documents de treball - connecting repositories · documents de treball de la divisiÓ de ciÈncies...

Post on 01-Nov-2018

226 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

DOCUMENTS DE TREBALL

DE LA DIVISIÓ DE CIÈNCIES JURÍDIQUES

ECONÒMIQUES I SOCIALS

Col·lecció d’Economia

Interiority of the Optimal Population Growth

Rate with Endogenous Fertility

Gemma Abío

Adreça correspondència: Dep. Teoria Econòmica Facultat de Ciències Econòmiques i Empresarials Universitat de Barcelona Av. Diagonal 690, 08034 Barcelona, Spain Telephone: +34 93 403 44 09 e-mail: abio@eco.ub.es

Abstract This paper analyzes the issue of the interiority of the optimal population growth rate in a two-period

overlapping generations model with endogenous fertility. Using Cobb-Douglas utility and production

functions, we show that the introduction of a cost of raising children allows for the possibility of the

existence of an interior global maximum in the planner’s problem, contrary to the exogenous fertility

case.

Key words: Overlaping generations models, endogenous fertility, optimal population growth

JEL classification: J13, J18

Resumen

Este artículo analiza el problema de la interioridad de la tasa de crecimiento óptima de la población en

un modelo de generaciones solapadas de dos períodos con fecundidad endógena. Usando funciones de

utilidad y de producción de tipo Cobb-Douglas, se muestra que la introducción de un coste de tener

hijos permite la posibilidad de que exista un máximo global interior en el problema planificador,

contrariamente a lo que sucede en el caso con fecundidad exógena.

