dr. josé guadalupe ríos1 muestra de anÁlisis de confiabilidad consiste en seleccionar al azar n...
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Dr. José Guadalupe Ríos 1
MUESTRA DE ANÁLISIS DE CONFIABILIDAD
Consiste en seleccionar al azar n productos, poniéndolos a funcionar hasta que fallan. Entonces se debe registrar el tiempo hasta que falló cada producto.
COMENTARIO: generalmente el tiempo para fallar es muy grande y esperar a que todos los productos fallen implicaría mucho tiempo.
Dr. José Guadalupe Ríos 2
DATOS CENSURADOS
Los datos de una muestra de confiabilidad son censurados cuando se suspende la prueba de tal manera que no se tienen todos los tiempos de falla de todos los productos, porque al suspender la prueba algunos productos están funcionando y no se sabe su tiempo de falla.
Hay dos tipos de censura, censura tipo I y tipo II.
Dr. José Guadalupe Ríos 3
CENSURA TIPO I
Ocurre cuando se suspende la prueba en un tiempo T. Es decir, el tiempo de duración de la prueba es predeterminado y queda como variable aleatoria el número r de productos que fallan antes de T.
Dr. José Guadalupe Ríos 4
CENSURA TIPO II
Ocurre cuando se suspende la prueba en el momento en que r productos fallen. Es decir, queda predeterminado el número de productos que fallan, y queda como variable aleatoria la duración de la prueba.
NOTA: Se prefiere usar la censura tipo II, ya que en el tipo I se corre el riesgo de que sea cero el número de productos que fallan.
Dr. José Guadalupe Ríos 5
ANÁLISIS DE DATOS CENSURADOS TIPO I PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL CON n < 25
Suponer que se ponen a funcionar n productos iniciando al mismo tiempo. Sea r el número de productos que fallan quedando n r productos funcionando. Sean los tiempo de falla:
. producto del censurado tiempoel es donde
321321
it
Ttttttttt
i
rnr
Dr. José Guadalupe Ríos 6
El estimador de es:
r
i
rn
iii tt
r 1 1
1
Cuando n < 25, el intervalo de confianza 1 para es:
22 ),2/(1
22 ,2/
22
rr
rr
Dr. José Guadalupe Ríos 7
EJEMPLO. Suponer una muestra de tamaño 20 de aparatos electrónicos donde se registra el tiempo de vida en días, la cual sigue una distribución exponencial. A continuación aparecen los datos con censura tipo I donde T = 20 días.
6.274, 7.440, 8.332, 10.317, 12.807, 13.235, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+.
Sol. Tenemos que n = 20, y r = 6.
40.56280405.586
1
280 405.586
1
14
1
i iii tt
Dr. José Guadalupe Ríos 8
El intervalo de confianza del 90% para queda:Sol. 1- = 0.90, = 0.10, /2 = 0.05 1-(/2) = 0.95
506.129189.32226.5
)4.56(12
026.21
)4.56(12
226.5 026.21 212 ,95.0
212 ,05.0
Dr. José Guadalupe Ríos 9
QQ-plot de los datos para identificar su distribución teórica.
tiempo
Perc
ent
20105
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
10010
99
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
100101
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
3020100
99
90
50
10
1
Correlation CoefficientWeibull0.957
Lognormal0.972
Exponential*
Normal0.949
Probability Plot for tiempoLSXY Estimates-Censoring Column in censor
Weibull Lognormal
Exponential Normal
Dr. José Guadalupe Ríos 10
ANÁLISIS DE DATOS CENSURADOS TIPO I PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL CON n 25
Suponer que se ponen a funcionar n productos iniciando al mismo tiempo. Sea r el número de productos que fallan quedando n - r productos funcionando. Sean los tiempo de falla:
. producto del censurado tiempoel es donde
321321
it
Ttttttttt
i
rnr
Dr. José Guadalupe Ríos 11
El estimador de es:
r
i
rn
iii tt
r 1 1
1
Cuando n 25, el intervalo de confianza 1 para es:
1
2/
1
2/
1
1
1
1
r
Z
r
Z
Dr. José Guadalupe Ríos 12
EJEMPLO. Suponer el mismo caso anterior pero utilizando una muestra de tamaño 40, con las siguientes observaciones:
1.361, 3.193, 3.493, 3.662, 5.751, 7.148, 9.234, 9.260, 10.523, 12.320, 12.601, 15.124, 15.397, 15.750, 18.332, 19.442, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+.
