cuaderno matematicasi12 13
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IES LA BAHÍA.Departamento de Matemáti as Curso 2012-13
Cuaderno de ejer i iosde Matemáti as I1o de Ba hillerato
Ma Fernanda Babiano Álvarez de los CorralesFran is o Fernández DíazSusana Sempere PérezMa Isabel Vilarrubí Vázquez
2
Índi e general1. Trigonometría 51.1. Medidas de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Razones trigonométri as. Rela iones entre ellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Fórmulas trigonométri as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. E ua iones y sistemas trigonométri os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Resolu ión de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Ve tores en el plano 112.1. El espa io ve torial de los ve tores libres en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Produ to es alar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. Geometría analíti a en el plano 133.1. Apli a iones de los ve tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. E ua iones de la re ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3. Ángulos y distan ias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4. Problemas variados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154. Fun iones reales de variable real. Familias de fun iones 174.1. Con epto de fun ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2. Fun iones polinómi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3. Fun iones ra ionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4. Fun iones irra ionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.5. Fun iones a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.6. Fun ión valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.7. Fun iones exponen iales y logarítmi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.8. Fun iones trigonométri as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.9. Fun iones en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215. Álgebra de fun iones 235.1. Opera iones. Composi ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2. Corresponden ia inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246. Límite de fun iones. Continuidad 257. Introdu ión al ál ulo diferen ial. Derivadas 317.1. De�ni ión de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.2. Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.3. Fun iones derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328. Apli a iones de las derivadas 358.1. Re ta tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.2. Monotonía. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3. Curvatura. Puntos de in�exión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.4. Representa ión grá� a de fun iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
A. Solu ionario 51A.1. Solu ionario del tema 1: Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.2. Solu ionario del tema 2: Ve tores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.3. Solu ionario del tema 3: Geometría analíti a en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57A.4. Solu ionario del tema 4: Fun iones reales de variable real. Familia de fun iones . . . . . . 60A.5. Solu ionario del tema 5: Álgebra de fun iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72A.6. Solu ionario del tema 6: Límite de fun iones. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.7. Solu ionario del tema 7: Introdu ión al ál ulo diferen ial. Derivadas . . . . . . . . . . . 80A.8. Solu ionario del tema 8: Apli a iones de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4
Tema 1Trigonometría1.1. Medidas de ángulos1. Expresar en radianes:a) 75◦ b) 120◦ ) 240◦ d) 345◦ e) 330◦ f ) 210◦2. Expresa en grados los siguientes ángulos:a) 7π
6rad. b) 20π
9rad. ) π
5rad. d) 1 rad. e) 3π
4rad. f ) 7π
2rad.3. Expresa los siguientes ángulos, omo suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de
360◦.a) 720◦ b) −3000◦ ) 900◦ d) 7200◦4. Expresa los siguientes ángulos omo suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de2π:a) 10πrad. b) 60πrad. ) −13π
4rad.5. Hallarla longitud de un ar o de ir unferen ia uyo radio mide 22 m y uyo ángulo entral orres-pondiente es:a) 1 rad. b) 0,54 rad. ) 44◦ d) 145◦6. Si un ar o mide 2
3de radio, ¾ uál es la medida de su ángulo entral orrespondiente, expresado engrados y en radianes?7. En una ir unferen ia de 16m de radio, un ar o mide 2m. Hallar su ángulo entral orrespondiente,expresado en grados y en radianes.1.2. Razones trigonométri as. Rela iones entre ellas8. Dibuja los siguientes ángulos identi� ando el seno, el oseno y la tangente de los mismos:a) 60◦ b) 315◦ ) 120◦9. Cal ula las demás razones trigonométri as sabiendo que:a) senx =
1
2y 0 < x <
π
2b) tg x = 2 y π < x <
3π
210. Sabiendo que cosα =− 1
2, y que tgα > 0, halla las restantes razones trigonométri as.11. Halla senx, cosx y tg x, sabiendo que cosecx = 2 y π
2< x < π.12. Dada cotgα =
1
2y cosα < 0, determina el valor del senα.5
13. Comprueba las siguientes identidades trigonométri as:a) sec2 α+ cosec2 α = sec2 α cosec2 α b) (senα+ cosα)2 = 1 + 2 tgα cos2 α ) cosα+ tgα
cosα tgα= cotgα+ secα d) sen2 α =
1
1 + cotg2 αe) cos2 α =cotg2 α
1 + cotg2 α14. Estudia si son verdaderas o falsas las igualdades:a) tg x+ cotg x = secx · cosecx b) cotg2 x− cos2 x = cotg2 x · cos2 x ) 1− senx
cosx=
cosx
1 + senxd) 1 + tg2 x
cotg x=
tg x
cos2 xe) tg x+ tg y
cotg x+ cotg y= tg x · tg y f ) senx · cosx
cos2 x− sen2 x=
tg x
1− tg2 x15. Simpli� a las expresiones trigonométri as siguientes:a) (1− cosx)(1 + cosx)
senxb) cos4 x(1 + senx)
(1 − sen2 x)2 ) sen4 x− sen2 x cos2 x
cos4 x− cos2 x sen2 x· cotg x d) √
1− sen a ·√1 + sen a√
1− cos a ·√1 + cos a16. Simpli� a las siguientes expresiones:a) sena
1
tg ab) cos2 x
1− senx ) sec2 x+ cos2 x
sec2 x− cos2 xd) coseca
1 + cotg2 ae) sen3 α+ senα · cos2 α f ) cos3 x+ cos2 x · senx+ cosx · sen2 x+ sen3 x17. Si cosα = −1, 11, ¾ uál de estas a�rma iones es ierta?a) α es un ángulo negativo. b) α está en el ter er uadrante ) α es un ángulo mayor que 2π. d) Es imposible que el oseno de un ángulo sea −1, 11.18. ¾Es posible que exista un ángulo α que veri�que simultáneamente que senα =3
5y cosα =
2
5?Razona tu respuesta.19. Si cotgα = cotg β, ¾podemos asegurar que α y β son iguales? Razona tu respuesta.20. Determina en qué uadrante puede estar omprendido x:a) senx =
2
3b) cosx =
3
4 ) tg x =
4
3d) cotg x = 0,75e) secx = 2 f ) cosecx =
√2 g) senx = 0,8 h) cosx = 0,2821. Cal ular las razones trigonométri as de los siguientes ángulos, rela ionándolas on las de un ángulodel primer uadrante:a) 240◦ b) 330◦ ) −240◦ d) 600◦e) 930◦ f ) 1140◦ g) −1830◦ h) 135◦22. Halla las razones trigonométri as de los siguientes ángulos:a) 135◦ b) 270◦ ) 11πrad d) π
6rad23. Halla sin al uladora:a) sen(−120◦) b) cos(−30◦) ) tg 240◦d) cos 135◦ e) sec 300◦ f ) cotg 405◦6
24. Si tg x = 3/4 y x está en el ter er uadrante, al ula:a) tg(90◦ − x) b) tg(180◦ − x) ) tg(270◦ − x) d) tg(−x)e) tg(90◦ + x) f ) tg(180◦ + x) g) tg(270◦ + x) h) tg(720◦ + x)1.3. Fórmulas trigonométri as25. Siendo senx = 0, 6 y sen y = 0, 4, al ula las razones trigonométri as de los ángulos que se indi an,sabiendo que el ángulo x <π
2radianes y que el ángulo y es obtuso.a) x+ y b) x− y ) 2x d) 2y e) x
2f ) y
226. Usando las fórmulas del ángulo mitad, al ula las razones trigonométri as de 22, 5◦.27. Cal ula una fórmula para el seno de la suma de tres ángulos, en fun ión de las razones trigonomé-tri as de los sumandos.28. Transforma en produ tos las siguientes sumas y diferen ias y luego, al ula sus valores, sin al u-ladora:a) sen 75◦ + sen 15◦ b) sen 75◦ − sen 15◦ ) cos 75◦ + cos 15◦d) cos 75◦ − cos 15◦ e) tg 75◦ + tg 15◦ f ) tg 75◦ − tg 15◦29. Sabiendo que senx = 0, 2, halla el sen 3x30. Transforma en produ to sen 105◦ − sen 15◦ y al ula luego su valor.31. Cal ula cos 105◦ + cos 15◦ sin usar tablas ni al uladora.32. Transforma en sumas:a) sen 40◦ cos 70◦ b) sen 70◦ cos 40◦ ) cos 100◦ cos 30◦ d) senx sen 2x sen 3x33. Simpli� a:a) cos 70◦ − cos 10◦
sen 70◦ + sen 10◦cotg 30◦ b) cos 3x− cosx
sen 3x− senxtg x34. Comprueba si son iertas las siguientes identidades:a) tgα− cotgα
tgα+ cotgα= 1− 2 cos2 α b) 1− tg2 α
1 + tg2 α= cos 2α ) tg2 α(cos2 α− 1) + tg2 α = 0 d) sen2 x− sen2 y = sen(x+ y) sen(x− y)e) sen2
(x2
)=
1− cos2 x
4 cos2(x/2)f ) cos(a+ b)− cos(a− b)
sen(a+ b) + sen(a− b)= − tg b
1.4. E ua iones y sistemas trigonométri os35. Resuelve las siguientes e ua iones trigonométri as:a) senx = 1 b) cosx = −1/2 ) senx = cosx7
36. Resuelve las siguientes e ua iones trigonométri as:a) 2/3 senx+ 7 senx = 23/6 b) 2 sen2 x = sen 2x ) (1 + tg2 x) cos x = 1 d) tg x = 2 sen2 xe) sen 2x = −√3 cosx f ) cos 2x+ cosx = 0g) sen 3x− cosx = − senx h) sen 3x = senx− sen 2xi) cos 2x+ senx = 4 sen2 x j ) 8 tg2(x/2) = 1 + secxk) 6 cos2 x+ cos 2x = 5 l) sen 2x = cosxm) cosx · senx = 1/2 n) sen2 x− cos2 x = 1/2ñ) cos 2x = 1 + 4 senx o) 4 sen(x/2) + 2 cosx = 3p) cotg x+
senx
1 + cosx= 2 q) cos 2x− cos 6x = sen 5x+ sen 3x37. Resuelve las siguientes e ua iones:a) cos2
x
2− sen2
x
2= senx b) tg 2x = − tg x ) senx+ cos2 x =5
4d) cotg x+ tg x
cotg x− tg x= 2e) cos 2x
2= 2− 3 sen2 x f ) senx+ 2 = 3 cos 2xg) sen(π − x) = cos
(3π
2− x
) h) cos 4x+ cos 2x = 0i) 3 sen 2x · cosx = 2 sen3 x j ) cosx+ sen2(x/2) = 1k) senx+ sen 5x = sen 4x+ sen 2x l) 3 senx− cos2 x = −3m) cos 5x− cosx = 0 n) senx+ 2 cos 2x = 1/2ñ) cos 2x+ 5 cosx+ 3 = 0 o) sen 2x+ sen 4x+ sen 3x = 038. Resuelve los siguientes sistemas, dando las solu iones orrespondientes al primer uadrante:a) sen2 x+ cos2 y =3
4
cos2 x− sen2 y =1
4
b) { sen2 x+ y = 2
cos2 x+ y = 1 ) cos(x+ y) =1
2
sen(x− y) =1
2
d) senx+ sen y =3
2
cos1
2(x − y) =
√3
2e) senx · cos y =√2
x− y =π
2
f ) senx cos y =1
2cosecx · sec y = −1g) { senx+ sen y = sen 30◦
cosx+ cos y = 1 + cos 30◦h) senx+ sen y =
3
2
senx− sen y = −1
28
1.5. Resolu ión de triángulos39. A 30 metros del pie de una himenea de fábri a se ve la punta de ésta, bajo un ángulo de 68◦.Cal ula la altura de la himenea. (Solu ión: 74,25m)40. Dos ir unferen ias se antes tienen de radios 6 m y 8 m. El ángulo que forman sus dos tangentes omunes es de 30◦. Cal ula la distan ia que hay entre los dos entros de las ir unferen ias. (Solu ión:7,72m)41. Las diagonales de un paralelogramo miden 6 y 8 m, respe tivamente, y forman al ortarse un ángulode 60◦. Cal ula el perímetro y el área. (Solu ión: perímetro: 2(√13 +√37) m y área: 12√3 m2 )42. Un túnel AB ha de atravesar una montaña. Para hallar su longitud se toman desde el punto C lasmedidas AC = 1250m, BC = 1700m y ACB = 132◦. Halla di ha longitud. (Solu ión: 2.701,17m)43. Dos puntos A y B distan 24km. Desde A se lanza un misil uya traye toria re tilinea forma unángulo de 30◦ on la re ta AB. Desde B se lanza un antimisil on una traye toria re tilinea queforma un ángulo de 45◦ on la re ta AB. ¾A qué distan ia de A y de B se produ irá la inter ep ión?(Solu ión: 17,57km y 12,42km)44. Para al ular la an hura AB de un río, se elige un punto C que está en la misma orilla que A yse toman las medidas: AC = 67m, BAC = 99◦ y ACB = 20◦. ¾Cuál es la distan ia entre A y B?(Solu ión: 26,2m)45. Un pasillo de 10m de largo y que forma un ángulo de 25◦ on la horizontal, ondu e al pie de unatorre. Cal ula la altura de ésta, sabiendo que desde el ini io del pasillo el ángulo de eleva ión de supunto más alto es de 82◦? (Solu ión: 60,26m)46. El ángulo de eleva ión de una peña mide 47◦. Después de aminar 1000m ha ia ella subiendo unapendiente in linada 32◦ respe to de la horizontal, su ángulo de eleva ión es de 77◦. Halla la alturade la peña on respe to al plano horizontal de la primera observa ión. (Solu ión 1.034,3m)47. Una olumna está situada sobre una peña. Desde un punto C la parte superior se ve on un ángulode eleva ión de 55◦. Situándose en un punto D, 40m más er a, se observa que di ho ángulo setransforma en 80◦ y el de la base de la olumna vale 60◦. ¾Cuál es la altura de la olumna?(solu ión: 53,03m)48. Desde la azotea de un edi� io, se ve la alle de 12m de an ho, bajo un ángulo de 20◦. Halla la alturadel edi� io. (Solu ión: 32,96m)49. El pupitre de un alumno se en uentra a 3m de la pizarra, los ojos del alumno están a la mismaaltura que el lado inferior de la pizarra, y él la ve bajo un ángulo de 30◦. ¾Cuál es la altura de lapizarra? (Solu ión: 1,73m)50. El ángulo agudo que forman los lados de un paralelogramo es de 60◦, y ellos miden 9 y 20 m. Hallala altura del paralelogramo y su área. (solu ión: h =
9√3
2 m y S = 90
√3 m2)51. Dos asa de ampo tienen un obstá ulo entre ellas que nos impide medir la distan ia que las separa.Nos situamos en un astillo que dista 20km de una y 15km de la otra, y desde él se observan las asas bajo un ángulo de 30◦. ¾Qué distan ia hay entre las asas? (Solu ión: 10,26km)52. A la distan ia de 16m del pie de una torre, el ángulo de eleva ión de su punto más alto es de 36◦.Halla la altura de la torre. (solu ión: 11,62m)53. Desde un bar o se mide, por radar, la distan ia a la ima de una montaña, dando un resultado de2.570m. Halla la altura de la montaña, sabiendo que el ángulo que forma la visual on el horizontees de 29◦. (Solu ión: 1.246m)54. Las sombras de María y Carlos miden, respe tivamente 2,25m y 2,4m. María mide 1,65m ¾Cuántomide Carlos? ¾Cuál es la altura angular sobre el horizonte? (Solu ión: 1,76m y 36◦)9
