ecuacion de segundo grado

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Por Ing. Margarita

Patiño JaramilloIng. Carlos Enrique

Villa

Competencia

Utiliza adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos.

Indicadores de logro: Resuelve ecuaciones y sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos desarrollados.

Plantea la o las expresiones algebraicas que representan la situación.

Resuelve la situación a partir de la o las expresiones algebraicas que la representan, utilizando las propiedades, operaciones y/o métodos desarrollados.

Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

2ax +bx + c = 0

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:nx

2n nax +bx + c = 0

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

La ecuación cuadrática es de vital importancia en matemáticas aplicadas, física e ingeniería, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y cotidianos.

Clasificación de las ecuaciones cuadráticas:

La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguientes tres maneras:

1.- Cuadrática Completa: Tiene la forma canónica:

donde los tres coeficientes a, b y c son diferentes de cero.

2ax +bx + c = 0

Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante:

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general,la cual trataremos ás adelante.

2Δ = b - 4ac

2.- Cuadrática incompleta pura:

Forma general:

donde los valores de a y de c son distintos de cero.

Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo.

Una ecuación cuadrática incompleta tiene la forma:

con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica, y su única solución doble, es por supuesto, x = 0

2ax + c = 0

2ax = 0

3.- Cuadrática incompleta mixta:

Es de la forma:

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial . No tiene solución en números complejos.

2ax +bx = 0

Solución general de la ecuación de segundo grado

La ecuación cuadrática completa de segundo grado siempre tiene dos soluciones, también denominadas raíces, que pueden ser reales o complejas, de acuerdo con la fórmula general:

Nota: el símbolo "±" indica que hay un valor para el “más” y otro valor para el “menos”.

2b ± b - 4acx =

2a

1x = 0

De acuerdo con el valor del determinante las soluciones pueden ser:

1. Dos valores reales distintos si el discriminante da positivo; 2. Una valor real repetido si el discriminante da cero; 3. Dos valores complejos conjugados si el valor del discriminante da negativo.

2Δ = b - 4ac

Método de factorización :

Consiste en factorizar , si es posible, el polinomio de segundo grado : ax2 + bx + c = 0

Los pasos de este método son los siguientes:1. Se trasladan todos los términos a un sólo miembro dejando el otro miembro igual a cero.2. Se factoriza este miembro por el método más adecuado.3. Para obtener las raíces de la ecuación , se iguala cada factor a cero.

Análisis de las raíces de una ecuación de segundo grado ._ Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a≠0 dependen de la discriminante Δ así: Primer caso:Si Δ > 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales y diferentes.Pero:  a) si Δ es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son racionales. b) si Δ no es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son irracionales conjugadas.

Segundo caso:

Si Δ = 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales e iguales (raíces dobles) donde:  

Tercer caso:

Si Δ < 0 entonces las raíces x1 y x2 dan de tipo complejas y conjugadas.

1 2

bx =x =-

2a

Resolvamos algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados: Ejemplo 1.

Resolver para x:

Se ordena la ecuación por potencias descendentes de la x.

Así las cosas, a = 5 ; b = -13 ; c = - 6. Se aplica la fórmula:

Nótese que = 17 es mayor que cero, luego tendremos dos valores reales distintos.

Por lo tanto: 

25x - 13x - 6 = 0

213 ± 13 - 4 5 -6

x =2 5

13 ±17x =

10

1

2

x = 3

2x = -

5

2Δ = b - 4ac

En el ejemplo anterior ambos valores de x cumplen en la ecuación, ya que, al reemplazarlos en ella, producen una igualdad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verificación.

Realice la verificación.

Ejemplo 2:

Resolver para x:

Solución: Se trata de una ecuación incompleta pura.

Despejamos x:

Realice la verificación.

23x -12 = 0

23x =12

2 12x = = 4

3 x = ± 4 = ± 2

2x - 3x + 2 = 0

Ejemplo 3:

Resolver para x:

Aplicamos la fórmula general:

Dos raíces reales diferentes.

2- -3 ± -3 - 4×1×2 3 ± 9 - 8 3 ±1

x = = = =2×1 2 2

3 1 42

2 2

3 1

2

2

21

2x =

1x =

Ejemplo 4:

Resolver para x:

Aplicamos la fórmula general:

Donde: , lo que implica raíz cuadrada de número negativo.

