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1
DESIGUALDADES
En el campo de los números reales tenemos una
propiedad de orden que se acostumbra a designar
con el símbolo (<). Estudiantes de Trilce para 2
elementos cualesquiera a; b R y sólo una de las
siguientes es válida.
a < b; a = b; a > b
Esta afirmación se llama ley de tricotomía.
Las desigualdades son quizá tan importantes en
las aplicaciones de las matemáticas como las
ecuaciones. En efecto, en el grado en que nuestro
conocimiento del mundo físico se obtiene midiendo
(no meramente contando), ese conocimiento se
describe por desigualdades.
Si decimos que el diámetro “d” del planeta
Venus es de 7 700 millas, queremos decir:
7 650 < d < 7 750
Un momento de reflexión muestra que una
medición absolutamente exacta de cualquier
cantidad física tal como una distancia, un peso, una
velocidad, etc., es completamente imposible;
precisión depende de los instrumentos de medida y
tales instrumentos pueden hacer totalmente para
medir dentro de ciertas tolerancias especificadas,
nunca exactamente.
También veremos después que las desigualdades
son esenciales para aclarar conceptos
fundamentales como el límite, sobre el cual se
construye todo el cálculo. Por estas razones es
necesario un buen entendimiento básico de las
desigualdades.
2
3
4
5
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Son aquellas que presentan la siguiente forma:
ax + b ≷ 0; (a 0)
Para obtener el intervalo al que pertenece la
incógnita de tal manera que verifique la
desigualdad propuesta será suficiente despejar la
incógnita aplicando los teoremas de desigualdades.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Resolver: 3-1x + 2-1x + 6-1x > 5
Solución:
56
x
2
x
3
x
M.C.M.(3; 2; 6) = 6
56
x65
6
xx3x2
x > 5
x <5; +>
2. Resolver:
(3x + 2)(x - 5) – (12x - 76) > 3(x + 7)(x - 1) – 42
Solución:
3x2 – 13x – 10 – 12x + 76 > 3x2 + 18x – 21 – 42
3x2 – 25x + 66 > 3x2 + 18x – 21 – 42
-25x + 66 > 18x – 63
Transponiendo términos:
66 + 63 > 18x + 25x
129 < 43x 43x < 129
43
129x
x < 3
Finalmente: x <-; 3>
3. Resolver:
3
5x35x3
Solución:
Efectuando la multiplicación indicada:
3x – 5 > 3x - 5
reduciendo términos se tiene:
0 > 0
lo cual es falso, en consecuencia la inecuación es
incompatible:
x
4. Resolver: x535
1x5
Solución:
Efectuando la multiplicación indicada:
-5x + 1 3 – 5x
Reduciendo:
1 3
lo cual es verdadero, implica que la desigualdad
no va a depender de “x” que siempre se llegará a
esa conclusión entonces:
x R
93
BBLLOOQQUUEE II
1. Para los pares de intervalos mostrados,
graficar y dar el intervalo solución de:
A B; A B; A – B; B - A
A = <3; 6>
B = <5; 12]
A = [1; 9]
B = [6; 12]
A = <-3; 20>
B = <-1; 0>
2. Resolver: 2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1)
Indicando el menor valor entero que adopta
“x”.
a) 1 b) 8 c) 7
d) 10 e) 9
3. Resolver: 63
1x
2
1x
indicando el intervalo solución.
a) x [7; +> b) x [1; +> c) x [-1; 1]
d) x R e) x
4. Resolver: 57
3x
5
6x
3
2x
indicando el intervalo no solución.
a) <4; +> b) <1; 4> c) <-1; 1>
d) <-; 4> e) N.A.
5. Resolver e indicar el intervalo solución de:
1x2
x2
3
x
3
x
2
)1x(
2
)1x( 22
163
xx
(x + 2)2 – (x - 2)2 16
10(x + 5) > 9(x + 6)
-x 7
-4x 24
5(x + 1) > 7(x - 1)
-2x + 3 x - 12
6. Si: a < b; a, b R+
Resolver: b
a
a
bx
a
bx
b
a
a) x 1 b) x > 1 c) x 1
d) x 2 e) x 2
7. Hallar el mínimo valor entero de “x” en cada
una de las siguientes inecuaciones.
(x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x + 2) 10
(x + 2)(x - 2) – (x + 1)2 13
2(x - 2) < 4(x - 3)
-3x + 5 < 2x – 15
8. Resolver: (x + 1)(x + b) > x2 + 2ab
Si: a + b < 0
a) x > 1 b) x > ba
ab
c) x <
ba
ab
d) x ba
ab
e) N.A.