55. Desde el punto medio de la distan ia entre dos torres A y B, los ángulos de eleva ión de sus extremossuperiores son 30◦ y 60◦ respe tivamente. Si A tiene una altura de 40m, halla la altura de B y ladistan ia entre las torres. (Solu ión: 120m y 138,5m)56. Desde ierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30◦ onla horizontal. Si nos a er amos 75m ha ia el pie de la torre, este ángulo mide 60◦. Halla la alturade la torre. (Solu ión: 65m)57. La an hura de un ampo de fútbol es de 50m y la de la portería 7m. ¾Bajo qué ángulo ve la porteríaun jugador situado en un punto de la banda lateral que está a 20m de la línea de fondo? (Solu ión:7◦52′14′′)58. El altímetro de un avión registra 1095m de altitud. El piloto ve la torre de ontrol del aeropuertomediante una visual que forma un ángulo de 81◦ on la verti al. ¾A qué distan ia del aeropuertovuela el avión? (Solu ión: 7km)59. Desde un bar o se ve la distan ia entre dos islas bajo un ángulo de 28◦. Los aparatos de a bordoindi an una distan ia a las islas de 3,2 y 5,1 millas respe tivamente. Hala la distan ia entre ambas.(Solu ión: 2,726 millas)60. Dos observadores A y B distantes 248km, se o upan del seguimiento de un satélite. Las dire ionesal satélite y al otro observatorio forman un ángulo de 62◦ desde A y de 74◦ desde B. ¾Cuál es ladistan ia del satélite a ada observatorio? (solu ión: 343,180m y 315,221m)61. Del instituto al hospital hay 720m y a la torre del parque 124m. Desde el instituto se mide el ánguloque forman las visuales a la torre y al hospital y es de 76◦. Cal ula la distan ia del hospital a latorre. (Solu ión: 700,413m)62. Una himenea arroja una sombra de 24m. sobre la falda de una olina que tiene una in lina ión de10◦ on la horizontal. Sabiendo que en ese momento el ángulo de eleva ión del sol es de 49◦. Hallala altura de la himenea. (Solu ión: 31,36m)63. Desde lo alto de un a antilado de 140m que hay en una de las orillas de un río, un topógrafo ve losángulos de depresión de la parte inferior y de la parte superior del a antilado que hay en la orillaopuesta. Estos ángulos son 80◦ y 40◦ respe tivamente. Halla la altura del a antilado de la orillaopuesta. (Solu ión: 119,2m)64. Halla el área de un pentágono regular de 10m de lado. (solu ión: 90,82m2)65. Una es alera de bomberos que mide 10m, se ha �jado en un punto de la alle. Si se apoya sobre unade las fa hadas forma un ángulo on el suelo de 45◦ y si se apoya sobre la otra forma un ángulo de30◦. Halla la an hura de la alle. ¾A qué altura se al anza on di ha es alera sobre ada fa hada?(solu ión: 15,73m; 7,07m y 5m)66. Halla la distan ia del punto más alto de la torre de tele omuni a iones al punto más alto de la atedral, sabiendo que ambos edi� ios distan entre si 1350m y los ángulos de observa ión desde elpie de uno al punto más alto del otro son 25◦ y 36◦ respe tivamente. (Solu ión: 1386,5m)67. Dos torres iguales distan entre si 1km. Desde la parte superior de una de ellas se ve la base de laotra bajo un ángulo de depresión de 5◦. ¾Qué altura tienen las torres? (Solu ión: 87,5m)68. Para al ular el an ho de un río, se midió una distan ia AB = 20m a lo largo de su orilla, tomándoseel punto A dire tamente opuesto a un árbol C, situado al otro lado. Desde B se midió ABC = 61◦.¾Cuál es la an hura del río? (Solu ión: 36m)69. Los lados de un triángulo miden 14 m, 16 m y 18 m respe tivamente. Halla la altura orrespondienteal lado más largo y el área del triángulo. (Solu ión: 12m)70. Se dirigen visuales a dos objetos ina esibles A y B desde dos puntos C y D situados en un mismosemiplano de los dos que determinan la re ta que pasa por A y B. Los puntos C y D distan entresi 562m. Se miden los ángulos ACB = 62◦, BCD = 41◦, ADB = 60◦ y ADC = 34◦. Halla ladistan ia AB. (Solu ión: 705,7m) 10
Tema 2Ve tores en el plano2.1. El espa io ve torial de los ve tores libres en el plano1. Para los ve tores ~u = (1, 2) y ~v = (3, 5) halla:a) 2~u+ 3~v b) −~u+ 4~v ) 3(~u− 2~v)2. Sean los ve tores ~u = (2, 4) y ~v = (3,−3):a) Dibújalos b) Halla 2~u, 1
2~u, −~u y ~u− 1
3~v.3. Dados los ve tores ~u = (3, 4) y ~v = (−3, 4). Halla:a) −~u y −~v. b) Representa grá� amente ~u, ~v, −~u y −~v.4. Estudia uáles de los siguientes pares de ve tores son linealmente dependientes o propor ionales:a) (15, 12) y (10, 8) b) (1,−1) y (1, 3) ) (5, 12) y (1, 10)5. Estudia si {(1,−1), (1, 2)} es una base de V2.6. Halla las oordenadas del ve tor (3,−2) omo ombina ión lineal de los ve tores (1,−1) y (2, 5).7. Dados los ve tores ~v1 = (1, 3) y ~v2 = (2,−5), hallar un ve tor ~v tal que: (~v2+~v1)+~v = ~v2−(~v1+~v2).Comprobar el resultado.8. Siendo ~u = (3, 5), ~v = (−7,−2) y ~w = (0, 5), hallar las omponentes del ve tor ~x sabiendo que:
~u+~x=~w+(-~v).2.2. Produ to es alar9. Dados los ve tores ~u = (1, 2) y ~v = (2,−3), referidos a la base anóni a, al ula:a) El produ to es alar ~u · ~v. b) Los módulos de ambos ve tores. ) El ángulo que forman ~u y ~v. d) Un ve tor en la dire ión y sentido de ~u que sea unitario.e) ¾Son ~u y ~v ortogonales? En aso ontrario, bus a un ve tor ualquiera ortogonal a ~u.10. Dados los ve tores ~a(−1, 4) y ~b(2,−3). Se pide:a) Produ to es alar b) Módulo de ~a ) Ángulo que forman d) Proye ión de ~a sobre ~b11. Hallar ~u · ~v sabiendo que |~u| = 2, |~v| = 2 y que el ángulo que forma (~u, ~v) = 60◦.12. Cal ular ~u · ~v en los siguientes asos:a) ~u = (0, 1) y ~v = (6,−2) b) ~u = (−2, 3) y ~v = (3, 2) ) ~u = (√2,√27) y ~v = (
√8,√3) d) ~u = (1, 1) y ~v = (3,−2)11
13. Averiguar si los siguientes pares de ve tores son perpendi ulares:a) (1, 2) y (1, 5) b) (2, 0) y (0, 1) ) (−1, 5) y (5, 1) d) (v1, v2) y (−v2, v1)14. Dado el ve tor ~u = (4,−7), en uentra dos ve tores que tengan la misma dire ión que ~u y seanunitarios.15. Halla un ve tor que tenga la misma dire ión que ~a(4,−3), módulo 2 y distinto sentido.16. Halla un ve tor perpendi ular al ve tor ~a(1, 3) y que tenga módulo 2.17. Normaliza el ve tor ~v(1,√2).18. Cal ular a para que el produ to es alar de ~x(a, 1) por ~y(2,−3), sea la unidad.19. Halla h, sabiendo que el módulo del ve tor ~x(h, 3) es 5.20. ¾Qué modi� a ión sufre el módulo de un ve tor ~v si se multipli an sus omponentes por un es alark?21. Halla las oordenadas del ve tor ~x sabiendo que ~v · ~x = 0 y ~w · ~x = 2, siendo ~v(2,−3) y ~w(−1, 0).22. Halla h para que el ve tor ~v(3, h) sea ortogonal on ~w(−1, 4).23. Halla m, sabiendo que ~x(m, 5) y |~x| = 13.24. Determina el valor de b, para que los ve tores ~x(3, b)e ~y(2,−1) formen un ángulo de 45◦.25. Dados los ve tores ~u(3, 5) y ~v(a,−1), halla el valor de a, para que el ve tor ~v tenga la mismadire ión que el ve tor ~u+ ~v.26. Un ve tor ~x, de módulo 3, forma un ángulo de 60◦ on el ve tor ~a(−√
3, 1). Halla sus omponentes.27. Halla la longitud de la proye ión del ve tor ~a(5,−2) sobre el ~b(3, 4).28. Halla los osenos dire tores del ve tor ~a(0,−7).29. Halla un ve tor uyo produ to es alar on ~a(−3, 1) sea 9 y on ~b(7, 2) sea 5.30. Halla x para que el produ to es alar de los ve tores ~a(2x, 5) y ~b(3, 2) sea −8.31. Dados los ve tores ~a(x, 1) y ~b(12,−5). Halla x para que sean:a) Paralelos b) Perpendi ulares32. Halla x para que sean perpendi ulares los ve tores ~u(2, x) y ~v(3, 2). Halla |~u+ ~v|.33. Demuestra que si ~a y ~b son unitarios, se veri� a: (~a+~b)⊥(~a−~b).34. Si |~u| = 3, |~v| = √7 y ~u y ~v son perpendi ulares. Halla |~u− ~v|.35. Dados los ve tores ~a(2, 1) y ~b(6, 2). Halla un ve tor ~v, tal que, ~a · ~v = 1 y ~v⊥~b.36. Halla dos ve tores ~x e ~y de oordenadas enteras y que umplan: ~x · ~y = 2, |~x| = √
5, |~y| = 5 y~x · ~z = −4, siendo ~z(1, 6).37. Sean ~u y ~v dos ve tores tales que |~u| = 9 y (~u+ ~v) · (~u− ~v) = 17. Cal ula el módulo de ~v.38. Dos ve tores ~a y ~b son tales que |~a| = 10, |~b| = 10
√3 y |~a+~b| = 20. Halla el ángulo que forman losve tores ~a y ~b.
12
Tema 3Geometría analíti a en el plano3.1. Apli a iones de los ve tores1. Cal ula las omponentes de los ve tores uyo origen y extremo se dan, así omo el punto medio delsegmento determinado en ada aso.a) A = (2,−1) y B = (4, 7) b) P = (0,−5) y Q = (3,−4) ) A = (1,−
√2) y B = (−2,
√2) d) P = (
√2,−
√3) y Q = (−
√3,√2)2. Siendo M = (2, 3) el punto medio del segmento AB on B = (−1, 8), halla las oordenadas de A.3. Dadas las oordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo ABC, M(2, 4), N(1, 1) y
P (2, 0), halla las oordenadas de A, B y C.4. Dado el segmento de extremos A(3, 5) y B(6, 15), al ula las oordenadas de los puntos C, D y Eque divide al segmento AB en 4 partes iguales.3.2. E ua iones de la re ta5. Cal ula las e ua iones ve torial, paramétri a, ontinua y general de la re ta de�nida por el puntoA y el ve tor de dire ión ~v en los siguientes asos:a) A(0, 2), ~v = (4, 3) b) A(2, 7), ~v = (−1, 2) ) A(5,−4), ~v = (2,−2)d) A(0, 3), ~v = (2, 0) e) A(−1/2, π), ~v = (0,−2) f ) A(0, 0), ~v = (−1/3, 1/2)6. Cal ula la e ua ión explí ita de una re ta de la que se ono e un punto A y la pendiente m en los asos siguientes:a) A(1, 3), m = 2 b) A(4,−3), m = 0 ) A(0, 3), m = 1/37. Halla la e ua ión general de la re ta de�nida por los puntos A y B en los siguientes asos:a) A(2, 0) y B(0, 3) b) A(1,−2) y B(3,−2) ) A(1,−1) y B(−1, 1)8. Halla la e ua ión de la re ta que pasa por el punto (0, 2) y forma un ángulo de 30◦ on el eje OY .9. Halla un ve tor dire tor y uno normal a las re tas de e ua iones:a) 2x− 5y + 10 = 0 b) { x = 1− 2λ
y = 3λ ) y = 4x− 8 d) x+ 2
3= y − 410. Cal ula, en ada uno de los siguientes asos, las e ua iones de la re ta perpendi ular y paralela porel punto que se indi a:a) y = −2x+ 6; P (1, 1) b) 2x− 4y + 5 = 0;P (0, 3) ) x− 2 =
y + 4
3; P (0, 0)11. Dado el punto A(−1.− 3) y la re ta r : x+ 2y − 1 = 0. Halla:a) E ua ión de la re ta que pasa por A y es paralela a r.b) E ua ión de la re ta que pasa por A y es perpendi ular a r.12. Comprueba si las diagonales del uadrilátero de vérti es A(2, 1), B(4, 2), C(4,−3) y D(−2,−4) se ortan en el punto medio. 13
13. Dado el triángulo de vérti es A(2, 3), B(4, 7) y C(7,−1). Halla los puntos medios de los lados ABy BC. Halla la e ua ión de la re ta que une estos puntos medios. ¾Cuál es la posi ión relativa dedi ha re ta respe to de la re ta que pasa por A y C?14. Hallar la e ua ión de la re ta que pasa por el punto (5, 4) y es:a) Perpendi ular al eje OX .b) Perpendi ular al eje OY .15. Hallar la e ua ión de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A = (−1, 3) y B = (3, 5).16. Dado el haz de re tas y − 3 = m(x− 1), hallar de entre las mismas:a) La que pasa por el punto (5, 1).b) La que es paralela a 5x− 4y + 8 = 0. ) La e ua ión general de la que es perpendi ular a x− 3y + 1 = 0.17. Halla la perpendi ular a la re ta 2x+ y + 4 = 0 que tiene por ordenada en el origen n = 5.18. Hallar a para que las re tas r : ax− y + 1 = 0 y r′ : 3x+ ay + 5 = 0 sean perpendi ulares.19. Estudia la posi ión relativa de ada uno de los siguientes pares de re tas y al ular el punto de orte uando lo haya:{
r : x− 3y + 5 = 0s : 2x− 6y + 9 = 0
{r : 3x+ 2y − 12 = 0s : x− y + 7 = 0
{r : x+ 2y − 3 = 0s : 2x+ 4y − 6 = 0
{r : x− 3 = 0s : x+ 2 = 0
{r : y = 2x− 5s : y = x+ 4
{r : y = −x+ 10s : y = x− 720. Hallar el punto de interse ión de las re tas:
r :
{x = 2 + λy = −2λ
r′ : x− 2y = 121. Hallar la e ua ión de la re ta que pasa por el punto interse ión de:
r : 5x− 2y + 4 = 0
s :x− 3
3=
y
− 2siendo el ángulo que forma el eje OX positivo on di ha re ta de 45◦.22. Hallar la e ua ión general de la re ta que pasa por el punto de interse ión de las re tas:{
r : x+ 2y + 4 = 0s : 3x− y + 5 = 0y es paralela a la que tiene por e ua ión y = 6.23. Hallar el pie de la perpendi ular a r : x+ y − 3 = 0 trazada desde el punto (3, 2).24. Hallar el simétri o del punto A = (4, 0) respe to de la re ta r : x+ y + 1 = 0.25. La e ua ión de la mediatriz de un segmento AB es m : 2x+ y − 2 = 0. Siendo A = (−2, 1) hallarlas oordenadas de B.26. Las e ua iones de dos re tas son 3x− 5y + 2 = 0 y 6x+my = 1. Halla el valor de m para que:a) Las re tas sean paralelas.b) Las re tas sean perpendi ulares. ) Las re tas sean oin identes.d) La segunda re ta pase por el punto (6, 5).27. Dadas las re tas r : 2x+ y − 1 = 0 y r′ : 3x+ ay + 5 = 0. Halla a para que sean:a) Paralelas b) Perpendi ulares14
3.3. Ángulos y distan ias28. Cal ula el ángulo formados por las re tas r : x− y + 5 = 0 y r′ : −x− y + 1 = 0.29. Cal ula el ángulo formados por las re tas r : 5x+ 4y − 1 = 0 y s :
{x = 1− 2λy = 3 + λ30. Cal ula el ángulo formados por las re tas r : x− 3y + 1 = 0 y s :
{x = 1 + λy = 2− 2λ31. Halla k para que la re ta 2x+ ky + 4 = 0 forme un ángulo de 45◦ on la re ta x+ 4y − 1 = 0.32. Halla k para que la re ta 3x+ ky+2 = 0 forme un ángulo de 60◦ on el sentido negativo del eje deabs isa.33. Cal ula la distan ia del origen de oordenadas a los siguientes puntos:a) P (3, 4) b) Q(8,−6) ) S(√3,−1)34. Cal ula la distan ia entre los siguientes pares de puntos:a) A(5, 3) y B(−3, 8) b) P (
√3,√2) y Q(
√2,−
√3) ) R(5, 2) y S(−3,−7)35. Clasi� a los siguientes triángulos, uyos vérti es son:a) O(0, 0);A(2, 4);B(4, 2) b) P (5,−2);Q(1,−7);R(−1,−2) ) A(−1, 7);B(−1, 2);C(−5, 2)36. Halla la distan ia del punto A(3, 5) a la re ta 3x+ 4y − 1 = 0.37. Halla la distan ia entre las re tas r :
x
2=
y − 1
3y s : 6x− 4y + 1 = 038. Halla la distan ia entre las re tas paralelas r : 2x+ y = 0 y s :
{x = 2 + ty = 1− 2t3.4. Problemas variados39. El lado desigual de un triángulo isós eles tiene por extremos A(−1,−1) y B(4, 0). El vérti e Cpertene e a la re ta x− 2y + 8 = 0. Determina las oordenadas de C, la longitud de la altura hc yel área del triángulo.40. Un triángulo isós eles tiene por por base el segmento que une los puntos A(1,−2) y B(6, 3) y elotro vérti e, C, está sobre la re ta 3x− y + 8 = 0. Halla las oordenadas de C.41. El paralelogramo ABCD tiene los vérti es A(−1, 1), B(0,−1)y C(3, 2). Halla las oordenadas de
D y su área.42. Halla el área del uadrilátero formado por el eje OX y las re tas y − 1 = 0, x + 2y − 6 = 0 yx+ 2y − 2 = 0.43. Determina sobre la re ta 3x− 5y + 25 = 0 un punto que diste lo mismo de A(3, 4) y de B(7, 8).44. Determina la e ua ión del lugar geométri o de los puntos del plano uya distan ia a la re ta r :3x− 2y + 4 = 0 es 2. ¾Qué �gura onstituye di ho lugar?45. Dos vérti es opuestos de un rombo son los puntos A(3, 5) y C(2, 1). El vérti e B pertene e al ejede abs isa. Cal ula las oordenadas del uarto vérti e D.46. ¾Cuál es la e ua ión de una re ta que forma un ángulo de 45◦ on la parte positiva del eje OX ydista 4 unidades del origen de oordenadas?47. Halla la e ua ión de la re ta que pasando por el punto (2,−3) forma on la re ta 2x+ 5y + 1 = 0un ángulo de 45◦. 15
48. Dado el triángulo de vérti es A(7,−7), B(1.− 5) y C(3, 1), al ula:a) La longitud de sus tres medianas.b) La longitud de sus tres alturas. ) Su orto entro y bari entro.49. Halla la e ua ión de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,−2) y B(3, 0) y elángulo que forma on el eje OX .50. Halla la mediatriz del segmento de extremos A(1, 3) y B(5,−1).51. La re ta 2x+ y − 5 = 0 es mediatriz del segmento AB. Siendo A(−1, 2). Halla las oordenadas deB.52. Halla la distan ia entre el origen de oordenadas y el pie de la perpendi ular trazada desde el punto(2, 5) a la re ta x+ 2y − 1 = 0.53. Halla el punto de la re ta r :
{x = 2ty = 1 + t
que diste 2 del origen.54. Halla la e ua ión de la re ta paralela a 2x− y − 1 = 0 que diste 2 del punto (1,−3).55. Halla las oordenadas de los puntos situados sobre la re ta x + 2y − 3 = 0 que disten de la re ta4x− 3y + 9 = 0 2 unidades.56. Halla la distan ia del bari entro del triángulo A(2, 3), B(1,−5) y C(−3,−1) al lado BC.57. Cal ula el área del triángulo uyos lados están en el eje de abs isas y en las re tas x − y = 0 y3x+ 5y − 24 = 0.58. Halla la e ua ión de una re ta que pase por el punto P (−1, 0) y forme on los ejes de oordenadasun triángulo de área 3
2u2.59. Halla la distan ia del punto P (3, 0) a su simétri o respe to de la re ta x− y + 1 = 0.60. Dado el triángulo ABC on A(0, 0), B(7, 0) y C(2, 6). Se pide:a) Coordenadas del bari entro, orto entro y ir un entro.b) Comprueba que están alineados. ) Comprueba que la distan ia entre el bari entro y el orto entro es doble que la distan ia entreel bari entro y el ir un entro.61. Halla la e ua ión de una re ta sabiendo que la perpendi ular trazada desde el origen a ella tiene√
2 unidades de longitud y que, di ha re ta forma on el eje de abs isas un ángulo de 45◦.62. Dada la re ta r : y = x− 2 y el punto A(1, 0), halla el punto X de r tal que −−→AX sea perpendi ulara r′ : y = 4x− 3.63. Las re tas ax − y − 4 = 0 y x − y + b = 0 son perpendi ulares y ortan al eje de abs isas en dospuntos que distan entre sí 5 unidades. Halla a y b.
