ecuaciones

(2)

x1 = −x1 + 2x31 + x2 (1)

x2 = −x1 − x2 (2)

Solucion (2)

Para encontrar los puntos de equilibrio igualamos a cero las ecuaciones (1) y (2).

x1 = x2 = 0 (3)

0 = −x1 + 2x31 + x2 (4)

0 = −x1 − x2 (5)

de (5), tenemos:

x2 = −x1 (6)

sustituyendo (6) en (4) obtenemos una ecuacion en funcion de x1.

0 = 2x1(x21 − 1) (7)

en donde las raices de dicha ecuacion son:

x1 = 0x1 = 1x1 = −1

ası pues, sustituyendo en (6) las raices de la ecuacion (7) obtenemos los valores de x2 respectivos a cada valor dex1, ası cada pareja ordenada corresponde a un punto de equilibrio del sistema, los cuales son (0,0), (1,-1) y (-1,1).

Para determinar que tipos de puntos de equilibrio son, procedemos a linealizar el sistema mediante la matrizJacobiana:

∂x∂x =

∂x1∂x1

∂x1∂x2

∂x2∂x1

∂x2∂x2

por lo tanto nuestro sistema linealizado queda de la siguiente forma:

∂x∂x

=

−1 + 6x21 1

−1 −1

(8)

de (8) evaluamos para cada punto de equilibrio:

∂x∂x

∣∣∣∣∣(0,0)

=

−1 1

−1 −1

(9)

∂x∂x

∣∣∣∣∣(1,−1)

=

5 1

−1 −1

(10)

∂x∂x

∣∣∣∣∣(−1,1)

=

5 1

−1 −1

(11)

1

Calculando los eigenvalores para (9) tenemos λ1 = −1 + j y λ2 = −1− j, y para (10) y (11) tenemos λ1 = 4,82 yλ2 = −0,82, ası mediante el diagrama de bifurcacion, obtenemos que el punto de equilibrio (0,0) genera un focoestable y los puntos de equilibrio (1,-1) y (-1,1) generan un punto silla.

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