demostracion de vectores
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a) Demostrar que el rea del paralelogramo generada por los vectores u y v es igual al rea del paralelogramo generada por los vectores Au y Av, sea A una matriz 2x2.
||u|| ||v|| det(A) sen() = ||Au|| ||Av|| sen()
Donde la altura de la primera parte de la igualdad es igual a la magnitud de v por sen(), multiplicado por la base que es la magnitud de v.En la segunda parte de la igualdad, la magnitud de Av por el sen() es la base y la altura sera la magnitud de Au.
Por una propiedad, se sabe que
Det(A) = ||u|| ||v|| sen()
Donde el determinante de la matriz A es igual al rea del paralelogramo generado por los vectores u y v.
Esto se puede demostrar de la siguiente manera:
La lnea verde es la proyeccin de u sobre la recta celeste (a la que vamos a llamar L) . Este proyeccin es:
Entonces, por Teorema de Pitgoras, la altura (que en este caso la vamos a dejar al cuadrado para facilitar los clculos) sera:
A su vez esto es igual a
Entonces, si
Si distribuimos el producto, tenemos:
Si los componentes del vector estaban en una matriz cuadrada de 2x2 en forma de columnas, entonces
A =
Cancelando los trminos opuestos, nos queda:
La expresin que queda se refiere al determinante de la matriz A elevado al cuadrado. Entonces, el rea sola de un paralelogramo generado por los vectores u y v estara dada por el determinante de la matriz que contiene a dichos vectores.
Lo que podra inferir de la primera expresin es que si el determinante de la matriz A representa un rea, esta misma rea se est multiplicando por otra dada por las magnitudes de los vectores u y v y el seno del ngulo, osea que estaramios hablando de la multiplicacin de dos reas.
Para la segunda igualdad, no pudimos demostrar mucho. Sea A= y el vector u= y el vector v=
Entonces Au= lo que dara un vector con componentes en i de y con componentes en j de .
La magnitud de Au sera y la magnitud de Av lo cual lo multiplicamos pero no logramos establecer una relacin del producto con el determinante de la matriz o el rea.
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