16
Tema 4Fun iones reales de variable real.Familias de fun iones4.1. Con epto de fun ión1. De las siguientes grá� as, ¾ uáles de ellas no orresponden a una fun ión?
PSfrag repla ements
a) b) )d) e) f )g) h) i)
111
111
1
11
2. Sean las fun iones f(x) y g(x). Indi a de ada una de ellas:a) Dominio e imagen b) f(2) y f(0) ) g(0), g(2) y g(3)
PSfrag repla ementsf(x) g(x)
11
17
4.2. Fun iones polinómi as3. Representa las siguientes re tas, al ulando dominio, onjunto imagen y puntos de ortes on losejes:a) y = −5 b) y = 0 ) y =5
2d) y = 3xe) y = −1
2x f ) y = −5x+ 3 g) y =
− x− 3
2h) y = 4x− 34. Representa las siguientes parábolas al ulando dominio, imagen, vérti e y puntos de ortes.a) y = x2 b) y = x2 − 4 ) y = x2 − 3x d) y = x2 − 4x+ 1e) y = −x2 + 9 f ) y = x2 − 3x+ 2 g) y = −x2 + 3x− 2 h) y = −x2 − 95. Representa las siguientes fun iones:a) f(x) = x2 − 2x para x ∈ [−2, 3]b) f(x) = −2x+ 1 para x ∈ (0,+∞) ) f(x) = −5 para x ∈ [4, 7)6. Representa grá� amente la fun ión f(x) = 2x2 y a partir de ella representa:a) f(x) = 2x2 + 3 b) f(x) = 2x2 − 4 ) f(x) = 2(x+ 1)2d) f(x) = 2(x− 3)2 e) f(x) = −2x2 f ) f(x) = −2x2 + 24.3. Fun iones ra ionales7. Representa grá� amente las siguientes fun iones, al ulando dominio, imagen, puntos de ortes yasíntotas:a) f(x) =
1
xb) f(x) =
2
x− 2 ) f(x) =
− 1
x+ 3d) f(x) =2x+ 1
x− 1e) f(x) =
x+ 1
x+ 3f ) f(x) =
− x
x+ 28. Cal ula el dominio de las siguientes fun iones:a) f(x) =1
2x2 − 5x+ 2b) f(x) =
2x
x2 + x+ 1 ) f(x) =
7x− 1
x3 − 3x2 + xd) f(x) =x2 − 1
x2 − 2xe) f(x) =
2x
x2 − 2x+ 1f ) f(x) =
1
(x − 2)(x− 3)g) f(x) =3x
x3 − x2 − 6xh) f(x) =
2x2 − 3x
x4 − 5x2 + 4i) f(x) =
x3 − 1
x3 + x2 + 4x+ 44.4. Fun iones irra ionales9. Representa grá� amente las siguientes fun iones, al ulando dominio, imagen y puntos de ortes on los ejes:a) f(x) =√x b) f(x) = −√
x ) f(x) =√x+ 7d) f(x) =
√2x+ 4 e) f(x) = x+
√x f ) f(x) = 3
√xg) f(x) = 3
√x+ 1 h) f(x) = 3−
√x− 2 i) f(x) = 2 +
√x18
10. Cal ula el dominio de las siguientes fun iones:a) f(x) =√x+ 3 b) f(x) = 4
√9− 4x2 ) f(x) =
√x2 + x+ 1d) f(x) =
√2x2 − 5x+ 2 e) f(x) =
√x− 1 +
√5− x f ) f(x) =
√x3 − 4xg) f(x) =
√2x+ 5 h) f(x) =
√x2 − 2x+ 1 i) f(x) =
√5x− 2j ) f(x) =
√x
x+ 1k) f(x) =
√x− 1
2− xl) f(x) =
√x− 3
x+ 3m) f(x) =
√x− 3√x2 − 4
n) f(x) =
√x+ 2
x− 7ñ) f(x) =
√x2 + 3x
x+ 64.5. Fun iones a trozos11. Representa grá� amente las siguientes fun iones y al ula su dominio, onjunto imagen, puntos de ortes on los ejes, monotonía y a ota ión:a) f(x) =
1 si x ≤ 1x si 1 < x ≤ 3−x+ 6 si 3 < x ≤ 60 si 6 < x
b) f(x) =
0 si x < 0x si 0 < x ≤ 20 si x ≥ 3 ) f(x) =
{0 si x ∈ Z
x si x 6∈ Zd) f(x) =
2x− 3 si x < 03 si x ∈ [0, 1]2x+ 3 si x > 1e) f(x) =
5x− 2 si x ≤ 1−2 si x = 21
2x si x > 2
f ) f(x) =
3 si x < −11− 2x si −1 ≤ x < 13x− 1 si x ≥ 1g) f(x) =
1
xsi x > 0
x2 + x si x ≤ 0h) f(x) =
−x si x < 00 si 0 ≤ x ≤ 11− x si x > 1i) f(x) =
x2 − 1 si x < −10 si −1 ≤ x ≤ 11− x2 si x > 1
j ) f(x) =
−x− 3 si x < −3x+ 3 si −3 < x < 0−x+ 3 si 0 < x < 3x− 3 si x > 34.6. Fun ión valor absoluto12. Representa grá� amente las siguientes fun iones, ha iendo el desglose omo fun iones a trozos yestudia el dominio, re orrido y puntos de ortes:a) f(x) = |x− 2| b) f(x) = |2x+ 4| ) f(x) = |x|+ xd) f(x) = |3x| e) f(x) = x+ |x− 1| f ) f(x) = x− |x|g) f(x) = |1− x2| h) f(x) = |x2 − x− 2| i) f(x) = |x− 3|+ |x+ 2|13. Representa grá� amente el valor absoluto de las siguientes fun iones, representando previamente lafun ión sin valor absoluto:a) f(x) = |x2 − 5x+ 6| b) f(x) = |x− 3| ) f(x) = |x2 − 4|19
14. Sea la fun ión f(x) dada por su grá� a, al ula:a) y = |f(x)| b) y = −f(x) ) y = f(x) + 2 d) y = f(x− 2)
PSfrag repla ements 1
4.7. Fun iones exponen iales y logarítmi as15. Cal ula el dominio de las siguientes fun iones y represéntalas grá� amente:a) f(x) = log3 x b) f(x) = log3 |x| ) f(x) = |log3 x|d) f(x) = log3 x2 e) f(x) = 2 + log3 x f ) f(x) = log3(x+ 2)g) f(x) = 2 + log3(x+ 2) h) f(x) = 3x i) f(x) = 2 + 3xj ) f(x) = 3x−1 k) f(x) = 3x−1 − 2 l) f(x) = −3x16. Cal ula el dominio de las siguientes fun iones:a) f(x) = log2(x − 1) b) f(x) = ln
(x+ 1
x− 1
) ) f(x) = log(x2 − 5x)d) f(x) = log3(x2 + x− 6) e) f(x) =
2x
1− lnxf ) f(x) =
lnx√x− 3g) y = log(x2 − 4) h) y = log(x2 − 6x+ 8) i) y = log
1− x
1 + xj ) y = log1− x2
x+ 3k) y = log |4x2 − 9| l) y =
log3(x − 1)
3x − 94.8. Fun iones trigonométri as17. Representa grá� amente las siguientes fun iones e indi a si son periódi as y que periodo tienen:a) f(x) = 1 + senx b) f(x) = − cosx ) f(x) = sen
(x+
π
2
)d) f(x) = cos 2x e) f(x) = 2 cosx f ) f(x) = | cosx|18. Halla el dominio de las siguientes fun iones:a) f(x) = sen
(1
x
) b) f(x) = tg(2x− 3) ) f(x) =2
senxd) f(x) =1
senx+ cosxe) f(x) =
√cosx f ) f(x) = 1 + tg 2x20
g) f(x) = 2 sen(2x) + 1 h) f(x) = log(senx) i) f(x) =1
senx− 14.9. Fun iones en general19. Halla el dominio de las siguientes fun iones:a) f(x) = x2 + 3x+ 3 b) f(x) =x− 4
x+ 2 ) f(x) =
3x− 1
4d) f(x) =x+ 3
x2 − 8e) f(x) =
√x2 − 1 f ) f(x) =
√x− 1
x+ 3g) f(x) = ex2−4 h) f(x) = e(x+3)/(x−2) i) f(x) = |x2 − 2|j ) f(x) = log(x2 − 16) k) f(x) = log
√x2 − 25 l) f(x) = x2 · e1/xm) f(x) = log(x2 − 3x+ 2) n) f(x) = ln
(x2 − 1
x2 − 4
) ñ) f(x) =√x+ 1 +
√5− xo) f(x) = cosx2 p) f(x) = e(2x+3)/x q) f(x) = sec 2x20. Determina el dominio y el re orrido de las siguientes fun iones:
PSfrag repla ements
a) b) )d) e) f )g) h)
i)11
111
1
11
21
21. Representa grá� amente las siguientes fun iones y al ula su dominio, onjunto imagen, puntos de ortes on los ejes, monotonía y a ota ión:a) f(x) = −2x b) f(x) = −4 ) f(x) = x2 − 2xd) f(x) = −x2 + 6x− 8 e) f(x) =x+ 2
x− 2f ) f(x) = 2 +
√x− 3g) f(x) = |2x+ 3| h) f(x) = |2x| − x i) f(x) = E(x)22. Representa grá� amente las siguientes fun iones y al ula su dominio, onjunto imagen, puntos de ortes on los ejes, monotonía y a ota ión:a) y = 2x−1 b) y = 3x−2 − 4 ) y = 1 + 2xd) y = 2−x e) y = log2(x+ 3) f ) y = 1 + log3(x+ 5)g) y = log2(x+ 1) h) y = 3 + log2 x i) f(x) =
{2x si x > 0x− 1 si x < 023. Representa grá� amente las siguientes fun iones y al ula su dominio, onjunto imagen, puntos de ortes on los ejes, monotonía y a ota ión:a) f(x) =
{x+ 2 si x < 11/x si x ≥ 1
b) f(x) =
1
x− 1si 1 < x ≤ 3
√x− 3 si x > 3 ) f(x) =
2x+ 1 si x < 01 si x = 01 + x2 si x > 0
d) f(x) =
{1/x si x ≥ 1√x si x < 1e) f(x) =
x2 − 1 si x < 23 si 2 < x ≤ 4−2x+ 10 si 4 < x ≤ 5
f ) f(x) =
{|x| si x < 2−x+ 4 si 2 ≤ x ≤ 524. De las siguientes grá� as. ¾ uáles orresponden a una fun ión? De ellas indi a su dominio y re orrido.
PSfrag repla ements
a) b)
) d)1
1
11
22
Tema 5Álgebra de fun iones5.1. Opera iones. Composi ión1. A partir de las fun iones f(x) = x + 1 y g(x) =
2− x
3x− 6realiza las siguientes opera iones y susrespe tivos dominios:a) (f + g)(x) b) (f · g)(x) ) (f/g)(x)2. Si f(x) = √
x+ 1 y g(x) = x+ 1, averigua (f/g)(x) y su dominio.3. Dadas las fun iones f(x) = √x+ 1
2xy g(x) =
√x+ 1− 2
x+ 1, al ula (f · g)(x) y su dominio.4. Dadas las fun iones f(x) = 3 + x
x2 − 3xy g(x) =
3x− 5
x2 − 4x+ 3, al ula (f + g)(x), (f − g)(x) y f/g)(x)y sus dominios.5. Dadas las fun iones f(x) = √
x+ 3 y g(x) =√25− x2, al ula (f + g)(x), (f − g)(x), f/g)(x),f · gy g ◦ f . y sus dominios.6. Halla f + g y su dominio, siendo:
f(x) =
−x2 + 1 si x ≤ 01− x
2si x > 0
y g(x) =
2x+ 1 si x < −22 si −2 ≤ x < 2
1
5− xsi x ≥ 27. Dadas las fun iones:
f(x) =√x− 1 y g(x) =
x+ 1 si x < −12 + x si −1 ≤ x ≤ 2
1
5 + xsi x > 2Cal ula f + g y su dominio.8. Dadas las fun iones f(x) = 2− x
x+ 1y g(x) =
√2x− 1, al ula f ompuesta on g y su dominio.9. Halla (f ◦g)(3) siendo f(x) = 3− x2
x+ 1y g(x) =
x− 1
2y al ula g◦f y f ◦g y, así omo sus respe tivosdominios.10. A partir de los siguientes pares de fun iones halla g ◦ f y f ◦ g, indi ando sus dominios.a) f(x) = 2x2 + x− 3 y g(x) =
1
x+ 1b) f(x) =
√x2 + 1 y g(x) = 311. Si f(x) = 2x− x2 y g(x) =
√x− 2, al ula g ◦ f y f ◦ g y, así omo sus respe tivos dominios. ¾Quése observa? ¾Es siempre posible omponer fun iones?12. Expresa las siguientes fun iones omo omposi ión de fun iones, indi ando éstas últimas:a) h(x) = 5
√x+ 5 b) h(x) =
√x2 + 3 ) h(x) = 5x4 + 2x2 + 623
13. Dadas las fun iones f(x) = 3x− 7 g(x) = 2x+ k, determinar k para que f ◦ g = g ◦ f .14. Dadas las fun iones f(x) = 1
x2 − 1y g(x) =
√x+ 2, es ribe los riterios y dominios de las fun iones:
f · g, f/g, g ◦ f , f ◦ g, g ◦ g y f ◦ f .15. Halla las fun iones ompuestas g ◦ f y f ◦ g siendo:a) f(x) = x2 y g(x) = lnx b) f(x) = ex y g(x) = ln(x+ 1) ) f(x) = log2 x y g(x) = (√2)x d) f(x) = 2x y g(x) = log4 x5.2. Corresponden ia inversa16. Cal ula si es posible, la orresponden ia inversa respe to de la omposi ión de las siguientes fun- iones y su dominio:a) f(x) =
1− 3x
6b) f(x) =
3− x
4 + 5x ) f(x) =
7− x
xd) f(x) = −3x2 + 27 e) f(x) = x2 − 2x f ) f(x) = 3√x− 217. Halla la inversa de las siguientes fun iones y su dominio:a) f(x) = log2(x + 1) b) f(x) = 2x+1 ) f(x) = ln√x− 1d) f(x) = ex
2−1 e) f(x) = 2 + 3x f ) f(x) = 2 · 3x−1g) y = log2 3x− 1 h) y = 3x+2 i) y = 2 + log3 xj ) y = 1− 2x+3 k) y =log4(x− 1)
2l) y = 1− log3
x
5m) y =4− 3 log(x2 + 4)
518. Dadas las fun iones f(x) = log2(x2 − 3), g(x) = 1 + 2x y h(x) = log3(2
x − 3), halla:a) (g ◦ f)(x) b) (g ◦ h)(x) ) (f ◦ g)(x) d) (h ◦ g)(x)e) (h ◦ f)(x) f ) (f ◦ h)(x) g) (f ◦ g−1)(x) h) (h ◦ g−1)(x)19. Halla la omposi ión de f y g en los siguientes asos:a) f(x) = cos 2x; g(x) = arc cosx b) f(x) = sen 2x; g(x) = arc cosx20. Halla la orresponden ia inversa de las fun iones:a) f(x) = senx
2b) f(x) =
√1− senx ) f(x) = cos(x+ 1) d) f(x) = arc senx221. Dadas las fun iones f y g. Cal ula (f+g)(x), (f−g)(x), f/g)(x), 1/f , f−1, g−1 y g◦f , espe i� andosus dominios:a) f(x) =
2
x, g(x) =
2
x− 3b) f(x) =
1
x+ 2, g(x) = x2 − 5 ) f(x) =
√x, g(x) =
1√x
d) f(x) =x− 1
x+ 1, g(x) = x2 + 3e) f(x) = x2 − 4, g(x) =
x+ 1
1− xf ) f(x) =
2
x− 2, g(x) =
1
x+ 124
Tema 6Límite de fun iones. Continuidad1. Cal ula los siguientes límites:a) lımx→2
(3x2 − x+ 5) b) lımx→+∞
(3x− 1) ) lımx→−∞
(−x2 + 5x+ 7) d) lımx→−∞
(x2 + 1)e) lımx→∞
2x+ 1
x− 2f ) lım
x→2+
x+ 1
x− 2g) lımx→2
1
2x− 4h) lım
x→2
x3 − 6x2 + x+ 14
x3 + x2 + 2i) lımx→1
x3 − 6x2 + 6
x4 − x3 + x− 1j ) lım
x→0
3x4
x3 + x2k) lımx→5
x2 − 25
x2 − 5xl) lım
x→−3
x3 + 5x2 + 3x− 9
x3 + 7x2 + 15x+ 9m) lımx→1
x4 − 6x2 + 8x− 3
x4 − 2x3 + 2x− 1n) lım
x→2
(x− 2
x2 − 4− x2 − 4
x− 2
)ñ) lımx→∞
x2 − 6x+ 8
x2 − 2o) lım
x→−∞
x4 − 1
x2 − 1p) lımx→∞
x5 − 1
x7 − 1q) lım
x→∞
2x3 − 3x+ 5
3x3 − 4r) lımx→2
√x2 + x− 6
x2 − 3x+ 2s) lım
x→2
(x− 2
x+ 3· 1
x2 − 5x+ 6
)t) lımx→∞
(x2 + 4
1− x· x+ 3
x2
) u) lımx→0
(x5 − 7x3 + 2x2
3x4 + 6x2
)2. Cal ula los siguientes límites:a) lımx→0
x
1−√x+ 1
b) lımx→3
√x+ 1− 2
x− 3 ) lımx→+∞
(√x2 + 1− x
) d) lımx→1
√x+ 8−
√2x+ 7√
x+ 3−√3x+ 1e) lım
x→+∞
(√x2 + 1−
√x2 − 1
) f ) lımx→∞
(√x3 − x2 + 1−
√x3 − x
)g) lımx→∞
(√x2 − 2− x) h) lım
x→∞(√x+ 3−
√x+ 2)3. Cal ula los siguientes límites:a) lım
x→∞
2√x2 + x+ 3 3
√x3 − 1
4x2 − 4xb) lım
x→∞
√4x4 + 2 + 3
√x2 + x√
2x2 − x+ 1 +√x4 − 1 ) lım
x→∞
x√x2 − 1 + x2
√x4 − 4 + 2
d) lımx→2
√4x2 − 7−
√4x+ 1√
2x+ 5−√x+ 7e) lım
x→1
√x2 − 1−
√x− 1√
x+ 3−√2x+ 2
f ) lımx→0
√2x+ 1−
√x+ 1√
x2 + 4−√x+ 425
4. Cal ula los siguientes límites:a) lımx→±∞
(4x+ 1
2x
)x b) lımx→∞
(4x+ 1
2x2
)x2 ) lımx→∞
(x− 2
x+ 1
)2x d) lımx→∞
(x2 + 1
x2 − 2
)xe) lımx→∞
(√x+ 1
x− 1
)x f ) lımx→1
(2
x+ 1
) 1x−1g) lım
x→∞
(2x+ 1
2x− 3
)1−x h) lımx→+∞
(3x+ 2
x+ 1
)x+5i) lımx→+∞
(3x+ 1
5x− 3
)x+3 j ) lımx→∞
ln
(x+ 1
x
)x5. Cal ula los siguientes límites:a) lımx→+∞
(log1/2(x) + log2
1
x
) b) lımx→0+
(log1/2(x) + log2
1
x
) ) lımx→0
ln
(x2 + x
x
)d) lımx→1+
(log1/2(x− 1) +
2x+ 1
x+ 1
) e) lımx→∞
ln
(x+ 1
x
)x f ) lımx→1
log x26. Cal ula:a) lımx→−∞
f(x) b) lımx→−2
f(x) ) lımx→−1
f(x) d) lımx→0
f(x) e) lımx→2
f(x)f ) lımx→+∞
f(x) g) f(0) h) f(−1) i) Dom(f) j ) Im(f)k) Las e ua iones de las asíntotas1
7. Cal ular los siguientes límites en los puntos en que se indi an:a) f(x) =
{x+ 1 si x ≥ 0−x+ 1 si x < 0
en x = 0 b) f(x) =
x2 si x > 20 si x = 2x+ 2 si x < 2
en x = 2 ) f(x) =
2 si x < 3x− 1 si 3 ≤ x < 5−x− 3 si x ≥ 5
en x = 3 y x = 5 d) f(x) =
x2 + 1
x+ 2si x ≥ 0
3x+ 2 si x < 0
en x = 08. Halla lımx→1
f(x), lımx→2
f(x), lımx→+∞
f(x) y lımx→−∞
f(x), siendo: f(x) = 3x− 5 si x ≤ 1
x2 − 1
x2 − 3xsi x > 126
9. Halla lımx→0
f(x), lımx→1
f(x), lımx→+∞
f(x) y lımx→−∞
f(x), siendo: f(x) = x2 − 1
2x− 2si x < 1
√x+ 1
