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METODOS CUANTITATIVOS PARA NEGOCIOSMETODOS CUANTITATIVOS PARA NEGOCIOS 09/05/2009

UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 1

“TEORÍA ES ALGO QUE SE HACE, NO ALGO QUE SE DICE QUE SE HACE”

1ybnias@infonegocio.net.pe

Métodos Cuantitativos Métodos Cuantitativos de Negociosde Negocios

Universidad Peruana Los AndesFacultad de Ciencias Administrativas y Contables

CAPITULO 3: MODELOS BÁSICOS DE SIMULACIÓN

Objetivos de Aprendizaje:

Desarrollar los conceptos e ideas claves de modelos de simulación, desarrollando la aplicación del

aplicación del software especializado en los campos de modelado y simulación

Contenido:

• Inicios del Método de Monte Carlo3.1

•Simulación: Método Monte Carlo3 2

•Simulación: Método Monte Carlo3.2

•¿Cómo funciona la Simulación de Monte Carlo?3.3

Introducción:

Bajo el nombre de Método Monte Carlo o Simulación Monte Carlo se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios.

El Método de Monte Carlo da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una

computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinístico.

La simulación de Monte Carlo es una técnica que combina conceptosestadísticos (muestreo aleatorio) con la capacidad que tienen losordenadores para generar números pseudo-aleatorios y automatizarcálculos.

3.1 Inicios del Método de Monte Carlo

El método fue llamado así por el principado de Mónaco por ser ``la capital del juego de azar'', al tomar una ruleta como un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 con el desarrollo de la computadora.

El uso real de los métodos de Monte Carlo como una herramienta de investigación, proviene del trabajo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial. Este trabajo involucraba la simulación directa de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones aleatorios en material de fusión.

3.1 Inicios del Método de Monte Carlo

Así, en la actualidad es posible encontrar modelos que hacen uso de simulación MC en las áreas informática, empresarial, económica, industrial e incluso social. En otras palabras, la simulación de Monte Carlo está presente

p , pen todos aquellos ámbitos en los que el comportamiento aleatorio o probabilístico desempeña un papel fundamental ‐precisamente, el nombre de Monte Carlo proviene de la famosa ciudad de Mónaco, donde abundan los casinos de juego y donde el azar, la probabilidad y el comportamiento aleatorio conforman todo un estilo de vida.

3.2 Simulación: Método Monte Carlo:

Simulación: es el proceso de diseñar y desarrollar un modelocomputarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos coneste modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistemao evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema.

•Modelo de simulación: conjunto de hipótesis acerca delfuncionamiento del sistema expresado como relaciones matemáticas y/ológicas entre los elementos del sistema.

•Proceso de simulación: ejecución del modelo a través del tiempo enun ordenador para generar muestras representativas delcomportamiento.

• Simulación estadística o Monte Carlo: Está basada en elmuestreo sistemático de variables aleatorias.

• Simulación continua: Los estados del sistema cambiancontinuamente su valor. Estas simulaciones se modelangeneralmente con ecuaciones diferenciales.

Métodos de simulación

g• Simulación por eventos discretos: Se define el modelo cuyo

comportamiento varía en instantes del tiempo dados. Losmomentos en los que se producen los cambios son los que seidentifican como los eventos del sistema o simulación.

• Simulación por autómatas celulares: Se aplica a casoscomplejos, en los que se divide al comportamiento del sistemaen subsistemas más pequeños denominadas células. El resultadode la simulación está dado por la interacción de las diversascélulas.

• Definición, descripción del problema. Plan.• Formulación del modelo.

Etapas del proceso de simulación

• Programación.• Verificación y Validación del modelo.• Diseño de experimentos y plan de corridas.• Análisis de resultados

¿qué es un modelo?

• un modelo es una representación simplificada de la realidad diseñada para representar, conocer o predecir propiedades del objeto real

• los modelos se construyen con una finalidad:

yestudiar el objeto real con más facilidad y deducir propiedades difíciles de observar en la realidad:

– eliminando o simplificando componentes– cambiando las escalas espacial o temporal– variando las condiciones del entorno– evitando la actuación sobre el objeto real

• modelos pueden representar objetos o procesos (simulación)

¿qué permite un modelo?

