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HERRAMIENTAS
RESOLVIENDO ECUACIONES
AUTORESARTURO ROQUE LÓPEZMARIA DOLORES URRUTIA HURTAULTELVIA GLORIA SANCHEZ MENDEZMARIA DEL CARMEN GONZÁLEZ HERNÁNDEZ
CONTENIDO• ¿Qué es una ecuación • Elementos de una ecuación
ECUACIONES
• Ecuación lineales o de primer grado • Forma a + x=b• Forma ax = b• Forma ax + b = c
ECUACIONES LINEALES
• Ecuación Cuadrática• Clasificación• Formas de Resolución: • Factorización• Formula general
ECUACIÓNES CUADRATICAS
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dos
expresiones algebraicas denominadas
miembros, en las que aparecen valores
conocidos o datos, y desconocidos o
incógnita, relacionados mediante operaciones
matemáticas.
a x = b
a x + b = c
x + a = b
ax2 + bx +c =0
ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN
3 + x = 15 1er miembro 2do miembro
igualdad
Valores conocidos o
datos
Valore desconocidos o
incógnitas
Operación
3 y 15 x suma
ECUACIONES LINEALES
Se dice que una ecuación es de primer
grado cuando la variable “x” no está
elevada a ninguna potencia, es decir, su
exponente es 1.
a x + b = c
1
exponente
ECUACIÓN LINEAL DE LA FORMA
a + x =b
Las ecuaciones de la forma a + x = b se resuelve así:
Tenemos 73 + x =125
1. Despejamos la x, es decir dejar la x sola a un lado del signo igual.
73 + x =125
2. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual. Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando.
73 + x =125
Pasarlo al segundo miembro
- 73
3. Posteriormente se realizan las operaciones indicadasX = 125 – 73
X =52
4. Se realiza la comprobación, tomando la ecuación original y en lugar de la incógnita se coloca el valor encontrado.
Comprobación
4. 73 + x =125
73 + 52 = 125 125 = 125
Como es una igualdad ambos miembros tienen que da el mismo resultado
Nos dice que “x” vale 52
EJEMPLO:
Laura va al mercado con un billete de $50, después de efectuar sus compras, le sobraron $34.50. ¿Cuánto gasto en el mercado?
La ecuación que expresa el problema es:
34.50 + x = 50 “x” es el valor que gasto en el mercado
SOLUCIÓN
34.50 + x = 50
x = 50 - 34.50 despejamos x y realizamos operaciones
x = 15.50 encontramos el valor de “x”
Comprobación
34.50 + x = 50 34.50 + 15.50 = 50
50 = 50
Por lo tanto 15.50 gasto en el mercado
ECUACIÓN LINEAL DE LA FORMA
ax = b
Para resolver ecuaciones de la forma a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice: “Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad,
ésta se mantiene. “
Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.
PASOS Tenemos 5x = 30
1. Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”., o se multiplica por el número que esta dividiendo a “x”
5 • x = 30
2. Realizamos las operaciones
x = 6
Esta multiplicando por lo tanto vamos a dividir por ese número ambos miembros
Encontramos el valor de “x”
Comprobación
1. Tomamos la ecuación original
5x = 302. Sustituimos la incógnita por el valor encontrado
5x = 30
5(6) = 30
30 =30
EJEMPLO
Alejandra compró dos cuadernos en la papelería y le cobraron $32.00 ¿Cuánto le costo cada cuaderno?
La ecuación que expresa el problema es:
2n = 32.00
“n” es el precio del cuaderno que nos interesa conocer
SOLUCIÓN 2n = 32
n = 16Comprobación
2n = 32 2 (16) = 32 32 = 32
Por lo tanto cada cuaderno costo $16
Ambos miembros los dividimos
Encontramos el valor de “n”
ECUACIÓN LINEAL DE LA FORMA
ax + b = c
Para resolver este tipo de ecuaciones ax + b = c es:
1. Se resta a “b” en ambos miembros , si su signo es positivo y se suma si su signo es negativo.
ax + b = c2z – 10 = 16
2z – 10 +10 = 16 +10
2. Realizamos operaciones y nos queda 2z = 26
3. Se divide a ambos miembros de la igualdad entre “a”En este caso es 2 2z = 26
Nos queda z = 13
Comprobación
Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor encontrado.
