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Revista EIA, ISSN 1794-1237 Número 10, p. 31-43. Diciembre 2008Escuela de Ingeniería de Antioquia, Medellín (Colombia)
* IngenierodeProducciónycandidatoaMagísterenMatemáticasAplicadas,UniversidadEAFIT.ProfesorAsistente,EscueladeIngenieríadeAntioquia.jucava@eia.edu.co
** LicenciadoenMatemáticasyFísica,UniversidaddeAntioquia.CandidatoaMaestríaenMatemáticasAplicadas,UniversidadEAFIT.rigelbach@hotmail.com
Artículorecibido28-IV-2008.Aprobado9-XII-2008Discusiónabiertahastajuniode2009
CURVAS PARALELAS EXPLÍCITAS DE LAS CURVAS CÓNICAS NO DEGENERADAS PARA EL TORNEADO CNC DE LENTES
Y ESPEJOS ASFÉRICO-CÓNICOS
Juan Camilo ValenCia* ÁlVaro HernÁn Bedoya**
RESUMEN
Esteartículopresentaelmétodoparaobtener,encoordenadascartesianas,laslíneascurvasparalelasdelascurvascónicasnodegeneradas,pormétodosanalíticosynuméricos.Sedefineeloffsetcomounafunciónparalelaalafunciónoriginalaunadistanciar.Eloffsetdeunacónicaesimportanteparalosprocesosdefabricacióndemecanismos,lentes,espejosymoldes;especialmenteeneltorneadoconcontrolnuméricocomputarizado(CNC)desuperficiesderevoluciónconseccionescónicas,usandoburilesdediamanteconpuntaderadior.Tambiénsepresentaunatécnicarefinadausandointerpolacióncircularsegmentariaparaconstruirnuméricamenteeloffset deunaparábola,quetambiénpuedeusarsecomomodeloparadeterminareloffsetdelaelipseydelahipérbola.
PALABRASCLAVE: CNC;elipse;hipérbola;lente;offset;parábola.
EXPLICIT PARALLEL CURVES OF NON-DEGENERATE CONIC CURVES FOR ThE TURNED CNC OF ASPhERIC-CONIC LENSES AND MIRRORS
ABSTRACT
Thispaperpresentsthemethodtoobtain,inCartesiancoordinates,theparallelcurvelinesofnon-degenerateconicalcurves,byanalyticalandnumericalmethods.Offsetisdefinedasparallelfunctiontotheoriginalfunctiontoadistancer.Offsetofaconicisimportantforthemanufacturingprocessesofmechanisms,lenses,mirrors,andmolds;especiallyintheturningwithcomputerizednumericalcontrol(CNC)ofsurfacesofrevolutionwithconi-calsections,usingdiamondtoolsofradior.Alsoarefinedtiptechniqueusingsegmentalcircularinterpolationtonumericallyconstructtheparabolaoffsetispresented,thatalsocanbeusedasmodeltodetermineoffsetsofellipseandhyperbola.
KEYWORDS:CNC;ellipse;hyperbola;lens;offset;parabola.
32 Revista EIA
Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...
1. INTRODUCCION
Elconceptodeloffset delascurvasplanashasidoestudiadodesdeLeibniz en1692,enGeneralia de natura linearum, anguloque contactus et osculi provocationibus allisque cog-natis et eorum usibus nonnullis.Numerososmétodosmatemáticosycomputacionalessehandesarrolladocontécnicasdeanálisisnumérico(AbłamowiczyLiu,2006).Graciasalnotableavanceeneldesarrollodesoftware,hoyesposibleobtenersolucionesanalíticasexplícitasparaencontrarlasraícesdelospolinomioscaracterísticosdegradosuperior.Lassolucionesexplícitasreducenconsiderablementeeltiempodecómputoydanunadescripciónmatemáti-camuchomássimplequelamayoríadelastécnicasconanálisisnumérico(Aigner,1997).
Eloffset delíneasrectasocurvasserequiereenlasmodernasmáquinasconcontrolnuméricocomputarizado(CNC)yseespecificacomúnmentecomola“correccióndehe-rramienta”.Latrayectoriadelaherramientadecorteseefectúasiguiendolageometríadeloffset paraobtenerlageometríaesperada,conunadistanciadeparalelismocorrespondientealradio r delapuntadelaherramienta.
Esteartículopresentalassolucionesanalíticasparaeloffsetdelascurvascónicasnodegeneradas,restringidasaunadistanciadeparalelismormenorqueelmínimoradiodecurvatura,yaquesuusosecumplegeneralmenteconestacondición.Adicionalmentesepresentaunmétodonuméricoparaobtenereloffset deunaparábola.
2. OFFSET ANALÍTICO DE UNA PARÁBOLA
Seconsiderandosparábolassuplementariasconvérticesenelorigenqueseexpresancomo
0con 4
2
>±= ff
xz (1)
dondef esladistanciafocal,yelsignoestádefinidosegúnelsentidodelmaquinado,yaseacóncavooconvexo.
EnlospuntosP(x0, ± z0),lasecuacionesdelasrectasnormalesalasparábolasrespec-tivassondelaforma:
(2)
con 0x ≠ 0yf
xz
4
20
0 ±= .Construyendounascircunferenciasconradior yconcentroen
lospuntosP:
20
20 )( xxrzz −−±=
(3)
fzxxfz 22
00
±+=
33Escuela de Ingeniería de Antioquia
donde las normales intersecan las respectivas circunferencias en dos puntos, cada una, si r > 0 y r menor que el mínimo radio de curvatura, que pertenecen al offset cóncavo y convexo. Igualando (2) con (3) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para x0 se obtienen las funciones del offset explícitas y reales, de manera recurrente:
−++−−−±+=d
axfxcacaxdxx )8(646
31
21 222
20 (4)
con 2224 rxfa −+= ,222216 rxfb = , )2( 33 babbac +++= y c
caxd3
)( 22 −+=
Reemplazando (4) en (3) se obtiene el offset de las parábolas, si y solo si, r < 2f, que corresponde al mínimo radio de curvatura en los vértices,
−++−−−−+−−+
−++−−−−+
±=d
a)xfx (cacaxdxx r
f
da)xfx ( ca
caxdx
z222
22
2222
86463
121
4
86463
121
(5)
donde el signo positivo corresponde al offset cóncavo y el signo negativo corresponde al offset convexo, según el sentido del maquinado, por lo general se conoce en la industria como “corrección a derecha” o “corrección a izquierda” según el sentido del avance, es decir, a la derecha de la trayectoria o la izquierda de la trayectoria.
