ejercicios matematicos mat2001
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Programa de MatemáticaDirección de Formación General
GUÍA DE EJERCICIOS RESUMEN PRUEBA Nº 3 ALGEBRA
1. Se añade una cierta cantidad de sal a 1 litro de agua, la cantidad Q(t) de sal que no
se disuelve después de t minutos, está dada por
Q( t )=10⋅( 45 )t
en gramos.a. ¿Cuánta sal se añadió al agua inicialmente? (2 puntos) b. Después de 5 minutos. ¿Cuánta sal no se disuelve aún? (2 puntos)
DESARROLLO
a. Para t=0 se tiene
Q(0 )=10⋅( 45 )
0
=10⋅1=10
Respuesta: 10 gramos
b. Para t=5 se tiene
Q(5 )=10⋅( 45 )5=10⋅(1024
3125 )=3 ,2768
Respuesta: 3,3 gramos aproximadamente
2. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La cantidad de medicamento en el cuerpo t horas después de haberlo administrado está dada por
N ( t )=10⋅0,8t en milígramos.
a. Calcule la cantidad de fármaco inicial en el organismo. b. Calcule la cantidad del fármaco restante en el organismo 8 horas después de
la ingesta inicial.
DESARROLLO:
a. Para t=0 se tiene N ( t )=10⋅0,80=10
Respuesta: 10 gramos
b. Para t=8 se tiene N (8 )=10⋅0,88=1 ,6777
Respuesta: 1,7 gramos aproximadamente
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3. De acuerdo con la ley del enfriamiento de Newton, un objeto se enfría en forma directamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio que lo rodea. Así puede mostrarse que su temperatura f(t) después de t horas de un objeto está dada por
f ( t )=C⋅e−0 ,04 t+T a donde C=20 ,5 y la temperatura ambiental es de
T a=16 °C.
a. Determine la función que modela dicha situación. (1 punto)b. Determine la temperatura a las 5 horas (1 punto)c. ¿Después de cuánto tiempo la temperatura es de 30,8ºC? (2 puntos)
DESARROLLO:
a. Se tiene C=20 ,5y T a=16 °C
Asi f ( t )=20 ,5⋅e−0 ,04 t+16
b. Para t=5 se tiene f ( t )=20 ,5⋅e−0 ,04⋅¿ 5+16=32 ,78
Respuesta: 32,8°C
c. f ( t )=20 ,5⋅e−0 ,04 t+16
30 ,8=20 ,5⋅e−0,04 t+16
30 ,8−16=20 ,5⋅e−0 ,04 t
30 ,8−1620 ,5
=e−0 ,04 t
/ln
ln (0 ,72 )=−0 ,04 t
ln (0 ,72 )−0 ,04
=t⇒ t=8 ,14
Respuesta: Después de 8 horas aproximadamente
4. Si el valor de los bienes raíces se incrementa a razón del 5% por año, entonces, después de t
años, el valor V ( t ) de una cierta casa comprada, en UF, está dada por V ( t )=C⋅A t , donde
C=2 .300 y A=1 ,05 .a. Determine la función que modela dicha situación. (1 punto)b. Determine el valor inicial de la propiedad (1 punto)c. ¿Después de cuánto tiempo el valor de la propiedad es 2.663 UF? (1 punto)
DESARROLLO:
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a. Se tiene C=2 .300 y A=1 ,05
Así V ( t )=2. 300⋅(1 ,05 )t
b. Para t=0 se tiene V (0 )=2 .300⋅(1 ,05)0=2 . 300⋅(1 )=2 .300
Respuesta: El valor inicial de la propiedad es de 2.300 UFde
c. V ( t )=2. 300⋅(1 ,05 )t
2 .663=2 .300⋅(1 ,05)t
2.6632300
=(1 ,05 )t
/log
log( 2 . 6632300 )=log(1 ,05 )t
log( 2 . 663
2300 )=t⋅log(1 ,05 )
log ( 2 . 6632300 )
log (1 ,05 )=t⇒t=3
Respuesta: A los 3 años
5. En twitter se esparce un rumor, de modo que cada minuto se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo. Si la cantidad de personas que saben del rumor
está dado por la función: P( t )=2t , donde t son los minutos desde que se originó dicho rumor. Identifique la gráfica que modela dicha situación. (2 puntos)
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DESARROLLO:
Evaluamos en x=0
y tenemos P(0 )=20=1
Se descarta el modelo 2 pues en x=0 pasa por 1
Evaluamos x=1 para ver cuál de los modelos es el correcto,
P(1)=21=2Se descarta el modelo 3 pues en x=1 pasa por 3
Respuesta: El modelo 1.6. La cantidad de virus que tiene un computador en mal estado al cabo de t horas
puede ser modelada por V=4⋅2t4
. Identifique la gráfica que modela dicha situación.
