ecuaciones...al finalizar esta clase ud. debe: tener un dominio amplio de las ecuaciones de primer y...

ECUACIONES

Elaboró Ing. Efrén Giraldo T.

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro

ECUACIONES

Nota aclaratoria 1. Me disculpan los estudiosos por no colocar la

debida referencia bibliográfica en algunas diapositivas, pero me fueron pasadas por un amigo y no estaban referenciadas. No he podido desafortunadamente encontrar la fuente.

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro 2

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro 3 ELABORADO POR EFRÉN

GIRALDO TORO 3 Elaboró Efrén Giraldo T. 3 ELABORÓ ING. EFRÉN GIRALDO T. 3

• Amigo estudiante: • Este es OTRO peldaño de la escalera de las matemáticas básicas. Si lo

entiende y lo estudia bien, no tendrá problemas con su materia. Si no, consulte con sus compañeros, con su profesor o en las asesorías.

¡Saque mínimo 8 horas semanales fuera de clase para estudiar matemáticas.

No valen disculpas!. ¡No deje para mañana lo que tiene que hacer hoy!

ELABORÓ ING. EFRÉN GIRALDO T. 3

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro 4 Elaboró Efrén Giraldo T. 4

Al finalizar esta clase Ud. debe:

Tener un dominio amplio de las ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

APLICAR EL MCM A LAS ECUACUIONES.

¡Recuerde que esto es básico para las clases siguientes!

ELABORÓ ING. EFRÉN GIRALDO T. 4

Elaboró ingeniero Efrén Giraldo

• Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones separadas por un signo igual.

Elaboró ingeniero Efrén Giraldo

• La expresión de la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la expresión de la derecha.

2x - 3 = x + 5 se denomina ecuación en x

Una ecuación es como una balanza: debe haber un equilibrio en ambos lados

Ecuaciones de primer grado o lineales

• Cuando el mayor grado con que figura la incógnita es el primero ó 1

• 2 x + 5 = 11

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro (Stewar.2007)

Operaciones en una misma ecuación

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro (Stewar,2001) 11

• Un término sumando pasa a restar al otro lado y viceversa.

• Si está multiplicando pasa a dividir a todo el otro lado y al contrario

(Tomado de Politécnico Grancolombiano. 2011) 13

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro

Resolución de una ecuación

• En una ecuación uno o ambas lados pueden contener variables.

• Se trata de dejar solo la variable en un lado de la ecuación y los términos independientes en el otro lado

• Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.

• Recordar:

• A=B B=A

• 4= 3x es lo mismo que 3x=4

(Tomado de Politécnico Grancolombiano. 2011)

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro (Stewar,2001)

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro (Politécnico Grancolombiano. 2011)

• ¡RECORDAR LAS SIGUIENTES REGLAS DE LAS ECUACIONES!

• Todo un lado de una ecuación se puede multiplicar por un termino con tal de que el otro lado también se multiplique por el mismo término. Basta multiplicar cada lado por el mcm

y no se tiene que dividir también ambos lados por el mcm

O lo que es lo mismo: • Cada uno de los términos de una ecuación se pueden

multiplicar por un término y la ecuación no se altera.

• Cada uno de los términos de una ecuación se pueden dividir por un término y la ecuación no se altera.

• Si todo el lado izquierdo de una ecuación está dividido por un término y todo el lado derecho de una ecuación está dividido por otro término se pueden multiplicar en cruz de la manera siguiente:

Ecuaciones con denominadores pasos:

O lo que es lo mismo se multiplica el mcm 12 por cada uno de los términos de la derecha y por cada uno de los términos de la izquierda.

(Politécnico Grancolombiano. 2011) 29

• Y luego paso a simplificar normalmente

Resolver por mcm

1. Factorizar denominadores : 2(x-2), (x+3), (x-2)

2.El mcm es el producto de todos los factores comunes y no comunes con mayor exponente: 2(x-2)(x+3) este el mcm

Diferencia entre el mcm de términos y de ecuaciones.

• Note la diferencia con un término o varios, donde se coloca de denominador común el mcm

y luego se multiplica el numerador de cada de cada término por el mcm y se simplifica. • En las ecuaciones no se requiere colocar el mcm de denominador común, pues si se hace, se tendría que hacer a ambos lados y como está dividiendo a ambos lados de puede cancelar.

X=3 X= 1 son soluciones pues al reemplazarlos en la ecuación original cumplen. X=0 y X=2 no son porque hacen denominador cero

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro 39 Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro (Stewar,2001)

Lenguaje de las ecuaciones

• El doble o duplo de un número x: 2x

• El triple de un número: 3x

• El cuádruplo de un número: 4x

• La mitad de un número: x/2.

• Un tercio de un número: x/3.

• Un cuarto de un número: x/4.

• Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

• Un número al cubo: x3

• Dos números consecutivos: x y x + 1.

• Un número par: 2x

• Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

• Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

• Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

• Si la suma de dos números es 24 o dos números que sumados den 24, los números son x y 24 − x.

• La diferencia de dos números es 24, los números son x y 24 + x.

• El producto de dos números es 24: x y 24/x.