En la figura 1 se presentan dos parábolas normalizadas, es decir, con vértice en el origen y sus respectivos offsets requeridos para el torneado CNC usando buriles con radio de la punta r. Según las normas para la denominación de los ejes de las máquinas computarizadas se corresponden con la notación que usa en este documento, así, la ordenada z corresponde eje lineal en la dirección del husillo de la maquina.
Figura 1. Offset cóncavo y convexo de z = ± x2/200 con distancia de paralelismo r = 10, considerando el sentido del maquinado.
(5)
donde las normales intersecan las respectivas circunferencias en dos puntos, cada una, si r > 0 y r menor que el mínimo radio de curvatura, que pertenecen al offset cóncavo y convexo. Igualando (2) con (3) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para x0 se obtienen las funciones del offset explícitas y reales, de manera recurrente:
−++−−−±+=d
axfxcacaxdxx )8(646
31
21 222
20 (4)
con 2224 rxfa −+= ,222216 rxfb = , )2( 33 babbac +++= y c
caxd3
)( 22 −+=
Reemplazando (4) en (3) se obtiene el offset de las parábolas, si y solo si, r < 2f, que corresponde al mínimo radio de curvatura en los vértices,
−++−−−−+−−+
−++−−−−+
±=d
a)xfx (cacaxdxx r
f
da)xfx ( ca
caxdx
z222
22
2222
86463
121
4
86463
121
(5)
donde el signo positivo corresponde al offset cóncavo y el signo negativo corresponde al offset convexo, según el sentido del maquinado, por lo general se conoce en la industria como “corrección a derecha” o “corrección a izquierda” según el sentido del avance, es decir, a la derecha de la trayectoria o la izquierda de la trayectoria.
En la figura 1 se presentan dos parábolas normalizadas, es decir, con vértice en el origen y sus respectivos offsets requeridos para el torneado CNC usando buriles con radio de la punta r. Según las normas para la denominación de los ejes de las máquinas computarizadas se corresponden con la notación que usa en este documento, así, la ordenada z corresponde eje lineal en la dirección del husillo de la maquina.
Figura 1. Offset cóncavo y convexo de z = ± x2/200 con distancia de paralelismo r = 10, considerando el sentido del maquinado.
dondelasnormalesintersecanlasrespectivascircunferenciasendospuntos,cadauna,sir > 0yrmenorqueelmínimoradiodecurvatura,quepertenecenaloffsetcóncavoycon-vexo.Igualando(2)con(3)yelevandoalcuadradoaamboslados,yresolviendoparax0seobtienenlasfuncionesdeloffsetexplícitasyreales,demanerarecurrente:
−++−−−±+=d
axfxca
ca
xdxx)8(6
463
121 222
20
con 2224 rxfa −+= , 222216 rxfb = , )2( 33 babbac +++= ycca
xd3
)( 22 −+=
Reemplazando(4)en(3)seobtieneeloffset delaparábola,siysolosir ≤ 2f,quecorrespondealmínimoradiodecurvaturaenlosvértices,
dondeelsignopositivocorrespondealoffsetcóncavoyelsignonegativocorrespondealoffsetconvexo,segúnelsentidodelmaquinado,queporlogeneralseconocenenlaindustriacomo“correcciónaderecha”o“correcciónaizquierda”segúnelsentidodelavance,esdecir,aladerechadelatrayectoriaolaizquierdadelatrayectoria.
Enlafigura1 sepresentandosparábolasnormalizadas,esdecir,convérticeenelorigenysusrespectivosoffsetsrequeridosparaeltorneadoCNC,usandoburilesconradiodelapuntar.Segúnlasnormasparaladenominacióndelosejesdelasmáquinascompu-tarizadassecorrespondenconlanotaciónqueusaenestedocumento,así,laordenadazcorrespondeejelinealenladireccióndelhusillodelamáquina.
Figura 1. Offset cóncavo y convexo de z = ± x2/200 con distancia de paralelismo r = 10, considerando el sentido del maquinado
(4)
34 Revista EIA
Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...
Tambiénexplícitamente,seobtienemedianteelmismoalgoritmo, lasoluciónparax = 2 f z deloffset convexo:
Sea
También explícitamente, se obtiene mediante el mismo algoritmo, la solución para zfx 2= del offset convexo:
Sea 23 27)(2 frzfa −+= y 3 2 )272(33 ffrarab −−+−= , el offset convexo se
expresa como:
++++−= 323
0 4)(224261 b
bzfzfz (6)
2
02
0 )( zzrzx −−+= (7)
y el offset cóncavo:
( ) ( ) ( )+−++−++−= 314312284121 3
23
0 i b b
zfizfz (8)
2
02
0 )( zzrzx −−−= (9)
3. OFFSET ANALÍTICO DE UNA ELIPSE
Se consideran dos semielipses con vértices en el origen, que se expresan como
2
2
1BxAAz −±= (10)
donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.
Usando el mismo método analítico utilizado para determinar el offset de la parábola se obtiene el offset de una elipse.
En los puntos P(x0, z0) la ecuación de las rectas normales a las elipses respectivas son de la forma:
2
20
0000
2
20
2
1011BxAAzyxcon,z
xx
Bx
ABz −±=≠+−−= (11)
, eloffsetconvexoseexpresacomo:
(6)
yeloffsetcóncavo:
3. OFFSET ANALÍTICO DE UNA ELIPSE
Seconsiderandossemielipsesconvérticesenelorigen,queseexpresancomo
2
2
1Bx
AAz −±=
dondeAyB semiejes,yA>B,dondeelsignoestádefinidosegúnelsentidodemaquinado,yaseacóncavooconvexo.