2si x ≥ 110. Halla k Para que lım
x→2
x3 − 4x2 − x+ 4
3x3 + kx2 + 2x− 2= −3
711. Cal ula las asíntotas de las siguientes fun iones y estudia la posi ión de la grá� a on respe to a laasíntota:a) f(x) =2x2 − 8
x2 + x− 6b) f(x) =
x
x2 − 4 ) f(x) =
x3 + x2 + x+ 1
−x2 + x+ 2d) f(x) = arctanx e) f(x) =1
1 + exf ) f(x) =
3
x− e−xg) f(x) =
2x2
x2 − 4h) f(x) =
2x
x2 + 2x+ 1i) f(x) =
3
ex12. Representa grá� amente fun iones que satisfagan las siguientes ondi iones:a) lımx→2
f(x) = −2, f(2) = 5, Dom(f) = R y Rec(f) = (−2,+∞)b) lımx→1
f(x) = 4, f estri tamente re iente en (−∞, 1) y Rec(f) = (−∞, 4] ) f(x) > 0∀x > 2, f(x) ≤ 0∀x < 2 y 6 ∃ lımx→2
f(x)13. Clasi� a los puntos donde son dis ontinuas las fun iones:1 1PSfrag repla ements
a) b)14. Se de�ne la fun ión por la expresión: f(x) =
0 si x ∈ Z
1 si x /∈ Z
. Representarla grá� amente y de iren qué puntos es dis ontinua.15. Dada la fun ión f(x) =x2 − 4
x− 2. Se pide:a) Dominio de f.b) ¾Es dis ontinua en algún punto? ) En x = 2 la fun ión no está de�nida. ¾Es posible de�nir f en x = 2 de modo que la fun iónresultante sea ontinua en toda la re ta real?16. Sea la fun ión f(x) =
x2 − 3 si x < 2x− 1 si 2 ≤ x ≤ 42x+ 3 si 4 < x
.a) Cal ular el dominio de f .b) Cal ular lımx→3
f(x), lımx→2
f(x) y lımx→4
f(x). 27
) Lo aliza los puntos de dis ontinuidad.17. Estudia la ontinuidad de la fun ión:f(x) =
2 si x ≤ 0x+ 2 si 0 ≤ x < 3x2 − 9 si x > 3Represéntala grá� amente.18. Estudia la ontinuidad de las siguientes fun iones lasi� ando las dis ontinuidades:a) f(x) =
{x+ 1 si x ≥ 0x− 1 si x < 0
b) f(x) =
3− x2
2si x ≤ 1
1
xsi x > 1 ) f(x) =
x+ 1 si x < 3x2 si 3 ≤ x < 40 si x > 4
d) f(x) =
{e1/x si x 6= 00 si x = 0e) f(x) =
ex
1− exsi x < 0
x2 + 1 si x ≥ 0
f ) f(x) =
{ |3− x| si x ≤ 5
ln e2 si x > 519. La fun ión f(x) =x2 − 1
x− 1no está de�nida en x = 1. Halla k de modo que la fun ión
f(x) =
x2 − 1
x− 1si x 6= 1
k si x = 1
sea ontinua.20. Ídem para la fun ión f(x) =
x2 + 3x
x− 1si x < 1
k si x = 12x+ 3 si x > 121. Probar que la fun ión f(x) =x2 − 1
x2 + 7x− 8, para x 6= 1, f(1) = 34, no es ontinua en x = 1, e indi arqué tipo de dis ontinuidad presenta en di ho punto.22. Cal ular el valor de a y b para que las siguientes fun iones sean ontinuas?a) f(x) =
{x+ 1 si x ≤ 13− ax2 si x > 1
b) f(x) =
{x2 + ax si x ≤ 2a− x2 si x > 2 ) f(x) =
{eax si x ≤ 0x+ 2a si x > 0
d) f(x) =
{eax si x ≤ 0x2 + bx+ c si x > 023. Construye grá� as que umplan las siguientes ondi iones:a) Dom(f) = R; Rec(f) = [−1,+∞); lım
x→−∞f(x) = 3; lım
x→+∞f(x) = +∞; f(3) = 3;
lımx→3
f(x) = 2; f−1(0) = {0, 2}b) Dom(f) = R− {0, 2}; Rec(f) = [−∞, 0) ∪ {1} ∪ (3,+∞); lımx→−∞
f(x) = 0;
lımx→+∞
f(x) = 1 lımx→0
f(x) = ∞; lımx→2−
f(x) = 3; lımx→2+
f(x) = 124. Estudia la ontinuidad de las siguientes fun iones lasi� ando las dis ontinuidades:a) f(x) =x+ 1
x2 + 1b) f(x) =
|x|x
) f(x) =3x+ 5
2x2 − 5x+ 228
d) f(x) =√x− 5 e) f(x) = x3 + 5x− 3 f ) f(x) = |x− 1|+ |x− 4|g) f(x) =1
2− lnxh) f(x) = ln(1− cosx) i) f(x) = ln(1 + ex)j ) f(x) = sen(x2 + 2) k) f(x) = arctan
1
xl) f(x) = cos(senx2)
29
Álgebra de límitesSumalımx→a
f(x) L L +∞ −∞ +∞
lımx→a
g(x) M ±∞ +∞ −∞ −∞
lımx→a
(f(x) + g(x)) L+M L±∞ = ±∞ +∞+∞ = +∞ −∞−∞ = −∞ ∞−∞ =?Produ tolımx→a
f(x) L L 6= 0 ∞ 0
lımx→a
g(x) M ∞ ∞ ∞
lımx→a
(f(x) · g(x)) L ·M L · ∞ = ∞ ∞ ·∞ = ∞ 0 · ∞ =?Co ientelımx→a
f(x) L L 6= 0 L ∞ 0 ∞
lımx→a
g(x) M 6= 0 0 ∞ M 0 ∞
lımx→a
f(x)
g(x)
L
M
L
0= ∞ L
∞ = 0∞M
= ∞ 0
0=?
∞∞ =?Poten ia
lımx→a
f(x) L L 6= 0, 1 L 6= 0, 1 0
lımx→a
g(x) M +∞ −∞ M 6= 0
lımx→a
(f(x)g(x)
)LM L+∞ =
{+∞ si L > 10 si 0 < L < 1
L−∞ =
{0 si L > 1+∞ si 0 < L < 1
0M =
{0 siM > 0+∞ si M < 0
lımx→a
f(x) 0 0 +∞ +∞ +∞
lımx→a
g(x) +∞ −∞ M +∞ −∞
lımx→a
(f(x)g(x)
)0+∞ = 0 0−∞ = +∞ (+∞)M =
{+∞ siM > 00 si M < 0
(+∞)+∞ = +∞ (+∞)−∞ = 0
lımx→a
f(x) 0 +∞ 1
lımx→a
g(x) 0 0 ∞
lımx→a
(f(x)g(x)
)00 =? (+∞)0 =? 1∞ =? 30
Tema 7Introdu ión al ál ulo diferen ial.Derivadas7.1. De�ni ión de derivada1. Apli ando la de�ni ión de derivada de una fun ión en un punto, al ula la derivada en x = 3 parala fun ión f(x) = 5x2 − x+ 2.2. Cal ula, la derivada de f(x) = x2 en x = 3.3. Demuestra, apli ando la de�ni ión de derivada, que si f(x) = x3, enton es f ′(2) = 12.4. Cal ula mediante la de�ni ión de derivada de una fun ión en un punto, las derivadas de las siguientesfun iones en los puntos que se indi an:a) f(x) = −3; f ′(2) b) f(x) = − 5
x; f ′(1) ) f(x) = 3x2 − 2x+ 2; f ′(−1) d) f(x) = (2x− 1)2; f ′(2)e) f(x) =
√x+ 3; f ′(6) f ) f(x) =
2
x2 + 1; f ′(0)g) f(x) = ln(x + 1); f ′(1) h) f(x) = lnx; f ′(2)7.2. Continuidad y derivabilidad5. Estudia la ontinuidad y derivabilidad de las siguientes fun iones:a) f(x)=|x| b) f(x) = 3
√x ) f(x) = x|x|d) f(x) =
{x2 − 2x si x ≤ 1x− 2 si x > 1
e) f(x) =
−x2 si x < 0x2 si 0 ≤ x ≤ 36x si x > 36. Di si son derivables las fun iones siguientes en los puntos que se indi an. Da el valor de la derivadao, en aso negativo, di uánto valen las derivadas laterales.a) f(x) =
{3x− 1 si x < 2x2 − x+ 3 si x ≥ 2
en x = 2b) f(x) =
{x2 − 1 si x ≤ 12x− 2 si x > 1
en x = 1 ) f(x) =
{3x− 2 si x ≤ 1x2 si x > 1
en x = 1d) f(x) = |x2 − x− 6| en x = −2 y x = 37. Cal ula a y b para que la fun ión sea derivable en todo R:a) f(x) =
{ax2 + b si x ≤ 2x2 − bx− 4 si x > 2
b) f(x) =
{ax+ 5 si x ≤ 2bx2 + x− 1 si x > 231
) {ax+ 4 si x ≤ 1bx2 + x− 3 si x > 1
d) {a/x si x > 1x2 + bx si x ≤ 1e) {
2ax+ 4 si x ≤ 2b/x si x > 28. Estudia la derivabilidad de la fun ión f : R −→ R de�nida por:
f(x) =
x
1− |x| si x 6= −1 y x 6= 1
0 si x = −1 o x = 19. Sea la fun ión f : [0,+∞) −→ R de�nida por:f(x) =
2x+ a si 0 ≤ x < 1x2 + b si 1 ≤ x < 36x+ c si x ≥ 3a) Estudia si es ontinua en [0,+∞) para a = 1, b = 2 y c = 3.b) Estudia si es derivable para esos valores.7.3. Fun iones derivadas10. Cal ula las fun iones derivadas de las siguientes:a) f(x) = x4 b) f(x) = x−2 ) f(x) =
3√x2d) f(x) = 2x4 − 3x3 + x2 − 7 e) f(x) = 6x3 + 5x2 − 1 f ) f(x) = 5x4 + 2x2 − 5xg) f(x) =
1
5x5 +
2
3x3 − 8x h) f(x) = 3x−2 +
1
xi) f(x) =
1
x2+ x−3 + 2x−1j ) f(x) = 4x−4 + 2x−2 +
1
3x−3 k) f(x) = (x2 − 1)(x3 + 3x) l) f(x) = (x3 + 1)(x+ 2)m) f(x) = (x2 − 3)(x2 + x− 1) n) f(x) = (2x3 + 3)x−2 ñ) f(x) = x−4(x + 2)o) f(x) =
x3 − 3
5p) f(x) =
1
x2 − 2x+ 1q) f(x) =
x2 − 2
x3 + 3x2r) f(x) =2x+ 1
2x− 1s) f(x) =
x3
x− 3t) f(x) =
x2 − 1
x+ 411. Cal ula las fun iones derivadas de las siguientes fun iones:a) f(x) = x · 4x b) f(x) = senx+ cosx ) f(x) = senx+ 2exd) f(x) = 3x · lnx e) f(x) = (2x3 + x)4 f ) f(x) =
(x−2 +
1
x
)−2g) f(x) = (x2 − 3)5 h) f(x) = (e2x + 3)4 i) f(x) =ex
xj ) f(x) = x2 · 2x · a2x k) f(x) = sen 4x l) f(x) = sen4 xm) f(x) = senx4 n) f(x) = tg 2x2 ñ) f(x) = ln(cos 2x)o) f(x) = arc tg√x p) f(x) = ecosx q) f(x) = ln
√1− x
1 + xr) f(x) =
√1 + senx
1− senxs) f(x) = ln
(cos
x2
2
) t) f(x) = ln(tg(1− 2x)12. Cal ula las fun iones derivadas utilizando la deriva ión logarítmi a:a) f(x) = xx b) f(x) = (√x)
√x ) f(x) = (senx)x32
d) f(x) = (lnx)lnx e) f(x) = (√x)tg x f ) f(x) = (tg x)
√xg) f(x) = (cosx)
sen 2x h) f(x) =
(x+
1
x
)x i) f(x) =(arc senx2
)2x13. Cal ula las derivadas su esivas que se indi an:a) f(x) = 23x f′′′
(x) b) f(x) =2
x− 1f 4)(x) ) f(x) = sen 3x f 10)(x) d) f(x) = ln(x + 2) f 5)(x)14. Obtén las derivadas n-ésimas de las siguientes fun iones:a) f(x) = ln(x− 1) b) f(x) = ex + e−x ) f(x) =
1
x215. Cal ula las fun iones derivadas de las siguientes:a) y =x4
2+
x3
3− 5x+ 2 b) y = 3x−2 + 2x−3 − 5x−1 ) y = 5
(1
x2+
1
x3
)d) y =3√x2 + 6
√x+
4√x3 e) y =
x2 + x
3f ) y =
x+ 1
x− 1g) y =√x2 + 1 h) y = (x2 + 1)10 i) y =
(1− x)3
(1 + x)4j ) y =√x+
√x k) y = 3
√1− x
1 + x2l) y =
1 + ex
1− exm) y = ln(ln x) n) y = ln(1− x2)2 ñ) y = ln
(1 + x
1− x
)o) y = ln
(1−√
x
1 +√x
) p) y = x · senx q) y =ex + e−x
e−x16. Cal ula las derivadas de las siguientes fun iones:a) y = senx2 + sen2 x+ sen 2x b) y = (1 + cos2 x)3 ) y = ex cosxd) y = ln1 + senx
1− senxe) y = ln(cos2 ex) f ) y =
x
lnxg) y =tg x
xh) y = arc tg
1 + x
1− xi) y =
1 + tg2 x
1− tg2 xj ) y = arc senx
2k) y =
13√arc cosx
l) y = arc tg
(1 + ex
1− ex
)m) y = arc sen√1− x2 n) y =
ex
arc tgxñ) y = arc sen
(1− x2
1 + x2
)o) y = arc tg
(1− cosx
1 + cosx
) p) y = arc sen(2x
√1− x2
) q) y = arc tg
√x+ 1
x− 1r) y = arc tg
(e2x + e−2x
e2x − e−2x
)
33
REGLAS PARA EL CÁLCULO DE FUNCIONES DERIVADASSuma /Diferen ia Produ to Co ientey = u± v ⇒ y′ = u′ ± v′ y = u · v ⇒ y′ = u′ · v + u · v′ y =
u
v⇒ y′ =
u′ · v − u · v′v2Constante por fun ión Composi ión Re ordatorio
y = k · u ⇒ y′ = k · u′ y = (u ◦ v)(x) = u(v(x)) 1 + tg2 x = sec2 x =1
cos2 x
⇒ y′ = u′(v(x)) · v′(x) 1 + cotg2 x = cosec2 x =1
sen2 xFUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES COMPUESTASFun ión Derivada Fun ión Derivaday = k y′ = 0
y = xn y′ = n · xn−1 y = un y′ = n · un−1 · u′
y =√x y′ =
1
2√x
y =√u y′ =
u′
2√u
y = n
√x y′ =
1
nn
√xn−1
y = n
√u y′ =
u′
nn
√un−1
y = loga x y′ =1
x· loga e y = loga u y′ =
1
u· loga e · u′ a > 0
y = lnx y′ =1
xy = lnu y′ =
1
u· u′
y = ax y′ = ax · ln a y = au y′ = u′ · au ln a
y = ex y′ = ex y = eu y′ = eu · u′
y = senx y′ = cosx y = senu y′ = u′ · cosu
y = cosx y′ = − senx y = cosu y′ = −u′ · senu
y = tg x y′ = 1 + tg2 x = sec2 x y = tg u y′ = u′(1 + tg2 u) = u′ · sec2 u
y = cotg x y′ = −(1 + cotg2 x) = − cosec2 x y = cotg u y′ = −u′(1 + cotg2 u) = −u′ · cosec2 u
y = cosecx y′ = − cosecx · cotg x y = cosecu y′ = −u′ · cosecu · cotg u
y = secx y′ = secx · tg x y = secu y′ = u′ · secu(x) · tg u
y = arc senx y′ =1√
1− x2y = arc senu y′ =
u′√1− u2
y = arc cosx y′ = − 1√1− x2
y = arc cosu y′ = − u′√1− u2
y = arc tg x y′ =1
1 + x2y = arc tgu y′ =
u′
1 + u2
y = arccotgx y′ =− 1
1 + x2y = arccotgu y′ =
− u′
1 + u2
y = arcsecx y′ =1
x√x2 − 1
y = arcsecu y′ =u′
u ·√u2 − 1
y = arccosecx y′ =− 1
x√x2 − 1
y = arccosecu y′ =− u′
u ·√u2 − 1
34
Tema 8Apli a iones de las derivadasMétodo para representar una fun iónPara ha er la representa ión grá� a de una fun ión seguiremos el siguiente esquema, aunque no esobligatorio seguir el mismo orden, ni estudiar todos los pasos que se indi an.Como norma general estudiaremos y al ularemos:1. Dominio.2. Continuidad y derivabilidad.3. Puntos de ortes on los ejes:a) Corte on el eje OX : al ulamos los valores de x para los uales y = 0.b) Corte on el eje OY : le damos a x = 0 y al ulamos el valor orrespondiente de y.4. Simetría:a) Si f(x) = f(−x), diremos que la fun ión es par y será simétri a on respe to al eje deordenadas.b) Si f(x) = −f(−x), diremos que la fun ión es impar y será simétri a respe to al origen de oordenadas.5. Signo de la fun ión Los intervalos donde f es positiva o negativa vienen determinados por losvalores de x que veri� an f(x) = 0 y por las dis ontinuidades de la fun ión.6. Asíntotasa) Asíntotas verti ales: son las re tas x = a que umplen una de estas ondi iones:lım
x→a−
f(x) = ±∞ o lımx→a+
f(x) = ±∞Conviene hallar el signo del in�nito para situar la grá� a on respe to a la asíntota.b) Asíntotas horizontales: son las re tas y = b que umplen una de estas ondi iones:lım
x→−∞f(x) = b o lım
x→+∞f(x) = b ) Asíntotas obli uas: Son las re tas y = mx+ n que umplen uno de estos pares de ondi iones:
m = lımx→−∞
f(x)
xn = lım
x→−∞(f(x)−mx)
m = lımx→+∞
f(x)
xn = lım
x→+∞(f(x)−mx)
Obli ua por la izquierda Obli ua por la dere ha7. Monotonía. Máximos y mínimos relativos: Se estudia el signo de f ′(x). Se veri� a:
f(x) es re iente en aquellos intervalos donde f ′(x) > 0.f(x) es de re iente en aquellos intervalos donde f ′(x) < 0.35
Los máximos y mínimos relativos de la fun ión se en uentran entre aquellos puntos x0 queveri� an f ′(x0) = 0. Si además:f ′′(x0) > 0, en x0 hay un mínimo relativo.f ′′(x0) < 0, en x0 hay un máximo relativo.f ′′(x0) = 0 enton es hay que re urrir a nuevas derivadas.8. Con avidad- onvexidad. Puntos de in�exión: Se estudia el signo de f ′′(x). Se veri� a:Si f ′′(x) > 0 la fun ión es � �Si f ′′(x) < 0 la fun ión es � �Los puntos de in�exión se en uentran entre los valores de x0 que veri� an f ′′(x0) = 0. Si
f ′′′(x0) 6= 0 el punto es de in�exión. Si f ′′′(x0) = 0 se estudian las derivadas su esivas.9. Tabla de valores: A ve es es onveniente al ular algunos valores más de la fun ión para trazarla,basta para ello onstruir una tabla on los puntos que reamos onveniente al ular.f(x) = x4 − 2x21. Dominio: Es una fun ión de tipo polinómi a, y por tanto, su dominio son todos los números reales.