• en el caso de la simulación se hace posible experimentar– experimentar es replicar procesos bajo diferentes escenarios

• conceptos básicosi j t d di i b j l l

– escenario: conjunto de condiciones bajo las cuales se construye un modelo

– factores: variables que influyen en el funcionamiento de la simulación

• en la modelización debe existir una relación simétrica entre las propiedades del objeto real y el modelo: ej. ortoimagen

la analogía es una relación simétrica

OBJETO REALX

aplicable a X aplicable a X

CUESTIÓN C’analogía

MODELOM

CUESTIÓN C

RESPUESTA R’

RESPUESTA R

aplicable a M aplicable a M

los riesgos de los modelos

• existen errores inherentes al proceso de modelización– error de generalización en la medida de los elementos– error por la selección de componentes– error por propagaciónli it i l l í d l lid d

• limitaciones en la analogía modelo‐realidad– validez en un dominio temporal– validez en un dominio espacial

• riesgo de inestabilidad– comportamiento discontinuo del modelo que reduce su utilidad a dominios de valores limitados

tipos de modelos (I)

• modelos analógicos: – se construyen mediante mecanismos físicos cuyo comportamiento es similar al del objeto real

– los modelos icónicos son réplicas morfológicas donde se representan

morfológicas donde se representan propiedades métricas: existe una relación de isomorfismo

la relación de una maqueta con elobjeto real se establece medianteun factor de escala: es un modeloicónico

los mapas impresos son modelos analógicos

• en un mapa la relación de correspondencia se establece mediante un diccionario de códigos que define una simbolización

• un mapa impreso representa el terreno

representa el terreno mediante un conjunto de convenciones cartográficas

• ejemplos del uso de mapas:– análisis métricos– análisis topológicos

tipos de modelos (II)

• modelos digitales – el objeto se codifica en cifras organizadas en estructuras de datos

– las relaciones de

– las relaciones de correspondencia son matemáticas, estadísticas o geométricas

reconstrucción mediante unmodelo digital de una iglesiaen Inglaterra

otros ejemplos de modelos digitales

• reconstrucción del cráneo de Dolichocebusgaimanensis (Cebidae)

– Chubut, Argentina (18‐20 millones de años)

• cada resto fue digitalizado á lá 3D

en un escáner láser 3D y usado para generar un modelo de malla

• este modelo se completa con superficies con color y textura

modelos digitales de elevaciones

desierto de Mohave(imagen NASA/JPL/NIMA)

SAR y altimetría radar (Magellan): Lavinia Planitia (Venus)

interferometría radar: SRTM, Shuttle Radar Topography Mission

ventajas de los modelos digitales

• modelos digitales : los objetos se codifican en cifras y los procesos se simulan mediante funciones matemáticas– no ambigüedad: cada elemento del modelo tiene propiedades y valores específicos y explícitos

• datos: hechos verificables medidos• algoritmos: secuencia explícita de operaciones

– verificabilidad: los algoritmos pueden ser analizados y descompuesto para su verificación externa

– repetibilidad: los resultados son constantes para los mismos datos de entrada salvo en los modelos estocásticos

modelos estáticos y dinámicos

• los modelos estáticos representan objetos– en los modelos estáticos se interpreta la realidad en un instante concreto, como resultado de procesos que no intervienen en la modelización

l d l di á i

• los modelos dinámicos representan procesos– los procesos relacionan los objetos entre sí– simulan los mecanismos de cambio y puede estudiarse la sucesión temporal

• simulación de un incendio forestal• simulación de la difusión de un contaminante

determinismo y azar

• los modelos dinámicos deterministas– generan los mismos resultados si se parte del mismo escenario (mismos datos y mismos algoritmos)

• los modelos dinámicos estocásticos– se introduce ruido en una o más etapas en el proceso mediante

se introduce ruido en una o más etapas en el proceso mediante un generador de aleatorios

– los datos aleatorios generan diferentes resultados a partir de un mismo escenario de partida

– los modelos estocásticos producen mucha más información que los deterministas

descomposición de un modelo dinámico

• un modelo se compone de partes e interrelaciones– las partes representan los elementos o unidades funcionales– las relaciones definen las transiciones entre las partes y los cambios de estado

• la calidad y utilidad de un modelo depende de varios

factores:– una buena identificación de las partes o elementos importantes– una buena definición de los mismos en el lenguaje del modelo– una adecuada descripción de las relaciones entre las partes– la posibilidad de comprobar los resultados mediante verificación experimental: el error cometido debe ser conocido

fases del desarrollo de un modelo (I)

conceptualización o modelo narrativo: análisis del sistema real, definición de las partes relevantes y de los procesos clave: planteamiento claro del problema a solucionarformalización o modelo esquemático (diagrama de Forrester):

definición de las variables de estado, selección y exclusión de partes y relaciones, escalas temporal y espacialimplementación o modelo informático: donde se traduce a código el modelo esquemático; implica la solución a problemas de programación (lenguajes, planteamiento de ecuaciones, escritura de código)

fases del desarrollo de un modelo (II)

verificación funcional, donde se realizan análisis dede estabilidad ¿genera el modelo resultados razonables?de sensibilidad: ver la variación de los resultados ante cambios en las variables dentro del rango de variación natural; un parámetro crítico es aquél que induce cambios fuertes con