2z – 10 = 16 2(13) - 10 = 16 26 - 10 = 16 16 = 16
EJEMPLO El perímetro de un rectángulo es 16 cm. Si un lado mide 5 cm, ¿Cuál es la longitud del otro lado?.
La ecuación que expresa el problema es: 2x + 2 • 5 = 162x + 10 = 16
Donde “x” es el valor de la longitud que no conocemos su valor
5 cm
y
SOLUCIÓN
2x + 10 = 162x + 10 -10 = 16 – 10
2x = 6
x = 3
Ambos miembros les restamos 10
Ambos miembros los dividimos entre dos para dejar a “x” solita
Comprobación Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor encontrado.
2x + 10 = 162(3) + 10 = 166 + 10 = 16
16 =16
Por lo tanto el lado mide:
2x = 2(3) = 6 medida del lado
Una ecuación cuadrática o de segundo
grado es aquella en la cual la variable o
incógnita esta elevada al cuadrado y tiene la siguiente forma:
ax2+bx+c = 0
ECUACIONES CUADRATICAS
Termino linealCoeficient
e
Termino cuadrático
Termino Independiente
CLASIFICACION
Según su numero de términos una ecuación cuadrática con una incógnita puede ser:
completa ax2 + bx +c = 0 3x2 - 5x +6 = 0
Cuando a=1 se tiene la forma ax2+bx+c = 0
1x2+3x-2 = 0
Incompleta
Cuando le hace falta un termino lineal ax2 + c = 0 2x2 _ 3 = 0Cuando le hace falta un termino independiente ax2+bx = 0
3x2 _ 5x = 0Cuando le falta el termino lineal e independiente
ax2 = 0
16x2 = 0
FACTORIZACIÓN
Resolución de una ecuación cuadrática por el método de factorización:
Tenemos x² - 4x = 12
1) La ecuación debe de estar igualada a cero. Por lo que a cada lado de la igualdad le restaremos 12.
x² - 4x = 12
x² - 4x-12 = 12-12 x² - 4x -12 = 0
2) Se expresa el lado de la igualdad que no es cero como producto de factores.
x² - 4x-12 = 0
(x )(x ) = 0
como no es un trinomio cuadrado perfecto, hay
que buscar los factores que al multiplicarse nos de cómo resultado -12 y que cuando los sumemos el resultado sea -4.
x² - 4x-12 = 0
(x +2 ) (x - 6 )= 0
3) Por ultimo se iguala a cero cada factor y se despeja la variable.
(x +2) = 0 (x - 6) = 0 x+ 2 = 0 x – 6 = 0
(+2) x (-6) = -12
(+2) + (-6) = -4
Para poder despejar a x en las igualdades si la constante tiene signo positivo se resta a los dos lados de la igualdad y si tiene signo negativo se
suma. x+2-2=0-2 x -6 +6 = 0 + 6
x= -2 x = +6
Los valores de x son: -2 y +6
Comprobación:Se sustituyen cada uno de los valores encontrados.
X = -2 x = +6
x² - 4x = 12 x² - 4x = 12
(-2)² - 4(-2) =12 (+6)² -4(+6) = 12
4 + 8 = 12 36 – 24 = 12
12 = 12 12 = 12
EJEMPLOEl área de un rectángulo es de 32m², si se sabe que uno de sus
lados mide 4 metros mas que el otro, ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
x
x + 4
La formula del rectángulo es: Base x Altura, por lo que tenemos
B = x + 4 , la altura = x y el A= 32m², entonces
32 = (x+4) (x) multiplicando los factores tenemos la ecuación cuadrática:
32 = x² + 4x
x² + 4x = 32
Área = 32m²
solucion
x² + 4x = 32
1) Igualamos a cero la ecuación
x² + 4x - 32 = 32 - 32
x² + 4x -32 = 0
(x- 4) (x+ 8 ) = 0
Para igualar a cero la ecuación le restamos 32 a los dos lados de
la igualdad
El -4 y 8 son los factores que al
multiplicarlos nos da -32 y al sumarlos 4
X – 4= 0 X +8 = 0
X -4 +4= 0 + 4 X + 8 - 8= 0 -8
X= 4 X = - 8
Los valores de x son 4 y -8, pero para resolver el problema utilizaremos el valor de 4, ya que la medida de un lado del rectángulo no puede ser negativa.
