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7/25/2019 Ejemplo de Clculo de Una Estructura Empleando El Enfoque Matricial Del Mtodo de Los Desplazamientos
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Aplicacin del Enfoque Matricial del Mtodo de los Desplazamientos. Ejemplo de Clculo
Dr. C. Ing. Jorge Douglas Bonilla Rocha Dr. C. Ernesto L. Chagoyn Mndez 1
REPBLICA DE CUBA
UNIVERSIDAD DE CIEGO DE VILA (UNICA) - UNIVERSIDAD CENTRAL DE LAS VILLAS (UCLV)
Facultad de Ingeniera (UNICA) - Facultad de Construcciones (UCLV)
Maestra en Estructuras
APLICACIN DEL ENFOQUE MATRICIAL DEL MTODODE LOS DESPLAZAMIENTOS
(EJEMPLO DE CLCULO DE UNA ESTRUCTURA EN EL PLANO)
MATERIAL DE APOYO
ASIGNATURA: MECNICA DE LA CONSTRUCCION SUPERIOR(Anlisis Estructural Avanzado)
Autores: Dr. C. Ing. Jorge Douglas Bonilla Rocha, PTDoctor en Ciencias Tcnicas (Esp. Estructuras)Mster en EstructurasIngeniero CivilUNICA
Dr. C. Ing. Ernesto L. Chagoyn Mndez, PT
Doctor en Ciencias Tcnicas (Esp. Estructuras)Mster en EstructurasIngeniero CivilUCLV
Ao 2013
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Aplicacin del Enfoque Matricial del Mtodo de los Desplazamientos. Ejemplo de Clculo
Dr. C. Ing. Jorge Douglas Bonilla Rocha Dr. C. Ernesto L. Chagoyn Mndez 2
En este trabajo se plantea la solucin detallada, paso a paso de una estructura bidimensional a partir
de la aplicacin del enfoque matricial del mtodo de los desplazamientos. El objetivo de este folleto
es ilustrar el procedimiento metodolgico de cara a la solucin de un problema concreto del campo
de las estructuras.
En este caso se ha resuelto el problema planteado manualmente y como recurso de comprobacin
hemos comparado los resultados obtenidos de forma manual (con la ayuda de asistente matemtico),
con los resultados de este mismo problema resuelto en el programa computacional STAAD-Pro (v
2006). Se podr apreciar que la diferencia entre las soluciones obtenidas por una y otra va no es
significativa. La diferencia entre una y otra solucin es sumamente despreciable y es motivo del
redondeo en el proceso de clculo manual. Se ha empleado adems el asistente matemtico Mathcad
como ayuda para la realizacin de las operaciones de clculo.
Se debe comentar que como nomenclatura para los sistemas de referencias se utiliz la siguienterepresentacin:
X, Y, Z (Sistema de referencia global).
X, Y, Z (Sistema de referencia local).
Problema planteado:
Obtener los grficos de momento flector, cortante y normal de la siguiente estructura, as como los
desplazamientos nodales de la misma, utilizando el enfoque matricial del Mtodo de los
Desplazamientos.
Se hace necesario comentar que la estructura planteada no es un caso real, es un ejemplo con fines
docentes, por lo que los parmetros: E, A e I tienen un valor ficticio, pues la finalidad de este
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trabajo es la comprensin del enfoque matricial del mtodo de los desplazamientos de cara a un
ejemplo prctico.
Solucin
1. Ubicar el sistema de coordenadas general, la numeracin de los nudos, de las barras y la
orientacin de estas.
2. Clculo de la matriz rigidez de la barra 1 en ejes locales. Para esto planteamos la matriz rigidez de
la barra plana empotrada-empotrada y se hacen modificaciones hasta obtener la matriz rigidez de la
barra 1, es decir articulada-empotrada.
