curs 2009-2010 geometria cinemàtica de mecanismes robòtics (gcr)

Curs 2009-2010

Geometria Cinemàtica de Mecanismes Robòtics(GCR)

P. Jiménez

Aquestes transparències contenen tres parts:

• Part 1: Part final del mòdul de mobilitat i anàlisi del desplaçament (quanfallen les fórmules de mobilitat, i per què, i anàlisi del manipulador 3R)

• Part 2: Solució a l’exercici 1 del mòdul 1.• Part 3: Qüestions resoltes de mobilitat i anàlisi de desplaçament.

Part 1Part final del mòdul de mobilitat i anàlisi del desplaçament:• Part 1A: Quan fallen les fórmules de mobilitat, i per què.• Part 1B: Anàlisi del manipulador 3R.

Part 1AQuan fallen les fórmules de mobilitat, i per què.

La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat

Prediu correctament Prediu incorrectament

Per què?

La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat

Prediu correctament Prediu incorrectament

jn m 2)1(3

El criteri de GK es compleix per mecanismes les dimensions geomètriques dels quals són genèriques (condició suficient). El mecanisme (b) té la particularitat de complir :

4

3

1

lli

i

ab

1 2 3

4

1

2

3

4

! 0real m142)14(3

44

m

jn

La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat

Prediu correctament Prediu incorrectament

jn m 2)1(3

Hi ha dues articulacions al mecanisme (d) que no són binàries, són ternàries

c d1

2

34

2

! 0real m062)15(3

65

m

jn

51 3

45

442)15(3

45

m

jn

La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat

Prediu correctament Prediu incorrectament

jn m 2)1(3

El mecanisme (f) està sobre-restringit, hi ha més links dels necessaris per immobilitzar una part o tot el mecanisme

e f2

! 1real m282)17(3

87

m

jn

15

4

3

0122)19(3

129

m

jn

6

72

15

4

3

6

7

8 9

Recordeu també:

funciona quan les articulacions són tipus P o R

jn m 2)1(3

0

33

m

jn1)3()1(3

1

j

iifn m

Part 1BAnàlisi directa i inversa del robot 3R

Anàlisi directa del manipulador 3R

3

1

2

x,y,,xy

= p

1

2

3

=

Conegut Volem:

Donats els angles articulars volem calcular la posa de l’efector

Anàlisi directa del manipulador 3R

3

2

1

X

Y

12a

23a

34a

1

21

112 cosa )cos( 2123 a

)cos( 32134 a

Anàlisi directa del manipulador 3R

3

2

1

X

Y

12a

23a

34a

1

21

112 sina

)sin( 2123 a

)sin( 32134 a

Anàlisi directa del manipulador 3R

3

2

1X

12a

23a

34a

1

21

)sin()sin(sin

)cos()cos(cos

321342123112

321342123112

aaay

aaax

321

Y

Anàlisi directa del manipulador 3R

3

2

1

X)sin()sin(sin

)cos()cos(cos

321342123112

321342123112

aaay

aaax

321

Y

Anàlisi inversa del manipulador 3R

3

1

2

x,y,, xy

= p

1

2

3

=

Volem: Sabent:

Donada la posa de l’efector, volem calcular els angles articulars

Anàlisi inversa del manipulador 3R

)cos()cos(cos 321342123112 aaax

)sin()sin(sin 321342123112 aaay

321

)cos(coscos 212311234 aaax

)sin(sinsin 212311234 aaay

(a)

(b)

(a)2+ (b)2

)sin)sin(cos)(cos(2

)sin()cos(

1211212312

223

212

234

234

aa

aaayax(c)

Anàlisi inversa del manipulador 3R

fd 2cos23122 aad

(c)

2121121121 cos))cos((sin)sin(cos)cos(

223

212

234

234 )sin()cos( aaayaxf

22 a

22 b

(a), (b)

FAB

EBA

11

11

sincos

sincos

sinsin

coscos

34223

3422312

ayFaB

axEaaA

)sin(),cos( 2121

Anàlisi inversa del manipulador 3R

a3

a2

a1

X

12a

23a

34a

Y (x,y,)

Anàlisi inversa del manipulador 3R

b3

b2

b1

X

12a23a

34a

Y (x,y,)

Part 2Solució a l’exercici 1 del mòdul 1

Exercise 1. Mobility of planar bar-and-joint linkagesA planar bar-and-joint linkage is one where the links are rigid bars, articulated via pin joints, i.e., planar rotary joints. Some examples are included on the right.