� ����������

������� ��� �� ������� ��� ������ � ��� ������ ����� ���� �� ���

����� � ��� ��������� ���� � �� ��������� �������� �� !� "� ��

#����$ %��� ������� �������� � ��� �������� &���������� %�����'( ���

����� � ����� �� �� ������� ������� � ��� �� ��� ������ ����

� ��� ������������ ����( ��� ������ ����� ������)���� ���� ����� ���

���� ����$ �������'� ������� ��� ������ )� � ��������� *#�����+

��� ,�* ������ ��� ��������� � ��� ������ ����� � ��� �����'�

��)���$ - ����������( #�����+ ����� ���� �� )�� ��� ������� �� ���

������� ����� ���� � ��� ������� .))�#����� ����( ����� ���� )�

������ ���� � ������� ����� ���� ��/������ ��� ������� � ��� ����

���������� ���� �� ��� ������ �����0 �� ��� ���� ���� ����� �� �������

���� �����1����� � ���������� �� �������$ 2 ��� ����� �����( 3�����

�� 4������� ����5� ������� ���� ����� �������� ��� ������ ������� ��

������� ������( � ��� .6� ����$ %��� ������� ���� ��� �����'�

����� � ��� ������� ����� ���� ���� )� ������ �� �� ������ ��� ��

����� � ������� � ��� �� ������� ������ ���� ���������$ 2��

����� ������ ������ ��� �����' ��������� ������ �� )��� �/����$

7���� ��� ������ ���� �������� ����� ���� ������ ��������� �

����� ��� ������ ���� � ������� ����� ��� ��������( � � �����

��� ������ ��� ������ ��� ����� � ��� ��������� � ��� 1��� )��� ����

��$ 2� � �/�����( ��������� ����,� ����� ���� ���� ��)���$ %��� �����

������� ��� ������ ������� � � ! ����� ���� ������ ������ ����

���� ����� ���� ��� ������ ������� � ���� ��)��� ��� �����$ %��

��� ��� � ��� ����� �� � ����� ��� ���� ���� ��� �����'� 1��� ����

������ ��� � ������ � �������� ��� �/������ � � ������ ��)��

�"��� '�� �(������ ��) ��� ��� *���� +,��-. ��� ������ +,���.�

8

��/����$

%��� ����� ����������� � ���� ����� ��� ������ ������� ����� ����

�� ������ ��� ��������� �� ������ � �������'� ����$ 9� ����������(

�� �������� �� ������� � ��� ���� � � .))�#����� �����1���� � �������

�� �������$ 7� 1� ���� ��� ����)����� � � ������ ������ �����

�/���� �� ��� � �������� ��� ������ ����� )���� ���� ������$

- ����� 8 �� ������ ��� ����� � ��� ������ ����� ���� �� �������

� � �/���� ��������� �������:( �� ������� )� ������� � �� �$ ;���

�����1� ������� �� ������� ������( �� ������ ������� ��� �����'�

����� � ������� ����� �� ������$ ����� 5 ������� ��� ���� �������

� � �������: ���� ������ ��������� *)� �������� )�� � ��� �� �

����� �� �������* �� ������� ��� ������� ���� ���� ��������� )�����$

��� ������� ��� ����( ����� ��� ����� �� ������� ��� � ���� �� ���

� ������ � ���� �����( ��� �������� � � ��� � ������� ��:��

�� ����)�� � ���� � ������ ��)�� ��/���� � �������$ 7� ������ ����

��� 1�� �����:� � ����� <$

� � ��������� ����� �� ��� ������� �� ���

��������� �� ��� ���� � �������

������� ��� �� ������� ��� ������ ������� ����� ���� � ��� )����

�������� ��������� �������� ���� "� �� #���� ���,��$ -���������

� ���� ���� ���� �� �� ������= � ��� 1���( ���� ��:0 � ��� ����(

���� ��� �������$ %�� ���� � ��� ������� )� � ����� � �� ���� )� ��$

2 ��������� )� � � ������ � ���� �� ��� ��� �� � ����

���� ��� ��$ 4��������� ��� ���� )� ��� ������� ����� ����� �����( ����

����������� ������ ����� ������������

���� > �� ������ ����� �

����������������

� >$

������� ������� ���� � )� �����������$

5

%�� ���� ������� � ����� �� ���� �� ������ � �������=

������� �� ��)�$ 2� ���� �( ����� ��� �� ��:��� �������� �� ���� �

��)�$ 4������ ���� �� � �/���� ����� ���� �� �( � �����=

����

��

? � ��

%�� ������� �����( ���� )�=

� ? ���� ���

�/��)��� ����� ������ � �����$ %��� �� �� )� �/������� �� �� ? ����(

���� �� ��� ����������)� ����$ 3�����( �� �� �������� �� �����( �

���� ����� � > �� ������ � >$ .������ ����������� �� � ���� Æ � @>� �A

���� �����$ 2� ��� �� � ��� �����( ������������ ������� �� )� ������

������ � �������$

%�� ������� ������� � ��� ���� �� )� �/������� ��=

���� ��� B ��� ��� ? ���� B ������ B����

C������� ������)�� � ����� �( ���� )� ��� �������� ���� � ��� �/������(

��� ������ � ������� � ��� �� �������� ����� � � �� � ������

��� � ������ �������$ #������ ��������� )� ��( �� )��� ��� �������

������� � ��� ������ ����� � ��� ������ ��:�� �������=

���� B ��� ��� ? �� B���B �����

% ������ ��� ����� ������( ������� ������� ���� ��� ����� ��/�

������ ��� ������� ����� � ��� ������������� ��������� ��)D��� � ���

������� ������� �� ��� ������ �����( ���� ������� � �( �( � �� �=

��/�������

���� ��

�"��� ���/�� � ������� "����� ��� ��� ��� ����

��

0 , 1 �� � �/�� � �/� ���� �'��������� ���2�/� � �� ��� �������� � �/� ���%�� �' �/����� �' �/� ����� ��������������� 3/ ������ �������/ � �� � �� � ����� 2�/ ��������� '�����4�

<

��)D��� �=

��� B ��� �� ? �B�

�B �� ���

2 ������ ����� �� ������������� )� ��� ������ 1��� ���� ������=

������ ���

������ ���? �� �8�

��

�����? �� �5�

����� B �� Æ ? �� �<�

%�� 1��� ����� ����� ��� ������ ������� )����� ������� �

��� ��� �� ������� � ��� ��$ 6����� �5� ��������� ��� ������

������� ����� ���� )� ��������� ��� ������� )��1� � �������� ���

����� ����� � ��� ������� ���$ %�� 1��� � �� ���� )� ��� ��������

���� � ��� �/������( �� ��� )�� ������ ��� ���������������� ������� ���

�� �$ -� �������� ��� ���� ����( ��� ��� ������� ����( ����� ��� ���

��:�� ���������� � ������ ���� ������� ����$ � ��� ���� ���( ���

������� ��� � ������ ������� �����( ���� )� ��� ��������� ���� �

��� ������( ��� )�� ������ ��� ����� ������� ��� �$ 2������ � ����

�+���( ��� ��� ������� ����( ��� ���: � ������� ���� )� �/����� �

���� �� ��� ���� ����������)� ���� � )� ��������$ 9�����( ������ �<�

��������� ��� ������ ����� � ������� ��� ������( ����� �� ��1�� )� ���

���� ����$

-� ��� ������ ����� �� ������( ����� ����� ������� ������� ����

��� ������� ������� � ��� ���� ��� �������� ��� ������ ������ �

�������( ��� ����������)� ���� �� ��� ������� ����� ����( ��( ��(

�� �� �� � �$

2 ���� ����� ������� ��)������ ��� ������� ��� ������ ����� ����

�� �������( #�����+ ��� ,� ��)������ � ����� ��� ����� � ���

���� ������$ #�����+'� ������� ������ ����( �� � ���� ���� � ������� ��

������� ������( �������'� ��)��� ��� � ���� � ������ ��)��

��/����$ 9� ������( �� ��� ������� ��)�� .))�#����� ����( ��� ��

����� ������� ����� ���� ����� �� � )� ������ ��� � �1���$ - ���

������( �� ������ ���� �����1� ���� �� ��� � ������� ���� �������� ���

�������$

.����� ��� ������ �������� ������� ����� �� .))�#����� ���

����� �����=

����� ����� ? �� �� B � �� ����

���� ? ���

����� � � @>� �A �� ��� ��)D������ ������ �����( � �� � ���������� ������

���� �� � � @>� �A �� � ��������� ���� ��������� ��� ����� � ���� ����

��� � ������� ������$ 2������ ��� ������� ����� �� ����� � ����

� ��� ��������( ��� �����'� )D������ �� � ���������� ��)���� �����$

;��� ����� ������( ������� �����<� �� )� �������� ��=

���

���? � ���

��? � �,�

����� B �� Æ ? � � �

�� B ��� �� ? �B�

�B �� �E�

%�� ����� �� �������� ��+���� �� � ������� Æ ? � � Æ � �$

��� ����� �� ������ �� �������

��'� ����� )� ������� ���� ������� ������ ����������� � ��� �������

������$ - ���� � ����( �� �� ������ � � � � ��=

� ?

