definición, clasificación y propiedades de los...
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Definición,
Clasificación y
Propiedades de los
Triángulos
¿ Que es un Triángulo?
Un triángulo es un polígono de tres lados y
tres ángulos.
Trigonometría Básica
Ing. Gonzalo Carranza E.
TRIÁNGULO es un polígono de tres LADOS, que viene determinado por tres puntos no colineales llamados VÉRTICES.
Los vértices se denotan por letras mayúsculas: A, B y C; Los lados son los segmentos que unen dos vértices del
triángulo y se denotan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Es decir:
El lado 'a', es el segmento que une los vértices B y C. El lado 'b', es el segmento que une los vértices A y C. El lado 'c', es el segmento que une los vértices A y B. Se llama ÁNGULO de un triángulo, al ángulo que forman las
rectas sobre las que se apoyan dos de sus lados incidentes en un vértice. El ángulo, se denota con la misma letra que el vértice correspondiente.
Trigonometría Básica
Ing. Gonzalo Carranza E.
Clasificación de los
Triángulos.- La clasificación de Triángulo se hace atendiendo a
dos criterios.
Según sus lados y…
Según sus ángulos.
Trigonometría Básica
Ing. Gonzalo Carranza E.
Clasificación de los triángulos según sus lados
Equilátero Isósceles Escaleno
Tiene sus tres lados iguales.
A B
C
Tiene dos lados iguales.
A B
C
Tiene sus tres lados desiguales.
A B
C
Según sus lados.- Escalenos (los tres lados distintos)
Trigonometría Básica
Ing. Gonzalo Carranza E.
Rectas y puntos
notables del
triángulo
ALTURA: es el segmento de
perpendicular trazado desde un
vértice de un triángulo al lado
opuesto.
A B
C
a b
c
hc hc AB
En todo triángulo existen tres alturas
que se intersecan en un punto llamado
ORTOCENTRO.
MEDIANA: es el segmento trazado
desde cada vértice de un triángulo
hasta el punto medio del lado opuesto.
A B
C
a b
c
D
D: punto medio
de AB
En todo triángulo existen tres medianas
que se intersecan en un punto llamado
BARICENTRO.
BISECTRIZ: es el segmento de bisectriz
de un ángulo interior de un triángulo
determinado por un vértice y el punto en
que la misma corta al lado opuesto.
A B
C
a b
c D
CD: bisectriz del ACB
En todo triángulo existen tres bisectrices
que se intersecan en un punto llamado
INCENTRO.
MEDIATRIZ: es la recta
perpendicular en el punto medio de
cada lado de un triángulo.
A B
C
a b
c D
r
r AB
D: punto medio del AB
En todo triángulo existen tres mediatrices
que se intersecan en un punto llamado
CIRCUNCENTRO.
Recta notable Intersección Propiedad
Altura Ortocentro
Medianas Baricentro Centro de
gravedad
Bisectriz Incentro Centro cir.
inscrita
Mediatriz Circuncentro Centro cir.
circunscrita
Propiedades de ángulos de
los triángulos
La suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a 180°
La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360º.
Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él.
a’ = b + g
b’ = a + g
g’ = a + b
Ejemplo:
En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas.
A B
C
a b
c
AB = c, BC = a, AC = b
Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero.
a + b > c
b + c > a
a + c > b
Propiedades de lados de los triángulos
Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero.
a - b < c
b - c < a
a - c < b
Ejemplo:
Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 5 cm y 2 cm.
Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.
8 - 5 = 3 > 2 No se cumple.
8 - 2 = 6 > 5 No se cumple.
5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple.
Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.
Teorema: En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa.
Ejemplo:
A B
C
a b
c
En el triángulo de la figura,
c > a > b
CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
23
¿Cómo son las figuras mostradas?
Son idénticas
.
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia:
Dos figuras son congruentes cuando
tienen la misma forma y tamaño, es
decir, si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensión.
26
CONGRUENCIA
DE TRIÁNGULOS
27
A
B
C P
Q
R
¿Cuándo dos triángulos son congruentes?
28
A
B
C
P
Q
R
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
ABC PQR
Dos triángulos son congruentes cuando sus lados y sus ángulos son
iguales o congruentes.
29
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
30
A
B
C
P
Q
R
ABC PQR
CASO: ALA: Dos triángulos son congruentes cuando
tienen congruentes dos ángulos y el lado comprendido
entre ellos.
a b
a b
31
A
B
C
P
Q
R
ABC PQR
CASO LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen
congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre
ellos.
a
a
32
A
B
C
P
Q
R
ABC PQR
CASO LLL: Dos triángulos son congruentes cuándo
tienen respectivamente congruentes sus tres lados.
Geometría
Ciclo 2007.1
33
Trigonometría Básica
Ing. Gonzalo Carranza E.
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