Usandoelmismométodoanalíticoutilizadoparadeterminareloffsetdelaparábolaseobtieneeloffsetdeunaelipse.
EnlospuntosP(x0, z0)laecuacióndelasrectasnormalesalaselipsesrespectivassondelaforma:
2
20
0000
2
20
2
1011B
x AAzy x con ,z
x
x
B
x
A
B z −±=≠+
−−=
Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntosP(x0, z0):
20
20 )( xxrzz −−±=
(11)
También explícitamente, se obtiene mediante el mismo algoritmo, la solución para zfx 2= del offset convexo:
Sea 23 27)(2 frzfa −+= y 3 2 )272(33 ffrarab −−+−= , el offset convexo se
expresa como:
++++−= 323
0 4)(224261 b
bzfzfz (6)
2
02
0 )( zzrzx −−+= (7)
y el offset cóncavo:
( ) ( ) ( )+−++−++−= 314312284121 3
23
0 i b b
zfizfz (8)
2
02
0 )( zzrzx −−−= (9)
3. OFFSET ANALÍTICO DE UNA ELIPSE
Se consideran dos semielipses con vértices en el origen, que se expresan como
2
2
1BxAAz −±= (10)
donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.
Usando el mismo método analítico utilizado para determinar el offset de la parábola se obtiene el offset de una elipse.
En los puntos P(x0, z0) la ecuación de las rectas normales a las elipses respectivas son de la forma:
2
20
0000
2
20
2
1011BxAAzyxcon,z
xx
Bx
ABz −±=≠+−−= (11)
(7)
También explícitamente, se obtiene mediante el mismo algoritmo, la solución para zfx 2= del offset convexo:
Sea 23 27)(2 frzfa −+= y 3 2 )272(33 ffrarab −−+−= , el offset convexo se
expresa como:
++++−= 323
0 4)(224261 b
bzfzfz (6)
2
02
0 )( zzrzx −−+= (7)
y el offset cóncavo:
( ) ( ) ( )+−++−++−= 314312284121 3
23
0 i b b
zfizfz (8)
2
02
0 )( zzrzx −−−= (9)
3. OFFSET ANALÍTICO DE UNA ELIPSE
Se consideran dos semielipses con vértices en el origen, que se expresan como
2
2
1BxAAz −±= (10)
donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.
Usando el mismo método analítico utilizado para determinar el offset de la parábola se obtiene el offset de una elipse.
En los puntos P(x0, z0) la ecuación de las rectas normales a las elipses respectivas son de la forma:
2
20
0000
2
20
2
1011BxAAzyxcon,z
xx
Bx
ABz −±=≠+−−= (11)
(8)
(9)
(10)
(12)
35Escuela de Ingeniería de Antioquia
Donde las normales intersecan las circunferencias respectivas en dos puntos, sir>0,quepertenecenaloffsetcóncavoyconvexo,segúnelsentidodelmaquinado.Igualando(11)con(12)yelevandoalcuadradoaamboslados,yresolviendoparax0paraobtenerlafuncióndeloffsetexplícitayreal
Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntos P(x0, z0):2
02
0 )( xxrzz −−±= (12)
Donde las normales intersecan las circunferencias respectivas en dos puntos, si r > 0, que pertenecen al offset cóncavo y convexo, según el sentido del maquinado. Igualando (11) con (12) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para x0 para obtener la función del offset explícita y real
−−−−+−+−−
+= ccaa
dxBAaBxxBA
BAdxx
22224222
220 4))((26)(6)(3
121 (13)
Con 222224 )( xBArABa −+−= , 222222 )(54 xrBABAb −= , 3 3 )2(3 babbac +++=
ycBA
caxd)(3
)(22
22
−−+= .
Reemplazando (13) en (12) se obtiene el offset de las elipses suplementarias, si y solo si, el radio de corrección es menor que el radio de curvatura del círculo osculador en el origen, es decir,
AB
dxzd
dxdz
r
x
x2
23
02
2
2
0
1=
+=<
=
=ρ (14)
2
222224
222
224))(2(6)(6
)(31
21
1B
cc
aad
xBAaBxxBABA
dx
AAz
−−−−+−+−−
+
−±=
2
22224222
22
2 4))(2(6)(6)(3
121 −−−−+−+−
−+−−+ c
caa
dxBAaBxxBA
BAdxxr
(15)
La figura 2 muestra el offset para una semielipse normalizada sin considerar el sentido del maquinado en el eje z.
Las interfases elípticas e hiperbólicas de revolución son importantes en la industria óptica para la fabricación de lentes especiales de alta precisión, por lo tanto, el uso del offset es necesario para garantizar la calidad geométrica.
Con 222224 )( xBArABa −+−= , 222222 )(54 xrBABAb −= , 3 3 )2(3 babbac +++=
ycBA
caxd)(3
)(22
22
−−+= .
Reemplazando(13)en(12)seobtieneeloffsetdelaselipsessuplementarias,siysolosielradiodecorrecciónesmenorqueelradiodecurvaturadelcírculoosculadorenelorigen,esdecir,
Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntos P(x0, z0):2
02
0 )( xxrzz −−±= (12)
Donde las normales intersecan las circunferencias respectivas en dos puntos, si r > 0, que pertenecen al offset cóncavo y convexo, según el sentido del maquinado. Igualando (11) con (12) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para x0 para obtener la función del offset explícita y real
−−−−+−+−−
+= ccaa
dxBAaBxxBA
BAdxx
22224222
220 4))((26)(6)(3
121 (13)
Con 222224 )( xBArABa −+−= , 222222 )(54 xrBABAb −= , 3 3 )2(3 babbac +++=
ycBA
caxd)(3
)(22
22
−−+= .