���

� �

���

���

,

�� � � ��� ��=

� ? ��� ��>�

��)�������� ����� �� �/������� � �E� �� ������� � �� )���=

� ?�

� B �

�� �

���

� �

���

� ����

6����� �,� �� ��� )� �/������� �� �� � ����� � �=

� B �

�� �

���

� �

���

?

���

� �

���

��8�

����� ��� ������

� �

��� ������ ��$

F��� ��� ������� ��� � ������� ���� �� )� �����1�� ������������

�� ��� ������ ����� ���������� ���� )� �����=

� ?�

� B 8���5�

���������( ��� 1��� ���� ������ � ��� �����'� ��)��� ����

�����$ G�� ��� ����( �� ��5� ����( ��� ��� � 1��� ���� ������ ��

�����1�� �� �� ����� � �( �( � �� �$

% �������� ��� ������ )���� ���� ������( �� ���� ������ �� ���

������� )��1� �� ��� ������� ��� � ������ ������� ����� )�����$

2� �/������ � ��� ������� �����( ��� ������� )��1� � � �� ���� )�

��� ������������� ������� �+��� ������( ����� ��� ������� ��� �� ����

)� ��� ������� ������ �+��� ���$ ;��� ��� �����1� ������ ��1�� �)��(

�� �� �/����� ����� �� �+���� �� � ����� � � ��=

�� ?�

��?

� B �

�� �

���

� �

���

�� ? � ?

���

� �

���

����� �� ������ � ��� ������������� ������� �+��� �� �� � ��� �������

������ �+���$ H� ��:�� ��� 1��� �� ���� �����������( �� ������ ����

)�� �+���� ��� ������ ��������� �� ���/ �� � ����� � �=

���

��? �

��� B ������

����������� � > �� � >

����

���?

��8� ��

��� B ����� ������

������������ � > �� � >

���

��? �

�� �����

����������� � > �� � >

����

���?

�8� ��

��� �������

������������ � > �� � >

3�����( )� ��)������� � �+��� ��� ��� ����( �� )���=

�� ��� ?

���

� �

��� � � ��� B 8��

��� B ��

��� ��� � ����� ��� � ����� ��� ���� � �$ #������ ���

��� � ��� �/������ � � ��� B 8��( � � ��� �� �+���� ���� ������

������ ��� ����( �� � >$ - ����������( �� ���� �/������ �� �������( ���

������������� ������� �+��� �������( ������� ���� ��� ������ � ��

�1���0 �� �� �� �������( ��� ������� ������ �+��� �������( ������� ����

��� ������ � �� ���$ - ��� ���� � ? �

����( ��� �/������ �� ��� �� ���

�� �+���� ����� ��$

%���� ������� ��� ����������� ����������� � 9����� �$ 9� ��� �������

������� ������� �+��� � ������ ��� ������� ������( �� ��� � � )�

�� ���� �� � � )� ���� ����0 � ���� ����( �� ��� ��)� � )�

������� ���� � ��� ������� ������( �� �� ��� ���������� �

� ������ ��� ����� � ������ ������� � ����$ %�� ��� �������

)��1� � ������ ������� ����� ���� ������ )� ������ ��� ��� �������

���( �� ��� � ���� ���$ � ��� ���� ���( �� ��)� �� � ���� �������

� ������� �� ������ ������� �� �������� �������)��( �������

E

����� ���� )� ���� ������ �� ��� ������� ��� ���� ������ ��� �������

)��1�( �� �������� � ���� �)�$ 4��� ��� ���� ��� ���� � ����� ���

������� ��� �/����� ��������� ��� ������� )��1� � ������ �������

�����$

9����� �= %�� ������� ������ �� ������������� ������� �+���� �� Æ ? �

IT(n), KD(n)

nKD

IT

+�. � � �

����

IT(n), KD(n)

nIT

KD

+%. � � �

����

n

IT(n), KD(n)

KDIT

+�. � 0 �

����

- ����� � �������( ��� ��� ������������� ������� �+��� �������(

��� ������� )��1� � � �� ������� ��� ��� ������� ���( � ������� ��������

� �$ %�� ������ �� ���� ��� ��� ������� ������ �+��� �������( �

������� ���������$ 9�����( ��� ��� �� �+���� ����� ���� ���� ��( �������

��� � ����� �� �� ���� �$ % �������� ��� ������� ��� ����� �

��� ������� �����( �� ����� ����� ��� ����� �����$ ��)�������� ��>� �� ����

� ��� ������� �����( �� )��� ��� ������� ������� ����� �� � �����

� �=

������� ����� � � ��� ? ��

��� �

� �� B ��

���

� �

���

�B

B � ��

�� ��� ��

� �� B ��

���

� �

���

��

%�� ������ � ���� ����� �� )� ������ )����� )� ������ �����

�������=

� ��� ? ��

��� �

� �� B ��

�� ��� ��

� �� B ��

������

������ ������

������

���<�

���

������� ��� ?

�� �� � � ��� B 8�� � >

B� �� � � ��� B 8�� � >

������

� ��� ?

B� �� � � ��� B 8�� � >

�� �� � � ��� B 8�� � >

- ��� ���� � � ��� B 8�� ? >( � ��� �� ����� �� ��� ������ �����=

� ��� ? ��

����

�� �

� �� B ��

��������

������

%�:�� ��� ���������� � ��<� �� ���������=

� ���� ?�

�� � ��� B 8��

�� �

������ ��� ��� ������ ������=

������� ���� ?

