ecuaciones diferenciales de primer orden, separación de variables
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona la variable independiente con la variable dependiente y sus derivadas. Por ejemplo:
xy+ d2 ydx2
+ dydx
=0(Ec .de 2do .orden)
El orden de la ecuación diferencial es el orden de la máxima derivada. El orden de las ecuaciones nos indica el número de constantes y constantes arbitrarias en la solución. Por ejemplo, para la ecuación anterior:
y=C1 y1+C2 y2
Ecuaciones diferenciales de Primer Orden, Separación de Variables.
Dada una ecuación diferencial:
M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0
Si la ecuación diferencial se puede colocar de la forma:
M (x )dx+N ( y )dy=0
Es de variables separables, y la solución está dada por la integral directa.
A continuación se muestran una serie de ejemplos. Antes de comenzar a analizarlos se debe considerar que una constante (marcada con azul) al momento de ser multiplicada por un número cualquiera, su valor cambia, y por tanto se convierte en una nueva constante. La constante indica que la ecuación pertenece a una familia de curvas, cuyo valor debe ser determinado dada las condiciones de la misma ecuación, por lo pronto no se determinaran los valores de dichas constantes. Otra cosa que debe tomarse en cuenta es que, la expresión final de una ecuación diferencial, puede representarse en varias formas, y por tanto, la expresión final será aquella que sea más conveniente trabajar para nosotros (Véase ejemplo 1).
I.Q. Juan Antonio García Avalos
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
1.- (4+x ) y '= y3
Solución:
(4+x ) dydx
= y3→ (4+x )dy= y3dx→dx4+x
− y−3dy=0
∫ dx4+x
−∫ y−3dy=0→ ln(4+x )+ 1
2 y2=Cmultiplicando por 2 y2
∴2 y2 ln (4+ x )+1=C
Otra posible solución:
ln (4+x )=C− 12 y2
→4+x=eC e−12 y2=C1 e
−12 y2
∴ e12 y2 (4+x )=C1
2.- exp ( y¿¿2)dx+x2 ydy=0¿Solución:
x−2dx+ y e− y2dy=0→∫ x−2dx+∫ e− y2 ydy=∫ x−2dx−12∫ e− y2 (−2 y )dy=0
−1x
−12e− y2=Cmultiplicando por−2 x→2+x e− y2=−2C x
∴ x e− y2+2=C1 x
3.- cosxcosydx+senxsenydy=0
Solución:
cosxsenx
dx+ senycosy
dy=ctgxdx+ tgydy=0
∫ ctgxdx+∫ tgydy=0→lnsenx−lncosy= ln senxcosy
=C→senxcosy
=¿eC¿
∴ senx=C1 cosx
4.- 3 ydx=2 xdy
Solución:
I.Q. Juan Antonio García Avalos
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
3 ydx−2 xdy=0→ dx2 x
− dy3 y
=0→ 12∫
dxx
−13∫
dyy
=0
12lnx−1
3lny=ln x1 /2+ln y−1 /3=C→
x1 /2
y1 /3=eC=C1
Elevando a la sexta potencia ambos términos:
x3
y2=C1
6=C2
∴ x3=C2 y2
