diferencias divididas

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DIFERENCIACION E

INTEGRACION NUMERICA

Diferencia finita y dividida. Diferencia

finita, progresiva, central, regresiva.Diferencia dividida.

Lic. Walter Antonio Huallpa Gutiérrez

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Sea f(x) una relación o sea (xi

, f i

(x)) una lista de valores

tomados experimentalmente, se define las diferencias

hacia adelante, hacia atrás y diferencia central.

xi f i

X1 f 1

X2 f 1

: :

Xi-1 f i-1

Xi f i

Xi+1 f i+1

: :

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DIFERENCIAS FINITA

Una diferencia finita es una expresión matemática de laforma f ( x  + b) −  f ( x  +a).

Diferencia progresiva, adelantada o posterior

Diferencia regresiva, atrasada o anterior

Diferencia central

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DIFERENCIA DIVIDIDA

Si una diferencia finita se divide por b  −  a, se

obtiene una expresión similar al cociente

diferencial, que difiere en que se emplean

cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La

aproximación de las derivadas por diferencias

finitas desempeña un papel central en los

métodos de diferencias finitas del análisisnumérico para la resolución de ecuaciones

diferenciales.

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DERIVADA - DIFERENCIA

ADELANTADA

Es posible calcular numéricamente la derivada de una

relación o la variación de una magnitud respecto,

utilizando la diferencia adelantada.

Xi Xi+1Xi-1

f i+1f i

f i-1

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ERROR EN LA DERIVADA POR

DIFERENCIA DIVIDIDA ADELANTADA

El error de esta aproximación puede derivarse del

teorema de Taylor.

Desarrollemos la serie de Taylor hasta su tercer término

http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/diferenciacion/

Despejemos la primera derivada de f(x),

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DERIVADA - DIFERENCIA ATRASADA

Es posible calcular numéricamente la derivada de una

relación o la variación de una magnitud respecto,

utilizando la diferencia atrasada.

Xi Xi+1Xi-1

f i+1f i

f i-1

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ERROR EN LA DERIVADA POR

DIFERENCIA DIVIDIDA ATRASADA

Desarrollemos la serie de Taylor hacia atrás hasta su

tercer término.

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DERIVADA DIFERENCIA CENTRAL

Es posible calcular numéricamente la derivada de una

relación o la variación de una magnitud respecto,

utilizando la diferencia central.

Xi Xi+1Xi-1

f i+1f i

f i-1

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ERROR EN LA DERIVADA POR

DIFERENCIA DIVIDIDA - CENTRAL 

La diferencia central lleva a una aproximación más ajustada.

Su error es proporcional al cuadrado del espaciado.

Restando el desarrollo de Taylor hacia atrás y hacia

adelante.

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Ejercicio: Deducir la expresión de la primera derivada

con un error h4

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APROXIMACION PARA DERIVADAS DE

ORDEN SUPERIOR

Segunda derivada

Desarrollemos la serie de Taylor hacia adelante para f i+2 

en términos de f i, el paso será 2h.

Anulemos la primera derivada restando el doble del

desarrollo de Taylor hacia adelante.

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Despejando,

Ejercicio: Deduzca la expresión de la segunda derivada

con un error proporcional a h2.

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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

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DIFERENCIA DIVIDIDA

La notación para las diferencias divididas de una

función  ƒ( x ) o de una lista de pares ordenados (xi, f i)

están dadas por

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