Reemplazando (13) en (12) se obtiene el offset de las elipses suplementarias, si y solo si, el radio de corrección es menor que el radio de curvatura del círculo osculador en el origen, es decir,
AB
dxzd
dxdz
r
x
x2
23
02
2
2
0
1=
+=<
=
=ρ (14)
2
222224
222
224))(2(6)(6
)(31
21
1B
cc
aad
xBAaBxxBABA
dx
AAz
−−−−+−+−−
+
−±=
2
22224222
22
2 4))(2(6)(6)(3
121 −−−−+−+−
−+−−+ c
caa
dxBAaBxxBA
BAdxxr
(15)
La figura 2 muestra el offset para una semielipse normalizada sin considerar el sentido del maquinado en el eje z.
Las interfases elípticas e hiperbólicas de revolución son importantes en la industria óptica para la fabricación de lentes especiales de alta precisión, por lo tanto, el uso del offset es necesario para garantizar la calidad geométrica.
Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntos P(x0, z0):2
02
0 )( xxrzz −−±= (12)
Donde las normales intersecan las circunferencias respectivas en dos puntos, si r > 0, que pertenecen al offset cóncavo y convexo, según el sentido del maquinado. Igualando (11) con (12) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para x0 para obtener la función del offset explícita y real
−−−−+−+−−
+= ccaa
dxBAaBxxBA
BAdxx
22224222
220 4))((26)(6)(3
121 (13)
Con 222224 )( xBArABa −+−= , 222222 )(54 xrBABAb −= , 3 3 )2(3 babbac +++=
ycBA
caxd)(3
)(22
22
−−+= .
Reemplazando (13) en (12) se obtiene el offset de las elipses suplementarias, si y solo si, el radio de corrección es menor que el radio de curvatura del círculo osculador en el origen, es decir,
AB
dxzd
dxdz
r
x
x2
23
02
2
2
0
1=
+=<
=
=ρ (14)
2
222224
222
224))(2(6)(6
)(31
21
1B
cc
aad
xBAaBxxBABA
dx
AAz
−−−−+−+−−
+
−±=
2
22224222
22
2 4))(2(6)(6)(3
121 −−−−+−+−
−+−−+ c
caa
dxBAaBxxBA
BAdxxr
(15)
La figura 2 muestra el offset para una semielipse normalizada sin considerar el sentido del maquinado en el eje z.
Las interfases elípticas e hiperbólicas de revolución son importantes en la industria óptica para la fabricación de lentes especiales de alta precisión, por lo tanto, el uso del offset es necesario para garantizar la calidad geométrica.
Lafigura2muestraeloffsetparaunasemielipsenormalizadasinconsiderarelsentidodelmaquinadoenelejez.
Lasinterfaseselípticasehiperbólicasderevoluciónsonimportantesenlaindustriaópticaparalafabricacióndelentesespecialesdealtaprecisión,porlotanto,elusodeloffsetesnecesarioparagarantizarlacalidadgeométrica.
(14)
(13)
(15)
36 Revista EIA
Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...
Figura 2. Offset de una semielipse, cóncavo y convexo, para 22 /1 BxAAz −−= con A = 200, B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado
4. OFFSET ANALÍTICO DE UNA hIPÉRBOLA
Seconsideranlassemihipérbolasconvérticesenelorigen,queseexpresancomo
2
2
1Bx
AAz +±=
conAyB semiejes,yA>B,dondeelsignoestádefinidosegúnelsentidodemaquinado,yaseacóncavooconvexo.
Usandoelmismoalgoritmodelassecciones2y3,seobtieneeloffsetanalíticodelahipérbola:
Figura 2. Offset de una semielipse, cóncavo y convexo, para 22 /1 BxAAz −−= con A = 200, B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.
4. OFFSET ANALÍTICO DE UNA HIPÉRBOLA
Se consideran las semihipérbolas con vértices en el origen, que se expresan como
2
2
1BxAAz +±= (16)
donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.
Usando el mismo algoritmo que en las cónicas anteriores se obtiene el offset analítico de la hipérbola:
−−−++−+++
+= cc
aad
)xBAaB(xx)BA)BA(
dxx22224
222220 4)(26(6
31
21
(17)
con 222224 )( xBArABa ++−= , 222222 )(54 xrBABAb += , 3 3 )2(3 babbac +++=
ycBA
caxd)(3
)(22
22
+−+= .
Figura 2. Offset de una semielipse, cóncavo y convexo, para 22 /1 BxAAz −−= con A = 200, B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.
4. OFFSET ANALÍTICO DE UNA HIPÉRBOLA
Se consideran las semihipérbolas con vértices en el origen, que se expresan como
2
2
1BxAAz +±= (16)
donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.
Usando el mismo algoritmo que en las cónicas anteriores se obtiene el offset analítico de la hipérbola:
−−−++−+++
+= cc
aad
)xBAaB(xx)BA)BA(
dxx22224
222220 4)(26(6
31
21
(17)
con 222224 )( xBArABa ++−= , 222222 )(54 xrBABAb += , 3 3 )2(3 babbac +++=
ycBA
caxd)(3
)(22
22
+−+= .
(17)
(16)
Figura 2. Offset de una semielipse, cóncavo y convexo, para 22 /1 BxAAz −−= con A = 200, B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.
4. OFFSET ANALÍTICO DE UNA HIPÉRBOLA
Se consideran las semihipérbolas con vértices en el origen, que se expresan como
2
2
1BxAAz +±= (16)
donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.
Usando el mismo algoritmo que en las cónicas anteriores se obtiene el offset analítico de la hipérbola:
−−−++−+++
+= cc
aad
)xBAaB(xx)BA)BA(
dxx22224
222220 4)(26(6
31
21
(17)
con 222224 )( xBArABa ++−= , 222222 )(54 xrBABAb += , 3 3 )2(3 babbac +++=
ycBA
caxd)(3
)(22
22
+−+= .