9. Resolver:
(x + 1)(x + 2)(x + 3) x3 + 6x2 + 10x + 12
a) x 10 b) x 4 c) x 6
d) x 6 e) x
10. Resolver: 5
4x
4
3x
3
2x
2
1x
Hallar el mayor valor que satisface la
desigualdad.
a) 2 b) 1 c) 0
d) -1 e) -2
11. En una tienda, 4 panetones cuestan la quinta
parte del triple de 40 soles; mientras que en
otra tienda 9 panetones tienen un costo de los
dos tercios del triple de 27 soles. ¿En qué
tienda cuesta más un panetón?
94
12. Un vendedor tiene 180 chocolates y 120
caramelos; en la mañana vende los 5/6 de
chocolates y 3/4 de caramelos, de lo que
queda, por la tarde vende la quinta parte de
chocolates y la sexta parte de caramelos.
¿Qué vendió más, chocolates o caramelos?
13. Dos amas de casa reciben S/. 600 y S/. 500
de mensualidad para gastos. La primera debe
gastar los 3/10 en alquiler de casa y los 3/5
del saldo en comida, mientras que la segunda
debe gastar los 9/25 en alquiler y los 3/4 del
saldo en comida. ¿Cuál de ellas gasta más en
comida?
14. La cantidad de alumnos en un aula es tal que
dicha cantidad disminuida en 2, dividida luego
por 4, es mayor que 6, ¿cuál es la menor
cantidad de alumnos que puede tener dicho
salón?
15. El número de bolas de un arbolito de navidad,
disminuido en 12, y luego esta diferencia
dividida por 7 resulta mayor que 3. ¿Cuál es el
menor número de bolas que puede haber en
dicho arbolito?
16. La doceava parte del número de libros que hay
en un estante más 7, es más que 13. ¿Puede
haber 150 libros por lo menos en dicho
estante?
17. La edad de mi abuelo es tal que sumada con
23, y dividida por 13, excede a 8. ¿Cuál es la
menor edad que puede tener mi abuelo?
18. La quinta parte de diez, más el triple de la
edad actual de mi profesor de matemática,
excede a 29. Indicar la menor edad que puede
tener mi profesor.
19. La edad de uno de mis hermanos es tal que su
doble aumentado en 5 es menor que 19, y su
triple aumentado en 7 es mayor que 25.
Calcular la edad de mi hermano.
BBLLOOQQUUEE IIII
1. Resolver: 52
3x
4
5x
a) <-; 7> b) <7; +> c) <-; -7>
d) <-7; +> e) <1; +>
2. Resolver: 5
x1
3
2x
4
2x3
a) <-; 10> b) <-; -10> c) <-10; +>
d) <10; +> e) <-; 13>
3. Resolver: a75
x)a2b3(b7
5
x)b2a3(
(a < b)
a) <-; 7] b) <-; 5] c) [5; +>
d) [7; +> e) [5; 7]
BBLLOOQQUUEE IIIIII
1. Resolver: x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x + 2)(x + 3)
a) <-; -1> b) <-; 1> c) <-1; +>
d) <1; +> e) <-1; 1>
2. Resolver: (x2 - 1)(x + 2) x(x + 1)2
a) <-; -1] b) <-; 1] c) [-1; 1]
d) <-1; +] e) [1; +]
3. Resolver, si “n” N y dar el mínimo valor de “x”.
n....321)1n(n
x....
12
x
6
x
2
x
a) 2
1n b) (n + 1)2 c)
2
)1n( 2
d) 2
n2 e)
2
)1n( 2
4. Sean “m”, “n”, “p” R+ que verifican:
(m + n + p)(m-1 + n-1 + p-1) a
Hallar el mayor valor de “a” e indique como
respuesta:
3
a
1a
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 9
5. Indique el máximo valor de “A” que satisface
la siguiente desigualdad:
Ax
w
w
x
y
z
z
y
y
x
x
y
x; y; z; w R+
a) 6 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
95
6. Sea: 2003
1....
4
1
3
1
2
11T
entonces:
a) T <2 2004 - 2; +>
b) T <+; 2 2004 - 2>
c) T <-; +>
d) T <- 2004 ; 2004 >
e) T <-2; 2>
7. ¿Cuántos números enteros satisfacen el
siguiente sistema de inecuaciones?