Base = x + 4 altura = xBase = 4 + 4 = 8 altura = 4
Las medidas de los lados del rectángulo son 8m y 4m respectivamente
Se iguala a cero cada uno de los factores
COMPROBACION
sustituimos el valor de x=4, en la ecuación
x² + 4x = 32
(4)² + 4(4) = 32
16 + 16 = 32
32 = 32
FORMULA GENERAL
La formula general nos permite resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática.
La expresión es conocida como Discriminante y determina el numero y tipo de soluciones.
Si su valor es positivo, tiene 2 tipos de soluciones reales, una positiva y otra negativa.
Si su valor es cero tiene una solución real
Si su valor es negativo tiene 2 soluciones imaginarias.
Resolución de una ecuación cuadrática por medio de la formula general
6x² - 8x+2=0 1) Identificamos en la ecuación cada
uno de los valores para a, b y c 6x² - 8x+2= 0
a=6 a=coeficiente de
x²
b=-8b=coeficiente
de x
c=2c=Termino
independiente
2) Se sustituye cada uno de los valores en la formula general.
a=6, b=-8 y c=2
Se realizan las operaciones
indicadas.
Xı = 1 X2 = ⅓
La discriminante nos indica que
su solución tiene 2 números
reales distintos
Comprobación: Reemplazamos los valores de x en la ecuación, para
comprobar si se cumple la igualdad.Con el valor de Xı=1 Con el valor de X2 =⅓
6x² -8x+2=0 6x² -8x+2 = 0 6(1)² -8(1)+2=0 6(1/3)² -8(1/3)+2 = 0
6 – 8 + 2 = 0 6(1/9) - 8/3 + 2 = 0
8 – 8 = 0 6/9 – 8/3 + 2 = 0
0 = 0 2/3 – 8/3 + 2 = 0 -6/3 + 2 = 0 -2 + 2 = 0 0 = 0
EJEMPLOLos lados de un triangulo rectángulo tiene por medidas en
centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
2x + 2 2x + 4
2x
Utilizando el teorema de Pitágoras a² + b² = c² ; tenemos que:
a² = 2x, b² = 2x + 2 y c² = 2x + 4
Entonces:
(2x)² +(2x + 2)² = (2x + 4)² desarrollando los cuadrados
4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16 igualamos a cero la igualdad
4x² + 4x² + 8x + 4 - 4x² - 16x - 16 = 0 Se reducen términos semejantes
Por lo que se tiene la ecuación:
4x² - 8x – 12 = 0
4
x² - 2x – 3
a b cSOLUCIONUtilizando la formula general
=3
Se sustituyen cada uno de los valores en la formula
De los 2 valores de x , el que permitirá
resolver el problema es 3
Tomando como valor para x a 3 y sustituyéndolo en cada una de las ecuaciones tenemos que:
a=2x b= 2x+2 c=2x+4 a= 2(3) b = 2(3)+2 c=2(3)+4 a=6 b= 8 c= 10
Las medidas de los lados del triangulo son: 6cm, 8cm y 10cm respectivamente.
COMPROBACION x² - 2x – 3= 0
3² - 2(3) – 3 = 0 (-1)² - 2(-1) – 3 = 0
9 – 6 – 3 = 0 1 + 2 – 3 = 0
9 – 9 = 0 3 – 3 = 0
0 = 0 0 = 0
X= - 1
X = 3
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