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Seobtieneeloffsetdelashipérbolassuplementarias,siysolosielradiodecorrecciónresmenorqueelradiodecurvaturadelmínimocírculoosculador,esdecir,
AB
r2 <
Se obtiene el offset de las hipérbolas suplementarias, si y solo si, el radio de corrección res menor que el radio de curvatura del mínimo círculo osculador, es decir,
ABr
2
< (18)
2
222224
222
224))(2(6)(6
)(31
21
1B
ccaa
dxBAaBxxBA
BAdx
AAz
−−−++−+++
+
+±=
222224
22222
2 4))(2(6)(6)(3
121 −−−++−++
++−− c
caa
dxBAaBxxBA
BAdxxr
(19)
En la figura 3 se muestra un ejemplo del offset de una hipérbola realizado con ayuda de software para verificar la validez de la expresión (19) de la misma manera que se efectuó para la parábola y la elipse.
Figura 3. Offset cóncavo y convexo de la hipérbola para 22 /1 BxAAz +−= con A = 200, B = 100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.
Enlafigura3semuestraunejemplodeloffsetdeunahipérbolarealizadoconayudadesoftwareparaverificarlavalidezdelaexpresión(19),delamismamaneraqueseefectuóparalaparábolaylaelipse.
(19)
Figura 3. Offset cóncavo y convexo de la hipérbola para 22 /1 BxAAz +−= con A = 200, B = 100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado
Se obtiene el offset de las hipérbolas suplementarias, si y solo si, el radio de corrección res menor que el radio de curvatura del mínimo círculo osculador, es decir,
ABr
2
< (18)
2
222224
222
224))(2(6)(6
)(31
21
1B
ccaa
dxBAaBxxBA
BAdx
AAz
−−−++−+++
+
+±=
222224
22222
2 4))(2(6)(6)(3
121 −−−++−++
++−− c
caa
dxBAaBxxBA
BAdxxr
(19)
En la figura 3 se muestra un ejemplo del offset de una hipérbola realizado con ayuda de software para verificar la validez de la expresión (19) de la misma manera que se efectuó para la parábola y la elipse.
Figura 3. Offset cóncavo y convexo de la hipérbola para 22 /1 BxAAz +−= con A = 200, B = 100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.
(18)
38 Revista EIA
Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...
5. SOLUCIONES NUMÉRICAS
Lasoluciónrecurrenteexpuestaparaeloffsetexplícitodelascurvascónicasesmuchomássimplequecualquiermétodoconanálisisnumérico,yaquesereduceconsiderablementeeltiempodecómputoymaximizaelacabadosuperficialusandointerpolaciónfinadeunaetapa,en lugarde técnicasusualescomo interpolación lineal segmentaria, interpolacióncircularsegmentariaeinterpolacióncircularusandoelementosfinitos(Aigner,1997).
LassolucionespresentadaspermitendesarrollarsoftwaredealtacalidadgeométricaynuméricaparaefectuarlacorreccióndeherramientaeneltorneadoCNCdesuperficiesderevolución,consecciónlongitudinalcorrespondienteaunacónicanodegenerada,parasuusoenlafabricacióndelentesyespejosasféricos.Losmétodosdeinterpolaciónpermitenproducirlageometríaespecificandounerrormáximoeipredeterminado,quegeneralmenteesinferiora0,1µm,magnitudinferioralalongituddeondadelaluzvioleta.
Existencircuitosintegradosespecializadospararealizarinterpolacionesdeordensupe-rior,comolosfabricadosporTokoenJapón,enespecialparalaparábola,usandotécnicasdeinterpolaciónlinealsegmentariasincorreccióndeherramienta.Comolosprocesosdeanálisisnuméricosonporlogeneralextensos,sepresentaacontinuaciónunrefinamientodelainterpolacióncircularsegmentariaparaeloffsetdeunaparábola.Procesossimilarespuededesarrollarellectorparacualquiergeometríadeordensuperior.
5.1 Aplicación: Fundamentos matemáticos para la fabricación de moldes cóncavos con sección longitudinal parabólica
Paralafabricacióndeunmoldeounespejocorrespondienteaunparaboloidederevoluciónconresoluciónyrugosidadtotalinferiorauncuartodelongituddeondadelaluzultravioleta(λ/4 ≈ 50 nm)serequiereelsiguientemodeloquesegmentaunaparábolaentramoscircularesparacompensarlageometríadecorte,segúnelradiodelaherramientarh,utilizandousualmenteunburildediamanteconradio(0,5±0,001)mm,conlíneasdeFourierclaramentecontinuas1,paratornearlasuperficieconcontrolnuméricocomputarizadoCNC,coninterpolacióncompiladadeunasolaetapa,yaquelosprocesosdeinterpolaciónmultietapainterpretadosgeneranpausasentreinstruccionesdesegmentación,sielcontroldelamáquinanotienefeed-forwardenclavadoentreejes,usandounhusilloaerodinámicodemandodirecto,sinrodamientosycarroscartesianosconlubricaciónaerodinámicaconsuperficiesdeapoyodebroncesinterizado,paraminimizar lavibracióndelamáquinayaumentarlaeficienciadelproceso.Dichomodelosebasaenunrefinamientodelainterpo-laciónsegmentaria(spline)linealquesedescribeenlasección5.1.1.
1 LaslíneasdeFouriersoncausadasporladifraccióndelaluzenelfilo,queindicansuestado.SilaslíneasdeFourierobservadasbajoelmicroscopioconunaumentotípicode400xtienencambiosabruptos,esporqueelfilodelaherramientaestádeterioradoensusvecindades.
