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Divulgación de la lógica

Concha Ruiz Ruiz-Funes

UNAM

Instituto de Investigaciones Filosóficas

16 de abril de 2009

Para pensar• La exposición está concebida como una exposición itinerante conformada por siete secciones:

•1. Cuadrículas para rellenar•2. Secuencias•3. Premisas y conclusiones•4. Patrones•5. Laberintos•6. Orientación y acomodo•7. Miscelánea

• Cuadrículas para rellenar: Se dibujan en tableros metálicos con vinil (para que puedan irse renovando) y los números se montan en piezas magnéticas.

• Acomoda los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en los cuadritos de la siguiente manera:

los números impares van en los cuadritos de la izquierda

los números pares van en los cuadritos de la derecha

los números más grandes van en los cuadritos del centro

los números más chicos van en los cuadritos de arriba

• Acomoda los números del 1 al 9 de la siguiente manera:

• 4, 5, 6 están en el renglón superior• 7, 8 están en el renglón inferior• 2, 3, 4, 5, 8, 9 no están en la columna

izquierda• 1, 5, 6, 7, 8, 9 no están en la columna

derecha

• Secuencias: Se dibujan en tableros metálicos con vinil (para que puedan irse renovando) y los números se montan en piezas magnéticas.

Escoge los números que faltan y acomódalos en los cuadritos vacíos

1 2 4 8 ¿? ¿? ¿? ¿?

4 5 7 10 14 ¿? ¿? ¿?

1 1 2 3 5 8 ¿? ¿? ¿? ¿?

• Escoge los números que faltan y acomódalos en los cuadritos vacíos

2 4 12 48 ¿? ¿? ¿? ¿?

3 4 6 9 ¿? 18 ¿? ¿?

50 48 44 38 30 ¿? ¿? ¿?

• Premisas y conclusiones: Se escriben sobre paneles. Las respuestas tienen verificación electrónica con una ventana que contiene la explicación.

•Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa ¿Ángela habla más alto o más bajo que Celia?

• Como es época de lluvias, Ana, Mara, Nora y Marina decidieron salir al parque a buscar caracoles. Cada una agarró uno y decidieron jugar carreras con ellos. Sabemos que:

• El caracol de Mara quedó en primer lugar

• El caracol de Nora quedó en último lugar

• El caracol de Ana llegó después del caracol de Marina.

• ¿Podrías decir en qué orden llegaron los caracoles?

• Cuando María le preguntó a Mario si quería casarse con ella, Mario contestó:

• “No estaría mintiendo si te dijera que no puedo no decirte que es imposible negarte que sí creo que es verdadero que no deja de ser falso que no vayamos a casarnos.”

• María quedó un poco confundida.

• ¿Qué le contestó Mario? ¿sí quería casarse o no?

• Patrones: Los esquemas se se dibujan en tableros metálicos con vinil; los dibujos para las distintas opciones de respuesta se montan en piezas magnéticas del mismo tamaño que el cuadrado vació.

• ¿Qué dibujo harías en el último cuadrito?

¿Qué dibujo harías en el último cuadrito?

• Laberintos: Se montan a piso con piezas de acrílico y barandales que delimiten el espacio. La entrada, la salida y la cédula de instrucción se montan en pedestales para niños.

• entrada

e e i a e i a i

e i u o u o e u

a u o e a u a o

u a o i a u i a

o i u u o o e a

e o a e i o u u

u e i o e o a o

a u o u o i e o

salida

• Orientación y acomodo: Tableros metálicos con piezas magnéticas. Las cédulas de instrucción se montan en pedestales.

• Acomoda estas ocho palabras en la cuadrícula de manera que en cada renglón y en cada columna quede una palabra.

•cosa•osas•sola•esas•sala•osos•cose•asas

• Coloca las tarjetas de colores en los cuadritos vacíos de la siguiente manera:

• El amarillo está al norte del verde• El morado está al este del amarillo• El verde está al oeste del rojo• El rojo está al sur del morado• El azul está al este del rojo

• Recuerda que los puntos cardinales son:

• Miscelánea: Se escriben sobre tableros en los que se pueda dibujar o escribir con plumones no permanentes.

Completa el párrafo de manera que resulte verdadero:

El dígito 0 aparece ___ vez/veces

El dígito 1 aparece ___ vez/veces

El dígito 2 aparece ___ vez/veces

El dígito 3 aparece ___ vez/veces

El dígito 4 aparece ___ vez/veces

El dígito 5 aparece ___ vez/veces

El dígito 6 aparece ___ vez/veces

El dígito 7 aparece ___ vez/veces

El dígito 8 aparece ___ vez/veces

El dígito 9 aparece ___ vez/veces

Lógica en la calle

•Algunas almohadas son blandas•Ninguna olla es blandapor lo tanto

1. Algunas ollas no son almohadas2. Algunas almohadas no son ollas

solución:

Algunas almohadas no son ollas

• Todos los leones son feroces• Algunos leones no beben cafépor lo tanto

1. Algunas criaturas que beben café no son feroces

2. Algunas criaturas feroces no beben café

solución:

Algunas criaturas feroces no beben café

• Algunos sueños son terribles• Ningún borrego es terriblepor lo tanto

1.Algunos sueños no son borregos2.Algunos borregos no son sueños

solución:

Algunos sueños no son borregos

• Ningún profesor es ignorante• Todas las personas ignorantes

beben agua con jabón.por lo tanto1. Ningún profesor bebe agua con

jabón2. Algunas personas que beben

agua con jabón no son profesores

solución:

Algunas personas que beben agua con jabón no

son profesores

• Un hombre prudente huye de los gorilas

• Ningún fotógrafo es imprudentepor lo tanto1. Ningún fotógrafo deja de huir

de los gorilas2. Ningún gorila se acerca a un

fotógrafo

solución:

Ningún fotógrafo deja de huir de los

gorilas

Estas cinco frases son verdaderas

La frase anterior es falsa

La frase anterior es falsa

La frase anterior es falsa

La frase anterior es falsa

¿cuáles de estas frases son verdaderas?

solución:La segunda y la tercera frase no pueden ser ambas verdaderas, así la primera frase es falsa. Entonces la segunda frase es verdadera, la tercera es falsa, la cuarta es verdadera y la quinta es falsa.

el león y el unicornio

En el Bosque del Olvido viven un león y un unicornio.El león miente los lunes, los martes y los miércoles;el unicornio miente los jueves, los viernes y los sábados.

Hace poco fuimos a visitarlos y dijeron lo siguiente:

León: “Ayer me tocó mentir”Unicornio: “Ayer me tocó mentir”

¿Qué día de la semana era?

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

Acomoda las letras de manera que en cada renglón y en cada columna, haya cuatro letras distintas y de distinto color.

¿?¿cuántos cuadritos se necesitan para equilibrar la última balanza?

3 5 3 1 6

4 2 1 1 2

1 2 2 ¿? 2

8 9 ¿? 3 10

encuentra los números que faltan

Gödel

en las escuelas

“…la matemática pura es la ciencia en la que no sabemos de qué estamos hablando ni si lo que estamos diciendo es verdad…”

Bertrand Russell

empecemos por el principio:

ROMEO Y JULIETA

• Romeo ama a Julieta

• Romeo ama a Julieta

• Julieta es una palabra de siete letras

• Romeo ama a Julieta

• Julieta es una palabra de siete letras

• por tanto

• Romeo ama a Julieta

• Julieta es una palabra de siete letras

• por tanto

• Romeo ama a una palabra de siete letras

¿qué es eso de que Romeo ama a una palabra de

siete letras?

Así no era la historia…….

lenguaje

vsmetalenguaje

• Romeo ama a Julietlenguaje-language

• Julieta es una palabra de siete letras

metalenguaje-metalanguage

• Romeo ama a una palabra de siete letras

CAOS

Paradoja de Grelling (1908)

esdrújula homológico

grave homológico

aguda heterológico

polisilábica homológico

monosilábica heterológico

heterológico ????

¿es heterológico un

adjetivo heterológico?

heterológico es heterológico

si y sólo si

heterológico no es heterológico

¿verdadero = demostrable?

¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿?

Un sistema axiomático es:

Consistente: si en él no pueden deducirse contradicciones, es decir una proposición y su negación.

Completo: si cualquier proposición verdadera puede demostrarse en él.

R= xx∉x}{

R∈R⇔ R∉R

LA PARADOJA DE RUSSELL

RUSSELL´S PARADOX

Axiomas de Zermelo-Fraenkel

una axiomatización para la Teoría de Conjuntos

existencia

∃x)( ∀y y∉x)(

extensionalidad

∀z)( z∈x↔ z∈y)( → x=y

esquema de separación

∃B)( ∀x)( x∈B↔ x∈A∧ϕ(x))(

par

∀A ∀B ∃C (x∈C↔ x=A∨x=B)

unión

∀S ∃U (x∈U ↔ x∈A∧A∈S)

potencia

∀S ∃P (x∈P ↔ x⊆S)

regularidad

A≠∅ →

∃x(x∈A∧(∀y(y∈x→ y∉A))

infinito

∃A(0∈A∧(∀x)(x∈A→ xU x{ }∈A))

Hipótesis del Contínuo(generalizada)

2ℵα = ℵα+1

Axioma de Elección

Para toda clase infinita de conjuntos no vacíos existe un conjunto formado con, al menos, un elemento de cada conjunto.

Todo conjunto puede bien ordenarse

INDECIDIBLES:

• HIPÓTESIS DEL CONTÍNUO

• AXIOMA DE ELECCIÓN

Axiomas de Peano

i. 0

ii.x s(x)

iii. x (s(x) = 0)

iv.x, y (s(x) = s(y)) x = y

v. (0) x (x ) ((x) (s(x)) )

x ((x)) (principio de inducción)

Paradoja de Richard(Jules Richard 1905)

0. ser un número par1. ser un número impar3. ser múltiplo de 34. ser un número primo

r. ser un número richardiano

Un número es richardiano si NO tiene la propiedad que enumera.

r es richardiano si y sólo si r no es richardiano

• Un ejemplo de una proposición aritmética que puede ser verdadera, pero que puede no derviarse de los axiomas es:

LA CONJETURA DE GOLDBACH(todo número par es la suma de dos números primos)

Finalmente llegamos

•KURT GÖDEL• 1906• Brünn, Moravia (Austria-Hungría)

• Elaboró una proposición dentro de un sistema axiomático que contenía a la Aritmética:

“esta proposición no puede probarse”

• Esta proposición es demostrable si y sólo si esta proposición no es demostrable

• Así aunque no puede demostrarse resulta verdadera dentro del sistema

• Así, la ARITMÉTICA resulta un sistema axiomático INCOMPLETO.