Sol. n = 40, y r = 16.
162.40480591.16216
1
480 591.16216
1
24
1
i iii tt
Dr. José Guadalupe Ríos 13
El intervalo de confianza de 90% para queda:
Sol. Tenemos que r = 16 y Z0.05 = 1.645 luego:
69.81528.189
116162.40
645.1
162.40
1
116162.40
645.1
162.40
111
Dr. José Guadalupe Ríos 14
tiempo
Perc
ent
100101
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
1000100101
99
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
100101
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
4530150
99
90
50
10
1
Correlation CoefficientWeibull0.990
Lognormal0.990
Exponential*
Normal0.959
Probability Plot for tiempoLSXY Estimates-Censoring Column in censor
Weibull Lognormal
Exponential Normal
Identificando la distribución teórica.
Dr. José Guadalupe Ríos 15
ANÁLISIS DE DATOS CON CENSURA TIPO II PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Suponer una muestra de tamaño n donde se detiene la prueba al fallar r productos.
rZrZ
n
ttttttt rnr
/1/1
:es 1 confianza de intervalo el 25 Si
,
2/2/
21321
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EJEMPLO. Los siguientes datos es el tiempo de falla de una máquina (tiempo en días) de una distribución exponencial con r = 12.
1.945, 2.052, 2.599, 4.627, 5.519, 9.035, 11.149, 12.579, 13.284, 14.830, 15.550, 18.015, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+ .
015.37333184.11112
1
333 184.11112
1
18
1
i iii tt
Dr. José Guadalupe Ríos 17
El intervalo de confianza del 95% para queda;
Sol. r = 12, 1- = 0.95, = 0.05, /2 = 0.025, Z0.025 = 1.96
249.8564.23
12/96.11
015.37
12/96.11
015.37
Dr. José Guadalupe Ríos 18
tiempo
Perc
ent
100101
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
1000100101
99
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
100101
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
4530150
99
90
50
10
1
Correlation CoefficientWeibull0.958
Lognormal0.971
Exponential*
Normal0.945
Probability Plot for tiempoLSXY Estimates-Censoring Column in censor
Weibull Lognormal
Exponential Normal
Identificando la distribución teórica.
Dr. José Guadalupe Ríos 19
LA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL
El procedimiento de inferencia es el mismo para ambos tipos de censura. Los estimadores de y son:
n
rn
tY
S
rr
ttr
Sr
t
tYStYY
r
r
ii
r
ii
r
ii
rr
ln
)1(08.0]25.0437.01)][1ln(136.1[
)1(
lnln
ln
Y
ln ln
2
2
3.13
2
11
2
21
22
Dr. José Guadalupe Ríos 20
obs. t ln(t)0.833 0.833 -0.182722 alfa = 0.605101043.396 3.396 1.22259834.35 4.35 1.4701758 beta= 0.55.007 5.007 1.61083696.44 6.44 1.8625285 lambda = 1.38539167.84 7.84 2.05923889.164 9.164 2.2152828 miu est. = 3.8543576
10.791 10.791 2.378712511.151 11.151 2.4115292 sigma est. = 1.6856357911.405 11.405 2.434051916.461 16.461 2.8009939 E(T) = 195.39860517.671 17.671 2.871924924.846 24.846 3.2126968 V(T) = 616204.42725.161 25.161 3.225295229.782 29.782 3.3939042 sigma(T) = 784.986896
3030 PROM= 2.199136530
30 S2 = 0.86376343030303030303030303030
Dr. José Guadalupe Ríos 21
EJEMPLO. De los datos se tiene que:
7.785
1)686.1exp( )2/686.1(854.3exp
449.195)2/686.1(854.3exp)(
686.1)394.3199.2(386.1864.0
854.3)394.3199.2(385.1199.2
394.3ln 385.1 864.0 199.2
2/1222
2
2
152
T
T
TE
tSY
Dr. José Guadalupe Ríos 22
tiempo
Perc
ent
100101
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
1000100101
99
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
100101
90
50
10
1
tiempo
Perc
ent
6040200
99
90
50
10
1
Correlation CoefficientWeibull0.985
Lognormal0.982
Exponential*
Normal0.897
Probability Plot for tiempoLSXY Estimates-Censoring Column in censor
Weibull Lognormal
Exponential Normal
Identificando la distribución teórica.
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