derivadas-teoria y ejercicios
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Derivadas de sumas, productos y
cocientes
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Ejemplos de derivadas con operaciones de
funciones
Derivadas exponenciales
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Ejemplos de derivadas exponenciales
Derivación logarítmica
Derivada de un logaritmo
Como , también se puede expresar así:
Derivada de un logaritmo neperiano
Ejemplos de derivadas logarítmicas
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
Derivadas trigonométricas
Derivada del seno
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Ejemplos de derivadas trigonométricas
Derivadas trigonométricas
inversas
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Ejemplos de derivadas trigonométricas
inversas
Derivada de la función compuesta
Regla de la cadena
Ejemplos de derivadas compuestas
Derivada de la función inversa
Si f y g son funciones inversas, es decir .
Entonces
Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen
x
Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg
x
Derivada de la función potencial-
exponencial
Estas funciones son del t ipo:
Para derivarla se puede uti l izar esta fórmula:
O bien tomamos logaritmos y derivamos:
.
.
.
.
.
Derivar tomando logaritmos:
.
.
.
.
Derivadas sucesivas
Si derivamos la derivada de una función, derivada primera ,
obtenemos una nueva función que se l lama d erivada
segunda, f' '(x) .
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera,
f' ' '(x) .
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f' v y
así sucesivamente.
Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:
Derivada enésima
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general
para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas
el las). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima,
f'n(x) .
Calcula la derivada enésima de:
Derivación implícita
Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma
implícita cuando no aparece despejada la y sino que la
relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos
incógnitas cuyo segundo miembro es cero .
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario
despejar y . Basta derivar miembro a miembro , uti l izando
las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1 .
En general y'≠1 .
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y' .
Cuando las funciones son más complejas vamos a uti l izar una
regla para faci l itar el cálculo:
Diferencial de una función
Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función
correspondiente al incremento h de la variable
independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa
por dy .
La diferencial en un punto representa el incremento de
la ordenada de la tangente, correspondiente a un
incremento de la variable.
Calcular la diferencial de las funciones:
Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado,
cuando aumentamos 1mm su lado.
S = x 2 dS = 2x dx
d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2
Tabla de derivadas
Tabla de derivadas inmediatas
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de una raíz
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Derivada de un logaritmo
Como , también se puede expresar así:
Derivada del seno
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Derivada de la función potencial-exponencial
Regla de la cadena
Derivadas implícitas
Cálculo de derivadas. Ejercicios y problemas
1Calcula las derivadas de las funciones:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:
1
2
3
4
5
6
7
3Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz:
1
2
3
4Deriva las funciones exponenciales
1
2
3
4
5
5Calcula la derivada de la funciones logarítmicas:
1
2
3
4
5
6Calcula la derivada de la funciones trigonométricas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7Calcula la derivada de la funciones trigonométricas
inversas:
1
2
3
4
5
8Derivar por la regla de la cadena las funciones:
1
2
3
4
5
6
7
9Deriva las funciones potenciales-exponenciales:
1
2
3
10Hallar las derivadas sucesivas de:
1
2
3
4
11Derivar implicitamente:
1
2
12Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
1
2
3
4
13Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto
aumenta el área del cuadrado cuando su lado lo hace en un
mil ímetro. Calcúlese el error que se comete al usar
difernciales en lugar de incrementos.
14Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo,
de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.
15Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo
del volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido
con un instrumento que aprecia milésimas de centímetro.
16Si el lugar de se halla . ¿Cuáles son las
aproximaciones del error absoluto y relativo?
Ecuación de la recta tangente
Pendiente de la recta tangente
La pendiente de la recta tangente a una curva en un
punto es la derivada de la función en dicho punto.
Recta tangente a una curva en un punto
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella
que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a
f '(a).
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x 2 - 5x
+ 6 paralela a la recta 3x + y -2 =0.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
m = −3
f'(a) = 2a - 5
2a − 5 = −3a = 1
P(1, 2)
y − 2= -3 (x − 1)y = -3x + 5
Ecuación de la recta normal
Pendiente de la recta normal
La pendiente de la recta normal a una curva en un
punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la
recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.
Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de
la función en dicho punto.
Recta normal a una curva en un punto
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella
que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es
igual a la inversa de la opuesta de f '(a).
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola
y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Sea el punto de tangencia (a, b)
m = 1
f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m= 1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1
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