Dom(f) = R2. Continuidad y derivabilidad: Al ser polinómi a es ontinua y derivable en R.3. Puntos de ortes on los ejesa) Corte on el eje OX : ha emos y = 0
x4 − 2x2 = 0 =⇒ x2(x2 − 2) = 0
{x2 = 0 =⇒ x = 0
x2 − 2 = 0 =⇒ x2 = 2 =⇒ x = ±√2Puntos de ortes on OX : (0, 0), (√2, 0), (−√
2, 0).b) Corte on el eje OY :ha emos x = 0 =⇒tenemos el punto (0, 0)4. Simetría: f(−x) = (−x)4 − 2(−x)2 = x4 − 2x2 = f(x) =⇒ la fun ión es simétri a on respe to aleje de ordenadas. Basta estudiarla en el intervalo (0,+∞).5. Signo de la fun ión:Signo de f
0√2−
√2−∞ +∞
+ − − +Tomamos un punto de ada intervalo para ver el signo que toma la fun ión en di ho intervalo, aunqueen este aso por ser simétri a on respe to al eje OY , basta mirar los intervalos orrespondientes ala parte positiva.x = 1; f(1) = −1 < 0
x = 2; f(2) = 24 − 2 · 22 = 16− 8 = 8 > 0Por tanto: 36
f es positiva en (−∞,−√2) ∪ (
√2,+∞) f es negativa en (−
√2, 0) ∪ (0,
√2)6. Asíntotas:a) Asíntotas horizontales: lım
x→±∞(x4 − 2x2) = +∞, por tanto no tiene asíntotas horizontales.b) Asíntotas verti ales: no tiene. ) Asíntotas obli uas: m = lım
x→∞
x4 − 2x2
x= ∞, por tanto no tiene asíntotas obli uas.7. Monotonía. Máximos y mínimos relativos:
f ′(x) = 4x3 − 4x =⇒ 4x3 − 4x = 0 =⇒ 4x(x2 − 1) = 0
{x = 0
x2 − 1 = 0 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ±1Signo de f ′0 1−1−∞ +∞
− + − +
x = −2; f ′(−2) = 4(−2)3 − 4 · (−2) = −32 + 8 = −24 < 0
x = −0,5; f ′(−0,5) = 4 · (−0,5)3 − 4 · (−0,5) = −0,5 + 2 > 0
x = 0,5; f ′(0,5) = 4 · (0,5)3 − 4 · (0,5) = 0,5− 2 < 0
x = 2; f ′(2) = 4 · 23 − 4 · 2 = 32− 8 = 24 > 0Por tanto:f es re iente en (−1, 0) ∪ (1,+∞) f es de re iente en (−∞,−1) ∪ (0, 1)Se dedu e de lo anterior que la fun ión al anza mínimos relativos en x = −1 y x = 1 y un máximorelativo para x = 0.Mínimos relativos en los puntos (−1,−1) y(1,−1). Máximo relativo en el punto (0, 0).8. Con avidad- onvexidad. Puntos de in�exión.f ′′(x) = 12x2 − 4 =⇒ 12x2 − 4 = 0 =⇒ x2 =
4
12=
1
3=⇒ x = ±
√1
3= ± 1√
3= ±
√3
3Signo de f ′′
√3/3−
√3/3−∞ +∞
−+ +
x = −1; f ′′(−1) = 12(−1)2 − 4 = 12− 4 = 8 > 0
x = 0; f ′′(0) = 12 · 02 − 4 = −4 < 0
x = 1; f ′′(1) = 12 · 12 − 4 = 12− 4 > 0Por tanto:37
En (−∞,−√3
3
)∪(√
3
3,+∞
)f es � � En (−√
3
3,
√3
3
)f es � �Se dedu e de lo anterior que para x = −
√3
3y x =
√3
3la fun ión tiene puntos de in�exión.Puntos de in�exión: (−√
3
3,−5
9
) y (√3
3,−5
9
)9. Tabla de valores En este aso no es ne esario al ular otros valores de la fun ión.Trazamos la grá� a on los datos obtenidos:-
-
PSfrag repla ements√
2√
2
√
3/3√
3/3
−5/91
1 2−1
−1−2
y = x4 − 2x2
f(x) = x3 + x2 − x− 11. Dominio: Es una fun ión de tipo polinómi a, y por tanto, su dominio son todos los números reales.Dom(f) = R2. Continuidad y derivabilidad: Al ser polinómi a es ontinua y derivable en R.3. Puntos de ortes on los ejesa) Corte on el eje OX : ha emos y = 0; x3 + x2 − x − 1 = 0. Al ser una e ua ión de ter ergrado, bus amos primero las raí es enteras entre los divisores del término independiente, queen este aso son 1 y −1.
13 + 12 − 1− 1 = 0 =⇒ x = 1 es raíz del polinomio.Dividimos x3 + x2 − x− 1 = 0 entre x− 1 y lo ha emos apli ando Ru�ni.1
1 1 −1 −1
1
1
2
2
1
1
038
Por tanto las otras raí es las obtenemos de resolver x2 + 2x+ 1 = 0
x =−2±
√4− 4
2=
−2
2= −1Puntos de ortes on OX : (1, 0) y (−1, 0).b) Corte on el eje OY :ha emos x = 0 =⇒ obtenemos el punto (0,−1)4. Simetría:
f(−x) = (−x)3 + (−x)2 − (−x)− 1 = −x3 + x2 + x− 1 6= f(x) =⇒ La fun ión no es par.−f(−x) = −[(−x)3 + (−x)2 − (−x)− 1] = x3 − x2 − x+ 1 6= f(x) =⇒ la fun ión no es impar.5. Signo de la fun ión:Signo de f
1−1−∞ +∞
− − +Tomamos un punto de ada intervalo para ver el signo que toma la fun ión en di ho intervalo.x = −2; f(−2) = (−2)3 + (−2)2 − (−2)− 1 = −8 + 4 + 2− 1 = −3 < 0
x = 0; f(0) = −1 < 0x = 2; f(2) = 23 + 22 − 2− 1 = 8 + 4− 2− 1 = 9 > 0Por tanto:f es positiva en (1,+∞) f es negativa en (−∞,−1) ∪ (−1, 1)6. Asíntotas:a) Asíntotas horizontales: No tiene asíntotas horizontales, pues:
lımx→+∞
(x3 + x2 − x− 1) = +∞ lımx→−∞
(x3 + x2 − x− 1) = −∞b) Asíntotas verti ales: no tiene. ) Asíntotas obli uas: m = lımx→∞
x3 + x2 − x− 1
x= ∞, por tanto no tiene asíntotas obli uas.7. Monotonía. Máximos y mínimos relativos: f ′(x) = 3x2 + 2x− 1
3x2 + 2x− 1 = 0 =⇒ x =−2±
√4 + 12
6=
−2± 4
6=
−2 + 4
6=
2
6=
1
3
−2− 4
6=
−6
6= −1Signo de f ′
1/3−1−∞ +∞
+ − +
x = −2; f ′(−2) = 3(−2)2 + 2 · (−2)− 1 = 12− 4− 1 = 7 > 0
x = 0; f ′(0) = −1 < 0
x = 1; f ′(1) = 3 · 12 + 2 · 1− 1 = 3 + 2− 1 = 4 > 0Por tanto: 39
f es re iente en (−∞,−1) ∪(1
3,+∞
)f es de re iente en (−1,
1
3
)Se dedu e de lo anterior que la fun ión al anza un mínimo relativo en x =1
3y un máximo relativopara x = −1.Mínimo relativo en el punto (1
3,−32
27
). Máximo relativo en el punto (−1, 0).8. Con avidad- onvexidad. Puntos de in�exión.f ′′(x) = 6x+ 2 =⇒ 6x+ 2 = 0 =⇒ x =
−2
6=
−1
3Signo de f ′′−1/3−∞ +∞
− +
x = −1; f ′′(−1) = 6(−1) + 2 = −6 + 2 = −4 < 0
x = 0; f ′′(0) = 2 > 0Por tanto:En (∞,−1
3
)f es � � En (−1
3,+∞
)f es � �Se dedu e de lo anterior que para x =
−1
3y la fun ión tiene un punto de in�exión.Puntos de in�exión: (−1
3,−16
27
)9. Tabla de valores En este aso no es ne esario al ular otros valores de la fun ión.Trazamos la grá� a on los datos obtenidos:-PSfrag repla ements 1/31/3
1
1 2−1
−2
−2
−3
y = x3 + x2 − x− 1
−32
27
−16
27
40
f(x) =x
x2 + 11. Dominio: Es una fun ión de tipo ra ional. Su dominio son todos los números reales salvo aquellosque anulan al denominador. En este aso, x2 +1 nun a es ero y por tanto el dominio son todos losnúmeros reales.Dom(f) = R2. Continuidad y derivabilidad: Al ser ra ional es ontinua y derivable en su dominio,en nuestro aso, en R.3. Puntos de ortes on los ejesa) Corte on el eje OX : ha emos y = 0
x
x2 + 1= 0 =⇒ x = 0.Puntos de ortes on OX : (0, 0),b) Corte on el eje OY :ha emos x = 0 =⇒obtenemos nuevamente el punto (0, 0)4. Simetría: f(−x) =
−x
(−x)2 + 1=
−x
x2 + 1= −f(x) =⇒ la fun ión es impar, y por tanto simétri a on respe to al origen.5. Signo de la fun ión:Signo de f
0−∞ +∞
− +Tomamos un punto de ada intervalo para ver el signo que toma la fun ión en di ho intervalo.x = 1; f(1) =
1
12 + 1=
1
2> 0
x = −1; f(−1) =−1
(−1)2 + 1=
−1
2< 0Por tanto:
f es positiva en (0,+∞) f es negativa en (−∞, 0)6. Asíntotas:a) Asíntotas horizontales: lımx→±∞
x
x2 + 1= 0, por tanto la re ta x = 0 es asíntota horizontal.b) Asíntotas verti ales: no tiene. ) Asíntotas obli uas: Al tener asíntota horizontal, no tiene obli ua.7. Monotonía. Máximos y mínimos relativos:
f ′(x) =1 · (x2 + 1)− 2x · x
(x2 + 1)2=
x2 + 1− 2x2
(x2 + 1)2=
1− x2
(x2 + 1)2
1− x2
(x2 + 1)2= 0 =⇒ 1− x2 = 0 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ±141
Signo de f ′1−1−∞ +∞
− + −
x = −2; f ′(−2) =1− (−2)2
((−2)2 + 1)2=
1− 4
(25)=
−3
25< 0
x = 0; f ′(0) = 1 > 0
x = 2; f ′(2) =1− 22
(22 + 1)2=
1− 4
(25)=
−3
25< 0Por tanto:
f es re iente en (−1, 1) f es de re iente en (−∞,−1) ∪ (1,+∞)Se dedu e de lo anterior que la fun ión al anza un mínimo relativo en x = −1 y un máximo relativopara x = 1.Mínimo relativo en el punto (−1,−1
2
). Máximo relativo en el punto (1, 12
).8. Con avidad- onvexidad. Puntos de in�exión.f ′′(x) =
−2x · (x2 + 1)2 − 2(x2 + 1)2x(1− x2)
(x2 + 1)4=
−2x · (x2 + 1)− 2 · 2x(1− x2)
(x2 + 1)3=
−2x3 − 2x− 4x+ 4x3
(x2 + 1)3=
2x3 − 6x
(x2 + 1)3
2x3 − 6x
(x2 + 1)3= 0 =⇒ 2x3 − 6x = 0 =⇒ 2x(x2 − 3) = 0
{x = 0
x2 − 3 = 0 =⇒ x2 = 3 =⇒ x = ±√3Signo de f ′′
0√3−
√3−∞ +∞
− + − +
x = −2; f ′′(−2) =2(−2)3 − 6(−2)
((−2)2 + 1)3=
−16 + 12
125=
−4
125< 0
x = −1; f ′′(−1) =2(−1)3 − 6(−1)
((−1)2 + 1)3=
−2 + 6
8=
1
2> 0
x = 1; f ′′(1) =2 · 13 − 6 · 1(12 + 1)3
=2− 6
8=
−1
2< 0
x = 2; f ′′(2) =2 · 23 − 6 · 2(22 + 1)3
=16− 12
125=
4
125> 0Por tanto:En (−
√3, 0) ∪ (
√3,+∞) f es � � En (−∞,−
√3) ∪ (0,
√3) f es � �Se dedu e de lo anterior que para x = −
√3, x = 0 y x =
√3 la fun ión tiene puntos de in�exión.42
Puntos de in�exión: (−√3,
−√3
4
), (0, 0) y (√3,
√3
4
)9. Tabla de valores Cal ulemos algunos valores de la fun ión:x 0 1 -1 −√3
√3 2 -2 3 -3y=f(x) 0 1
2
−1
2
−√3
4
√3
4
2
5
−2
5
3
10
−3
10Trazamos la grá� a on los datos obtenidos:-
-
PSfrag repla ements√
3
√
31/2
1/21 2−1−2
−3
3
y = x/(x2 + 1)
f(x) =x2 − 5x+ 4
x− 51. Dominio: Es una fun ión de tipo ra ional. Su dominio son todos los números reales salvo aquellosque anulan al denominador. En este aso:x− 5 = 0 =⇒ x = 5
Dom(f) = R− {5}2. Continuidad y derivabilidad: Al ser ra ional es ontinua y deribable en su dominio, en nuestro aso, en R− {5}.3. Puntos de ortes on los ejesa) Corte on el eje OX : ha emos y = 0
x2 − 5x+ 4
x− 5= 0 =⇒ x2 − 5x+ 4 = 0
=⇒ x =5±
√25− 16
2=
5± 3
2=
5 + 3
2=
8
2= 4
5− 3
2=
2
2= 1Puntos de ortes on OX : (4, 0) y (1, 0).b) Corte on el eje OY :ha emos x = 0 =⇒ y =
−4
5obtenemos el punto (0, −4
5
)4. Simetría:f(−x) =
(−x)2 − 5(−x) + 4
−x− 5=
x2 + 5x+ 4
−x− 56= f(x) =⇒ la fun ión no es par.