DESARROLLO:
Evaluamos en x=0 y tenemos V (0 )=4⋅2
04=4
Se descarta el modelo 3 pues en x=0 pasa por 1
Evaluamos x=2 para ver cuál de los modelos es el correcto,
V (2 )=4⋅224=4⋅1 ,41=5 ,6568
Se descarta el modelo 1 pues en x=2
pasa por aproximadamente 7
Respuesta: El modelo 2.
7. La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una fórmula para hallar el nivel de intensidad α , en decibeles, que corresponde a
intensidad de sonido I es:
α=10⋅log( II 0) donde I0 es un valor especial de I que
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corresponde al sonido más débil que puede ser detectado por el oído bajo ciertas condiciones. Encuentre α en los casos siguientes considerando I0 = 1a. I es 10 veces I0 (1 punto)b. I es 10.000 veces I0 (este es el nivel de intensidad promedio de la voz
humana) (1 punto)
c. I es 1014 ,1veces I0 (este nivel de intensidad produce dolor en un oído humano
común) (2 punto)
DESARROLLO:
a.
α=10⋅log( II 0)
α=10⋅log(10 I 0
I0)⇒α=10⋅log (10 )
⇒α=10
Respuesta: 10 decibeles.
b.
α=10⋅log( II 0)
α=10⋅log( 1.000 I 0
I 0)⇒α=10⋅log (1 .000 )
⇒α=10⋅4⇒α=40
Respuesta: 40 decibeles.
c.
α=10⋅log( II 0)
α=10⋅log(1014 ,1 I 0
I 0)⇒α=10⋅log ( 1014 ,1)
⇒α=10⋅14 ,1⇒α=141
Respuesta: 141 decibeles.
8. El crecimiento (altura=h) de árboles enanos en un vivero esta dado por
h=2,5⋅log(0 ,75 t+1 )+10,5 donde t es el tiempo en meses y h en centímetros. a. ¿Inicialmente, cuál es la altura de los árboles? (2 punto)
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b. ¿Qué altura tendrán los árboles después del año? (2 punto)
DESARROLLO
a. h=2,5⋅log(0 ,75 t+1 )+10,5
h( 0)=2,5⋅log(0 ,75 0+1)+10,5h( 0)=2,5⋅log(1 )+10,5h( 0)=2,5⋅0+10,5⇒h(0)=10,5
Respuesta: La altura será 10,5 cm.
b. h(12 )=2,5⋅log(0 ,75 12+1 )+10,5
h(12 )=2,5⋅log(9+1 )+10,5h(12 )=2,5⋅log(10)+10,5h(12 )=2,5⋅1+10,5⇒h(12)=13
Respuesta: La altura será 13 cm.
9. En un laboratorio se estudia la cantidad de bacterias (en miles) al reproducirse después de x segundos, la que está dada por una función logarítmica de la forma y=logb ax . Si b=10 y a=1.000.
a. Determine la función que modela dicha situación. (1 punto)b. Determine la cantidad de bacterias después de 1 minuto y 40 segundos. (1
punto)c. ¿Después de cuánto tiempo hay 9.000 de bacterias? (2 punto)
DESARROLLOa) Se tiene que b=10 y a=1.000.
Respuesta: Por lo tanto la función es y = log10 1.000 x
b) y(100)= log10 (1.000⋅100 ) = 5Respuesta: Al cabo de un minuto y cuarenta segundos hay 5.000 bacterias.
c) y =
log10 1.000 x
9 = log10 1.000 x
1 .000 x=109
x=109
1.000 ⇒ x=1. 000 . 000Respuesta: Al cabo de 1.000.000 segundos, equivalente a 11 días, con 13 horas, 46 minutos y 40 segundos.