Por lo tanto:

Dos raíces complejas conjugadas.

2x - 2x + 3 = 0

2- -2 ± -2 - 4×1×3

x =2×1

1x 2 ± 2i

± i2

2 ± 4 -12 2 ± 8= =

2 2

2 2 -2=

2

2Δ = b - 4ac < 0

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN

Es posible resolver ecuaciones de segundo grado por factorización cuando trasladando todos los términos a un solo miembro de la ecuación igualada a cero, el polinomio resultante es factorizable.

Ejemplo 5:

Resolver para x por medio de factorización:

Solución: Factorizamos por el método de inspección así:

, dos números que multiplicados den 12 y que restados den uno.

, donde uno de estos factores o los dos son cero.

Si

Si

2x + x -12

2x + x - 12 = 0

x + x - = 0

0x +4 x - 3

1x - 3 = 0 x = 3

4 4 2x + = 0 x =

Ejemplo 6:

Resolver para a por factorización:

Solución:

Primero pasemos todos los términos a la izquierda:

, dos números que multiplicados den 65 y restados 8: 13 y 5

Si

Si

28a - 65 = - a

2a + 8a - 65 = 0

13 5a + a - = 0

13 1 1a + = 0 a = 3

5 5 2a - = 0 a =

Ejemplo 7:

Resolver para a por factorización:

Solución: Multiplicamos y dividimos por 6 que es el coeficiente de

, ahora hacemos la inspección

, saquemos factor común en ambos paréntesis

, simplifiquemos , donde uno de estos factores o los dos son cero.

Si

Si

26a -11a +10=0

2

26 6a -11a +10

6a -11a +10 = =06

0

236a -11a 6 + 60=

6

0

6a +15 6a - 4=

6

0

3 2a + 5 2 3a - 2=

6

0= 2a + 5 3a - 2

2a

12a +5 = 0 a =- 5

2

23a -2 = 0 a =

3

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

1. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletasa) b) c) d) e)

x x2 0 2 02x x 2 9 0

1 4 82 x x x 5 1 5 0

2. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:a) b) c) d) e)

4 12 9 02x x x x2 8 25 0

11 21 2 2x x 3 1 2 3 6x x x 2 1 12 2x x x

3. Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de las siguientes

ecuaciones:a) b) c)

x x2 7 3 0 3 6 12 02x x x x2 7 3 0

Problemas que se resuelven utilizando ecuaciones cuadráticas. Los siguientes problemas (enunciados) atañen a situaciones que requieren planteamientos que implican una ecuación de segundo grado.

Consejo:

Primero se insinúa que el estudiante establezca la incógnita o incógnitas designado por X a una de las variables que incluya el problema. Denomine la magnitud desconocida, con unidades de medida, por X; luego deben transformarse las frases en ecuaciones de acuerdo con las relaciones establecidas entre la variable, de acuerdo al planteamiento y por último, se resuelve la ecuación.

No existe un procedimiento o regla general para operar la parte lógica de este tipo de problemas, sólo la práctica va dando la habilidad y destreza necesarias para esbozarlos y resolverlos.

Ejemplo 1 tipo problema:

La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números Primero se designa la variable X a una de las incógnitas del problema. Hay dos magnitudes desconocidas que son los dos números, pero como el problema no hace diferencia entre uno y otro, puede asignarse X a cualquiera de los dos, por ejemplo: X : Sea X el primer número

Puesto que la suma de ambos es 10, entonces obligatoriamente el otro será 10 – x, entonces 10 – x es el segundo número.

La condición del problema es que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces la ecuación a resolver es: x2 + (10 - x )2 = 58.

Para resolverla, hay que usar algunas técnicas de Álgebra elemental y luego reordenar para aplicar la resolución.

La operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común entre los estudiantes (muy difícil de quitar) que escriben:

( a - b )2 = a2 - b2 , lo cual es erróneo, pues lo correcto es:

( a - b )2 = a2 - 2.a.b + b2

Desarrollando la ecuación x2 + (10 - x )2 = 58 se tiene:

x2 + 102 – 2x + x2 = 58 , Por lo tanto: x 2 + 100 - 20.x + x 2 = 58

Ordenando y agrupando: 2x2 - 20.x + 42 = 0 ;

Al dividir entre 2 toda la ecuación:

x2 - 10x+ 21 = 0

Usando la fórmula general o la factorización resulta:

x1 = 3 y x2 = 7 (realizar la actividad)

El problema genera (supuestamente) dos soluciones, así que hay que probar con ambas posibilidades.

Supóngase que se toma la primera (x = 3).

Revisando el planteamiento inicial, se observa que: Primer número: x = 3 ; Segundo número = 10 - 3 = 7. Si se toma la segunda respuesta (x = 7), resulta: Primer número: x = 7, Segundo número = 10 - 7 = 3.

En ambos casos, ya que no hay diferenciación entre ambos números, la única respuesta es:

Los números buscados son 3 y 7.

Entonces se tiene que:

x (x + 3 ) = área de la sala. datos iniciales

Las condiciones del problema dicen que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, por lo que, en seguida del aumento quedan:

x + 3 = nuevo ancho de la salax + 5 = nuevo largo de la sala

Por lo tanto: (x + 3 )(x + 5) = nueva área de la sala

La nueva área es el doble de la primera (dos veces) , así que planteamos la ecuación:

(x + 3 )(x + 5) = 2 x (x + 3 )

Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x

Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 - 2x2 - 6x = 0

Se simplifica: - x2 + 2x + 15 = 0

Se aplica la fórmula general y resulta: x1 = 5 y x2 = - 3. La solución x = -3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo.

Se toma como única respuesta que el ancho original era 5 metros.

Mirando las condiciones iniciales, se deduce que:

El largo es: x + 3 = 8 metros.

Así que el área original era 8m . 5m = 40 m2.

Ejemplo 2 tipo problema:

El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que su ancho. Si aumentamos en 3 m el ancho y el largo en 2 m, el área se duplica. Hallar el área original de la sala. En este caso, si hay diferencia entre largo y ancho, así que hay que tener cuidado con la asignación y sobre todo, con la interpretación de la variable X.

Este problema permite fácilmente que la X sea cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho. Por lo tanto si:

X = ancho de la sala

El largo es 3 metros mayor que el ancho, luego:

x + 3 = largo de la sala.

El área de un rectángulo es la multiplicación de ambas expresiones.

Ejemplo 3 tipo problema:

¿ Cuál es el área y el perímetro del triángulo rectángulo que se indica en la figura, sabiendo que las dimensiones señaladas están dadas en metros? 

Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras.

La hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:

(x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2

Desarrollando cada binomio al cuadrado, reagrupando, reduciendo términos semejantes, se obtiene:

-2 x2 + 18x = 0

Las raíces o soluciones son x1 = 0 y x2 = 9.

La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es posible.

La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.

El área de un triángulo rectángulo corresponde al semiproducto de los catetos, resultando ½ (12 · 5) = 30 , por lo tanto el área es 30 m2.

El perímetro es la suma de los lados, es decir:

P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m. El área resulta 30 m 2 y su perímetro 30 metros.

Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado 1. Una persona tiene 52 años de edad y su nieto 2. ¿después de cuántos años la razón entre la edad del abuelo y del nieto será igual a los tres cuartosdel tiempo transcurrido para que eso suceda? (8)

2. De una hoja de cartón de 72 cm de largo y 48 cm de ancho, se desea cortar un margen de ancho constante de modo tal que la hoja que quede tenga una superficie igual a los cinco octavos de la hoja dada. ¿qué ancho debe tener ese margen? (6)

3. Halle un número de dos cifras si la suma de ellas es 10 y si al producto de las mismas se le suma 16 se obtiene el primer número con las cifras invertidas. (73)

4. Los catetos de un triángulo rectángulo tienen 10 cm y 24 cm de longitud. Si se aumentan los dos en la misma cantidad ,¿ en cuánto habrá que aumentarlos para que su hipotenusa aumente 8 cm?(6)

5. Un conjunto de personas alquiló un vehículo en $1200. Como 3 personas no fueron, las demás debieron abonar $20 más de lo convenido. ¿cuántas viajaban originalmente? (15)