) , y obtenemos que la derivada vale 5 – 2 · 4 = - 3 De la misma forma la derivada en x = 7 sería 5 – 2 · 7 = 5 -14= - 9
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No te preocupes que no tendrás que resolver límites para calcular las derivadas. Ya lo han
hecho otros por nosotros, los matemáticos de épocas anteriores, no hace tantos siglos, y han
construido unas reglas de derivación como método sencillo de obtener la función derivada. Las
veremos a continuación.
Presta atención al ejemplo que aparece en el siguiente video.
Video 7 – 3 – a :
https://www.youtube.com/watch?v=a0R0iohHRRE
Vamos a estudiar cómo se manejan las fórmulas del cálculo de derivadas con la ayuda de la
página web VITUTOR. Allí encontrarás muchos ejercicios resueltos y es bueno que practiques todo
lo que puedas pues coger agilidad en el cálculo de derivadas es complicado. En cualquier caso, ten
presente que el próximo curso volveremos a estudiar las derivadas. Me conformo con que este curso
aprendas más o menos las reglas de cálculo y el próximo ya las memorices.
https://www.youtube.com/watch?v=a0R0iohHRRE
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Ejercicio 10 – 3 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
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Ejercicio 10 – 4 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
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Ejercicio 10 – 5 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
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Ejercicio 10 – 6 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
Ejercicio 10 – 7 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.htmlhttps://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
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Ya hemos visto la derivación de funciones compuestas en el apartado anterior, pero vamos a seguir con más ejemplos y ejercicios. Se denomina regla de la cadena.
Ejercicio 10 – 8 .-
Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las
derivadas de las siguientes funciones:
TE AVISO QUE ESTE TEMA LO VOLVERÁS A ESTUDIAR EN LA
ASIGNATURA DE SEGUNDO CURSO. POR LO TANTO TIENES DOS
CURSOS PARA APRENDER A DERIVAR UNA FUNCIÓN.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.
La ecuación de la recta tangente a una curva.
Si queremos calcular la derivada de una función en un punto recurrimos a la función
derivada. Por ejemplo:
¿Cuánto vale la derivada de la función ( ) √ en el punto x = 2?
Obtenemos la función derivada: ( )
√ ( )
√
√
Calculamos la derivada en x = 2, ( )
√
√
Una de las aplicaciones geométricas de la derivada más interesantes es la ecuación de la
recta tangente. Encuentras la fórmula en tu libro de texto.
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
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( ) ( ) ( ) ( )
Aquí tienes un ejemplo:
La ecuación de la recta tangente en x = 2
Primero calculamos la derivada ( )
Necesitamos conocer tres números: a, f(a), f ’(a).
El valor a nos viene dado es a = 2
El valor f(a) se calcula sustituyendo en f(x) la variable x por el valor a, que es 2, así:
( ) ( )
El valor f ‘(a) se calcula haciendo lo mismo pero en la derivada f ‘(x)
( ) ( )
Sustituimos estos tres valores en la fórmula que aparece en el recuadro inferior, y obtenemos
( ) que es lo mismo que
La ecuación de la recta tangente a la curva de f(x) en x = 2 es la recta
Ejercicio 10 – 9 .-
Resuelve el siguiente ejercicio que
aparece en el video.
Video 7 – 7 – a:
https://www.youtube.com/watch?v=YQ4R4RRr2dI
MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN
La aplicación de la derivada que resulta más interesante es la obtención de máximos y
mínimos locales o relativos de una función.
Para ello se estudian los puntos singulares, aquellos
donde la derivada se anula. Estos son los candidatos a ser
máximos o mínimos relativos.
Ejercicio 7 – 10 .-
En el siguiente video quiero que prestes atención
únicamente al cálculo de los máximos y los mínimos. Luego
intenta calcularlos tú en tu cuaderno. Video 7 – 8 – a : https://www.youtube.com/watch?v=5PnzLrfz0Dg
https://www.youtube.com/watch?v=YQ4R4RRr2dIhttps://www.youtube.com/watch?v=5PnzLrfz0Dg
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MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.
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Determinar los tramos donde una función crece o decrece.
En VITUTOR tienes algunos ejercicios resueltos: https://www.vitutor.com/fun/5/a_2.html
https://www.vitutor.com/fun/5/a_2.html
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MATEMATICAS I Unidad 12: Derivadas.
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(El criterio para determinar si en un intervalo la función crece o decrece es el siguiente:
Toma un número dentro de dicho intervalo, y sustituyelo en la función derivada; si obtienes
un valor positivo concluimos que la función crece; si obtienes un valor negativo concluyes que
la función decrece. Lo verás en los siguientes videos)
Ejercicio 10 – 11 .-
Resuelve en tu cuaderno el ejercicio que aparece en este video (pero sólo la parte donde se
pide estudiar el crecimiento y los máximos y mínimos).
Video 10 – 9 – a : https://www.youtube.com/watch?v=2MgUEATf72Q
Representar una función de la que se le dan todos los datos más relevantes
(ramas infinitas y puntos singulares).
Es muy importante que sepas “leer” una gráfica, es decir, que puedas visualizar los
elementos más característicos de la curva.
Presta atención a los siguientes ejemplos:
https://www.youtube.com/watch?v=2MgUEATf72Q
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Con todo lo estudiado hasta ahora ya deberías ser capaz de representar funciones
polinómicas.
Ejercicio 10 – 12.-
Representa la función que aparece en el
siguiente video. (Presta atención a todos los datos
que obtiene de la expresión algebraica de la
función. En este curso no hace falta saber
obtenerlos todos. Limítate a estudiar el
crecimiento y los máximos y mínimos. Con una
tabla de valores adecuada obtendrás la gráfica de
la función) ( )
Video 10 – 12 – b :
https://www.youtube.com/watch?v=-UDfG9DJ58Y
CALCULO DE LIMITES INDETERMINADOS UTILIZANDO LAS DERIVADAS
Regla de L’Hôpital
https://www.youtube.com/watch?v=-UDfG9DJ58Y
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Ejercicio 10 – 13.-
Hemos acabado la unidad y con los contenidos de la segunda evaluación. El próximo
curso volverás a estudiar las derivadas y verás que se utilizan en problemas con enunciado. Te
adelanto un problema que estudiaremos entonces.
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Ejercicio 10 – 14.-
Resuelve en tu cuaderno el ejercicio anterior cambiando en el enunciado el 60 por 120.
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