f(−x) 6= −f(x) =⇒ la fun ión no es impar. No hay, pues, ninguna simetría.5. Signo de la fun ión: En este aso, añadimos el punto de dis ontinuidad de la fun ión paradeterminar los intervalos donde la fun ión mantiene el signo onstante.43
Signo de f
4 51−∞ +∞
− + − +Tomamos un punto de ada intervalo para ver el signo que toma la fun ión en di ho intervalo.x = 0; f(0) =
−4
5< 0
x = 2; f(2) =22 − 5 · 2 + 4
2− 5=
4− 10 + 4
−3=
2
3> 0
x = 4, 5; f(4, 5) =(4, 5)2 − 5 · 4, 5 + 4
4, 5− 5=
20, 25− 22, 5 + 4
−0, 5=
1, 75
−0, 5< 0
x = 6; f(6) =62 − 5 · 6 + 4
6− 5=
36− 30 + 4
1= 10 > 0Por tanto:
f es positiva en (1, 4) ∪ (5,+∞) f es negativa en (−∞, 1) ∪ (4, 5)6. Asíntotas:a) Asíntotas horizontales: lımx→±∞
x2 − 5x+ 4
x− 5= ∞ =⇒ no hay asíntotas horizontales.b) Asíntotas verti ales:
lımx→5
x2 − 5x+ 4
x− 5= ∞ =
lımx→5+
x2 − 5x+ 4
x− 5= +∞
lımx→5−
x2 − 5x+ 4
x− 5= −∞
=⇒la re ta x = 5 es una asíntota verti al. ) Asíntotas obli uas: y = mx+ n
m = lımx→∞
f(x)
x= lım
x→∞
x2 − 5x+ 4
x2 − 5x= 1 =⇒ m = 1
n = lımx→∞
(f(x)−mx) = lımx→∞
(x2 − 5x+ 4
x− 5− x
)=
lımx→∞
x2 − 5x+ 4− x2 + 5x
x− 5= lım
x→∞
4
x− 5= 0 =⇒ n = 0 =⇒la re ta y = x es una asíntota obli ua.7. Monotonía. Máximos y mínimos relativos:
f ′(x) =(2x− 5) · (x − 5)− (x2 − 5x+ 4)
(x− 5)2=
2x2 +−10x− 5x+ 25− x2 + 5x− 4
(x− 5)2=
x2 − 10x+ 21
(x− 5)2x2 − 10x+ 21
(x− 5)2= 0 =⇒ x2 − 10x+ 21 = 0 =⇒
=⇒ x =10±
√100− 84
2=
10± 4
2=
10 + 4
2=
14
2= 7
10− 4
2=
6
2= 344
Signo de f ′5 73−∞ +∞
+ − − +
x = 0; f ′(0) =21
25> 0
x = 4; f ′(4) =16− 40 + 21
(4 − 5)2= −3 < 0
x = 6; f ′(6) =36− 60 + 21
(6 − 5)2= −3 < 0
x = 8; f ′(8) =64− 80 + 21
(8 − 5)2=
5
9> 0Por tanto:
f es de re iente en (3, 5) ∪ (5, 7) f es re iente en (−∞, 3) ∪ (7,+∞)Se dedu e de lo anterior que la fun ión al anza un mínimo relativo en x = 7 y un máximo relativopara x = 3.Mínimo relativo en el punto(7, 9). Máximo relativo en el punto (3, 1).8. Con avidad- onvexidad. Puntos de in�exión.f ′′(x) =
(2x− 10) · (x− 5)2 − 2(x− 5)(x2 − 10x+ 21)
(x− 5)4=
(2x− 10) · (x− 5)− 2 · (x2 − 10x+ 21)
(x − 5)3=
2x2 − 10x− 10x+ 50− 2x2 + 20x− 42
(x− 5)3=
8
(x− 5)3
8
(x− 5)3nun a se ha e ero. Los intervalos donde f es ón ava o onvexa lo va a determinarúni amente el punto donde f es dis ontinua, que es el 5.Signo de f ′′
5−∞ +∞
− +
x = 0; f ′′(0) =8
(0− 5)3=
−8
125< 0
x = 6; f ′′(6) =8
(6− 5)3= 8 > 0Por tanto:
45
En (5,+∞) f es � � En (−∞, 5) f es � �Se dedu e de lo anterior que no hay puntos de in�exión.Trazamos la grá� a on los datos obtenidos:y
PSfrag repla ements15
15
10
10
−5
5
5−2,5
f(x) =x2 − 5x+ 4
x− 5
46
8.1. Re ta tangente y normal1. Halla las re tas tangente y normal a las siguientes urvas en el punto que se indi a:a) f(x) = −x2 + 2x+ 5 x = −1 b) f(x) = x3 + 4x x = 2 ) f(x) = x5 − 3x4 − 2x+ 1 x = 1 d) f(x) =x√
x2 + 9x = 4e) f(x) = ln(tg 2x) x = π/8 f ) f(x) =
√sen3 5x x = π/62. De todas las re tas tangentes a la urva f(x) = ex−1, halla la que pasa por el origen de oordenadas.3. Es ribe la e ua ión de la re ta tangente a y = x2 + 4x+ 1 que tiene una in lina ión de 30◦.4. Halla la tangente a la urva y =
8
x− 3en el punto de ordenada y = 4.5. La re ta de pendiente 3 que pasa por el punto (0,−2) es tangente a la urva y = x3. Cal ula las oordenadas del punto de tangen ia.6. Halla la tangente a la grá� a de f(x) = x2 + 2x+ 2 que es paralela a la re ta 8x+ 2y − 3 = 07. Halla dos re tas paralelas a 5x− y + 10 = 0 que sean tangentes a y =
x3
2− x. Es ribe la e ua iónde ambas re tas.8. Es ribe la tangente a la grá� a de f(x) = 6 lnx− 5 uya pendiente sea m = 3.9. Bus a la e ua ión de la parábola y = ax2 + bx+ c que es tangente a la re ta y = 2x− 3 en el punto
P (2, 1) y pasa por el punto A(5,−2).10. ¾En qué punto la tangente a la parábola y = x2 − 7x+ 3 es paralela a la re ta y = −5x+ 3.11. Halla a para que la fun ión y = 2x2 − 3x+ a y la re ta y = 2x− 3 sean tangentes.12. Dada la urva y = 3x2 + 5 y la re ta y = 4x+ k. Halla k para que la re ta sea tangente a la urva.13. La e ua ión del espa io re orrido por un móvil en fun ión del tiempo es s(t) = 3t2 − t+ 1. Halla lavelo idad en el instante t = 2.14. Se ha lanzado verti almente ha ia arriba una piedra. La altura en metros al anzada al abo de tsegundos viene dada por la expresión e = f(t) = 20t− t2.a) Halla la velo idad media en el intervalo omprendido entre t = 0 y t = 5.b) ¾En algún momento la velo idad de la piedra ha sido de 15 m/s?. Si es así, ¾a qué alturasu edió?8.2. Monotonía. Extremos relativos15. Estudia la monotonía de las siguientes fun iones:a) f(x) =1
xb) f(x) = x3 − 3x2 + 1 ) f(x) = (x3 − 4x2 + 7x− 6)exd) f(x) =
1
x2e) f(x) = cotg x f ) f(x) =
x2 + 1
x2 − 1g) f(x) = x4 − 2x2 h) f(x) =ex + e−x
2i) f(x) = ln[(x − 1)(x+ 1)]47
16. Halla los extremos lo ales (indi ando uales son máximos y uáles son mínimos).a) f(x) = x3 − 6x2 + 12 b) f(x) = x4 − 2x2 ) f(x) =x2 + 1
x2 − 1d) f(x) = cosx− senx; x ∈ [0, 2π)e) f(x) = senx cosx; x ∈ [0, 2π) f ) f(x) = x4 + 6x3 + 12x2 + 10x+ 8g) f(x) = x5 + x+ 1 h) f(x) =
1
x2 + 117. Estudia la monotonía y halla los extremos absolutos y relativos de las siguientes fun iones:a) f(x) = senx+ cosx en [0, 2π] b) f(x) = x+ 5− 2 senx en [0, 2π]18. Sea la parábola f(x) = ax2 + bx+ c. Determina sus oe� ientes sabiendo:a) Que pasa por el origen de oordenadas tangen ialmente a la bise triz del primer uadrante.b) Tiene un extremo en x = −0, 5. Determina la naturaleza del extremo anterior.8.3. Curvatura. Puntos de in�exión19. Determina los intervalos de on avidad y onvexidad y puntos de in�exión de las siguientes fun io-nes:a) f(x) =1
7x7 − 3
5x5 − 8x3 + x b) f(x) =
x4
x2 − 1 ) f(x) = 3
√xd) f(x) = x3 − 5x2 + 2x− 1 e) f(x) =
x+ 1
x− 1f ) f(x) =
x6
x− 120. Dada la fun ión f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d. Halla a, b, c y d sabiendo que la e ua ión de la tangentea la urva en el punto de in�exión (1, 0) es y = −3x + 3 y que tiene un extremo en el punto deabs isa x = 0.21. Dada la fun ión f(x) = ax3+bx2+cx+d. Halla a, b, c y d sabiendo que la fun ión tiene un máximoen el punto (0, 3), un mínimo para x = 2 y un punto de in�exión en (1, 1).8.4. Representa ión grá� a de fun iones22. Representa grá� amente las siguientes fun iones al ulando:a) Dominio de de�ni ión.b) Continuidad. ) Puntos de ortes on los ejes.d) Simetría.e) Signo.f ) Asíntotas.g) Monotonía. Máximos y mínimos relativos.h) Curvatura y puntos de in�exión.a) y = x3 − 3x+ 2 b) y =5x+ 8
x2 + x+ 1 ) y =
x4 + 4x3
9d) y =x2
x2 − 4x+ 3e) y =
x2 − 1
xf ) y =
x3 + 4
x248
23. ¾Cuál de estas grá� as orresponden a la derivada de una fun ión que tiene un máximo en el puntode abs isa x = a. Razona la respuesta.PSfrag repla ementsa) b) ) d)XX
XX
YYYY
a
aaa24. Aso ia a ada una de las fun iones que se dibujan la que se ree es su derivada, dando algunaexpli a ión.PSfrag repla ementsa) b) ) d)XX
XX
XX
XX
YYYY
YYY Y
1) 2) 3) 4)
25. Observa la siguiente grá� a. Teniendo en uen-ta que las re tas trazadas son tangentes a lafun ión f(x), halla f ′(−2) y f ′(4).PSfrag repla ements
X
Y
1−3−2
4
43
5
26. El grá� o que a ompaña representa una fun- ión, su derivada y su derivada segunda. Ex-pli a el omportamiento de la fun ión en lospuntos uya abs isa se han mar ado en la grá-� a on letras.PSfrag repla ementsb
c
X
Y
a
f
f ′f ′′
27. En las siguientes grá� as están dibujadas las fun iones derivadas de f(x) y g(x). Se pide ha er unesbozo de las mismas a partir de la informa ión que propor ionan las derivadas.PSfrag repla ementsa) b)XX
YY
1
−1
3
4
f ′ g′
49
50
Apéndi e ASolu ionarioA.1. Solu ionario del tema 1: Trigonometría1. a) 5π
36b) 2π
3 ) 4π
3d) 23π
12e) 11π
6f ) 7π
62. a) 210◦ b) 400◦ ) 36◦ d) 57, 2958◦ = 57◦17′44′′e) 135◦ f ) 630◦3. a) 2 · 360◦ b) −120◦ − 8 · 360◦ ) 180◦ + 2 · 360◦ d) 20 · 360◦4. a) 10π rad = (0 + 5 · 2π) rad b) 60π rad = (0 + 30 · 2π) rad ) − 13π
4rad =
( − 5π
4− 2π
) rad5. a) 22 m b) 11, 88 m ) 16, 89 m d) 55, 68 m6. 2/3rad= 38, 18◦ = 38◦10′48′′7. 1/8rad= 7, 16◦ = 7◦9′43′′8. No pro ede poner la solu ión.9. a) senx =1
2, cosx =
√3
2, tg x =
√3
3cosecx = 2, secx =
2√3
3cotg x =
√3b) senx =
− 2√5
5, cosx =
−√5
5, tg x = 2 cosecx =
−√5
2, secx = −
√5 cotg x =
1
210. senx =−√3
2, cosx =
− 1
2, tg x =
√3 cosecx =
− 2√3
3, secx = −2 cotg x =
√3
311. senx =1
2, cosx =
−√3
2, tg x =
−√3
312. senα =− 2
√5
513. No pro ede poner la solu ión.14. No pro ede poner la solu ión.15. a) senx b) 1 + senx ) − tg x d) cotg a51
16. a) cosα b) 1 + senα ) 1 + cos4 α
1− cos4 αd) senα e) senα f ) senα+ cosα17. Es ierto el apartado d) ya que el oseno de ualquier ángulo siempre es un número omprendidoentre 1 y −1.18. No es posible, ya que tendría que veri� arse:sen2 α+ cos2 α = 1 ⇒
(2
5
)2
+
(2
5
)2
=9
25+
4
25=
13
256= 119. No, pues pueden ser ángulos que se diferen ien en múltiplos de 180◦, que tienen el mismo valor parala otangente.20. a) I y II uadrante b) I y IV uadrante ) I y III uadrante d) I y III uadrantee) I y IV uadrante f ) I y II uadrante g) I y II uadrante h) I y IV uadrante21. a) sen 240◦ = − sen 60◦ =
−√3
2cosec 240◦ = − cosec 60◦ =
− 2√3
3
cos 240◦ = − cos 60◦ =− 1
2sec 240◦ = − sec 60◦ = −2
tg 240◦ = tg 60◦ =√3 cotg 240◦ = cotg 60◦ =
√3
3b) sen 330◦ = − sen 30◦ =− 1
2cosec 330◦ = − cosec 30◦ = −2
cos 330◦ = cos 30◦ =
√3
2sec 330◦ = sec 30◦ =
2√3
3
tg 330◦ = − tg 30◦ =−√3
3cotg 330◦ = − cotg 30◦ = −
√3 ) sen−240◦ = sen 60◦ =
√3
2cosec−240◦ = cosec 60◦ =
2√3
3
cos−240◦ = − cos 60◦ =− 1
2sec−240◦ = − sec 60◦ = −2
tg−240◦ = − tg 60◦ = −√3 cotg−240◦ = − cotg 60◦ =
−√3
3d) sen 600◦ = − sen 60◦ =−√3
2cosec 600◦ = − cosec 60◦ =
− 2√3
3
cos 600◦ = − cos 60◦ =− 1
2sec 600◦ = − sec 60◦ = −2
tg 600◦ = tg 60◦ =√3 cotg 600◦ = cotg 60◦ =
√3
3e) sen 930◦ = − sen 30◦ =− 1
2cosec 930◦ = − cosec 30◦ = −2
cos 930◦ = − cos 30◦ =−√3
2sec 930◦ = − sec 30◦ =
− 2√3
3
tg 930◦ = tg 30◦ =
√3
3cotg 930◦ = cotg 30◦ =
√3f ) sen 1140◦ = sen 60◦ =
√3
2cosec 1140◦ = cosec 60◦ =
2√3
3
cos 1140◦ = cos 60◦ =1
2sec 1140◦ = sec 60◦ = 2
tg 1140◦ = tg 60◦ =√3 cotg 1140◦ = cotg 60◦ =
√3
352
g) sen−1830◦ = − sen 30◦ =− 1
2cosec−1830◦ = − cosec 30◦ = −2
cos−1830◦ = cos 30◦ =
√3
2sec−1830◦ = sec 30◦ =
2√3
3
tg−1830◦ = − tg 30◦ =−√3
3cotg−1830◦ = − cotg 30◦ = −
√3h) sen 135◦ = sen 45◦ =
√2
2cosec 135◦ = cosec 45◦ =
√2
cos 135◦ = − cos 45◦ = −√2
2sec 135◦ = − sec 45◦ = −
√2
tg 135◦ = − tg 45◦ = −1 cotg 135◦ = − cotg 45◦ = −122. a) sen 135◦ =√2/2, cos 135◦ = −
√2/2, tg 135◦ = −1
cosec 135◦ =√2, sec 135◦ = −
√2 cotg 135◦ = −1b) sen 270◦ = −1, cos 270◦ = 0, tg 270◦ no existe
cosec 270◦ = −1, sec 270◦ no existe cotg 270◦ = 0 ) sen 11π = senπ = 0, cos 11π = −1, tg 11π = 0
cosec 11π no existe, sec 11π = −1 cotg 11π no existed) senπ
6=
1
2, cos
π
6=
√3
2, tg
π
6=
√3
3
cosecπ
6= 2, sec
π
6=
2√3
3
π
6=
√323. a) −
√3/2 b) √
3/2 ) √3 d) −
√2/2 e) 2 f ) 124. a) 4/3 b) −3/4 ) 4/3 d) −3/4e) −4/3 f ) 3/4 g) −4/3 h) 3/425. senx = 0, 6 cosx = 0, 8 sen y = 0, 4 cos y = −0, 92a) sen(x+ y) = −0, 256 cos(x+ y) = −0, 976 tg(x+ y) = 0, 262b) sen(x− y) = −0, 872 cos(x− y) = −0, 496 tg(x− y) = 1, 758 ) sen 2x = 0, 96 cos 2x) = 0, 28 tg 2x = 3, 43d) sen 2y = −0, 74 cos 2y = 0, 69 tg 2y = −1, 07e) sen
(x
2
)= 0, 32 cos
(x
2
)= 0, 73 tg
(x
2
)= 0, 39f ) sen
(y
2
)= 0, 98 cos
(y
2
)= 0, 2 tg
(y
2
)= 4, 9El valor de la se ante, ose ante y otangente se al ula a partir de las anteriores.26. sen 22, 5◦ =
√2−
√2
2cos 22, 5◦ =
√2 +
√2
2tg 22, 5◦ =
√2− 127. sen(x+ y + z) = senx cos x cos z + cosx sen y cos z + cosx cos y sen z − senx sen y sen z28. a) √
6
2b) √
2
2 ) √
6
2d) −
√2
2e) 4 f ) 2
√329. sen 3x = 0, 56830. √2/2 53
31. √2/232. a) 1
2(sen 110◦ − sen 30◦) b) 1
2(sen 110◦ + sen 30◦) ) 1
2(cos 110◦ + cos 30◦) d) − 1