B� �� � � ��� B 8�� � >

�� �� � � ��� B 8�� � >

������

� ���� ? >

%�� ����� � ��� ������� ������� ����� �� �������� � 9����� 8 �� ���

����� ����� ��+��������� �)��$

%���( � ���� ����( ���� Æ ? �( ����� �� ������ ����� � ��� �����'�

��)���$ #������ ��� ������ � � �� �( ��� ������ ���� � �������

����� ���� ��/������ ������� �� )� �( > � �� � � >$

��� ������� �� ������ �� �������

��'� � ��� � ��� ���� � ����� ��� ���������� ���� �� �������� �������

��� ��$ - ���� � ����( ����� �� � ����� � ��� �����'� ��� � 1��� ����

�3/ �/� �� � ��� ����� %4 �������5 +,�6�.�

�>

9����� 8= ����� � ��� ������� ������� ����� � ��� �� Æ ? �

n

V(n)

V(n)

+�. � � �����

n

V(n)

V(n)

+%. � � �����

n

V(n)

V(n)

+�. � 0 �����

������=

� ?���� ����� �

� � ��� B 8������

G�� ���� ���� ����� �� ����� �� �� �� � � �

����( ����� ��������� ���� �

�� ������� �� 1���$

%�� ������������� ������� �� ��� ������� ������ �+���� ��� ����

)�=

�� ?�

��?

� B �

�� �

���

� B Æ � �

� �

�����B Æ � �

�� ? � ?

���

� B Æ � �

� �

���

�����( �� )����( ��� ��������� �� ���/ � �$ ��)������� ��� �� �+����(

�� )���=

�� ��� ?

���

�B Æ � �

� �

��� @� � ��� B 8��A�� ���� ����� �

���� B ����,�

��

%�� ������� ������� ����� �� � ���� ����=

� ��� ? ��

��� �

� �� B ��

���

� B Æ � �

� �

���

��B Æ � ��

�B

B� ��

�� ��� ��

� �� B ��

���

�B Æ � �

� �

���

�� B Æ � ���

�� ��� ����������=

� ���� ?@� � ��� B 8��A�� ���� ����� �

���� ����B Æ � ��

���� ��� ������ ����� �������=

�������Æ

� ��� ? B�

������

� ��� ?

���� �� � � ��� B 8�� � >B� �� � � ��� B 8�� � >� �� � � ��� B 8�� ? >

�������Æ

� ���� ? ��

������

� ���� ? >

����� � �� ��� ������ �����=

� � ��

��

� B �

�� �

�����

���

����

��

F��� ����� ��� �� ����)�������=

� -� � � �

����( ��,� �� ������ �������0 ���� ��� ������� ������ �+���

������ ������� ��� ������������� �������$ 3�����( ���� �� �

� 1��� �������� ��)��( � ����� �� �������� ��� ���� �����1��

��� ��� � 1��� ���� ������$ %��� ���� �� �������� � ���� ��� �

9������ 5 �� <$

�7��� �/�� � �/ �� � �/� ��2�� %���� '�� � , � Æ� ��� � � , � Æ ������� ��/��� � �� ��� ������#��%�� �����

�8

9����� 5= %�� ������� ������ �� ������������� ������� �+���� �� Æ � �

IT(n), KD(n)

nIT

KD

+�. � � �

����

n

IT(n), KD(n)

n

ITKD

+%. � � �

����

� -� � � �

����( ��� �+��� ���� ������� ������ ��� ���� � �= �� � �

�( ��� ������� ������ �+��� �������0 �� � � �( ��� �������������

������� �+��� �������0 1����( �� � ? �( )�� �+���� ����� ���� ����

��$ - ��� 1��� ����( ������� �� ��������� � � ���� ��� ������� ���

�� ������� ��� ��� ������� )��1�( ����� ��� ������ �� ���� � ���

���� ����$ %��� ��� ������� ������� ����� �� ;�������( �� �� )�

��� � ���� �)� � 9����� <( �� ��� ����� � ��� �����'� 1���

���� ������ �� � ���� � ������$

%�������( ���� Æ � �( �� � ��� ���� � ���� ���������� � �������( �����

�� ���� � ������ ��/���� �� �$ F�����( ����� �/���� ��� ����)����� �

����� � ������ ������( ����� ������ �� � ��� �������� � ����:��

��� ���� ���� ������ � ��� �����'� ��)���$ .������ ���� ���

������� ���� � ���� ����������( ��� ������� �� � ����� ����������� �

��� ������� ������ ��� ������� ������ �+��� �� ���������� ������ ���

)����( � ����( ��� �� ��)� �� ���� ������� � ������� �� ������

������� �� � �������� ����( �� ���� �� � ��� ������� ��� ����

������ �� ������� ���� �������� � �$

�5

9����� <= ����� � ��� ������� ������� ����� � ��� �� Æ � �

n

V(n)

V(n)

+�. � � �����

n

V(n)