ñ i i

pequeñas variacionesde incertidumbre: analizar los resultados ante cambios en los parámetros dentro del error estándar de cada uno

validación: comprobación del modelo con datos independientesla validación nunca es absoluta; unos buenos resultados no garantizan un comportamiento correcto en todos los escenarios

etapas en la construcción del modelo

descripción del problema

definiciones y postulados

verbal

b y d son constantes

( ) ( ) (b d)

expresión matemática

calibración o ajuste

predicción

comprobación o verificaciónse acepta el modelo

se rechaza el modelo

revisión N(1) = N(0) · e(b-d)

b = 0.05, d = 0.04

N(t) =1350

predicción vs observación

crecimiento exponencial determinista

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Generaciones

01 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Generaciones

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Generaciones

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Generaciones

N(t) = N(t-1)*e

TN = 0.60TM = 0.50

PROBLEMA : EL ERROR SE ACUMULA EXPONENCIALMENTE

crecimiento estocástico

1 3 5 7 9 11 131517 192123 25

N(t) = N(t-1)*e

TN = 0.60 + k1TM = 0.50 + k2

Generaciones

resumen: los modelos son útiles

los modelos se construyen y utilizan para cubrir un conjunto de objetivos

proporcionar un entorno formal donde organizar ideas y datos: elaborar un modelo exige un esfuerzo de síntesis y de integración

facilitar la comparación entre sistemas proporcionando un entorno equivalente al diseño y control experimentalexplorar escenarios de difícil acceso realanalizar procesos temporales acelerados o retardadoshacer predicciones sobre escenarios concretos

Aplicación:

Planteamiento del problemaLa empresa CUANTITATIVOS.COM tiene que llevar a cabo un proyecto que requiere de una inversión de S/. 1000 en activos fijos (los cuales tienen una vida útil de 5 años), y adicional mente S/. 200 como capital de trabajo. La demanda estimada se muestra en el cuadro:

Período 1 2 3 4Ventas (Unid) 100 110 110 120

Aplicación:

El precio unitario es de S/. 12, los costos variables totales representan el 25% de las ventas, y los costos fijos anuales que no incluyen la depreciación son de S/. 100. Se considera que el horizonte del proyecto es de 4 años, y se asume que la tasa del impuesto a la renta es de 30%. Se ha considerado que el pronóstico de las ventas sigue una distribución triangular como se detalla en el cuadro:

Periodo Pesimista Normal Optimista1 90 100 1102 99 110 1213 99 110 1214 108 120 132

Aplicación:

De manera similar, en el cuadro, se ha considerado que los costosvariables siguen una distribución triangular.

Periodo Pesimista Normal Optimista1 270 300 3302 297 330 3633 297 330 3634 324 360 396

Aplicación ESTADO DE GANANCIAS Y PERDIDAS (SIN FINANCIAMIENTO) ‐ Nuevos Soles

Periodos1 2 3 4

Ventas ‐ Cantidad 100 110 110 120Precio de Venta 12 12 12 12Ventas ‐ Nuevos Soles 1200 1320 1320 1440

Costos costosunitarios S/.

Costos Variables 3 300 330 330 360Costos Fijos 100 100 100 100Depreciación 200 200 200 200Total de Costos 600 630 630 660

Utilidad Imponible 600 690 690 780Impuesto a la Renta 180 207 207 234Utilidad Neta 420 483 483 546

Aplicación FLUJO DE FONDOS ECONOMICO ‐ Nuevos Soles

Periodos0 1 2 3 4

InversiónInversión activo fijo ‐1,000.00Inversión capital de trabajo ‐200.00

Total Inversión ‐1,200.00+ Utilidad Neta 420 00 483 00 483 00 546 00

+ Utilidad Neta 420.00 483.00 483.00 546.00+ Total Depreación 200.00 200.00 200.00 200.00+ Valor residual activos fijos 200.00+ Valor residual capital de trabajo 200.00FLUJO DE FONDOS ECONOMICO ‐1,200.00 620.00 683.00 683.00 1,146.00

EVALUACION ECONOMICAtasa de descuento 10%

Valor Actual Neto Económico ‐VANE 1,223.98

Tasa Interna de Retorno ‐ TIRE 46.91%

Aplicación:

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