4(sen 6x− sen 4x− sen 2x)33. a) −1 b) − tg 2x34. a) Cierta b) Cierta ) No es ierta.d) Cierta e) No es ierta f ) Cierta35. a) x =
π
2+ k · 2π; k ∈ Z b) x =
{120◦ + 360◦k
240◦ + 360◦kk ∈ Z ) x =
π
4+ k · π; k ∈ Z
36. a) x =
{30◦ + 360◦k
150◦ + 360◦kk ∈ Z b) x =
{180◦k
45◦ + 180◦kk ∈ Z ) x = 360◦k; k ∈ Zd) x =
{180◦k
45◦ + 180◦kk ∈ Z e) x =
90◦ + 180◦k
240◦ + 360◦k
300◦ + 360◦k
k ∈ Z f ) x =
180◦ + 360◦k
60◦ + 360◦k
300◦ + 360◦k
k ∈ Z
g) x =
15◦ + 180◦k
180◦k
90◦ + 180◦k
k ∈ Z h) x =
180◦k
60◦ + 360◦k
180◦ + 360◦k
300◦ + 360◦k
k ∈ Z i) x =
210◦ + 360◦k
330◦ + 360◦k
199, 5◦ + 360◦k
350, 5◦ + 360◦k
k ∈ Z
j ) x =
{70◦31′ + 360◦k
289◦29′ + 360◦kk) x =
{30◦ + 180◦k
150◦ + 180◦kk ∈ Z l) x =
90◦ + 180◦k
30◦ + 360◦k
150◦ + 360◦k
k ∈ Zm) x = 45◦ + 180◦k n) x =
{60◦ + 180◦k
120◦ + 180◦kk ∈ Z ñ) x = 180◦k; k ∈ Zo) x =
{60◦ + 720◦k
300◦ + 720◦kk ∈ Z p) x =
{30◦ + 360◦k
150◦ + 360◦kk ∈ Z q) x =
{90◦ + 360◦k
360◦kk ∈ Z
37. a) x = 45◦ + 180◦k b) x =
180◦k
60◦ + 180◦k
120◦ + 180◦k
k ∈ Z ) x =
{30◦ + 360◦k
150◦ + 360◦kk ∈ Z
54
d) x =
{30◦ + 180◦k
150◦ + 180◦kk ∈ Z e) x =
{60◦ + 180◦k
120◦ + 180◦kk ∈ Z f ) x =
210◦ + 360◦k
330◦ + 360◦k
19◦28′16′′ + 360◦k
166◦31′43′′ + 360◦k
k ∈ Z
g) x = 180◦k h) x =
{30◦ + 60◦k
90◦ + 180◦kk ∈ Z i) 180◦k
60◦ + 180◦k
120◦ + 180◦k
k ∈ Z
j ) x = 360◦k k) x =
60◦k
360◦k
120◦ + 360◦k
240◦ + 360◦k
k ∈ Z l) x = 270◦ + 360◦k
m) x =
{60◦k
90◦kk ∈ Z n) x =
48◦35′25′′ + 360◦k
131◦24′34′′ + 360◦k
210◦ + 360◦k
330◦ + 360◦k
k ∈ Z
ñ) x =
{120◦ + 360◦k
240◦ + 360◦kk ∈ Z o) x =
60◦k
120◦ + 360◦k
240◦ + 360◦k
k ∈ Z
38. a) x = 30◦ y = 45◦ b) x = 90◦ y = 1 ) x = 45◦ y = 15◦ d) x = 90◦ y = 30◦e) x = 135◦ y = 45◦ f ) x = −30◦ y = 0◦g) x = 30◦ y = 0◦ h) x = 30◦ y = 90◦
A.2. Solu ionario del tema 2: Ve tores en el plano1. a) (11, 19) b) (11, 18) ) (−15,−24, )
2. a) �������
@@@@@R
~v
~u
11 b) 2~u = (4, 8), 1
2~u = (1, 2), −~u = (−2,−4), ~u− 1
3~v = (1, 5)
55
3. a) −~u = (−3,−4) −~v = (3,−4) b)������7
SS
SS
SSo
��
��
��/
SSSSSSw
~v ~u
~−u ~−v
4. a) Si b) No ) No5. Si es base.6. (19/7, 1/7)7. ~v(−4,−1)8. ~x(4, 2)9. a) ~u · ~v = −4 b) |~u| =√5, |~v| = √
13 ) (~u,~v) = 119, 74◦d) ~v(1/√5, 2/
√5) e) No son ortogonales, ~x = (2,−1) es ortogonal a ~u10. a) ~a ·~b = −14 b) |~a| =
√17 )
(~a,~b) = 160◦20′ d) |~b′| = − 14√17
1711. ~u · ~v = 212. a) ~u · ~v = −2 b) ~u · ~v = 0 ) ~u · ~v = 13 d) ~u · ~v = 113. a) No b) Si ) Si d) Si14. ( 4√65
,− 7√65
) y ( − 4√65
,7√65
)15. (−8/5, 6/5)16. (−6/√10, 2/
√10)17. (√
3
3,
√6
3
)18. a = 219. h = 420. El módulo de ~v queda multipli ado por k.21. ~x = (−2,−4/3)22. h = 3/423. Hay dos solu iones para m: m1 = 12 y m2 = −1224. Hay dos solu iones para b: b1 = −9 y b2 = 1 56
25. a = −3/526. ~x = (0, 3)27. 7/528. 0 y 129. ~x = (−1, 6)30. x = −331. a) x = −12/5 b) x = 5/1232. x = −3 y |~u+ ~v| =√2633. No pro ede la solu ión.34. |~u− ~v| = 4.35. ~v = (−1, 3)
36. ~x = (2,−1) e ~y = (3, 4)37. |~v| = 838. 90◦A.3. Solu ionario del tema 3: Geometría analíti a en el plano1. a) −−→AB(2, 8, ); M(3, 3) b) −−→
PQ(3, 1); M
(3
2,−9
2
) ) −−→AB(−3, 2
√2); M
(−1
2, 0
) d) −−→PQ(−
√3−
√2,√2 +
√3); M
(√2−
√3
2,
√2−
√3
2
)2. A(5,−2)3. A(3, 3), B(1, 5) y C(1,−3)4. C
(15
4,15
2
), D(9
2, 10
) y E
(21
4,25
2
)5.Punto y ve tor E ua ión ve torial Paramétri as Continua GeneralA(0, 2) y ~v(4, 3) (x, y) = (0, 2) + λ(4, 3)
{
x = 4λy = 2 + 3λ
x
4=
y − 2
33x− 4y + 8 = 0
A(2, 7) y ~v(−1, 2) (x, y) = (2, 7) + λ(−1, 2)
{
x = 2− λy = 7 + 2λ
x− 2
− 1=
y − 7
22x+ y − 11 = 0
A(5,−4) y ~v(2,−2) (x, y) = (5,−4) + λ(2,−2)
{
x = 5 + 2λy = −4− 2λ
x− 5
2=
y + 4
− 2x+ y − 1 = 0
A(0, 3) y ~v(2, 0) (x, y) = (0, 3) + λ(2, 0)
{
x = 2λy = 3
x
2=
y − 3
0y − 3 = 0
A(−1/2, π) y ~v(0,−2) (x, y) = (−1/2, π) + λ(0,−2)
{
x = −1/2y = π − 2λ
x+ 1/2
0=
y − π
− 2x+ 1/2 = 0
A(0, 0) y ~v(−1/3, 1/2) (x, y) = (0, 0) + λ(−1/3, 1/2)
x = −1
3λ
y =1
2λ
x
− 1/3=
y
1/23x+ 2y = 0
57
6. a) 2x− y + 1 = 0 b) y = −3 ) x− 3y + 9 = 07. a) 3x+ 2y − 6 = 0 b) y = −2 ) x+ y = 08. y =√3x+ 2, y = −
√3x+ 29. Ve tor de dire ión: ~v; ve tor normal: ~na) ~v(5, 2) y ~n(2,−5) b) ~v(−2, 3) y ~n(3, 2) ) ~v(1, 4) y ~n(4,−1) d) ~v(3, 1) y ~n(1,−3)10. Re ta paralela: ‖; re ta perpendi ular: ⊥a) ‖ : 2x+ y − 3 = 0
⊥ : x− 2y + 1 = 0b) ‖ : x− 2y + 6 = 0
⊥ : 2x+ y − 3 = 0 ) ‖ : 3x− y = 0
⊥ : x+ 3y = 011. Paralela: x+ 2y + 7 = 0; perpendi ular: 2x− y − 1 = 012. No, ya que los puntos medios de los segmentos AC y BD no oin iden.13. PMAB = (3, 5), PMBC =
(11
2, 3
), re ta que une los puntos medios anteriores: 4x+ 5y − 37 = 0.Las dos re tas son paralelas.14. a) x = 5 b) y = 415. 2x+ y − 6 = 016. a) m = −1/2 b) m = 5/4 ) m = −317. x− 2y + 10 = 018. a = 019. a) Paralelas b) Se antes; (−2
5,33
5
) ) Coin identesd) Paralelas e) Se antes; (9, 13) f ) Se antes; (17
2,3
2
)20. (9
5,2
5
)21. y = x+ 222. y = −123. (2, 1)24. (−1,−5)25. B(2, 3)26. a) m = −10 b) m = 18/5 ) No hay solu ión d) m = −727. a) a = 3/2 b) -628. 90◦29. 71, 57◦ 58
30. 81◦52′11, 6′′31. Hay dos solu iones: k = −10/3 y k = 6/532. k =√333. a) 5 unidades b) 10 unidades ) 2 unidades34. a) √89 unidades b) √
10 unidades ) √145 unidades35. a) Isós eles b) Es aleno ) Es aleno36. 28/5 unidades.37. 3
√13
26unidades.38. √5 unidades.39. C ( 6
11,47
11
), altura: √3665
242unidades, área: 1
2
√47645
121u240. C(−1, 5)41. D(2, 4), área: 9u242. 4u243. (15
4,29
4
)44. Son dos re tas paralelas a la re ta r separadas 2 unidades: 3x − 2y + (4 − 2√13) = 0 y 3x− 2y +
(4 + 2√13) = 045. B(29
2, 0
) y D
( − 19
2, 6
)46. Hay dos solu iones: y = x+ 4√2, y = x− 4
√247. Hay dos solu iones: y + 3 = −7
3(x− 2), y + 3 =
3
7(x − 2)48. a) 5
√2u, 5√2u, 2√5ub) 2
√10u, 2√5u, 2√10u ) H(1,−5) y G
(11
3,− 11
3
)49. Mediatriz: x+ y − 1 = 0, ángulo: 135◦50. x− y − 2 = 051. B(3, 4)52. √10
5unidades.53. Hay dos solu iones: (6
5,8
5
) y (−2, 0)54. Hay dos solu iones: 2x− y + (2√5− 5) = 0 y 2x− y + (−2
√5− 5) = 059
55. Hay dos solu iones: (−29
11,31
11
) y (1, 1)56. 3√2
2unidades.57. 12u258. 3x+ y + 3 = 059. 4
√2u60. Bari entro: (3, 2), orto entro: (2, 5
3
), ir un entro: (7
2,13
6
)61. Hay dos solu iones: y = x+ 2, y = x− 262. X
(9
5,−1
5
)63. a = −1 y b = −1 o b = −9A.4. Solu ionario del tema 4: Fun iones reales de variable real.Familia de fun iones1. No orresponden a una fun ión los apartados d), e), g), h) e i).2. a) Dom(f) = (−∞,−1] ∪ [0, 4] ∪ [5,+∞), Rec(f) = (−∞, 0] ∪ [1, 5], Dom(g) = R y Rec(f) = Rb) f(2) = 3 y f(0) = 1 ) g(0) = 1, g(2) = 2 y g(3) = 43.PSfrag repla ementsa) b) ) d)e) f ) g) h)i)k) 11
11
1
1
1
1
• Todas las fun iones son polinómi as y por tanto su dominio es R.a) Rec(f) = {5}, Puntos de ortes: (0, 5) b) Rec(f) = {0}, Puntos de ortes: {(a, 0), a ∈ R} ) Rec(f) = {5/2}, Puntos de ortes: (0, 5/2) d) Rec(f) = R, Puntos de ortes: (0, 0)e) Rec(f) = R, Puntos de ortes: (0, 0) f ) Rec(f) = R, Puntos de ortes: (0, 3), (3/5, 0)g) Rec(f) = R, Puntos de ortes: (−3, 0), (0,−3/2) h) Rec(f) = R, Puntos de ortes: (0,−3), (3/4, 0)
60
4.PSfrag repla ementsa) b) ) d)
e) f ) g) h)i)k)
11
11
111
1
• Todas las fun iones son polinómi as y por tanto su dominio es R.a) Rec(f) = [0,+∞); Vérti e: (0, 0); Puntos de ortes on los ejes: (0, 0)b) Rec(f) = [0,+∞); Vérti e: (0,−4); Puntos de ortes on los ejes: (0,−4), , (−2, 0), (2, 0) ) Rec(f) = [−9/4,+∞); Vérti e: (3/2,−9/4); Puntos de ortes on los ejes: (0, 0), (3, 0)d) Rec(f) = [−3,+∞); Vérti e: (2,−3); Puntos de ortes on los ejes: (0, 1), (2 +√3, 0),
(2−√3, 0)e) Rec(f) = (−∞, 9]; Vérti e: (0, 9); Puntos de ortes on los ejes: (0, 9)(−3, 0), (3, 0)f ) Rec(f) = [−1/4,+∞); Vérti e: (3/2,−1/4); Puntos de ortes on los ejes: (0, 2), (1, 0), (2, 0)g) Rec(f) = (−∞, 1/4]; Vérti e: (3/2, 1/4); Puntos de ortes on los ejes: (0,−2), (1, 0), (2, 0)h) Rec(f) = (−∞,−9]; Vérti e: (0,−9); Puntos de ortes on los ejes: (0,−9)5.
PSfrag repla ements a) b) )1
1
1
61
6.PSfrag repla ements
a) b) )d) e) f )
g)h)i)
y = 2x2
1
1
1
1
1
1
1
7.PSfrag repla ements
a) b) )d) e) f )
g)h)i)y
y
yyy
y
xx
xxx
x 11
11
1
1
1
1
a) Dom(f) = R−{0}; Rec(f) = R−{0}; Asíntotas: x = 0 e y = 0; Puntos de ortes on losejes: no tiene.b) Dom(f) = R−{2}; Rec(f) = R−{0}; Asíntotas: x = 2 e y = 0; Puntos de ortes on losejes: (0,−1). ) Dom(f) = R−{−3}; Rec(f) = R−{0}; Asíntotas: x = −3 e y = 0; Puntos de ortes onlos ejes: (0,−1/3). 62
d) Dom(f) = R−{1}; Rec(f) = R−{2}; Asíntotas: x = 1 e y = 2; Puntos de ortes on losejes: (−1/2, 0) y (0,−1).e) Dom(f) = R−{−3}; Rec(f) = R−{1}; Asíntotas: x = −3 e y = 1; Puntos de ortes onlos ejes: (−1, 0) y (0, 1/3).f ) Dom(f) = R− {−2}; Rec(f) = R−{−1}; Asíntotas: x = −2 e y = −1; Puntos de ortes on los ejes: (0, 0).8. a) Dom(f) = R− {1/2, 2} b) Dom(f) = R ) Dom(f) = R−{0,
3−√5
2,3 +
√5
2
} d) Dom(f) = R− {0, 2}e) Dom(f) = R− {1} f ) Dom(f) = R− {2, 3}g) Dom(f) = R− {0,−2, 3} h) Dom(f) = R− {±2,±1}i) Dom(f) = R− {−1}9.PSfrag repla ements
a) b) ) d)e) f ) g)
h) i)11
11
1
11
1
1
a) Dom(f) = [0,+∞); Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (0, 0).b) Dom(f) = [0,+∞); Rec(f) = (−∞, 0]; Puntos de ortes on los ejes: (0, 0). ) Dom(f) = [−7,+∞); Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (−7, 0) y (0,√7).d) Dom(f) = [−2,+∞); Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (−2, 0) y (0, 2).e) Dom(f) = [0,+∞); Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (0, 0).f ) Dom(f) = R; Rec(f) = R; Puntos de ortes on los ejes: (0, 0).g) Dom(f) = R; Rec(f) = R; Puntos de ortes on los ejes: (−1, 0) y (0, 1).h) Dom(f) = [2,+∞); Rec(f) = (−∞, 3]; Puntos de ortes on los ejes: (11, 0).i) Dom(f) = [0,+∞); Rec(f) = [2,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (0, 2).63
10. a) Dom(f) = [−3,+∞) b) Dom(f) =
[−3
2,3
2
] ) Dom(f) = R d) Dom(f) =
(−∞,
1
2
]∪ [2,+∞)e) Dom(f) = [−1, 5] f ) Dom(f) = [−2, 0] ∪ [2,+∞)g) Dom(f) =
[−5
2,+∞
] h) Dom(f) = Ri) Dom(f) =
[2
5,+∞
] j ) Dom(f) = (−∞,−1) ∪ [0,+∞)k) Dom(f) = [1, 2) l) Dom(f) = (−∞,−3) ∪ [3,+∞)m) Dom(f) = [3,+∞) ∪ (−2, 2) ∪ ∪ n) Dom(f) = (−∞,−2] ∪ (7,+∞)ñ) Dom(f) = (−6, 3] ∪ [0,+∞)11.
PSfrag repla ements
a) b) ) d)e) f ) g)h) i) j )
1111
11 1111
a) Dom(f) = R; Rec(f) = [0, 3]; Puntos de orte: (0, 1), (a, 0) on a ≥ 6 ; Monotonía:Cre iente en (1, 3), de re iente en (3, 6) y onstante en (−∞, 1)∪(6,+∞);A ota ión: a otada.64
b) Dom(f) = (−∞, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,+∞); Rec(f) = [0, 2]; Puntos de orte: (a, 0) on a < 0ó a ≥ 3 ; Monotonía: Cre iente en (0, 2) y onstante en (−∞, 0) ∪ (3,+∞); A ota ión:a otada. ) Dom(f) = R; Rec(f) = (R − Z) ∪ {0}; Puntos de orte:(a, 0) on a ∈ Z ; Monotonía:Cre iente en ada intervalo de la forma (a, a+ 1) on a ∈ Z; A ota ión: no está a otada.d) Dom(f) = R; Rec(f) = (−∞,−3) ∪ (5,+∞) ∪ {3}; Puntos de orte: (0, 3); Monotonía:Cre iente en (1,+∞), de re iente en (−∞, 0) y onstante en (0, 1); A ota ión: no está a o-tada.e) Dom(f) = (−∞, 1]∪ [2,+∞); Rec(f) = R; Puntos de orte: (0,−2) y (2/5, 0);Monotonía:Cre iente (−∞, 1) ∪ (2,+∞); A ota ión: no está a otada.f ) Dom(f) = R; Rec(f) = (−1,+∞); Puntos de orte: (0, 1) y (1/2, 0); Monotonía: Cre- iente en (−1,+∞), de re iente en (−1, 1) y onstante en (−∞,−1); A ota ión: a otadainferiormente.g) Dom(f) = R; Rec(f) = (−1/4,+∞); Puntos de orte: (0, 0) y (−1, 0); Monotonía: Cre- iente en (−1/2, 0), de re iente en (−∞,−1/2)∪ (0,+∞); A ota ión: a otada inferiormente.h) Dom(f) = R; Rec(f) = R; Puntos de orte: (a, 0) on 0 ≤ a ≤ 1; Monotonía: de re ienteen (−∞, 0) ∪ (1,+∞); A ota ión: no está a otada.i) Dom(f) = R; Rec(f) = R; Puntos de orte: (a, 0) on −1 ≤ a ≤ 1;Monotonía: de re ienteen (−∞,−1) ∪ (1,+∞); A ota ión: no está a otada.j ) Dom(f) = R − {−3, 0, 3}; Rec(f) = (0,+∞); Puntos de orte: no tiene; Monotonía:Cre iente en (−3, 0)∪ (3,+∞), de re iente en (−∞,−3)∪ (0, 3); A ota ión: a otada inferior-mente.12.