V(n)

n

+%. � � �����

#�����+ ���������� ��� ������� �� ����� ����( ���� ������� �������

����( ����� ���� )� ������ ����� � ��� �����'� ��)��� ����

���� ��� ������� ����� ��� �)����( � ��� ���� ���� ����� ����

)� ���� �1����� ����� )� ������� �������� ��� ����������)� ����$ %���

������ � ��� .))�#����� ���� �� ���� �� � ��� ����� ���������� � ��)�

������� �.6�� ������� ����� ���� ��)�������)����� )����� ������ �

�������$ 3����� �� 4������� ����5� ������( � ��� ���� Æ ? �( ��� �����

� ��� ������� ������� ����� ��� ��� ������� �� ������� ������ ���

� ��� .6� ����$ %��� ������ ����( � ���� � ���� � ������ ��)��

��/����( ����� ���� )� ������������� )����� ��)� �� ������� � ���

�����( �� � #�����+'� �������$ 2�����������( �� ��� ������� �����

�� .))�#�����( ������������� )����� 1��� �� ���� ����� ������

�� � ���������� �� ��������$ - ��� ���� �����( ��� ������ �������

����� ���� �� � ���� �����$

�8� �/� �� � �/�� ����4 ����� � �����������4 � %��/ �' � �������� ��3/� ��� �� �/�� ����4 ��� ��2�4 ����� � %4 ������� �� ��� �/ �� � � ���

�/� ��� �������

�<

� ���� � ����� ��� ������ ��� ������

���� !������

7� ���� � �/��� ��� ������� ���� � ���� �� ��� ��)�� � �������

� )� ���� )� ���������� *�������� ������� �����* �� ��� ��

��� ������� �����$ 7� ���� ���� ��� ��)�� .))�#����� ���� �� ����

������ �� ��� ���� � ���� ���������� � �������$

% ������� ��������� � #����'� ���� � ��������� ��������(

�� �� �������� ���� )� �������� � ��� )���� ����$ 9����( �� ���� ����

��� ���������� ������ ������� ��� ����� ��������� *���� ���� )� ���

)��1� � ����� �������0 �� ����( �� ���� ������ ������� ��� �����$

.��������( ��� ��)�� � ������� ��� ���������( �� �����

��( ���� � )�

� ������ �����)�� �� ���� ���� ���� )� ����� ��� ����$

.����� ��� 1��� �� ������ � ��� ����( �� ���� ������( ��� �

( ���� ��������� ���������� �� )� ���������� )� ��� ������ �������

�����=

������ ��� ����� ? � ������ B ��� �� @������ B � ��������A �� �

����� � � @>� �A �� � ��������� ��I����� ��� ����� �� �������$ %�� 1���

����������� � ��� ������� ����� ���� ������� � ���� ������� ��� ����

�������$ 7� ������ �)���� � ��������( � ��� ���� ���� ����� � �

����� ��� ������� � ����� �������$ �)����� ����( �� � ? >( ���������� � �

��:� �������$ - ���� ����( ���� ���� �� ���� ��������� �� ����� ��� �

�������� ����� �� ����� ����( �� ������ �� ������� �������� �����

������ ��� ���( � �� ���� )��1�� ���� ��:�� ����� � ��� ��)��

�"�� '�� �(����� *���� +,���.� 2/� ����� � ����� � 2/�/ �'� ��� ���� %4 �/������� �/�� ������ ��� �� �/� �( ����� �' %��)2��� ����� �9 �����4� ��� +,�� . ���:� �� +,���. � ��� �/����� ������ �/�� ������ %���� � �/ � '���4 ���� �/������4��� �%�4 �

��

� ��������$

%�� ��� � ������� �� )� �������� � ������� ����$ 7� ���� ������

)�� � 1/�� ������ ��� � ��� ����� �� � ���� ��� � ��� �����0 )� ��:��

� � ����� �� ���������� ����� � ���( ��� ���� �� ���� ���� �� �

���� � ��� � �������$ %�� ������ � � ���� ��� � ������� ������� ���

�������� � ��� ��)� ������( )������ �� �������� � ������+ )�����

��:�� � ��� ��)� ���:�� �� ������ �������$ ��'� ���� �� ��� ����

� ��)� �������� � ��� 1��� )� ��� ���������� � ����� �$ 6��� ���������

������ � ����� ��� � ����� ���� � ������ ������� �� � ����� ��� ���� �

��:�� � ��� ���:��$ 2������ ���� ���� ��� � ������ � � ��� �

����( ��� ������� ����� �� � )� ������ �� =

���� ��� ? ���� ��� �������

7��� ��� .))�#����� �����1���� �� � ���������� �����=

���� ��� ? ��� �

��� ��E�

����� �� ? � � ��� �� ��� ��)� ������ ��� ���������( �� �� �� ����

��� ����������)� ���� )�� ��� ���: � ������� ��� ������$ G�� ���� ���

������� ����� ������ � �� ��������= ������� �� ��)�0 ���

������ ������ ��������� ��� ��)�� � ������� ��� ���������$

��� �� ������

2� � ������� ��� ��( ��������� �� ��1�� ���� �� ��� ������� ����

��/������ ��� ������ ����� ������� � ��� ������������� ��������� ��)D��� �

��� ������� �������=

��/�������

���� �� �� ? ������� B ��� �� @������ B �������A ����

� ����� �� � ������ +,���.� "�� +,��6. ��� �%;<� ��� =��(�� +>��,.�*�/ �(������ ��%�� ����4� �� 0 ���

�,

��)D��� �

����� ? �B�

�B �� B �� �8>�

���� � ? �� ��$

%�� 1��� ���� ������ �� � ������ ����� ���=

��

���? �� �8��

��

�����B

�� �

��

��? �� B �B ����� ��

���

��

�88�

��

���

��

���

? �� �85�

2� ���� )� �/������( ��� ������ ���� ��������� ��� ������ ���

)�� � �������( �88�( �� ��+���� ��� )����$ %�� ������� )��1� � �����

��� � ������� �� �����= ��� ������������� ������� �+��� �� ���

������� ������� � �������( �/������� � ����� � 1��������� �������$

%�� ������� ���( ��� ���� ���( �� ��� ��� � ����� �����= ��� �������

������ �+���( ��� ������ ��� ��� ����� �� ��� ��� � ������� ��� �

��� ���� ��� � �������$

2 ������ ������ ����� �� ��� ������ ����� �� � ����� � �����)���

���� ��� ��� ��� ��� ��������� ������� �8>���85� ���� ��/������ ��� �������

����� � ���� ��)D��� � ��� ������� ������� �8>�$

��� �� ��� �� ������� ������� ���������

% )��� ����� �������( ��� ������� �� ������:� ������� ��� �/������ �

�� � ���� � ��� � �������$

����� � ����� ��� �� �������

��'� 1��� ������ � � > �� � ? >( � ����� �� �� � 1/�� ������ ��� ���

�����$ 2� � ��� ������� �����( �� �� )��� ��� ������� )��1� �� ���

������� ��� � ������� � ����� � �=

! ?� B ���� ��

��� ���� B ��

�� �

���

� �

���

� �

" ? �B

���

� �

���

����� ! ������ � ��� ������� )��1� �� " � ��� ������� ���0 ��

������ ���� )�� ��� ��������� �� ���/ � �$ % :� ����� � ����

�������( �� ��)����� ���� �� )���=

!� " ?@� B ���� ��� � @� B 8���� ��AA

��

� �

��� � �� @� B 8���� ��A

���� ���� B ���8<�

��� ��� � ����� ������ �� �� � �� �$ #�1� �� ��=�� � � B ���� ��

� B 8���� ��

� -� � � ��( �8<� �� ������ ������� ������ ��� ����� � �( ���� ���������� ��� � ������� �� ������ ������� ��� ����� ������� )��1�

�� ������� �� ������ ��������� � �$ %��� ���� �� �������� � ���� �)�

� 9������ � �� ,$

� -� � � ��( ��� �/������ � �8<� �� )� �������( �������( � ���$ ��� )� ��� ����� � � ���� ��:�� �� ����� � ���=

� � ��

�� B ���� ��� � @� B 8���� ��A

�� @� B 8���� ��A

�������� �� ��� ��� ����� ���� ����� ��� ��� � 1��� ���� ������$

%��( ��� � � �( �8<� ���� )� �������$ 7�� � � �( �8<� ����

)���� �������$ - ��� 1��� ����( ��� ������� )��1� ���� ������

��� ������� ��� � ������� �� ������� ���� )� �������� � �( �����

��� ������ ������ � ��� ���� ����$ 7�� � ? �( ��� �������

�E

)��1� � ������� ������ ����� ������� ��� �� ������� �������� �

��/����$ %��� ���� �� ���������� ����������� � ���� ��� � ���

���� 1�����$

9����� �= 3������ )��1� �� ������� ��� � ������� �� � ? > � � ? >

n

MB(n), MC(n)

nMBMC

+�. � � ��

MB(n), MC(n)

nMB

MC

+%. � � ��

9����� ,= ����� � � ��� �� � ? > � � ? >

n

V(n)

V(n)

n

+�. � � ��

n

V(n)

V(n)

+%. � � ��

��

%�� ����� ������ � � ��� �� � ���� �����=

������� ��� ?

���� �� � � ��B� �� � � ��� �� � ? ��

���������

� ��� ? ��

������� ���� ?

��B� �� � � ���� �� � � ��> �� � ? ��

���������

� ���� ? ��

����� � �� ��� ������ �����=

� � ��

������ ��������� � ��� ��

�������� � @� B ���� ��A ����� �

@� B 8���� ��A������� �

��

���� ? �

��� �

���

�( � ���� ����( ����� �� ��� ����)����� � ����� � ������ ��)�� ��/��

���( ���� ��� ������ ���� ��� ����� � ������� � ���� �� �� ����(

��� ��)D������ ������ ����� �� ���� ����( �� ��� ����� �� ������� ��

���� ����$ G�� ����( �� ����� ���� ����� �� ������� �� ? >�( �����

������� ���� � )� �������0 ����� ���� ����� )� � ������ ��)�� ��/����

� ������� �� �� ������ � � �� ���� ������ � �$

����� � ��� ��� �� �������

��'� � ������ ������� ��� ����� �� � ����� � ����( � � ? > ��

� � >$ 2���� �������� ���� )�� ��� ������� ��� �� ������� )��1� ���

��8� �/ �� �� �/� �( ����� �' � �� � �' �/����� ��� � �� ����� ��� �� �/� ��(���'�� %�� ������ �' �� ������� �' �� �������� "��� ���� �/����� ���4 �� �� ����� �����%�� '�� ��� ��� ��� ������� �/ ��� ��������� %4 ��)�� ��� ������ � �/�?� � ����� @��� /���� � �/� �����@ ����� �� A���� *� ������ �/ ��(��� ���%�� �'�� ������� %4 �� ��

8>

��������� �� ���/ �� � ����� � �( �� )��� ��� ��+����� )�����

��� �� ��=

! � " ?