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10. En una tienda que se dedica a la venta de repuestos automotrices el valor a pagar (en ciento de miles de pesos) de x cantidad de neumáticos está dado por una
función logarítmica de la forma y=logb ax , donde b=3 y a=243.
a. Determine la función que modela dicha situación. (1 punto)b. Determine el valor a pagar si se compran 12 neumáticos (1 punto)c. Si el valor a pagar es de $663.093. ¿Cuántos neumáticos se compraron? (2
punto)
DESARROLLOa) Se tiene que b=3 y a=243.
Respuesta: Por lo tanto la función es y = log 3243x
b) y(12) =
log 3(243⋅12 )=7,261859
Respuesta: El valor a pagar es de $726.186.
c) y =
log 3243x
log 3243x=6 ,63093
36 ,63093=243 x
36 ,63093
243=x
⇒ x=6Respuesta: Se compraron 6 neumáticos.
11. Un analista de programación necesita crear un programa que calcule el t en la
siguiente función: 100=5⋅(1+x )t
, el recordó sus conocimientos de logaritmo y
creó la siguiente fórmula:
t=log(20 )log(1+x )
. ¿Cuál es el gráfico que representa la fórmula que programó el analista? (2 puntos)
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DESARROLLO:
Evaluamos x=0 ,04 para ver cuál de los modelos es el correcto
t=log (20 )log (1+0 ,04 )
=log (20 )log (1 ,04 )
=76 ,3814
Se descarta el modelo 1 pues en x=0 ,04 pasa aproximadamente por 180
Se descarta el modelo 3 pues en x=0,04 pasa por 100
Respuesta: El modelo 2.
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12. La escala de decibeles está dada por la siguiente fórmula:dB=10⋅log(1012W )
, donde W es la potencia . ¿Cuál es el gráfico que modela la situación? .
DESARROLLO
Evaluamos W=3 para ver cuál de los modelos es el correcto
dB=10⋅log (1012¿ 3)=124 ,77
Se descarta el modelo 1 pues en W=3
pasa por 100
Se descarta el modelo 2 pues en W=3 pasa por aproximadamente 62
Respuesta: El modelo 3.
13. Un capital de $1.500.000 se invierte a un interés del 2% anual. Considere que la
cantidad final está dada por:
C f ( t )=C i⋅(1+ r100 )
t
.a. ¿Cuál es la función que modela esta situación? (2 punto)b. ¿Cuánto dinero se ganará si invierten el dinero en 7 años? (1 punto)c. ¿Cuánto tiempo deben invertir el dinero para obtener $5.000.000? (1
punto)
DESARROLLO
a. Se tiene C i=1. 500 .000
Luego con r=2%
C f ( t )=1 .500 .000⋅(1+ 2100 )
t
⇒C f ( t )=1. 500 .000⋅(1 ,02 )t
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Respuesta: La función esC f ( t )=1 .500 .000⋅(1 ,02 )t
b.C f (7 )=1. 500 .000⋅(1 ,02 )7=1 .500 . 000⋅1 ,15=1723028 ,50
Respuesta: Se tendrá $1.723.029, por lo que se ganara $223.029.-
c.
C f ( t )=1 .500 .000⋅(1 ,02 )t
5 .000. 000=1. 500 . 000⋅(1 ,02 )t5. 000 .0001. 500 .000
=(1 .02 )t /log
log( 5 .000 .0001 .500.000 )
log (1 ,02)=t ⇒t=60 ,7986
Respuesta: Se obtendrá $5.000.000 a los 61 años.
