cuadro comparativo de variables continuas
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INGENIERIA QUIMICA
Análisis de Datos Experimentales
Cuadro comparativo de Distribuciones de Probabilidad Continuas
Distribución Definición Parámetros Formula General Media / Varianza Observación Aplicaciones Características
DISTRIBUCIÓNUNIFORME
.
Corresponde al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la misma probabilidad.
α=mínimo delrecorrido
β=máximodelrecorrido
Función de densidad
f ( x )= 1β−α
α ≤x ≤β
f ( x )=0enotrocaso
Integrando se obtiene función de distribución
P (a≤x ≤b )=∫a
bdxβ−α
¿(b−a)(β−α )
Media
E (X )=(β+α )2
Varianza
V (X )=(β−α)2
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También puede expresarse como el modelo probabilístico correspondiente a tomar un número al azar dentro de un intervalo (a, b).
Muestreo de una distribución uniforme
Muestreo de una distribución arbitraria
Esta distribución presenta una peculiaridad importante: la probabilidad de un suceso dependerá exclusivamente de la amplitud del intervalo considerado y no de su posición en el campo de variación de la variable.
DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Complementa a la distribución exponencial y a la normal, se usa cuando se sabe de antemano que una de ellas es la que mejordescribe la distribución de
Parámetro de escala δ > 0 y parámetro de forma β > 0
fx (x;δ,β)=βδ ( x¿¿
δ )β-1 e
-(x/δ)β
para x >0
Media
E(X)= λΓ (1+ 1k )Varianza
x= λ2
Coincide con la exponencial de
intensidad 1λ
cuando k = 1 y la de distribución de Rayleigh de
Se aplica en el desgaste de sistemas por ejemplo el número de fallas aumenta con el tiempo (ejemplo, el desgaste), disminuye con el tiempo o
La distribución de Weibull
puede caracterizarse como
la distribución de una
variable aleatoria X tal que
y= ( xλ )k
sigue una distribución
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fallos o cuando se han producido muchos fallos [Γ+(1+ 2k )−Γ 2(1+ 1k )] moda σ =
1
√2
cuando k=2.
permanece constante(fallas provocadas por causas externas al sistema).
exponencial estándar de intensidad 1.
DISTRIBUCIÓN ERLANG
Se define como la variable aleatoria que es igual al lapso en que ocurren r conteos en un proceso Poisson
λ = 1/ θr = 1, 2, 3, ....
fx(x;λ,r) = λr xr−1 e−λx
(r−1)ǃ
Para x¿0 y r = 1,2,…
Media:μx=E (X )=r / λ
Varianza:
σ x2=V (X )=r / λ2
Puede considerarse como el análogo de una variable aleatoria binomial negativa
Probabilidades en cálculos informáticos.
DISTRIBUCIÓN GAMMA
Es el resultado de que r en una variable aleatoria Erlang no sea un entero, y se cumpla que r > 0
λ>¿ 0r ¿ 0
fx(x;λ,r) = λr xr−1 e−λx
Ƭ (r)
para x > 0
Media:μx=E (X )=r / λ
Varianza:
σ x2=V (X )=r / λ2
No se emplea con mucha frecuencia como modelo de un sistema físico
Estimación por intervalos y en las pruebas de hipótesis.Modelar experimentos aleatorios
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón,es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera.
Es la distribución más importante de todo el campo de la estadística.
Parámetros μ ,σDondeμ = media y
σ 2 = varianza
La densidad de la variable aleatoria normal X, con una media μ y varianza σ 2, es:
Media:
E (X )=μ
Varianza:
Describe fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Se usa en las mediciones
Propiedades de la curva normal.
1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un máximo,
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DISTRIBUCIÓN NORMAL
n ( x ; μ ,σ )= 1√2 πσ
e−12σ2 ( x−μ )2
Donde π = 3.1416 y e = 2.71828
V (X )=σ2físicas de áreas como los experimentos meteorológicos, como estudios de lluvia y mediciones de partes fabricadas.
donde ocurre enx=μ.2. La curva es simétrica
alrededor del eje vertical a través de la media μ .
3. La curva tiene sus puntos de inflexión en x=μ±σ , es cóncava hacia abajo si μ−σ<X<μ+σ , y es cóncava hacia arriba en cualquier otro caso.
4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica, conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección.
5. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Describe procesos en los que interesa saber el tiempo hasta queocurre determinado evento; en particular, se
λ>0 F ( x ; λ )= {λe− λx x≥0
De lo contrario0
E(X)= ∫0
∞
x λ e− λxdx
La varianza de x se calcula utilizando el hecho de que
V(X)=E(X2)-[E(X)]2
La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta
Se utiliza como modelo de la distribución de tiempos entre la ocurrencia de eventos sucesivosProporciona modelos de probabilidad
Modela la distribución de la duración de un componente.
Se asemeja a la distribución de Poisson
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utiliza para modelar tiempos de supervivencia
Los resultados son:
μ51λσ25
1
λ2
que son muy utilizados en disciplina de ingeniería y ciencias
Conclusión
El concepto de probabilidad surge con la necesidad de conocer los sucesos futuros. En la actualidad se continúa con el estudio de nuevas metodologías que permitan el estudio y análisis de las probabilidades, minimizando de esta forma, los márgenes de error. La teoría de la probabilidad es utilizada en física, ciencias, matemática e incluso en filosofía.
Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria, la cual como sabemos puede ser discreta o continua, esta última se caracteriza porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.
Las probabilidades asociadas con una variable aleatoria continua se dan como áreas bajo la distribución de probabilidad f(y).No es posible asignar probabilidades a los puntos muéstrales asociados con una variable aleatoria continua, requiere un modelo poblacional completamente distinto.
Las distribuciones de variable continua más importantes son las siguientes:
Distribución exponencial Distribución normal Distribución Gamma
Distribución uniforme (continua) Distribución Erlang Distribución Weibull
El modelo de probabilidad a utilizar dependerá de la variable a identificar y de la situación a considerar.
Fuentes de Consulta
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Análisis de Datos Experimentales
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Weibull Walpole Ronald E, et. al. PROBABILIDAD & ESTADÍSTICA. Edit. Prentice Hall. Octava edición. Pág. Consultadas 172 – 185. probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias séptima edición. JAY L. DEVORE. Pag 157,158,159. http://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm Probabilidad y Estadística para ingeniería. Tercer Edición. WILLIAM W. HINES. Pag 203 – 219 Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, Douglas C. Montgomery, Ed. McGraw Hill, 1ra. Edición, 1996, Págs. 204-208. http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo4/B0C4m1t1.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Erlang
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