desarrollo_modelos
Post on 08-Apr-2016
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El problema
Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz
Los recursos son escasos
Los sistemas son cada vez más complejos
Investigación operativa (I.O.)• Es la aplicación del método científico para
asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos
• Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones• Requiere un enfoque interdisciplinario
Historia de la I.O.• Se aplica por primera vez en 1780• Antecedentes:
– Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)
– Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)
– Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20)
• El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial
Historia de la I.O.• Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la
industria, debido a:– competitividad industrial– progreso teórico
• RAND (Dantzig)• Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)• Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper)
– gran desarrollo de los ordenadores
Actualidad de la I.O.• Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos
sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial
• Más información:– Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)
• www.cica.es/aliens/seio
– Association of European O.R. Societies (EURO)• www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html
– Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)• www.informs.org
– International Federation of O.R. Societies (IFORS)• www.ifors.org
El método de la I.O.• Definición del problema• Formulación del problema y construcción del
modelo• Resolución• Verificación, validación, refinamiento• Interpretación y análisis de resultados• Implantación y uso extensivo
A lo largo de todo el proceso debe haber una interacciónconstante entre el analista y el cliente
El modelado• Es una ciencia
– análisis de relaciones– aplicación de algoritmos de solución
• Y a la vez un arte– visión de la realidad– estilo, elegancia, simplicidad– uso creativo de las herramientas– experiencia
Definición del problema• Consiste en identificar los elementos de
decisión– objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)– alternativas– limitaciones del sistema
• Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema)
• Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles
Formulación del problema• Modelo: representación simplificada de la
realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento
• Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación
• Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos– hace más claras la estructura y relaciones– facilita el uso de técnicas matemáticas y
ordenadores– a veces no es aplicable
Construcción del modelo• Traducción del problema a términos
matemáticos– objetivos: función objetivo– alternativas: variables de decisión– limitaciones del sistema: restricciones
• Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas– heurísticos– simulación
Tipos de modelos
• Determinísticos– Programación
matemática• Programación lineal• Programación entera• Programación dinámica• Programación no lineal• Programación multiobjetivo
– Modelos de transporte– Modelos de redes
• Probabilísticos– Programación
estocástica– Gestión de inventarios– Fenómenos de espera
(colas)– Teoría de juegos– Simulación
Resolución• Determinar los valores de las variables de
decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones
• Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos
Verificación y validación• Eliminación de errores• Comprobación de que el modelo se adapta a la
realidad
Interpretación y análisis• Robustez de la solución óptima obtenida:
Análisis de sensibilidad• Detección de soluciones cuasi-óptimas
atractivas
Ejemplo nº1
En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 ptas de materias primaspor cada 1000 l.La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y10.000 ptas para materias primas, y desea maximizar subeneficio. ¿Cuántos litros debe producir?
El modelo de P.L.z: función objetivoCT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o.XT (x1,...,xn): vector de variables de decisiónA (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicosb (b1,...,bm): vector de demandasMatricialmente,
Opt CTXs.a.
AX bx 0
Forma canónica
Propiedades del modelo lineal• Proporcionalidad
– La contribución al coste y a las restricciones es directamente proporcional al valor de cada variable
• Aditividad– El coste y las restricciones son la suma directa de
las variables• Divisibilidad
– Las variables pueden dividirse en cualquier tipo de fracción
Modelos de prog. entera• El modelo matemático es el modelo de P.L.,
pero con algunas variables enteras– Programación entera mixta (MIP)
• x R+, y Z+
– Programación entera pura (IP)• x Z+
– Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP)• x {0,1}: variables de asignación, lógicas
• Son problemas más complicados de resolver que los de P.L.
• El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)
Problemas típicos• Problema del transporte• Problema de flujo con coste mínimo en red• Problema de asignación• Problema de la mochila (knapsack)• Problema del emparejamiento (matching)• Problema del recubrimiento (set-covering)• Problema del empaquetado (set-packing)• Problema de partición (set-partitioning)• Problema del coste fijo (fixed-charge)• Problema del viajante (TSP)• Problema de rutas óptimas
Problema del transporteMinimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta
Zx,x
m..i,ax
n..j,bx
.a.s
xc Min
ijij
i
n
1jij
j
m
1iij
m
1i
n
1jijij
0
1
1
xij: unidades a enviar de origen i a destino jcij: coste unitario de transporte de i a j
ai: unidades de oferta en el punto origen ibj: unidades de demanda en el punto destino j
Se supone oferta total igual a demanda total
Flujo con coste mínimo en redEmbarcar los recursos disponibles a través de la redpara satisfacer la demanda a coste mínimo
Zx,x
m..j,bxx
.a.s
xc Min
ijij
i
m
kki
m
1jij
m
1i
n
1jijij
0
11
xij: unidades enviadas de i a j (flujo)cij: coste unitario de transporte de i a j
bi:recursos disponibles en un nodo ioferta: bi>0demanda: bi<0transbordo: bi=0
Se supone oferta total igual a demanda total
Problema de asignación
10
11
11
,x
m..i,x
n..j,x
.a.s
xc Min
ij
n
1jij
m
1iij
m
1i
n
1jijij
xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina jcij: coste de realizar la tarea i con máquina j
n tareasm máquinas
Si hay más máquinas que tareas se formulacon desigualdades, y se resuelve con tareasficticias
Minimizar el coste total de operación de modo que:- cada tarea se asigne a una y sólo una máquina- cada máquina realice una y sólo una tarea
Problema de la mochila
10,x
bxa
.a.s
xc Max
j
n
1jjj
n
1jjj
n objetos
aj: espacio que ocupa el objeto jcj: valor del objeto j
b: volumen de la mochila
xj: 1 si se escoge el objeto j
Escoger un grupo de productos que maximice el valortotal sin exceder el espacio disponible
Problema de emparejamiento
1,0
2..1,1
..