���

� �

��� J� K��

���� ���� B ���8��

�����

J � � B ���� ��� � @� B 8���� ��A

��

K � � B 8���� ��� � @� B 8���� �� B ��� ���� B ��A

-� �� ���� � ���� ���� J � K$ %�� ��� � �8�� ��������� ������( ��

)����( ��� ���� � � �������� � ���� � � �� �( �� ���� �� ��� �����

� �$ 7� �� ��1� ��� ������ �������� ������ � �=

��� � � B ���� ��

� B 8���� ��? ��

��� � � B 8���� ��

� B 8���� �� B ��� ���� B ��

���� ��� � ���( �� ��� ����� � � ���� ����� ��� 1��� ���� ������=� �

� B ���� ��� � @� B 8���� ��A

� @� B 8���� ��� � @� B 8���� �� B ��� ���� B ��AA

%��� ���� ����� ��� ����� ����)�� �����=

� 9� � �������� ����� ����� � ������� � ���� �� � ����( )�� J

�� K ��� �������0 ���� ��� ������� )��1� � ������� �/����� �����

������� ��� �� � � �( ����� ��� ������ �� ��� ���� �� � � �$ %���

���� �������� � ���� ��� � ��� ������� 9������ � �� ,$

� 9� ������� ������ � � ���� � ����( K �� ������� )�� J �� �������0

���� ��� ������� ��� ������ ������� ��� ������� )��1�( �� ��

)� ��� � ���� �)� � ��� ���� 1�����$

8�

� -� � �� ���� ���� �� � ����( )�� J �� K ��� �������0 � ���� ���

��� � ��� �/������ � �8�� ����� � ����� �0 ������( ����

J � K �� �� �( ��� �/������ ���� ������ )� �������( �� � ���

������� ����$ G�� ���� ��� � ��8( � ���� ��� ������� ��������

���� ��� ����� � ������� � ���� �� ���� ��� � ���� ���� ���� ��

������������ ����� ��$

%�� ����� ������ � ��� ������� ������� ����� �� ��� ���������� ���=

������� ��� ?

���� �� � � ���B� �� � � ���� �� � ? ���

���������

� ��� ? ��

������� ���� ?

��B� �� � � ����� �� � � ������� B ����� �� �� � ? ���

���������

� ���� ? ��

����� � �� ��� ������ �����=

� � ��

������ ��������� � ��� ��

�������� � @� B ���� ��A ����� �

@� B 8���� ��A������� �

%��� ���� ���� �� ���� )� ���( ����� �� ��� ����� ���� ��:�� ������

������� ����� � ���$

�)����� ����( ����( ��� ������ ��)�� ��/���� �/���� �� � �� �� ����(

� �� � ���� ����$ -� � ? >( �� ����� �/���� �� �� �� ��� ������ �

�� � ��� �����1��$

����� �� ��� �� � ��� ��� � ��� ��� �������

- ��� �� ����� �)��( �� ���� ��� ���� ��� ����)����� � � ������ ��)��

��/���� ���� ����� �/��� �� ���������� ��� � ��:� �������$ � �� �����

���� �� �� ��� ��� � �������( )� �� ������ � � ����� � ����( ���� ��

88

������� � ��������� ������� ����� �� � ������ ����� � ��� �����'�

��)���$ -� ����� ���� ��� � ������� �� ? � ? >�( ��� �� ��+�����

���� �������'� ���� ���� )� ��� ����� �� �������( � � >$ - ���� �

����( �� �� ���� � ��������� ���� ����� ���� ���� )� � ������ �����

� ��� �����'� ��)���( ����=

! � " ?

���

� �

��� � B ���� ��� � @� B 8���� ��A

���� ���� B ��

��� ��� � ����� ��� � ����� �$ %�� ���� �� ��� ������= ���

������� ������� � �������( ���� �������� ����������( ������ � � ���

���� ������ �� ��� ������������� ������� �� ��� ������� ������

�+���� �$ �( ������� ��� ��������� ������( ������ ��� ������� )��1�

� ��� ������� ��� ���� ������ ���������� � ��� ����� � �( �� ���

��� ���� ��� ����� ��� ����� �� �������$

7��� � ��� � �������( ��� ����� �� ����� � ������ ����� �� ���

���� �� ��� � �� ����� ��� ������������� ������� �+��� ������ ���

������� ������ � �������'� ����= ��)� ���� )� �������� �������

� ��� ������� ������ �� �������� ���( �� ������ ������� ����

� )� �������� � ���� )� ���������� �� �������� �����$ L��( ���

������ ������ �� � ��� ��� ������� ����� ��������� ��������� ����

��� ������� � � ��� � �������$ C����� ���� )�� ��� �������������

������� �� ��� ������� ������ �+���� ��� ��������� � �$ 7�� � ���

��� ����� �� ��������( ���� ��� ��� � �������� � � �� ���� �� ���

���� �+����( )������ �� ������ ���� ��� 1��� ����� ���� ��� ���� �� ���

����( �� � ��$ - ���� ��� ��� ������� ��� � ������� ���������

������� �� � �������� ���� ��������� ����$ %��� � ��� ���� ����� ���

��8� �/� �� � �' � ��� �� � �' �/������ �/� ������� �� � �' � �/�� � ���� �' �� ���������� ������ �� � � ��� �� ������� ����%��� �5��� � ��� �/ �� � ������#����� �� �/� ���#����� ������ ���)� B�2����� � ��� � ������ �� � � � �/� ������������ �5����

85

������������� ������� �+��� ������� ��� ������� ������ �� ����

������� �� �������� � � *�� ����� �� �� ������ � �* �� ��� ��� ���

��� � ������� ���� ������ �� ������� ���� ����� ���������$ -�������

� ����� ��� ��� ����� �� �������� � ��� � �������� � ����� )��

�� ��� ����� � �( ������ ��� ������� ��������� ����� � ����� �

�1��� ���� � ������� ����� �� ��� ������ ����� �� ��� ����$

" !� � #�� �$�

7� ���� ��� ���� ��� ��������� � ���������( �� � ���������� ��� ����

����� � � ��� � �������( �� �������� ��� ��)��� � ��� ��/������

� � ������ ��)�� ��/���� � �������'� ��)��� � 1��� ��� ����

��� ������� ����� ���� �� � ��������� �������� ����$ -� ���

��� � ������� ��� ������ *�$�$ ���� )� ��� ������* ��� ������

���� ���� )� � ���� �����( �� ������ ���� ���� � ���� � �1�

��� ���� � ��������� �� � ����� � ������ ���� � ��������

���� � ����$ F�����( ���� ��)��� ���������� �� �� ������ ��� ����

������� ���� �� ����������� ��� ������� � � �����'� �������( ���� ���

������� �+���� ����������� �������$

-� ����� � )� �������( ��� ���� ���������� �������( ���� ����� �/����

� ������ ������� ����� ���� ���� ���� ������ ���� ��� � �����$ 2�

������� ��� ,� ������( M2 ������� ������ � ��� ������ �������

��� � � ���� � ��)�� ������ � ������� �� �� ��������� � ���

� ��( �� � ���� ���� �� ������� �� ������'� �� ������� ������������ )�

��� ������� ��� � )���� �����N$ 2���� ��������� ��� ��)��� � ��� �

��������� � ��� ������ �����( � � ��� ������� ��� ���� ������

����� M������ ��� ����� ���� ������� ������� ����� ��:�� ������

��"��� '�� �(������ =���� +,��-.�

8<

�������� ��� ������N$ -����( �� �� ���� ����� � >( ������� ���� �������

�� ��������� �����( ���� � �1��� ����� � ������� ��� ������� ��� �������

���� � ���������$ ��� ������� ���� ������ ��������� ���� ���� ����

������ ����� ���� )� ���� �� �1��� ��� ������ � ��� ����

������� �������� � ��� ���� �������= ��� ���������� ������� ���������

��� ������ 1���� � ��� ����� �������� ������( �� )� ��:�� ��� ������

� �� ��� ������� ��� ������( �� ��� ���� ���� ������� ������� �+����

������$

#��������

2)OP( !$ �� .$ 4��/� �8>>��= M������� 4������ !���� �� ��

���� �������� C���� ���� F��������� 2����N( .�C6 �;. ( H�������

#������� 4�����( 8>>�Q8 $

H����( H$ ���E��= M%�� ��� 2�� �������� F�������� �� ������� 4��

����� !����N( R���� � 4������ 6����� �( ��$8E��5>�$

.��( 2$ ����5�= M-������������ %������� 7����� ��������N( 6���

��� R���� � 4������� 6��� �( ��$�>����E$

#�����+( 2$S$ ��� ,�= M%�� ������� !���� C��� �� 4������=

.����N( -�������� 6���� C����� � ( ��$��>����$

#����( 4$ 2$ ���,��= MG����� #�)� � � G���������� !���� 3���N(

2������ 6���� C����� ��( $ �( ��$��8,����>$

6�:����( T$ �� U$-$ 7��� ���E��= M6����� 9�������� �� �������

4������ ����N( R���� � 4�)��� 6����� 8 ( ��$�5��>,$

3�����( 4�$ �� 4$ 4������� ����5�= M4������ !���� �� ����������$

7�� ��� ���������� F��VN( R���� � 4������ 6����� ,( ��$5�5�

5,8$ 2�� .�C6 C����� G$ �> 8$

4�����( 7$ ������= M4�)��� 4����( 9����� 2������� �� 6�����

8�

#��������� .����N( R���� � 4������ 6����� E( ��$�,���E5$

C����( 9$ .$ ����,�= M����� �������� � � G�2��������� 3��� 7���

;�������� �� 6����� 9��������N( R���� � 4�)��� 6�����( ,>(

��$8E5�8�<$

�������( 4$ 2$ ��� ��= M%�� ������� !���� C��� �� 4������N(

-�������� 6���� C����� �,( ��$�5���5E$

�������( 4$ 2$ ��� ,�= M%�� ������� !���� C��� �� 4������=

2������� �� 6��������N$ -�������� 6���� C�����$ S�$ � �8�(

��$��,�8�$

���������( ;$ ����,�= M6����� 9�������� �� ��� F��� !���� %���

���N( R���� � 4�)��� 6����� ,�( ��$8>��88E$

��( F$7$ ���� �= M%�� S���� � .������ �� -�������� � � 4���2��

L��! 4��� ������= 2 4����� �� � 4������ %������ � � 9����

������N( .6� 7�:�� 4���� �<�( ;�������� � 3����$

7�����( H������ ;$ ������= M4���������� 1���� ��)��� ����� � �

���� � ������ ����� �� ���������N( R���� � 4������ 6�����

�8( ��$,8��,<>$

8,

top related