Note that Duffy's formula (1.1) is derived for linkages where the joints are assumed to be binary (each joint connects exactly two links) and the links can have any number of joints. Contrarily, in bar-and-joint frameworks the joints can connect any number of bars, and the links (i.e., the bars) can only have two joints.

Develop a mobility criterion for bar-and-joint linkages, analogous to Duffy's formula (1.1). The formula should give the mobility of the linkage (m), in terms of the number of bars (e) and the number of joints (v). Hint: use as configuration variables the (x,y) coordinates of the v joints, and note that each bar imposes one constraint of the form |p i-pj|2 =lij

2 where pi = (xi,yi) are the coordinates of the ith joint, and lij is the length of the bar connecting joints i and j. Count the number of variables and equations of the resulting system of equations, and write down the balance "mobility = number of freedoms - number of constraints". Note that one of the bars must be anchored to the ground, in order for m to really reflect the number of internal degrees of freedom.

Using the previous formula, predict the mobility in the linkages to the right. In which linkages does the formula fail and why?

(Please comment the steps of your solution to the problem.)

M = # pars. configuracionals - # restrics. internes

Canvi de perspectiva:

Configuració definida per les coordenades cartesianes de les articulacions

Restriccions internes imposades per les barres (distàncies entre articulacions)

# paràmetres configuracionals

(x1,y1)

(x2,y2) (x3,y3)

(x4,y4)

2v

(a,b)

(x2,y2) (x3,y3)

(c,d)

2(v-2)

e

(e-1)

lij2=|pi- pj|2=( xi- xj)2 +( yi- yj)2

l122=( x1- x2)2 +( y1- y2)2 l23

l34

l41

ja inclosa al #par. config.

# restriccions internes

M = # pars. configuracionals - # restrics. internes

Mobilitat (M)

M = 2(v-2)-(e-1)= 2v-e-3

v = 4e = 4

M = 2·4-4-3 =1

v = 4e = 5

M = 2·4-5-3 =0

(Teorema de Laman)

La fórmula no sempre prediu bé la mobilitat

Prediu correctament Prediu incorrectament

Per què?

La fórmula no sempre prediu bé la mobilitat

Prediu correctament Prediu incorrectament

Es garanteix el compliment de la fórmula per mecanismes les dimensions geomètriques dels quals són genèriques (condició suficient).

M = 2v-e-3=2·6-8-3=1

v = 6e = 8

Mreal = 0 !

La fórmula no sempre prediu bé la mobilitat

Prediu correctament Prediu incorrectament

M = 2v-e-3=2·6-9-3=0

v = 6e = 9

Mreal = 1 !

Es garanteix el compliment de la fórmula per mecanismes les dimensions geomètriques dels quals són genèriques (condició suficient).

La fórmula no sempre prediu bé la mobilitat

Prediu correctament Prediu incorrectament

M = 2v-e-3=2·6-7-3=2

v = 6e = 7

Mreal = 1 !

v = 6e = 9

M = 2v-e-3=2·6-9-3=0

El segon mecanisme està sobre-restringit, hi ha més links dels necessaris per immobilitzar una part o tot el mecanisme

Part 3Qüestions de test resoltes, sobre mobilitat i anàlisi de desplaçament

Qüestió: Prediu la mobilitat dels següents mecanismes:

a) Esquerre: 3. Centre: 3. Dret: 1.b) Esquerre: 3. Centre: 3. Dret: -1.c) Esquerre: 1. Centre: 3. Dret: 3.d) Esquerre: 2. Centre: 4. Dret: 2.e) Cap de les anteriors.

Dues possibilitats: com a mecanismes de cossos i articulacions, o com a mecanismes de barres i articulacions

m = 3(n - 1) – 2v = 3(8 - 1) – 2·9 = 3

m = 2v–e–3 = 2·9–12–3 = 3

Com a mecanisme de cossos i articulacions:

Com a mecanisme de barres i articulacions:

Estructures equivalents

Els quatre mecanismes presenten la mateixa estructura i per tant tenen la mateixa mobilitat

m = 3(n - 1) – 2v = 3(8 - 1) – 2·9 = 3

m = 2v–e–3 = 2·9–12–3 = 3

Com a mecanisme de cossos i articulacions:

Com a mecanisme de barres i articulacions:

m = 3(n - 1) – 2v = 3(8 - 1) – 2·10 = 1

m = 2v–e–3 = 2·10–16–3 = 1

Com a mecanisme de cossos i articulacions:

Com a mecanisme de barres i articulacions:

a b

c d

Qüestió: Quines de les configuracions següents d’un manipulador 3RPR són singulars?

a) a i bb) a, b i dc) a i cd) a, b i ce) b i c