39Escuela de Ingeniería de Antioquia
5.1.1 Interpolación segmentaria lineal de una parábola
Parainterpolarlasecciónlongitudinalparabólicadadaporlaecuación(1),tomandoelsignopositivo,seprocedeadeterminarelerrordelainterpolaciónsegmentarialinealenelintervalo[a,b],elcualesmáximocuandoladerivadaesigualalapendientedelsegmento,así,elpuntodondeelerroresmáximoeselpuntomedio:
)(2
1bax +=
Elversor2delsegmentoes:
5.1.1 Interpolación segmentaria lineal de una parábola
Para interpolar la sección longitudinal parabólica dada por la ecuación (1), tomando el signo positivo, se procede a determinar el error de la interpolación segmentaria lineal en el intervalo [a, b], el cual es máximo cuando la derivada es igual a la pendiente del segmento, así, el punto donde el error es máximo es el punto medio:
)(21 bax += (20)
El versor2 del segmento es:
++++
+++=
222222 162)(,
1624
fbaabba
fbaabfv (21)
El vector del punto medio, es decir, el vector sagital es:
+−−= )3()(161),(
21 baababmv (22)
El error se define como la norma del producto vectorial de los vectores:
[ ] [ ]222
2
1624)(0,0,
fbaabab
m+++
−=× vv (23)
La sagita s de un círculo, o sea, la distancia máxima de una cuerda al arco, define el radio sagital ρs como:
sslsds 2
)4/(),(22 +=ρ (24)
donde l es la magnitud de la cuerda 22 ))()(()( a,fzb,fzab −+−
Construyendo una función para la cuerda:
222 1624
)(),,( fbabafabfbac +++−= (25)
Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b
2 Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario.
(21)
Elvectordelpuntomedio,esdecir,elvectorsagitales:
(22)
Elerrorsedefinecomolanormadelproductovectorialdelosvectores:
5.1.1 Interpolación segmentaria lineal de una parábola
Para interpolar la sección longitudinal parabólica dada por la ecuación (1), tomando el signo positivo, se procede a determinar el error de la interpolación segmentaria lineal en el intervalo [a, b], el cual es máximo cuando la derivada es igual a la pendiente del segmento, así, el punto donde el error es máximo es el punto medio:
)(21 bax += (20)
El versor2 del segmento es:
++++
+++=
222222 162)(,
1624
fbaabba
fbaabfv (21)
El vector del punto medio, es decir, el vector sagital es:
+−−= )3()(161),(
21 baababmv (22)
El error se define como la norma del producto vectorial de los vectores:
[ ] [ ]222
2
1624)(0,0,
fbaabab
m+++
−=× vv (23)
La sagita s de un círculo, o sea, la distancia máxima de una cuerda al arco, define el radio sagital ρs como:
sslsds 2
)4/(),(22 +=ρ (24)
donde l es la magnitud de la cuerda 22 ))()(()( a,fzb,fzab −+−
Construyendo una función para la cuerda:
222 1624
)(),,( fbabafabfbac +++−= (25)
Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b
2 Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario.
(23)
Lasagitasdeuncírculo,osea,ladistanciamáximadeunacuerdaalarco,defineelradiosagitalrscomo:
(24)
dondelamagnituddelacuerdaesl = 22 ))()(()( a,fzb,fzab −+−
Construyendounafunciónparalacuerda:
5.1.1 Interpolación segmentaria lineal de una parábola
Para interpolar la sección longitudinal parabólica dada por la ecuación (1), tomando el signo positivo, se procede a determinar el error de la interpolación segmentaria lineal en el intervalo [a, b], el cual es máximo cuando la derivada es igual a la pendiente del segmento, así, el punto donde el error es máximo es el punto medio:
)(21 bax += (20)
El versor2 del segmento es:
++++
+++=
222222 162)(,
1624
fbaabba
fbaabfv (21)
El vector del punto medio, es decir, el vector sagital es:
+−−= )3()(161),(
21 baababmv (22)
El error se define como la norma del producto vectorial de los vectores:
[ ] [ ]222
2
1624)(0,0,
fbaabab
m+++
−=× vv (23)
La sagita s de un círculo, o sea, la distancia máxima de una cuerda al arco, define el radio sagital ρs como:
sslsds 2
)4/(),(22 +=ρ (24)
donde l es la magnitud de la cuerda 22 ))()(()( a,fzb,fzab −+−
Construyendo una función para la cuerda:
222 1624
)(),,( fbabafabfbac +++−= (25)
Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b
2 Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario.
2 DenominaciónusadaaprincipiosdelsigloXXparadefinirunvectorunitario,cuyoempleodeberíarescatarse.
(20)
+−−= )3( )(161 ),(
21 baababmv
[ ]v, 0 × [v m , 0] 222
2
1624)(
fbaabab
+++−=
ssls
2)4/(),(
22 +=ρs l
+−−= )3( )(161 ),(
21 baababmv
[ ]v, 0 × [v m , 0] 222
2
1624)(
fbaabab
+++−=
ssls
2)4/(),(
22 +=ρs l
(25)
40 Revista EIA
Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...