c
2
1
1-i
1k
1-2n
1i
2n
11jij
ij
n
ijijki
ij
x
nixx
as
xMaxxij=1 si los elementos i y j son parejacij: valor de la pareja i-j
i<j
Distribuir un conjunto por parejas de tal forma que el valor sea máximo. Si hay elementos sin pareja: emparejamiento imperfecto. Si están en dos conjuntos, emparejamiento bipartito.
Problema de recubrimiento
m característicasn actividades
xj=1 si la actividad j se realiza
cj: coste unitario de la actividad j
aij=1 si la característica i está en la actividad j
A: matriz de incidencia
Minimizar el coste de las actividades que en su conjunto cubren todas las características al menos una vez
1,0
..1,1
..
c
n
1j
n
1jj
j
jij
j
x
mixa
as
xMin
Problema de empaquetado
m actividadesn conjuntos de actividades
xj=1 si se elige el subconjunto j
cj: beneficio por realizar el conjunto j
aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i
A: matriz de incidencia
Maximizar el beneficio total de forma que hay que elegir conjuntos completos de actividades, y que no se realice una actividad dos veces
1,0
..1,1
..
c
n
1j
n
1jj
j
jij
j
x
mixa
as
xMin
Problema de partición
m actividadesn conjuntos de actividades
xj=1 si se elige el subconjunto j
cj: beneficio por realizar el conjunto j
aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i
A: matriz de incidencia
Si en el problema de recubrimiento o en el de empaquetado las desigualdades se cambian por igualdades
1,0
..1,1
..
c
n
1j
n
1jj
j
jij
j
x
mixa
as
xMin
Problema del coste fijo
1,0,0
..1,
..
n
1j
n
1j
1
n
1j
kij
kkjkj
jij
m
kkkjj
yx
mkyMxa
bx
as
yfxcMin xij: unidades del producto jcj: coste unitario de producción de j
yk=1 si se usa la instalación kfk: coste de arranque de la instalación kakj=1 si el producto j usa la instalación k
bj: demanda del producto jM: número lo suficientemente grande
Decidir la cantidad de cada producto de modo que se minimicen los costes de producción y se satisfaga la demanda
Problema del viajante
10
1
1
,x
Vi,x
Vj,x
.a.s
xc Min
ij
Aj)j/(i,ij
Aj)i/(i,ij
Aj)(i,ijij
xij=1 si de i va directamente a jcij: distancia entre i y j
A: conjunto de arcosV: conjunto de nodos
Encontrar un circuito que visite exactamente una vez cada ciudad empezando en la primera y que tenga longitud mínima
Uj,Ui/A)j,i(ij
UVj,Ui/A)j,i(ij
VU/VU,Ux
VU/VU,x
221
221
10
1
1
1
1
1
,x
k,Vj,xx
x
Vi,x
Vj,x
.a.s
xc Min
ijk
Ar)r/(j,1jrk
Aj)i/(i,ijk
Aj)(i,ijk
Aj)j/(i,
n
kijk
Aj)i/(i,
n
kijk
n
1k Aj)(i,ijkij
Problema de rutas
221
11
0
11
1
001 00 0
1 0
0 0
0
1 1 1
NS,Sx
m..k,x
k,rdxsxt
k,Qxq
k,j,xx
n..j,x
.a.s
xcxc Min
Si Sj
m
kijk
n
1jojk
kkn
i
n
jijki
n
i
n
jijkij
n
i
n
jkijki
n
i
n
ijikijk
n
i
m
1kijk
n
0i
n
0j
m
k
m
k
n
jojkkijkij
N: clientesM: vehículos
xijk=1 si el vehículo k visita j después de icij: coste unitario de transporte de i a jdij: distancia de i a jtij: tiempo de i a j
qi: demandasi: tiempo de descargai: prioridadQk: capacidadro
k, dok: período tiempo disponible
ck: coste fijo por uso
Minimizar el coste total, visitando todos los clientes
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