• El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro (Educarchile, 2011) 45

(Educarchile, 2011) 47

• Una nieta le pregunta al abuelo por la edad de la abuela(porque ella no la dice). El propone a su nieta el siguiente acertijo:

Ya que eres tan lista y te va también en algebra, haber si logras sacar la edad de la abuela. Si al doble de su edad actual le quitas el doble de la edad que tenía hace 40 años, obtendrás su edad actual. Cuál es su edad actual? Y la hermosa niña procedió así:

• Sea x = la edad actual de la abuela

• Doble de la edad actual de la abuela= 2X

• Hace cuarenta años la edad de la abuela era la edad actual menos 40 o sea X-40

• El doble de la edad de hace 40 años =2(X-40)

2X- 2(X-40)=X

2X- 2X+80=X X=80

• Juan, Pedro y Diego deciden hacer una “vaca” para salir a divertirse un fin de semana. Juan puso una cierta cantidad, Pedro puso el doble que Juan, y Diego puso el triple del aporte de Juan. En total reunieron 6000 pesos. ¿Cuánto puso cada uno?

• Sea z la cantidad desconocida que puso Juan, entonces Pedro puso 2 z, y Diego entonces puso 3 z, y puesto que el total de los aportes es de 6000 pesos, tenemos la ecuación:

2 3 6000z z z 2 3 6000z z z

60001000

1000 pesos aportó Juan, 2000 pesos aportó Pedro y 3000 pesos Diego

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado Caso 1 Ecuación de la forma 𝑥2 =c,

• Escriba aquí la ecuación.

𝑥2 = 3, x= ± 3 Por tanto x = ±c

(Algebra con papas, 2011)

(Algebra con papas,2011)

(Algebra con papas)

(Stewar.2007)

• Una ecuación como • X2 - 8x +13 = 0 13 no es cuadrado de ningún numero. • De la misma manera que antes

• X2 - 8x = - 13 •

• X2 - 8x + (8 /2)2 = (8 /2)2 - 13 X2 - 8x + (8 /2)2 = 16-13 • (x-4)2 = 3 sacando √ a ambos lados

• X-4 = ±√ 3 x= 4 ± √ 3

Caso 3. Resolución por Factorización cuando se pueda

Propiedad a utilizar a * b = 0 a=0 ó b =0

• (x-a1)(x-a2)=0 implica que (x-a1)=0 ó (x-a2)=0

• X= a1 ó X =a2

• X2 + 5X = 24

(Algebra con papas)

• X2 + 5X = 24

• X2 + 5X – 24 = 0

• (X+8)(X-3)=0

• (X+8)= 0 X= -8

• (X-3)=0 X= 3

• 3 y -8 son soluciones, raíces o ceros de la ecuación

Caso X2 - c = 0

• Corresponde a la factorización del producto notable

a2 - b2 =(a-b)(a+b) donde a es la √ a2 y b es la √b2

En este caso √a2 es a y √c es √c

• (X-√c)(X+√c)=0

• X= √c

• X= -√c X= ± √c

• X2 -5 = 0

• (X- 4)2 =5

aX2 + bx +c = 0

El porqué de la fórmula?

• Algunas ecuaciones de segundo grado no pueden resolverse utilizando los métodos que se han descrito anteriormente.

• Sin embargo el método de la fórmula siempre funciona.

Utilice la fórmula siempre que se requieran soluciones con uno o más decimales y cuando por factorización no se pueda encontrar los dos números que multiplicados y sumados den…..

Tomado el 29 de III 2011 de : http://media.educ.ar/skoool/algebra/resolucion_de_ecuaciones_de_segundo_grado/launch.html Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro 77

(Algebra con papas)

• 3x2 - 5x - 1=0

• 4x2 + 12x + 9 =0

• La raíz par de un número negativo siempre será un imaginario de la forma ni

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro 81 Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro

(Algebra con papas)

ALGUNAS ECUACIONES UN POCO DIFERENTES

• Ecuaciones con radicales

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro (Stewar, 2007)

(Stewar, 2007)

Ecuación de 4 grado reductible a grado 2

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro 84 (Stewar, 2007)

Ecuaciones fraccionarias

(Stewar, 2007)

Ecuaciones con valor absoluto • Se parte de la siguiente propiedad del valor

absoluto:

Elaboró Ing. Efrén Giraldo Toro 88 88 88 ELABORÓ ING. EFRÉN GIRALDO T. 88 ELABORÓ ING. EFRÉN GILDO T.

LUEGO DE ESTA CLASE UD. AMIGO ESTUDIANTE, TIENE QUE DOMINAR TODOS LOS CONCEPTOS PROFUNDAMENTE DE LA CLASES ANTERIORES. DE LO CONTRARIO VUELVA REPASE, ESTUDIE, CONSULTE,REÚNASE, INVESTIGUE. HAGA ALGO.

SI NO LO HACE TIENE PROBLEMAS EN SU MATERIA Y ESTÁ

DANDO OTRO PASO PARA PERDERLA Y POSIBLEMENTE PERDER TAMBIÉN SU CARRERA Y HASTA ARRUINAR SU VIDA.

• ESTO? Ó ESTO?

Bibliografía

• Algebra con papas. SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA THALES. José Antonio Ortega

• http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/segundogrado/clasificacion/clasificacionteoria.htm

• Politécnico Grancolombiano. (2011). Ecuaciones de primer grado. Tomado el 20 de agosto de 2011 de:

http://www.authorstream.com/Presentation/migv-125432-ecuaciones-de-primer-grado-ec1grado-entertainment-ppt-powerpoint

• Educarchile. (2011). Problemas con ecuaciones de primer grado. Tomado 23 agosto de 2011 de:

• http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=179845

• Tomado el 29 de III 2011 de : http://media.educ.ar/skoool/algebra/resolucion_de_ecuaciones_de_segundo_grado/launch.html

• Stewar et all. (2007. Precalculo.

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