Asísepuedeobtenerelradiodeinterpolaciónsagitalentredospuntosa yb
(26)222
42242222234
1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((
fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs
+++++++++++= (26)
con lo anterior se define el radio total:
222
22222
16)(32)16(16)36)(()(),,(
fbaffabffbabafba
++−−+++=ρ (27)
en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:
22
22222
20 164
)364(4)16(1632
1,fa
faaafff
f)x(a,aLímx +
++−=Δ+→Δ
(28)
se obtiene al simplificar el radio de curvatura
3222 )4(
41 faf
+=ρ (29)
5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola
A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del
centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2
(,2
( fbazba ++:
222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)
222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y
222 )),2
(()2
( kfbazhba −++−+=ρ (32)
simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)
y
conloanteriorsedefineelradiototal:
222
42242222234
1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((
fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs
+++++++++++= (26)
con lo anterior se define el radio total:
222
22222
16)(32)16(16)36)(()(),,(
fbaffabffbabafba
++−−+++=ρ (27)
en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:
22
22222
20 164
)364(4)16(1632
1,fa
faaafff
f)x(a,aLímx +
++−=Δ+→Δ
(28)
se obtiene al simplificar el radio de curvatura
3222 )4(
41 faf
+=ρ (29)
5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola
A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del
centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2
(,2
( fbazba ++:
222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)
222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y
222 )),2
(()2
( kfbazhba −++−+=ρ (32)
simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)
y
(27)
Comopruebadelaciertodelaexpresión(27),enellímite,cuandob = a + DxyhallandoellímitecuandoDx tiendea0:
222
42242222234
1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((
fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs
+++++++++++= (26)
con lo anterior se define el radio total:
222
22222
16)(32)16(16)36)(()(),,(
fbaffabffbabafba
++−−+++=ρ (27)
en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:
22
22222
20 164
)364(4)16(1632
1,fa
faaafff
f)x(a,aLímx +
++−=Δ+→Δ
(28)
se obtiene al simplificar el radio de curvatura
3222 )4(
41 faf
+=ρ (29)
5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola
A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del
centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2
(,2
( fbazba ++:
222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)
222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y
222 )),2
(()2
( kfbazhba −++−+=ρ (32)
simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)
y
(28)
Seobtienealsimplificarelradiodecurvatura:
3222 )4(
41
faf
+=ρ
(29)
5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola
Acontinuaciónsedescribeelprocedimientoparacalcularlascoordenadasdelcentro
delacircunferenciaquepasaporlospuntos(a, z(a, f)),(b, z(b, f))y
222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)
222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ
(31)
y
222 )),2
(()2
( kfba
zhba −++−+=ρ
(32)
evaluandoelsistemadelasecuaciones(30),(31)y(32),setieneque:
222
42242222234
1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((
fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs
+++++++++++= (26)
con lo anterior se define el radio total:
222
22222
16)(32)16(16)36)(()(),,(
fbaffabffbabafba
++−−+++=ρ (27)
en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:
22
22222
20 164
)364(4)16(1632
1,fa
faaafff
f)x(a,aLímx +
++−=Δ+→Δ
(28)
se obtiene al simplificar el radio de curvatura
3222 )4(
41 faf
+=ρ (29)
5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola
A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del
centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2
(,2
( fbazba ++:
222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)
222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y
222 )),2
(()2
( kfbazhba −++−+=ρ (32)
simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)
y
(33)
222
42242222234
1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((
fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs
+++++++++++= (26)
con lo anterior se define el radio total:
222
22222
16)(32)16(16)36)(()(),,(
fbaffabffbabafba
++−−+++=ρ (27)
en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:
22
22222
20 164
)364(4)16(1632
1,fa
faaafff
f)x(a,aLímx +
++−=Δ+→Δ
(28)
se obtiene al simplificar el radio de curvatura
3222 )4(
41 faf
+=ρ (29)
5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola
A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del
centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2
(,2
( fbazba ++:
222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)
222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y
222 )),2
(()2
( kfbazhba −++−+=ρ (32)
simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)
y
41Escuela de Ingeniería de Antioquia
222
42242222234
1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((
fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs
+++++++++++= (26)
con lo anterior se define el radio total:
222
22222
16)(32)16(16)36)(()(),,(
fbaffabffbabafba
++−−+++=ρ (27)
en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:
22
22222
20 164
)364(4)16(1632
1,fa
faaafff
f)x(a,aLímx +
++−=Δ+→Δ
(28)
se obtiene al simplificar el radio de curvatura
3222 )4(
41 faf
+=ρ (29)
5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola
A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del
centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2
(,2
( fbazba ++:
222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)
222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y
222 )),2
(()2
( kfbazhba −++−+=ρ (32)
simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)
2
2222242
16)(1632)2(8
fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)
y
(34)
y
2
222224
23222342
256)(256256)2(32...
)...64)2(16(4)16323(24
fkhfhbfkffbb
hfkfbfbafkfbabaa
++−−++
−−++−+++=ρ(35)
Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:
La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es
ff
abbak
fbaabbah
232
4)(7128
)(4)(3
2
2
2
3
+−+=
+++= (36)
de lo cual el radio del segmento circular será igual a:
222
4)( −+−= k
faha (37)
y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene
2
2
32232
2
2222
128313133
32647107
41 +++−++++−=
fbabbaaa
ffbaba
fa (38)
para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por
2
2
32232
2
2
32232
2
2222
2
2
128313133
128313133
32647107
41
232
4)(7
+++−−±+++−++++−−
+−+=
fbabbaaxr
fbabbaaa
ffbaba
fa
ff
abbaz
(39)que de manera recurrente
22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)
variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.
(35)
Resolviendoelsistemadelastresúltimasecuacionesparahykseobtiene:
Lacoordenadarelativadelcentrodelsegmentodelainterpolacióncircularenxconrespectoalpunto(a,z(a,f))es
2
222224
23222342
256)(256256)2(32...
)...64)2(16(4)16323(24
fkhfhbfkffbb
hfkfbfbafkfbabaa
++−−++
−−++−+++=ρ(35)
Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:
La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es
ff
abbak
fbaabbah
232
4)(7128
)(4)(3
2
2
2
3
+−+=
+++= (36)
de lo cual el radio del segmento circular será igual a:
222
4)( −+−= k
faha (37)
y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene
2
2
32232
2
2222
128313133
32647107
41 +++−++++−=
fbabbaaa
ffbaba
fa (38)
para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por
2
2
32232
2
2
32232
2
2222
2
2
128313133
128313133
32647107
41
232
4)(7
+++−−±+++−++++−−
+−+=
fbabbaaxr
fbabbaaa
ffbaba
fa
ff
abbaz
(39)que de manera recurrente
22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)
variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.
(36)
dondeelradiodelsegmentocircularseráiguala:
2
222224
23222342
256)(256256)2(32...
)...64)2(16(4)16323(24
fkhfhbfkffbb
hfkfbfbafkfbabaa
++−−++
−−++−+++=ρ(35)
Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:
La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es
ff
abbak
fbaabbah
232
4)(7128
)(4)(3
2
2
2
3
+−+=
+++= (36)
de lo cual el radio del segmento circular será igual a:
222
4)( −+−= k
faha (37)
y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene
2
2
32232
2
2222
128313133
32647107
41 +++−++++−=
fbabbaaa
ffbaba
fa (38)
para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por
2
2
32232
2
2
32232
2
2222
2
2
128313133
128313133
32647107
41
232
4)(7
+++−−±+++−++++−−
+−+=
fbabbaaxr
fbabbaaa
ffbaba
fa
ff
abbaz
(39)que de manera recurrente
22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)
variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.