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
AE
L
AEL
EI
L
EI
L
EI
L
EI L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
AE
L
AE
K
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
22
2323
22
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Sustituyendo los valores de E = 1, A = 10, I = 250 y L = 5 se obtiene:
200600100600
6024060240
002002
100600200600
6024060240
002002
K
Como en este caso la barra 1 es articulada en el origen, tenemos una discontinuidad 3. Se coge como
pivote la fila 3 y se hacen transformaciones hasta hacer cero la columna 3. En la matriz anterior se
realiza la siguiente operacin 2200
60
3 filafila
y se obtiene:
200600100600
6024060240
002002
100600200600
3060060
002002
K
En la matriz obtenida anteriormente se realiza la siguiente operacin 5200
603 filafila
y se
obtiene:
200600100600
3060060
002002
100600200600
3060060
002002
K
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En la matriz obtenida anteriormente se realiza la siguiente operacin 6200
1003 filafila
y se
obtiene:
1503000300
3060060
002002
100600200600
3060060
002002
K
Se hace cero toda la fila 3 y se obtiene la matriz rigidez de la barra 1 en ejes locales:
1503000300
3060060
002002
000000
3060060
002002
1K
3. Como la barra 1 no coincide con el sistema de coordenadas globales, es necesario buscar la matriz
rotacin para esta barra.
1
1
1R donde:
100
0
0
1 CS
SC
5
3
5
03
L
XXC OD ;
5
4
5
04
L
YYS OD ;
100
05
3
5
4
05
4
5
3
1
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Matriz rotacin de la barra 1:
100000
05
3
5
4000
05
4
5
3000
000100
00005
3
5
4
00005
4
5
3
1R
4. Se debe rotar la matriz rigidez de la barra 1, para as llevarla a ejes generales. Para esto se plantea:
tRKRK
1111
1503000300
3060060
002002
000000
3060060
002002
100000
05
3
5
4000
05
4
5
3000
000100
00005
3
5
4
00005
4
5
3
1 KR
1503000300
8.16.36.106.36.1
4.28.42.108.42.1
000000
186.36.106.36.1
248.42.108.42.1
1 KR
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100000
06.08.0000
08.06.0000
000100
00006.08.0
00008.06.0
1
tR
150182401824
1844.392.1044.392.1
2492.156.4092.156.4
000000
1844.392.1044.392.1
2492.156.4092.156.4
1111
tRKRK
5. Clculo de la matriz rigidez de la barra 2. En este caso como el sistema de coordenadas locales
coincide con el sistema de coordenadas generales, la matriz rigidez de la barra para ejes locales es la
misma matriz para el caso de ejes generales; o sea no es necesario hacer la rotacin. Se debe destacar
adems que en este caso la barra es biempotrada, por lo que no ser necesario hacer modificaciones a
la matriz como en el caso anterior, pues se parti de la matriz rigidez para este tipo de barra.
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
AE
L
AEL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EILAE
LAE
K
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
22
2323
22
2323
-
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125437.2305.62437.230
437.23859.50437.23859.50
0025.10025.1
5.62437.230125437.230
437.23859.50437.23859.50
0025.10025.1
22 KK
6. Despus de tener las matrices rigidez de todas las barras en ejes generales, se obtiene la matriz
rigidez de toda la estructura. Para esto se debe escribir la matriz rigidez de cada barra en forma
compacta.
i
DD
i
DO
i
OD
i
OOi
KKKKK
1
22
1
21
1
12
1
11
1
KK
KKK
2
33
2
32
2
23
2
22
2
KK
KKK
2
33
2
32
223
2
22
1
22
1
21
1
12
1
11
KK
KKKK
KK
125437.2305.62437.230000
437.23859.50437.23859.50000
0025.10025.1000
5.62437.230275437.52401824437.23859.50437.5299.992.1044.392.1
0025.12492.181.5092.156.4
000000000
0001844.392.1044.392.1
0002492.156.4092.156.4
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7. Formacin del vector P.
9
8
7
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0
0
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
En este caso P3 = 0, ya que se trata de un apoyo articulado.
8. Formacin del vector PE.
Para la barra 1:
375.95
625.155.12
02
L
MMVV ID
625.155
625.155.12
05
L
MM
VV
ID
-
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625.15
625.15
0
0
375.9
0
1EP
Es necesario llevar este vector para la barra 1, a ejes generales.