11 – 6x 1 – x < 7 – 2x
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
8. Uno de los números pares que satisfacen el
siguiente sistema de inecuaciones:
2
x1
5
x
2
3x
a) -2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
9. Hallar el conjunto solución correspondiente al
siguiente sistema de inecuaciones:
2
1x
3
12
1x
2
5x
a) ]-3; -2[ b) [7
5;
5
2] c) [6;
2
5]
d) [2
7;
5
2] e) [3;
3
5]
1. Para los pares de intervalos mostrados
graficar y dar el intervalo solución de:
A B; A B; A – B; B - A
A = <-; 2>
B = <0; +>
A = [-20; 2 >
B = [ 3 ; +>
A = <-10; 5>
B = [-3; 6>
2. Resolver: 2 – [4 – (x - 1) + 2(x - 3)] x – [2 – 3x]
a) x 1 b) x 1 c) x 0
d) x 4 e) N.A.
3. Resolver e indicar el intervalo solución de los
siguientes problemas para “x”.
215
x2x
85
x
3
x
x(x + 9) – 10 > (x + 2)2 + 1
13
2x
4
x
4. Resolver: 39
4x
6
1x
3
2x
a) x 1 b) x 2 c) x 3
d) x 5 e) N.A.
5. Resolver: 65
4x
3
2x
indicando su intervalo solución.
a) x [11; +> d) x R
b) x [-11; 11] e) x
c) x [2; 3]
6. Hallar los valores enteros máximos de cada
una de las siguientes inecuaciones.
3x – 4 < 2x + 5
2(x + 5) 18
(x + 3)2 – x(x + 5) 9
96
7. Hallar el mínimo valor entero de “x” en cada
una de las siguientes inecuaciones.
3x – 7 > 2
4x + 5 > 3(x + 2)
5(x + 2) < 6(x - 1) + 4
(x + 2)(x + 6) – (x + 4)2 + x 2
8. Si: a > b; a, b R+
Resolver: b
a
a
bx
a
bx
b
a
a) x > 1 b) x < 1 c) x
d) x R e) x 1
9. Si: x [-2; 3]
a que intervalo pertenece:
A = 3x + 1, indicar el máximo valor de “A”.
a) 9 b) 8 c) 10
d) -8 e) -10
10. Si: (2x - 1) [-5; 4> entonces. ¿A qué
intervalo pertenece (3 – 5x)?
a) b) <1, 4> c) <-19/2; 13]
d) <1, 2> e) <2, 8>
11. Resolver: 30
x2
5
2x3
4
1x5
a) <-; -3] b) [-3; +> c) <-; 3]
d) [3; +> e) [37; +>
12. Resolver: 3
1x28
5
x
2
4x3
a) <-; 10] b) [10; +> c) <-; -10]
d) [-10; +> e) [-10; 10]
13. Resolver: (x - 1)(x - 3)2 (x - 1)2(x - 5)
e indicar el mayor valor entero que lo verifica
a) 2 b) 1 c) -3
d) -1 e) -2
14. La cantidad de pelotas que hay en mi casa es
tal que, uno más el triple de dicho número en
menos de 46, y uno más su cuádruplo, es más
que 53. Si se me extravía una, ¿cuántas
pelotas me quedan?
15. Mi abuelo fue un gran profesor de
matemática; cuando le pregunto su edad me
dice: “el doble de mi edad aumentado en uno
es menor que 161; mientras que el triple
disminuido en 2 es más que 232”. ¿Cuál será la
edad de mi abuelo dentro de dos años?
16. El quíntuplo del número de hermanos que
tengo, disminuido en 1, es menor que el
cuadrado de 7; y siete veces dicho número,
aumentado en 8, excede al cuadrado de 8.
¿Cuántos hermanos somos en total?
17. La mitad de 2, más el triple de un cierto
número, es menor que 19; mientras que la
tercera parte de el cuádruple de dicho
número, disminuido en 4 excede a 12. Calcular
dicho número.
18. La quinta parte del doble de la edad de mi
padre menos uno, es menos que 17; mientras
que la quinta parte del triple de la edad de mi
padre aumentado en 2, excede a 25. Indicar la
edad de mi padre.
19. El número de libros que tengo es tal que, 1
más los tres medios de dicha cantidad, no
excede a 21, y 2 más los cinco cuartos de la
cantidad de libros es mayor que 18. Calcular la
cantidad de libros que tendré.
20. Un número natural es tal, que la cuarta parte
del número natural anterior, es menor que 10;
además, la cuarta parte del número natural
siguiente es más que 10. ¿Cuál será la octava
parte de dicho número?
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