dinamica+semana+14 (2)
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La cinemtica de cuerpos rgidos describe las relaciones entre los movimientos lineales y angulares de los cuerpos sin tener en cuenta las fuerzas y momentos asociados. Un sistema de transmisin es un buen ejemplo de una aplicacin de la cinemtica del cuerpo rgido en el que las relaciones entre los movimientos de entrada y salida requieren un anlisis preciso.
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Universidad de Ingeniera &
Tecnologa UTEC
DINAMICA
CAPITULO 16:
CINEMATICA PLANA DE
UN CUERPO RIGIDO
Helard Alvarez Sanchez
halvarez@utec.edu.pe
Samuel Charca
scharca@utec.edu.pe
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CAPITULO 16: CINEMATICA PLANA DE UN
CUERPO RIGIDO
Objetivos:
a) Clasificar los diversos tipos del movimiento plano de un cuerpo
rgido.
b) Investigar la traslacin y el movimiento angular con respecto a
un eje fijo de un cuerpo rgido.
Contenido de clase:
Movimiento plano de un
cuerpo rgido tanto en
traslacin como en
rotacin.
Rotacin alrededor de un
eje fijo.
-
Por ejemplo, en el diseo de
engranajes, levas, enlaces y en
las mquinas o mecanismos, la
rotacin del cuerpo es un aspecto
importante en el anlisis de
movimiento.
Se debe de considerar el tamao.
16.1 Movimiento plano de un cuerpo rgido
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Traslacion: se produce cuando todos los segmentos de lnea
en el cuerpo se mantiene paralela a su direccin original
durante el movimiento. Cuando todos los puntos se mueven
a lo largo de lneas rectas, el movimiento se llama
traslacin rectilnea. Cuando las trayectorias de
movimiento son lneas curvas, el movimiento se llama
traslacin curvilnea.
16.1 Movimiento plano de un cuerpo rgido
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La posicion de dos puntos A y B en un
cuerpo en traslacion pueden ser
relacionados por: rB = rA + rB/A
donde rA y rB son los vectores
absolutos de posicion definido en el
sistema fijo x-y de cordenadas, y rB/A
es el vector relativo de posicion entre
B y A.
Nota, todos los puntos en un cuerpo rigido sugeto a la
traslacion tiene la misma velocidad y aceleracion.
La velocidad en B es vB = vA+ drB/A/dt
Ahora drB/A/dt = 0 donde rB/A es constante. Tambien, vB = vA, y
por logica, aB = aA.
16.2 Traslacin
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El cambio en la posicin angular, d, se llama el desplazamiento angular, con unidades de
cualquiera de radianes o revoluciones. Ellos
estn relacionados por 1 revol. = (2) radianes
Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo,
cualquier punto P en el cuerpo viaja a lo largo
de una trayectoria circular. La posicin angular
de P se define por .
Velocidad angular, , es obtenido derivando
con respecto al tiempo el desplazamiento:
= d/dt (rad/s) +
Similarmente, la aceleracion angular es
= d2/dt2 = d/dt or = (d/d) + rad/s2
16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo
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Si la aceleracin angular del cuerpo es
constante, = C, las ecuaciones para la
velocidad angular y la aceleracin pueden
integrarse para producir el conjunto de
ecuaciones algebraicas siguientes:
= 0 + C t
= 0 + 0 t + 0.5 C t2
2 = (0)2 + 2C ( 0)
0 y 0 son los valores iniciales de la posicin angular y la velocidad angular del
cuerpo.
16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo
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La magnitud de la velocidad del punto P
es igual a r. La direccion de la
velocidad es tangente a la trayectoria
circular P.
En la formulacin de vectores, , la
magnitud y la direccin de v pueden
determinarse apartir del producto
vectorial de y rp . Aqui rp es un vector de cualquier punto en el eje de rotacion
P.
v = rp = r La direccion de v se determina por la
regla de la mano derecha.