5.- mydx=nxdy
Solución:
mydx−nxdy=0→dxnx
− dymy
=0→ 1n∫
dxx
− 1m∫ dy
y=0→ 1
nlnx− 1
mlny=C
ln x1/n+ln y−1 /m=C→x1/n
y1 /m=eC=C1
Elevando a la mn potencia ambos términos:
xm
yn=C1
mn=C2
∴ xm=C2 yn
6.- y '=x y2
dydx
−x y2=0→ dyy2
−xdx=0→∫ y−2dy−∫ xdx=0→− y−1− x2
2=C
Multiplicando por −2 y
x2 y+2=C1 y→ x2 y−C1 y+2=0
∴ y (x2+C2)+2=0
7.- dVdP
=−VP
dVdP
+VP
=0→ dVV
+ dPP
=0→∫ dVV
+∫ dPP
=0→ lnV + lnP=C→PV=eC1
I.Q. Juan Antonio García Avalos
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
∴PV=C2
8.- ex ( y−1 )dx+2 (ex+4 )dy=0
ex
2(ex+4 )dx+ 1
y−1dy=0→ 1
2∫ e x
(e x+4)dx+∫ 1
y−1dy=0
12ln(e¿¿ x+4)+ ln ( y−1)=C→ ln ¿¿¿
(e¿¿ x+4)12 ( y−1 )=eC=C1 ¿
Elevando al cuadrado ambos términos:
∴(e¿¿ x+4) ( y−1 )2=C12¿
9.- dr=e (rsenθdθ−cosθdr )
dr−ersenθdθ+ecosθdr=0→ (1+ecosθ )dr−ersenθdθ=0
∫ drr
+∫ −esenθ(1+ecosθ )
dθ=0→ lnr+ ln (1+ecosθ )=C→r (ecosθ+1 )=eC
∴r (ecosθ+1 )=C1
10.- ( xy−x )dx+( xy+ y )dy=0
x ( y−1 )dx+ y ( x+1 )dy=0→ xx+1
dx+ yy−1
dy=0
∫(1− 1x+1 )dx+∫(1+ 1
y−1 )dy=0x−ln ( x+1 )+ y+ ln ( y−1 )=C
ln( y−1)(x+1)
+ y+x=C→ ln( y−1)(x+1)
=C [−( y+x) ]→ y−1x+1
=C1 e−( y+ x)
∴ ( y−1 ) exp ( y+x )=C1(x+1)
I.Q. Juan Antonio García Avalos
x + 1 x - x - 11 - x + 1
1 1 y - 1 y 1 + y - 1 1 1 - y + 11x + 1
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
11.-( y+1 )dx=2 xydy
dx2x
− yy+1
dy=0→ 12∫ dx
x−∫(1− 1
y+1 )dy=0ln x1/2− y+ ln ( y+1 )=C→(x1/2)( y+1)=C1 e
y
Elevando a la segunda potencia ambos términos:
x ( y+1)2=C12 e2 y→e2 y= 1
C12x ( y+1)2
∴ e2 y=C2 x ( y+1)2
12.- x2dx+ y ( x−1 )dy=0
x2
x−1dx+ ydy=0
∫(x+1+ 1x−1 )dx+∫ ydy=0→ x2
2+x+ln ( x−1 )+ y2
2=C
Multiplicando ambos términos por 2:
∴ x2+2 x+ y2+ ln (x−1)2=C1
13.- ( xy+x )dx=(x2 y2+x2+ y2+1 )dy
x ( y+1 )dx− (x2 y2+x2+ y2+1 )dy=0
x ( y+1 )dx− (x2 y2+x2 )dy−( y2+1 )dy=0
x ( y+1 )dx− x2 ( y2+1 )dy−( y2+1 )dy=0
x ( y+1 )dx− ( y2+1 ) ( x2+1 )dy=0
xx2+1
dx− y2+1y+1
dy=0
I.Q. Juan Antonio García Avalos
x2 - x2+ x x - 1 x +1 1 x + 1 +x - 1 - x + 1
y +1 y2 +1 y - 1
-y2 +1 - y y – 1 + y + 1 2
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
12∫ 2x
x2+1dx−∫( y−1+ 2
y+1 )dy=012ln (x2+1 )− y2
2+ y−2 ln ( y+1 )=C
Multiplicando ambos lados de la ecuación por 2:
∴ ln ( x2+1 )= y2−2 y+4 ln ( y+1 )+C1
14.- x cos2 ydx+ tanydy=0
xdx+ tany
cos2 ydy=0→xdx+tany sec2 ydy=0
∫ xdx+∫ tany sec2 ydy=0→ x2
2+ tan
2 y2
=C
Multiplicando ambos lados de la ecuación por 2:
∴ x2+ tan2 y=C1
15.- x2 y y '=e y
x2 ydydx
=e y→x2 ydy=e ydx→x2 ydy−e y dx=0→ y e− ydy−dx
x2=0
Integral por partes: du=dy ;v=−e− y
