ecuación algebraica - wikipedia, la enciclopedia libre

11/8/2015 EcuacinalgebraicaWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica 1/8Lassolucionesdeunaecuacinalgebraicadeunavariablecorrespondenalospuntosdeunacurva,quetocanocortanalejehorizontal.EcuacinalgebraicaDeWikipedia,laenciclopedialibreUna ecuacin algebraica es un polinomio P(x), con coeficientes reales o complejos,1 igualado a cero.23 .Donde x denota un nmero desconocido que la satisface, esto es que reemplazado en P(x) da cero comoresultado. Cualquier nmero que satisface la ecuacin se llama raz el problema de resolver una ecuacinsignificahallartodassusraces.Cuandoelgradodelpolinomioesnsedicequelaecuacincorrespondienteesdegradon.4Porejemplo,elpolinomioconcoeficientosenterosdetermina la ecuacin , es decir, . Las soluciones de esta ecuacin determinanlasracesdelpolinomio,lascualesseinterpretangeomtricamentecomosigue.Lagrficadelafuncinpolinmica esunacurva,dondelasracesdelpolinomiosonlospuntosdelacurvaquecoincidenconelejehorizontalx.35Puededarsequeelpolinomiotengamsdeunaindeterminada.Tmesecomoejemploelsiguientepolinomioque determina una ecuacin algebraica de segundogrado y dos variables sobre el cuerpo de los nmerosracionales. En este caso, las soluciones desonparesordenadosquedeterminanunlugargeomtricoenelplano,generalmenteunacurvaalgebraica.6ndice1Definiciones11/8/2015 EcuacinalgebraicaWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica 2/81Definiciones2Ecuacionesdeunavariable2.1Consideracionesgenricas2.1.1Factorizacin2.2Primergrado2.3Segundogrado2.4Ecuacionesdemayorgrado3Conversindecoeficientes4Ecuacionesvinculadas5Vasetambin6ReferenciasDefinicionesEnmatemticas,unpolinomioalgebraicoenuncuerpoesunpolinomioconcoeficientesenesecuerpo.Formalmente, si es un cuerpo y un conjunto de indeterminadas, es otro conjunto, que resulta de adjuntar loselementosdeXalcuerpo.Esteesunanillodepolinomiosquecontienealospolinomiosalgebraicos.Sea unodeestospolinomios.Laigualdad esunaecuacinalgebraica.Como es un anillo, todo elemento de tiene un inverso aditivo. Esto quiere decir que, dados,siempresepuedeconstruiruntercerpolinomio11/8/2015 EcuacinalgebraicaWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica 3/8donde denota al elemento inverso de P con respecto a la operacin .7 Por definicin, igualar el polinomio R a cero equivale a plantear unaecuacinalgebraica.Esterazonamientodalugaralsiguienteteorema.La igualdad es una ecuacinalgebraica.Enelcasomssimple,elcuerpoes ,elconjuntode los nmerosracionales. En este caso, los polinomiosalgebraicosson aquelloscon coeficientesracionales.Porejemplo:cumple .Dichodeotromodo,esunpolinomioalgebraicoenlosracionales,conxcomoindeterminada,yporlotanto esunaecuacinalgebraicaconcoeficientesracionales.EcuacionesdeunavariableConsideracionesgenricasSegnlosvaloresqueasuma surgenlasecuacionesdelaformadegrado1,2,3,4,etc.oecuacioneslineal,cuadrtica,cbica,curtica,etc.Seasumequeelcoeficienteprincipal esdistintodeceroaunqueningunacondicinseestableceparalosdemscoeficientes.811/8/2015 EcuacinalgebraicaWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica 4/8Resolverecuacionesalgebraicasdeunasolavariableesrelativamentesencilloparalosgrados1y2.FactorizacinSikesunarazdelaecuacinsededucedelteoremadelrestoqueP(x)esdivisiblepor(xk)ysecumpledonde esunpolinomiodegradon1.Si esotrarazdistintadekseobtienedonde esunpolinomiodegradon2.Yassucesivamente.PrimergradoUnaecuacindeprimergradosiempretienesolucinsobreuncuerpo .Esdecir,laecuacin:siempreadmitelasolucin queesunelementode .SegundogradoUnaecuacindesegundogrado11/8/2015 EcuacinalgebraicaWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica 5/8nosiempreadmitesolucinsobre ,aunqueslaadmitesobresuclausuraalgebraica(sisetratadeuncuerpodecaractersticanula).Existenalosumodossoluciones,dadaspor:Puedeserquealgunadelassolucionesanteriores,definiblessobrelaclausuraalgebraicanosonnmerosdelcuerpo .Porejemplolaecuacin:Noadmitesolucinsobre peroslaadmitesobresuclausuralalgebraicaytambinsobre (yaquecontienealaclausuraalgebraicade ).EcuacionesdemayorgradoEcuacindetercergradoEcuacindecuartogradoEcuacindequintogradoParaecuacionesdetercerycuatogradotambinpuedenconstruirselassolucionesdelaecuacinsobrelaclausuraalgebraicade medianteelmtodode los radicales. Esto fue anticipado por GerolamoCardano,Tartaglia y LodovicoFerrari, entre otros, en el siglo XVI. Sin embargo, para grado 5 omayor,notieneporquexistirunasolucinconstruiblemedianteelmtododeradicales,hechoprobadoporvaristeGaloisaprincipiosdelsigloXIX.9ConversindecoeficientesUna ecuacin algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuacin con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos laecuacindetercergrado:11/8/2015 EcuacinalgebraicaWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica 6/8multiplicandoportrestodalaecuacintenemos:Laformaestndardeestetipodeecuacin,sinembargo,tieneuncoeficienteunitarioalprincipio:Sitodoslosotroscoeficientessonenteros,entonceslasracesdelaecuacinsonenterosalgebraicos.EcuacionesvinculadasSitodaslassolucionesdeF=0sonsolucionesdelaecuacinG=0sedicequeestaesconsecuenciadelaanterior.Porejemplo,laecuacinesconsecuenciadelaecuacin.Enotrostrminos,sielconjuntosolucindelaecuacinF=0espartedelconjuntosolucindelaecuacinG=0,estaesconsecuenciadelaecuacinF=0.11/8/2015 EcuacinalgebraicaWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica 7/8SitodaslassolucionesdeF=0sonsolucionesdelaecuacinG=0yrecprocamentesedicenquelasdosecuacionessonequivalentes.Comoejemplo,laecuacinylaecuacinsonequivalentessusconjuntossolucinsoniguales.Seindicanciertasecuacionesequivalentesyecuacinconsecuenciadeotra1. LaecuacinF+G=GesequivalentealaecuacinF=0.2. F/G=0esequivalentealaecuacinF=03. FG=0esequivalentealasdosecuacionesF=0yG=0.4. LaecuacinFn=0esconsecuenciadelaecuacinF=0,dondenesenteropositivomayorque2.5. LaecuacinFn=GnesequivalentealaecuacinF=GsinesimparyequivalentealasecuacionesF=GyF=Gsinespar.10VasetambinNmeroalgebraicoGeometraalgebraicaEstructuraalgebraicaTeoradeGaloisEcuacindiofnticaCurvaalgebraicaReferencias1. J.V.Uspensky.Teoradeecuaciones.ISBN96818233542. Selzer,Samuel(15deseptiembrede1970).lgebraygeometraanaltica(2edicin).BuenosAires:Nigar.p.145.3. Roig Sala, Bernardino Vidal Mel, Anna Pastor Gimeno, Jos Alamar Penads, Miguel Sapena Piera, Almanzor Gregori, Valentn Estruch Fuster, VicenteDomingo(2005).Matemticasbsicas.Univ.Politc.Valencia.p.53.ISBN9788497058629.11/8/2015 EcuacinalgebraicaWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica 8/84. Uspenssky.Op.cit.5. Berio,AdrianaColombo,MaraLucilaD'albano,CarinaSardella,OscarZapico,Irene(2001).Matemtica1.BuenosAires,Argentina:PuertodePalos.p.158.ISBN9875470260.6. DelaPuenteMuoz,MaraJess(2007).Curvasalgebraicasyplanas(1edicin).ServicioPublicacionesUCA.p.40.ISBN9788498281354.7. LelongFerrand, Jacqueline Arnaudis, Jean Marie (1979). Polinomio en una o varias variables. lgebra. Curso de matemticas I (2 edicin). Barcelona:Revert.p.171.ISBN9788429150650.8. Uspensky.Libromencionado9. Sullivan,J.(2006).Polinomiosyfuncionesracionales.lgebrayTrigonometria(7edicin).PearsonEducacin.p.374.ISBN9789702607366.10. 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