16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo Velocidad del punto P
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La aceleracin de P puede expresarse en
funcin de su componente normal (an) y
tangencial (at).
En forma escalar, estos son: at = r y an = 2 r.
El componente tangencial de la aceleracin.
Representa el cambio con respecto al tiempo
de la magnitud de la velocidad. Es tangente a
la trayectoria del movimiento.
La componente normal, an, representa el
cambio con respecto al tiempo de la direccin
de la velocidad. Su direccin siempre es hacia
el centro de la trayectoria circular.
16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo Aceleracion del punto P
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Usando la formulacion vectorial, la
aceleracion de P puede obtenerse derivando la
velociad.
a = dv/dt = d/dt rP + drP/dt
= rP + ( rP)
Se puede demostrar que esta ecuacin se
reduce a:
a = r 2r = at + an
La magnitud de la aceleracion es a = (at)2 + (an)
2
16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo Aceleracion del punto P
-
Establecer una convencin de signos a lo largo del eje de rotacin.
Alternativamente, la forma vectorial de las ecuaciones puede ser usado (con i, j, k componentes).
v = rP = r a = at + an = rP + ( rP) = r
2r
Si es constante, use las ecuaciones de aceleracion constante.
Si se conoce una relacin entre dos o mas variables (, , , or t), las otras variables se pueden determinar a partir de las ecuaciones: = d/dt = d/dt d = d
Para determinar el movimiento de un punto, las ecuaciones escalares
v = r, at = r, an = 2r , y a = (at)
2 + (an)2 pueden ser usadas.
16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo Procedimiento para analisis
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Problemas de aplicacin 1
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Solucion:
Problemas de aplicacin 1
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Problemas de aplicacin 1
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Problemas de aplicacin 1
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Dado: Partiendo del reposo el engranaje A
da una aceleracion constante, A = 4.5 ad/s2.
La cuerda se enrolla en la polea D, la cual
est slidamente unida al engrane B.
Encontra: La velocidad del cilindro C y
la distancia que recorre en 3 segundos.
1) La aceleracin angular del engranaje B (y la polea D)
puede estar relacionada con A.
2) La aceleracion del cilindro C puede ser determinado
usando las ecuaciones de movimiento de un punto de un
cuerpo de rotacion desde (at)D y el P es lo mismo que ac.
3) La velocidad y distancia de C pueden ser encontradas
usando las ecuaciones de aceleracion constante.
Plan:
Problemas de aplicacin 2
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at = ArA = BrB (4.5)(75) = B(225) B = 1.5 rad/s2
Solucion:
Dado que el engranaje B y la polea D giran juntos, D = B
= 1.5 rad/s2
1) El engranaje A y B tendr la misma velocidad y el componente
tangencial de la aceleracin en el punto donde se engranan. Asi,
2) Suponiendo que el cable que est conectado a la polea D es
inextensible y no resbala, la velocidad y la aceleracin de
cilindro C ser la misma que la velocidad y el componente
tangencial de la aceleracin a lo largo de la polea D:
aC = (at)D = D rD = (1.5)(0.125) = 0.1875 m/s2
Problemas de aplicacin 2 (continuacion)
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3) Desde A es constante, D y aC ser constante. La ecuacin
para la aceleracin constante movimiento rectilneo se
puede utilizar para determinar la velocidad y el
desplazamiento del cilindro C cuando t = 3 s (s0= v0 = 0):
vc = v0 + aC t = 0 + 0.1875 (3) = 0.563 m/s
sc = s0 + v0 t + (0.5) aC t2
= 0 + 0 + (0.5) 0.1875 (3)2 = 0.844 m
Problemas de aplicacin 2 (continuacion)
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Problemas de aplicacin 3 En la figura se muestra el mecanismo elevador del cristal de la
ventanilla de un automvil. Aqu la manija hace girar la pequea
rueda dentada C, que a su vez hace girar el engrane S, con lo
cual gira la palanca fija AB que eleva el bastidor D donde
descansa el cristal. El cristal se desliza libremente en el bastidor.