11 1 EE PRP
625.15
375.9
5.12
0
625.5
5.7
1EP
Para la barra 2:
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Este vector ya est expresado en ejes generales
666.106
80
0
666.106
80
0
2
EP
Podemos platear el vector PEpara toda la estructura.
666.106
80
0
041.91
375.89
5.12
0
625.5
5.7
EP
9. Formacin del vector Z.
0
0
0
0
0
0
6
5
4
Z
Z
Z
Z
10. Planteamos.
EPPZ
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666.106
80
0
041.910
375.890
5.120
00
625.5
5.7
0
0
0
0
0
0
125437.2305.62437.230000
437.23859.50437.23859.50000
0025.10025.1000
5.62437.230275437.52401824
437.23859.50437.5299.992.1044.392.1
0025.12492.181.5092.156.4
000000000
0001844.392.1044.392.1
0002492.156.4092.156.4
9
8
7
2
1
6
5
4
P
P
P
P
P
Z
Z
Z
Seguidamente escribimos el sistema de ecuaciones:
(I) 4.56 Z4+ 1.92 Z524 Z6= P1+ 7.5
(II)
1.92 Z43.44 Z5+ 18 Z6= P25.625(III) 0 = 0, (P3 = 0 en este caso, ya que se trata de un apoyo articulado)
(IV) 5.81 Z4- 1.92 Z5+ 24 Z6= 12.5
(V) 1.92 Z4+ 9.299 Z5+ 5.437 Z6= -89.375
(VI) 24 Z4+ 5.437 Z5+ 275 Z6= -91.041
(VII) 1.25 Z4= P7
(VIII) 5.859 Z523.437 Z6= P8 - 80
(IX)
23.437 Z5+ 62.5 Z6 = P9 + 106.666
Simultaneando las ecuaciones (IV), (V) y (VI) se obtiene:
Z4 = -0.766
Z5 = -9.727*
Z6= -0.072* Se reconoce que el desplazamiento en este nodo es exagerado para una estructura, pero el
mismo es consecuencia de los valores ficticios de los parmetros: E, A e I declarados al inicio.
Sustituyendo Z4, Z5 y Z6 en (I) y (II) se obtiene:
P1 = -20.959
P2= 36.325
P3= 0
Sustituyendo Z4, Z5 y Z6 en (VII), (VIII) y (IX) se obtiene:
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P7 = 0.959
P8= 138.679
P9= -339.138
Se han determinado las reacciones de apoyo en ejes generales.
Los desplazamientos lineales y angulares del nudo 2, en ejes generales estn dados por
Z4 = -0.766
Z5 = -9.727
Z6= -0.072
11. Llevar los desplazamientos de las barras a ejes locales.Para la barra 1
072.0
727.9
766.0
0
0
0
1Z
111 ZRZ t
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072.0
223.5
241.8
0
0
0
072.0
727.9
766.0
0
0
0
100000
06.08.0000
08.06.0000
000100
00006.08.0
00008.06.0
1Z
Para la barra 2
22 ZZ
0
0
0
072.0
727.9
766.0
2Z
12. Clculo de las fuerzas interiores en los extremos de las barras.
Para la barra 1
111 1ZKPP E
902.145
18.29
482.16
0
18.29
482.16
072.0
223.5
241.8
0
0
0
1503000300
3060060
002002
000000
3060060
002002
11 ZK
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300.130
555.13
482.16
0
555.38
482.16
902.145
18.29
482.16
0
18.29
482.16
625.15
625.15
0
0
375.9
0
111 1ZKPP E
Para el clculo de las solicitaciones intermedias, se ha planteado la ecuacin de momento,
haciendo una seccin en la barra, o sea:
2
5555.38
2zzMz
Se evala para diferentes valores de (z), en este caso con incrementos de (0.5 m).
Para el cortante derivamos la ecuacin de momento y obtenemos:
zVz 5555.38
Se evala de la misma forma que en el caso anterior.