14. La temperatura de una enfierradura de hierro al soldarse decae al pasar el tiempo.
Esta temperatura está dada por la función: T ( t )=21+Ae−kt
. Si después de 2
minutos la temperatura del hierro será de 600oC
, además inicialmente la
temperatura era de 900oC
.a. ¿Cuál es la función que modela esta situación? (2 puntos)b. ¿Qué temperatura tendrá pasados unos 10 minutos? (1 punto)
c. ¿En cuántos minutos su temperatura será de 30oC
? (1punto)
DESARROLLO:
a. En t=0 , se tiene T (0)=21+Ae−k⋅0
900=21+A⋅1⇒ A=879
En t=2 , se tiene T (2)=21+879e−2 k
600=21+879e−2k
579=879e−2 k
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579879
=e−2k /ln
ln (579879 )=−2k
−0 ,417−2
=k⇒ k=0 ,21
Respuesta: Luego la función es T ( t )=21+879e−0 , 21 t
b. T (10)=21+879e−0 ,21⋅10=21+879e−2,1=21+107 ,64=129
Respuesta: Tendrá una temperatura de 129°C
c.
T ( t )=21+879e−0 , 21 t
30=21+879e−0,21 t
30−21879
=e−0 ,21 t
30−21879
=e−0 ,21 t /ln
ln (0 ,01024 )=−0 ,21 tln (0 ,01024 )
−0 ,21=t⇒ t=21 ,82
Respuesta: Aproximadamente a los 22 minutos.
15. El valor de un automóvil se deprecia cierto porcentaje cada año. El gráfico siguiente representa esta situación, donde “x” representa los años e “y” representa el valor del vehículo.
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a. Determine la función exponencial que modela la situación anterior. (3 puntos)b. ¿Cuál será el valor del automóvil al séptimo año? (1 punto)c. ¿Cuántos años habrán pasado si el valor del auto es de $1.555.622?(2 punto)
DESARROLLO:
a) S e consideran dos puntos de la grafica y la función de la forma f ( x )=T⋅ax
Se tiene que en x=2 , f (2)=T⋅a2
5 .508 . 000=T⋅a2⇒T=5 .508 . 000
a2
Luego en x=3 , f (3)=T⋅a3
4 . 957. 200=T⋅a3
Reemplazando T en 4 . 957. 200=T⋅a3, tenemos
4 . 957. 200=5 . 508 .000
a2⋅a3
4 . 957. 200=5 .508 . 000⋅a⇒a= 4 . 957 .2005. 508 .000
=0,9
Asi con a=0,9 se tiene
⇒T=5 .508 .000
(0,9 )2=6 .800 .000
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Respuesta: f ( x )=6.800.000 ∙(0,9)x
a) f (7 )=6.800 .000 ∙(0,9)7=3.252 .418,92
Respuesta: $3.252.419 será el valor del automóvil al séptimo año
b) f ( x )=6.800.000 ∙(0,9)x
1.555 .622=6.800 .000 ∙(0,9)x
1.555 .6226.800.000
=(0,9)x / log
log ( 1.555.6226.800.000 )=log (0,9)x
log ( 1.555 .6226.800 .000 )
log (0,9)=x
14≈ x Respuesta: Si el valor del auto es de $1.555.622 habrán pasado 14 años.
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16. El tamaño de un cultivo de bacterias crece cada 30 minutos. Esta situación la representa el siguiente gráfico, donde x representa el tiempo en horas e “y” representa la cantidad de bacterias (en millones).
a. Determine la función exponencial que modela la situación anterior. (3 punto)b. ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de 300 minutos? (1 punto)c. ¿Dentro de cuántas horas, el cultivo tendrá 320 millones de bacterias? (2 punto)
DESARROLLO:
a) S e consideran dos puntos de la grafica y la función de la forma f ( x )=T⋅akx
Se tiene que en x=1 , f (1)=T⋅a1
20=T⋅a1⇒T=20a
Luego en x=2 , f (2)=T⋅a2
80=T⋅a2
Reemplazando T en 80=T⋅a2, tenemos
80=20a⋅a2
80=20⋅a⇒a=8020
=4
Asi con a=4 se tiene
⇒T=20( 4 )
=5
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Respuesta: f ( x )=5 ∙4x=5∙(2)2x
b) 300minutos=5h oras , entonces f (5 )=5 ∙45=5.120
Respuesta: 5.120 millones de bacterias
c) f ( x )=5 ∙4x
320=5∙4 x
3205
=(4)x/ log
log (64)=log(4)x
log (64 )=xlog(4)❑
log (64 )log (4)
=x
3=x Respuesta: Habrán 320 millones de bacterias a las 3 horas
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