Si se gira la manija a 0.5 rad/s, determine la rapidez de los
puntos A y E y la rapidez Vw del cristal en el instante =30.
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Problemas de aplicacin 3
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Problemas de aplicacin 3
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Ecuacin de coordenadas de posicin. Localice un punto P en el cuerpo por medio de una coordenada de
posicin s, la cual se mide con respecto a un origen fijo y est dirigida a lo largo de la trayectoria de movimiento en lnea recta del punto P.
Con las dimensiones del cuerpo, relacione s con , s= f (), por medio de geometra y/o trigonometra.
Mida con respecto a una lnea de referencia fija la posicin angular de una lnea situada en el cuerpo.
Derivadas con respecto al tiempo. Considere la primera derivada de s= f (), con respecto al tiempo para
obtener una relacin entre v y .
16.4 Anlisis del movimiento absoluto Procedimiento para analisis
En cada caso debe utilizarse la regla de la cadena del clculo cuando se consideren las derivadas con respecto al tiempo de la ecuacin de coordenadas de posicin.
Considere la segunda derivada con respecto al tiempo para obtener una relacin entre a y .
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Dado: La manivela AB rota con una velocidad angular
constante de = 150 rad/s .
Encontrar: La velocidad del punto P cuando = 30.
Plan: Defina x como una funcion de y derive con respecto al tiempo.
Problemas de aplicacin 5
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Problemas de aplicacin 5 (continuacin)
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Problemas de aplicacin 5 (continuacin)
vP = -0.2 sin + (0.5)[(0.75)2
(0.2sin )2]-0.5(-2)(0.2sin )(0.2cos )
vP = -0.2 sin [0.5(0.2)2 sin2 ] / (0.75)2 (0.2 sin )2
At = 30, = 150 rad/s and vP = -18.5 ft/s = 18.5 ft/s
xP = 0.2 cos + (0.75)2 (0.2 sin )2 Solucion:
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16.5 Anlisis de movimiento relativo: velocidad
Cuando un cuerpo se somete a movimiento plano general, se
somete a una combinacin de traslacin y rotacin.
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16.5 Anlisis de movimiento relativo: velocidad
La velocidad B es: (drB/dt) = (drA/dt) + (drB/A/dt) o
vB = vA + vB/A
Puesto que el cuerpo gira alrededor de A,
vB/A = drB/A/dt = rB/A
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Por ejemplo, el punto A en el enlace AB
debe moverse a lo largo de un recorrido
horizontal, mientras que el punto B se
mueve en una trayectoria circular.
Las direcciones de vA y vB son
conocidas, ya que siempre son
tangentes a sus trayectorias.
Cuando se utiliza la ecuacin de la velocidad relativa, los
puntos A y B del cuerpo tienen un movimiento conocido. A
menudo, estos puntos son conexiones de pines en los vnculos.
vB = vA + rB/A
16.5 Anlisis de movimiento relativo: velocidad
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Adems, el punto B en el centro de la rueda se mueve a lo
largo de una trayectoria horizontal. Por lo tanto, vB tiene una
direccin conocida, por ejemplo, paralela a la superficie.
vB = vA + rB/A
16.5 Anlisis de movimiento relativo: velocidad
Cuando una rueda de rueda sin
deslizarse, el punto A se selecciona a menudo para estar en el
punto de contacto con el suelo.
Puesto que no hay deslizamiento, el punto A tiene velocidad
cero.
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3. Escriba las ecuaciones escalares de los componentes x e y
de estas representaciones. Resuelva las incgnitas.
1. Establecer un sistema de cordenada fijo y dibujar un
diagrama cinemtico para el cuerpo, establecer la magnitud
y direccin del vector de velocidad relativa vB/A.
Analisis escalar:
2. Escriba la ecuacion vB = vA + vB/A. En el diagrama
cinematico, representar los vectores mostrando sus
magnitudes y direcciones debajo de cada trmino.