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Esfuerzos interiores por tramos para la barra 1
Distancia (m) Axial Cortante Momento0.00 16.482 (C) 38.55 0.00
0.50 16.482 (C) 36.05 18.65
1.00 16.482 (C) 33.55 36.05
1.50 16.482 (C) 31.05 52.21
2.00 16.482 (C) 28.55 67.11
2.50 16.482 (C) 26.05 80.76
3.00 16.482 (C) 23.55 93.16
3.50 16.482 (C) 21.05 104.32
4.00 16.482 (C) 18.55 114.22
4.50 16.482 (C) 16.05 122.87
5.00 16.482 (C) 13.55 130.30
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Para la barra 2
222 2ZKPP E
472.232
678.58
958.0
972.236
678.58
958.0
0
0
0
072.0
727.9
766.0
125437.2305.62437.230
437.23859.50437.23859.50
0025.10025.1
5.62437.230125437.230
437.23859.50437.23859.50
0025.10025.1
22 ZK
138.339
678.138
958.0
306.130
322.21
958.0
472.232
678.58
958.0
972.236
678.58
958.0
666.106
80
0
666.106
80
0
222 2ZKPP E
En este caso se realiza el mismo procedimiento que en la barra anterior. Se plantea la ecuacin
de momento flector para una seccin:
2
20322.21306.130
2zzMz
Se evala (z) para incrementos de (0.8 m).
Se deriva la ecuacin de momento y se obtiene la ecuacin de cortante en la que se evala del
mismo modo, o sea incrementando (z) en 0.8 m.
zV 20322.21
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Aplicacin del Enfoque Matricial del Mtodo de los Desplazamientos. Ejemplo de Clculo
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Esfuerzos interiores por tramos para la barra 2
Distancia (m) Axial Cortante Momento
0.00 -0.958 (T) 21.32 130.300.80 -0.958 (T) 5.32 140.96
1.60 -0.958 (T) -10.67 138.82
2.40 -0.958 (T) -26.67 123.87
3.20 -0.958 (T) -42.67 96.13
4.00 -0.958 (T) -58.67 55.59
4.80 -0.958 (T) -74.67 2.25
5.60 -0.958 (T) -90.67 -63.89
6.40 -0.958 (T) -106.67 -142.83
7.20 -0.958 (T) -122.67 -234.58
8.00 -0.958 (T) -138.67 -339.13
-
7/25/2019 Ejemplo de Clculo de Una Estructura Empleando El Enfoque Matricial Del Mtodo de Los Desplazamientos
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Grficos de esfuerzos interiores.
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CDIGO DE STAAD-Pro
STAAD PLANE
START JOB INFORMATION
ENGINEER DATE 24-Jan-13END JOB INFORMATION
INPUT WIDTH 79
UNIT METER KN
JOINT COORDINATES
1 0 0 0; 2 3 4 0; 3 11 4 0;
MEMBER INCIDENCES
1 1 2; 2 2 3;
DEFINE MATERIAL START
ISOTROPIC CONCRETE
E 1POISSON 0.12
DENSITY 23.5616
ALPHA 1e-005
DAMP 0.05
END DEFINE MATERIAL
MEMBER PROPERTY AMERICAN
1 2 PRIS AX 10 AY 10 IZ 250 YD 10 ZD 3
CONSTANTS
MATERIAL CONCRETE ALL
SUPPORTS1 PINNED
3 FIXED
LOAD 1 LOADTYPE LIVE TITLE LOAD CASE 1
MEMBER LOAD
1 UNI Y -5
2 UNI Y -20
PERFORM ANALYSIS
PRINT MEMBER FORCES ALL
PRINT MEMBER STRESSES ALL
PRINT MEMBER SECTION FORCES ALL
PRINT JOINT DISPLACEMENTS ALL
PRINT SECTION DISPL LIST 1 2
PRINT SUPPORT REACTION ALL
FINISH
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RESULTADOS OBTENIDOS EN EL STAAD Pro
Grfica de momento flector
Esfuerzos en la barra 1
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Esfuerzos en la barra 2
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