− y e− y−e− y+ 1x=C→−e− y ( y+1 )=C−1
x→ ( y+1 )=(C−1
x ) (−ey )
Multiplicando ambos lados de la ecuación por x:
x ( y+1 )=(C x−1 ) (−e y )
∴ x ( y+1 )=(1+C1 x )e y
16.- tan2 ydy=sen3 xdx
tan2 ydy−sen3 xdx=0→ ( sec2 y−1 )dy−sen2 xsenxdx=0
I.Q. Juan Antonio García Avalos
+1 + y +2
u dv
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
( sec2 y−1 )dy−(1−cos2 x ) senxdx=0→ ( sec2 y−1 )dy+(cos2 x−1 ) senxdx=0
∫ ( sec2 y−1 )dy+∫cos2 x senxdx−∫ senxdx=0
tany− y− cos3 x3
+cosx=C
Multiplicando ambos lados de la ecuación por -3:
∴cos3 x−3cosx=3 (tany− y+C1)
17.- y '=cos2 xcosy
dydx
−cos2 xcosy=0→ dycosy
−cos2 x dx=secydy−( 12+ 12 cos2x )dx=0
∫ secydy−∫( 12+ 12 cos2x )dx=0ln ( secy+tany )−1
2x−14sen2 x=C
Multiplicando ambos lados de la ecuación por 4:
4 ln (secy+tany )−2x−sen2 x=C1
∴4 ln ( secy+tany )=2x+sen2 x+C1
18.- y '= ysecx
dydx
− ysecx=0→dyy
−secxdx=0→∫ dyy
−∫ secxdx=0
lny−ln (secx+ tgx )=C→y
secx+ tgx=eC
∴ y=C1(secx+tgx)
19.- dx=t (1+t 2) sec2 xdt
dx
sec2 x− t (1+t 2)dt=0→cos2 xdx−(1+ t2 ) tdt=0
∫( 12+ 12 cos2 x)dx−12∫ (1+ t2 )2 tdt=0
I.Q. Juan Antonio García Avalos
a xt
a xt
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
12x+ 14sen2 x−1
4(1+t 2 )2=C
Multiplicando ambos lados de la ecuación por 4:
∴2 x+sen 2x=C1+ (1+t2 )2
20.- αdβ+ βdα+αβ (3dα+dβ )=0
αdβ+ βdα+αβ 3dα+αβdβ=0→β (1+3 α )dα+α (1+β )dβ=0
∫ (1+3 α)α
dα+∫ (1+ β)β
dβ=0→lnα+3α+lnβ+β=C
αβ=eC e−3α−β→1
eCαβ=exp (−3α−β)
∴C1αβ=exp (−3α−β )
21.- (1+lnx )dx+(1+lny )dy=0
∫ (1+lnx )dx+∫ (1+lny )dy=0→x+xlnx−x+ y+ ylny− y=C
∴ xlnx+ ylny=C
22.- xdx−√a2−x2dy=0
∫ x
√a2−x2dx−∫ dy=0
x=asent ;dx=acostdt
∫ x
√a2−x2dx=¿∫ asent
√a2−a2 sen2tacostdt=¿∫ asent
√a2−a2+a2 cos2 tacostdt=∫ asentacost
acostdt=−acost ¿¿
cost=√a2−x2
a→−√a2−x2− y=C
Multiplicando ambos lados de la ecuación por -1
√a2−x2+ y=C1
∴ y−C1=−√a2−x2
23.- xdx+√a2−x2dy=0
I.Q. Juan Antonio García Avalos
t x
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
∫ x
√a2−x2dx+∫ dy=0
Del problema anterior se tiene que:
∫ x
√a2−x2dx=¿−acost ; cost=√a2−x2
a→−√a2−x2+ y=C ¿
∴ y−C=√a2−x2
24.- a2dx=x √ x2−a2dy
∫ a2
x √x2−a2dx−∫dy=0
x=ase c t ;dx=asec t tant dt
∫ a2
x √x2−a2dx=∫ a2asect tant
a sect a tantdt=∫ adt=at
√(asect)2−a2=√a2+a2 tan2 t−a2=a tant
t=sec−1 xa;a sec−1 x
a− y=C→ sec−1 x
a= c+ y
a→
xa=sec
c+ ya
∴ x=asecc+ ya
25.- ylnxlnydx+dy=0
∫ lnxdx+∫ dyylny
=0
∴ xlnx−x+ln (lny )=C
I.Q. Juan Antonio García Avalos
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
ANEXOS
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