(37)
ysustituyendolasecuaciones(36)en(37)seobtiene
2
222224
23222342
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fkhfhbfkffbb
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++−−++
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Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:
La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es
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abbak
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232
4)(7128
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2
2
2
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de lo cual el radio del segmento circular será igual a:
222
4)( −+−= k
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y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene
2
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fbabbaaa
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fa (38)
para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por
2
2
32232
2
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32232
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2222
2
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128313133
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ff
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(39)que de manera recurrente
22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)
variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.
(38)
parallegaralpuntofinal(b,z(b,f))yrepetirelproceso.Así,elsegmentocircularexplícitodeloffsetestádeterminadopor
2
222224
23222342
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)...64)2(16(4)16323(24
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Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:
La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es
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232
4)(7128
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2
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de lo cual el radio del segmento circular será igual a:
222
4)( −+−= k
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y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene
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128313133
32647107
41 +++−++++−=
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fa (38)
para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por
2
2
32232
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32232
2
2222
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128313133
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+++−−±+++−++++−−
+−+=
fbabbaaxr
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ffbaba
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ff
abbaz
(39)que de manera recurrente
22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)
variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.
(39)
2
222224
23222342
256)(256256)2(32...
)...64)2(16(4)16323(24
fkhfhbfkffbb
hfkfbfbafkfbabaa
++−−++
−−++−+++=ρ(35)
Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:
La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es
ff
abbak
fbaabbah
232
4)(7128
)(4)(3
2
2
2
3
+−+=
+++= (36)
de lo cual el radio del segmento circular será igual a:
222
4)( −+−= k
faha (37)
y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene
2
2
32232
2
2222
128313133
32647107
41 +++−++++−=
fbabbaaa
ffbaba
fa (38)
para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por
2
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32232
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32232
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2222
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128313133
128313133
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+++−−±+++−++++−−
+−+=
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fbabbaaa
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abbaz
(39)que de manera recurrente
22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)
variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.
42 Revista EIA
Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...
quedemanerarecurrente
22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)
variandoayb hastacompletarlatrayectoriadesdex = a0hastax = 0.
xaa ii ∆+= −1 (41)xab ii ∆+=
6. RECOMENDACIONES TÉCNICAS
Sedebeconsiderartambiénqueenelprocesodetorneadodesuperficiescónicasderevolución,conburildediamante,elmaquinadodebeefectuarseenelcuadranteapropiado,paraquelostornillosdebolasrecirculantesdeltornoCNCesténsometidosaesfuerzosdetracción,yasíobtenermayorrigidez,cuandoseefectúaelavancedelburil,desdelaperiferiahastaelcentro.Además,laalturadelfilodecortedelaherramienta,sinángulodeataque,debetenerunaciertoconrelaciónalejederevolucióndehusillo,inferiora0,001mm,posi-cionandolaherramienta,siesposible,medianteelusodeunacámaradevideoconaumentode100x.Siempredebeusarse,siserequiereacabadoespejo,unhusilloaerodinámico.Estádemostradoexperimentalmentequecualquiervelocidaddelhusillosuperiora6000r.p.m.notieneincidenciasobreelbuenomalacabadosuperficial.Elavanceeselparámetroconmásinfluenciaenelbuenacabado.Espreferibleusarvelocidaddeavanceradialconstante,paramaximizarlaestabilidaddimensionaldelsistemadecontrol.
Paramaximizarelacabadoserecomiendaunapasadadecorteconprofundidaddepreacabado0,1mmyunapasadaconprofundidaddecortedeacabado0,05mm,yasími-nimizarlasvibracionesinducidasporelcorteregenerativo.Enmoldesserecomiendausaraleacionesdeníquel-titanioporsualtamaquinabilidadoaceroinoxidablepremaquinadoytempladoAISI420-54Rcpuroomodificado,siseusanherramientasdecermet.Tambiénexistenenelmercadolocalotrosacerosdefáciladquisiciónespecialesparalafabricacióndemoldesparalentes.Enlentesplásticasconmecanizadodirecto,sepuedeusarPMMA(polimetilmetacrilato)ysuscopolímeros,comoN-hidroxietilmetacrilatoyflurocarbonacri-lato;tambiénsepuedeusarpolicarbonato.EnelmecanizadodirectodeespejossepuedeusaraluminiopRodAx dealtaresistenciaypureza,alfinal,seendurecelasuperficieparamaximizarlavidaútil,darresistenciaalrayadoyalacorrosiónatmosféricaoparafabricarespejosfríos(cold mirrors).
7. CONCLUSIÓN
Esválidoconcluirqueesmuchomásfácilusareloffsetexplícitodeunacurvacónicanodegeneradaqueunmétododeinterpolaciónconanálisisnumérico,paralosprocesosdemanufacturadelentesyespejos,yaqueloscálculossonmássimplesymásrápidos;ysiparalaparábolaesmáscomplejoeloffsetnuméricoseráaunmáscomplejoparalaelipseylahipérbola,yaqueseinvolucranmuchosradicalesenclavados.
43Escuela de Ingeniería de Antioquia
Notación
A Semiejemayordeunaelipseounahipérbolaa AbscisadepartidaB Semiejemenordeunaelipseounahipérbolab Abscisadellegadaf Distanciafocaldeunaparábolah Abscisadelcentrodecurvaturak Ordenadadelcentrodecurvatural Longituddeunacuerdar Radiodecurvaturar Radiodecorrecciónodistanciadeparalelismors Radiosagitals Sagitax Abscisacartesianaz Ordenadacartesiana
BIBLIOGRAFÍA
Abłamowicz, R. and Liu, J. (2006). on theparallel lines fornondegenerateconics.http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0602/0602248v1.pdf.
Kincaid,D.yCheney,W.(1994).Análisisnumérico.Addison-WesleyIberoamericana.
Aigner,K.(1997).Symboliccomputationofandwithoffsetcurves.http://citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/2577/ftp:zSzzSzftp.risc.unilinz.ac.atzSzpubzSztechreportszSz1997zSz97-21.pdf/aigner-97symbolic.pdf.
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