La ecuacin de velocidad relativa se puede aplicar utilizando un
anlisis vectorial cartesiana o escribiendo x escalares y
ecuaciones componente y directamente.
16.5 Anlisis de movimiento relativo: velocidad Procedimiento de anlisis
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Analisis vectorial:
3. Si la solucin se obtiene una respuesta negativa, el sentido
de la direccin del vector es opuesta a la supuesta.
2. Expresar los vectores en forma vectorial cartesiana y
sustituirlos en vB = vA + w rB/A. Evaluar el producto
vectorial y compara respectivamente i y j para obtener dos
ecuaciones escalares.
1. Establezca el sistema de coordenadas fijos x e y dibujar el
diagrama cinemtico del cuerpo, mostrando los vectores vA,
vB, rB/A y w. Si las magnitudes son desconocidos, el sentido
de la direccin puede ser asumida.
16.5 Anlisis de movimiento relativo: velocidad Procedimiento de anlisis
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Problemas de aplicacin 6
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Problemas de aplicacin
-
Problemas de aplicacin
-
Problemas de aplicacin
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Problemas de aplicacin 7
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Problemas de aplicacin 8
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Problemas de aplicacin 8
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Problemas de aplicacin 8
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Problemas de aplicacin 8
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
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Analisis vectorial:
3. Si la solucin se obtiene una respuesta negativa, el sentido
de la direccin del vector es opuesta a la supuesta.
2. Expresar los vectores en forma vectorial cartesiana y
sustituirlos en vB = vA + w rB/A. Evaluar el producto
vectorial y compara respectivamente i y j para obtener dos
ecuaciones escalares.
1. Establezca el sistema de coordenadas fijos x e y dibujar el
diagrama cinemtico del cuerpo, mostrando los vectores vA,
vB, rB/A y w. Si las magnitudes son desconocidos, el sentido
de la direccin puede ser asumida.
16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
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Solucion: Dado que D corre a al derecha, causa que la barra
AB rote alrededor de A en sentido horario. El CIR para BD
esta ubicado en la interseccion de la linea dibujada
perpendicular a la velocidad vB y vD. Notar que vB es
perpendicular a la barra AB. Por lo tanto el CIR esta
localizado a lo largo de la extension de la barra AB.
16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
Problemas de aplicacin 9
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vD es conocida, la velocidad angular
de la barra BD puede encontrarse
vD = BD rD/IC .
BD = vD/rD/IC = 3/0.566 = 5.3 rad/s
AB = vB/rB/A = (rB/IC)BD/rB/A = 0.4(5.3)/0.4 = 5.3 rad/s
Barra AB esta sujeta a rotacion en A.
rB/IC = 0.4 tan 45 = 0.4 m
rD/IC = 0.4/cos 45 = 0.566 m
16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
Problemas de aplicacin 9
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
Problemas de aplicacin 10
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
Solucin 10
VA=.r A/O =(1)(6)=6 pulg/s
VB=VA = 6 pulg/s
La barra AB para este instante no rota dado que el CIR no existe, por lo tanto todos sus puntos tiene la misma velocidad de la barra y la barra esta conectado al deslizador en el punto B
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
Problemas de aplicacin 10
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
Problemas de aplicacin 11
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
Problemas de aplicacin 12
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16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)
Solucin 12
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Resumen:
En este capitulo se ha podido clasificar dos tipos del movimiento plano de un cuerpo rgido, la traslacin y el movimiento angular con respecto a un eje fijo de un cuerpo rgido
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BIBLIOGRAFIA
1. R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Dynamics, Prentice Hall, 12th Edition (2010)
2. F.P. Beer, E.R. Johnston Jr,J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Mechanics of Materials, McGraw Hill, 6th Edition (2012)
3. J.L. Meriam, L.G. Kraige, Engineering Mechanics, Dynamics Vol 2, JohnWiley & Sons, 5th Edition (2002)
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