PSfrag repla ements
a) b) )d) e) f )g) h) i)
j ) 111
111
111
a) Dom(f) = R; Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (2, 0) y (0, 2).65
b) Dom(f) = R; Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (−2, 0) y (0, 4). ) Dom(f) = R; Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (a, 0) on a ≤ 0.d) Dom(f) = R; Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (0, 0).e) Dom(f) = R; Rec(f) = [1,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (0, 1).f ) Dom(f) = R; Rec(f) = (−∞, 0); Puntos de ortes on los ejes: (a, 0) on a ≥ 0.g) Dom(f) = R; Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (−1, 0), (1, 0) y (0, 1).h) Dom(f) = R; Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (−1, 0), (2, 0) y (0, 2).i) Dom(f) = R; Rec(f) = [5,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (0, 5).13. PSfrag repla ementsa) b) )d)e)f )g)h)i)j ) 11 114.
PSfrag repla ementsy = |f(x)| y = −f(x)
y = f(x) + 2 y = f(x− 2)
1
11
166
15.2 4 6 8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
2 4 6 8
-1
1
2
3
4
-10 -5 5 10
-4
-2
2
4
6
2 4 6 8
-1
1
2
3
4
5
y
-2 2 4 6
-2
-1
1
2
3
4
5
-2 2 4 6
-1
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-12
-10
-8
-6
-4
-2
PSfrag repla ements
a) b) )d) e) f )g) h) i)
j ) k) l)
a) Dom(f) = (0,+∞) b) Dom(f) = R− {0} ) Dom(f) = (0,+∞)d) Dom(f) = R− {0} e) Dom(f) = (0,+∞) f ) Dom(f) = (−2,+∞)g) Dom(f) = (−2,+∞) h) Dom(f) = R i) Dom(f) = Rj ) Dom(f) = R k) Dom(f) = R l) Dom(f) = R
67
16. a) Dom(f) = (1,+∞) b) Dom(f) = (−∞,−1) ∪ (1,+∞) ) Dom(f) = (−∞, 0) ∪ (5,+∞) d) Dom(f) = (−∞,−3) ∪ (2,+∞)e) Dom(f) = (0, e) ∪ (e,+∞) f ) Dom(f) = (3,+∞)g) Dom(f) = (−∞,−2) ∪ (2,+∞) h) Dom(f) = (−∞, 2) ∪ (4,+∞)i) Dom(f) = (−1, 1) j ) Dom(f) = (−∞,−3) ∪ (−1, 1)k) Dom(f) = R− {±3/2} l) Dom(f) = (1,+∞)− {2}17.
PSfrag repla ements
a)b) )d)e)f )
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π
π
π
π
π
π
3π/2
3π/2
3π/2
3π/2
3π/2
3π/2
2π
2π
2π
2π
2π
2π
5π/2
5π/2
5π/2
5π/2
5π/2
5π/2
3π
3π
3π
3π
3π
3π
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
−π
−π
−π
−π
−π
−π
−3π/2
−3π/2
−3π/2
−3π/2
−3π/2
−3π/2
−2π
−2π
−2π
−2π
−2π
−2π
−5π/2
−5π/2
−5π/2
−5π/2
−5π/2
−5π/2
−3π
−3π
−3π
−3π
−3π
−3π
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−2
−2
−2
−3
Todas son periódi as de periodo:a) 2π b) 2π ) 2π d) π e) 2π f ) π18. a) Dom(f) = R− {0} b) Dom(f) = R−{3
2+ (2k + 1)
π
4
}, k ∈ Z ) Dom(f) = R− {kπ} , k ∈ Z d) Dom(f) = R−
{(4k − 1)
π
4
}, k ∈ Ze) Dom(f) =
[−π
2,π
2
] f ) Dom(f) = R−{(2k + 1)
π
4
}, k ∈ Z68
19. a) Dom(f) = R b) Dom(f) = R− {−2} ) Dom(f) = R d) Dom(f) = R− {±√2}e) Dom(f) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) f ) Dom(f) = (−∞,−3) ∪ [1,+∞)g) Dom(f) = R h) Dom(f) = R− {2}i) Dom(f) = R j ) Dom(f) = (−∞,−4) ∪ (4,+∞)k) Dom(f) = (−∞,−5) ∪ (5,+∞) l) Dom(f) = R− {0}m) Dom(f) = (−∞, 1) ∪ (2,+∞) n) Dom(f) = (−∞,−2) ∪ (−1, 1) ∪ (2,+∞)ñ) Dom(f) = [−1, 5] o) Dom(f) = Rp) Dom(f) = R− {0} q) Dom(f) = R− {x = π/4 + kπ/2, k ∈ R}20. a) Dom(f) = R; Rec(f) = R b) Dom(f) = R; Rec(f) = {−2, 2} ) Dom(f) = R; Rec(f) = [−2,+∞) d) Dom(f) = (−5,+∞); Rec(f) = [0,+∞)e) Dom(f) = (0,+∞); Rec(f) = R f ) Dom(f) = R; Rec(f) = [0, 2]g) Dom(f) = R− {−2, 2}; Rec(f) = R h) Dom(f) = R− {−2}; Rec(f) = (−∞,−5] ∪ [0,+∞)21.
PSfrag repla ements
a) b) )d) e) f )g) h) i)
j ) 1 1111
1111
a) Dom(f) = R; Rec(f) = R; Puntos de orte: (0, 0); Monotonía: De re iente en R; A ota- ión: no está a otada.b) Dom(f) = R; Rec(f) = {−4}; Puntos de orte: (0, 4); Monotonía: Constante en R; A o-ta ión: está a otada. ) Dom(f) = R; Rec(f) = [−1,+∞); Puntos de orte: (0, 0), (2, 0); Monotonía: Cre iente en(1,+∞), de re iente en (−∞, 1); A ota ión: a otada inferiormente.d) Dom(f) = R; Rec(f) = (−∞, 1]; Puntos de orte: (2, 0), (4, 0), (0,−8); Monotonía: Cre- iente en (−∞, 3), de re iente en (3,+∞); A ota ión: a otada superiormente.69
e) Dom(f) = R − {2}; Rec(f) = R − {1}; Puntos de orte: (0,−1), (−2, 0); Monotonía:De re iente en todo su dominio; A ota ión: no está a otada.f ) Dom(f) = [3,+∞); Rec(f) = [2,+∞); Puntos de orte: No tiene; Monotonía: Cre ienteen su dominio; A ota ión: a otada inferiormente.g) Dom(f) = R; Rec(f) = [0,+∞); Puntos de orte: (0, 3), (−3/2, 0); Monotonía: Cre ienteen (−3/2,+∞), de re iente en (−∞,−3/2); A ota ión: a otada inferiormente.h) Dom(f) = R; Rec(f) = [0,+∞); Puntos de orte: (0, 0);Monotonía: Cre iente en (0,+∞),de re iente en (−∞, 0); A ota ión: a otada inferiormente.i) Dom(f) = R; Rec(f) = Z; Puntos de orte: (a, 0) on 0 ≤ a < 1; Monotonía: Constanteen ada intervalo de la forma (a, a+ 1) on a ∈ Z; A ota ión: no está a otada.22. a) Dom(f) = R; Rec(f) = (0,+∞); Puntos de orte: (0, 1/2); Monotonía: Cre iente en R;A ota ión: a otada inferiormente.b) Dom(f) = R; Rec(f) = (−4,+∞);Puntos de orte: (0,−35/9) y (2+log3 4, 0);Monotonía:Cre iente en todo R; A ota ión: está a otada inferiormente. ) Dom(f) = R; Rec(f) = (1,+∞); Puntos de orte: (0, 2); Monotonía: Cre iente en R;A ota ión: a otada inferiormente.d) Dom(f) = R; Rec(f) = (0,+∞); Puntos de orte: (0, 1); Monotonía: De re iente en R;A ota ión: a otada inferiormente.e) Dom(f) = (−3,+∞); Rec(f) = R; Puntos de orte: (0, log2 3), (−2, 0); Monotonía: re- iente en todo su dominio; A ota ión: no está a otada.f ) Dom(f) = (−5,+∞); Rec(f) = R; Puntos de orte: (0, 1+log3 5) y (−14/3, 0);Monotonía:Cre iente en su dominio; A ota ión: no está a otada.g) Dom(f) = (−1,+∞); Rec(f) = R; Puntos de orte: (0, 0); Monotonía: Cre iente en sudominio; A ota ión: no está a otada.h) Dom(f) = (0,+∞); Rec(f) = R; Puntos de orte: (1/8, 0); Monotonía: Cre iente en sudominio; A ota ión: no está a otada.i) Dom(f) = R−{0}; Rec(f) = (−∞,−1)∪ (1,+∞); Puntos de orte: no tiene; Monotonía:Cre iente en su dominio; A ota ión: no está a otada.70
PSfrag repla ements
a) b) )
d) e) f )g) h) i)
j ) 111111111
23. a) Dom(f) = R; Rec(f) = (−∞, 3); Puntos de orte: (−2, 0) y (0, 2); Monotonía: Cre ienteen todo (−∞, 1) y de re iente en (1,+∞); A ota ión: está a otada superiormente.b) Dom(f) = (1,+∞); Rec(f) = 0(0,+∞); Puntos de orte: no tiene; Monotonía: Cre ienteen (3,+∞) y de re iente en (1, 3) ; A ota ión: a otada inferiormente. ) Dom(f) = (R; Rec(f) = R; Puntos de orte: (0, 1), (−1/2, 0); Monotonía: re iente entodo su dominio; A ota ión: no está a otada.d) Dom(f) = [0,+∞); Rec(f) = [0, 1]; Puntos de orte: (0, 0);Monotonía: Cre iente en (0, 1)y de re iente en (1,+∞); A ota ión: está a otada.e) Dom(f) = (−∞, 2) ∪ (2, 5]; Rec(f) = (−1,+∞); Puntos de orte: (−1, 0), (1, 0), (5, 0) y0,−1; Monotonía: Cre iente en (0, 2), de re iente en (−∞, 0) ∪ (4, 5) y onstante en (2, 4);A ota ión: a otada inferiormente.f ) Dom(f) = (−∞, 5]); Rec(f) = [−1,+∞); Puntos de orte: (0, 0) y (4, 0); Monotonía:Cre iente en (0, 2) y de re iente en (−∞, 0) ∪ (2, 5); A ota ión: a otada inferiormente.71
PSfrag repla ementsa) b) )d) e) f )g)h)i)j ) 111
111
24. a) No es una fun ión.b) Si es fun ión. Dom(f) = R y Rec(f) = [0,+∞) ∪ {−2}. ) No es una fun ión.d) Si es fun ión. Dom(f) = (−∞, 0] ∪ [1,+∞) y Rec(f) = [−1,+∞).A.5. Solu ionario del tema 5: Álgebra de fun iones1. a) (f + g)(x) =3x2 − 4x− 4
3x− 6, Dom(f + g) = R− {2}b) (f · g)(x) = − x2 + x+ 2
3x− 6, Dom(f · g) = R− {2} ) (f/g)(x) =
3x2 − 3x− 6
2− x, Dom(f/g) = R− {2}2. (f/g)(x) =
√x+ 1
x+ 1, Dom(f/g) = (−1,+∞)3. (f · g)(x) = x− 1− 2√x+ 1
2x(x+ 1), Dom(f · g) = (−1, 0) ∪ (0,+∞)4. a) (f + g)(x) =
4x2 − 3x− 3
x(x− 3)(x− 1), Dom(f + g) = R− {0, 1, 3}b) (f − g)(x) =
− 2x2 + 7x− 3
x(x − 3)(x− 1), Dom(f − g) = R− {0, 1, 3} ) (f/g)(x) =
(3 + x)(x2 − 4x+ 3)
(x2 − 3x)(3x− 5), Dom(f/g) = R− {0, 1, 3, 5/3}5. a) (f ± g)(x) =
√x+ 3±
√25− x2, Dom(f ± g) = [−3, 5]b) (f/g)(x) =
√x+ 3√25− x2
, Dom(f/g) = [−3, 5)72
) (f · g)(x) =√(x + 3)(25− x2), Dom(f · g) = [−3, 5]d) (f ◦ g)(x) =
√22− x, Dom(f ◦ g) = [−3, 22]6. (f + g)(x) =
−x2 + 2x+ 2 si x < −2
−x2 + 3 si − 2 ≤ x ≤ 0
− x+ 5
2si 0 < x < 2
x2 − 6x+ 7
2(5− x)si x ≥ 2
Dom(f + g) = R− {5}
7. (f + g)(x) =
√x− 1 + 2 + x si 1 ≤ x ≤ 2
√x− 1 +
1
5 + xsi x > 2
Dom(f + g) = [−1,+∞)8. (g ◦ f)(x) =√
− 3x+ 3
x+ 1Dom(f ◦ g) = (−1, 1]9. a) (f ◦ g)(3) = 1b) (g ◦ f)(x) = − x2 − x+ 2
2(x+ 1), Dom(g ◦ f) = R− {−1} ) (f ◦ g)(x) = − x2 + 2x+ 11
2(x+ 1), Dom(f ◦ g) = R− {−1}10. a) (g ◦ f)(x) = 1
2x2 + x− 2, Dom(g ◦ f) = R−
{− 1±
√17
4
}
(f ◦ g)(x) = − 3x2 − 5x
(x+ 1)2, Dom(f ◦ g) = R− {−1}b) (g ◦ f)(x) = 3, Dom(g ◦ f) = R; (f ◦ g)(x) =
√10, Dom(f ◦ g) = R11. a) (g ◦ f)(x) =
√−x2 + 2x− 2, Dom(g ◦ f) = ∅. El dominio no tiene elementos y por tantono hay fun ión, por tanto, no siempre es posible omponer fun iones.b) (f ◦ g)(x) = 2√x− 2− x+ 2, Dom(f ◦ g) = [2,+∞)12. a) h = g ◦ f , donde f(x) =
√x y g(x) = 5x+ 5b) h = g ◦ f , donde f(x) = x2 + 3 y g(x) =
√x ) h = g ◦ f , donde f(x) = x2 y g(x) = 5x2 + 2x+ 613. k = −7/214. a) (f · g)(x) =
√x+ 2
x2 − 1, Dom(f · g) = [−2,+∞)− {±1}b) (f/g)(x) =1
(x2 − 1)√x+ 2
, Dom(f/g) = (−2,+∞)− {±1} ) (g ◦ f)(x) =√
2x2 − 1
x2 − 1, Dom(g ◦ f) = (−∞,−1) ∪
[− 1√
2,1√2
]∪ (1,+∞)d) (f ◦ g)(x) = 1
x+ 1, Dom(f ◦ g) = [−2,+∞)− {−1}e) (g ◦ g)(x) =
√√x+ 2 + 2, Dom(g ◦ g) = [−2,+∞)f ) (f ◦ f)(x) = x2 − 1
2− x2, Dom(f ◦ f) = R− {±1,±
√2}73
15. a) (g ◦ f)(x) = lnx2, (f ◦ g)(x) = ln2 x) b) (g ◦ f)(x) = ln(ex + 1), (f ◦ g)(x) = x+ 1 ) (g ◦ f)(x) = (√2)log2 x, (f ◦ g)(x) = x
2d) (g ◦ f)(x) = log4 2
x, (f ◦ g)(x) = 2log4 x16. a) f−1(x) =1− 6x
3, Dom(f−1) = Rb) f−1(x) =
3− 4x
1− 5x, Dom(f−1) = R− {1/5} ) f−1(x) =
7
x+ 1, Dom(f−1) = R− {−1}d) f−1(x) =
√27− x
3ó f−1(x) = −
√27− x
3, Dom(f−1) = (−∞, 27]e) f−1(x) = 1 +
√x+ 1 ó f−1(x) = 1−
√x+ 1, Dom(f−1) = [−1,+∞)f ) f−1(x) = x2 + 3, Dom(f−1) = R17. a) f−1(x) = 2x − 1, Dom(f−1) = Rb) f−1(x) = log2 x− 1, Dom(f−1) = (0,+∞) ) f−1(x) = 1 + e2x, Dom(f−1) = Rd) f−1(x) =
√1 + lnx, Dom(f−1) = [e−1,+∞)e) f−1(x) = log( x− 2), Dom(f−1) = (2,+∞)f ) f−1(x) =
2x+ 1
3, Dom(f−1) = Rg) f−1(x) = 1 + log3(x− 2), Dom(f−1) = (2,+∞)h) f−1(x) = −2 + log3 x, Dom(f−1) = (0,+∞)i) f−1(x) = 3x−2, Dom(f−1) = Rj ) f−1(x) = −3 + log2(1− x), Dom(f−1) = (−∞, 1)k) f−1(x) = 1 + 42x, Dom(f−1) = Rl) f−1(x) = 5 · 31−x, Dom(f−1) = Rm) f−1(x) =
√10
4−5x
3 − 4, Dom(f−1) =
(−∞,
4− 3 log 4
5
)18. a) (g ◦ f)(x) = x2 − 2 b) (g ◦ h)(x) = 1 + 2log3(2x−3) ) (f ◦ g)(x) = log2
[(1 + 2x)2 − 3
] d) (h ◦ g)(x) = log3(21+2x − 3)e) (h ◦ f)(x) = log3(x
2 − 6) f ) (f ◦ h)(x) = log2
[(log3(2
x − 3))2 − 3
]g) (f ◦ g−1)(x) = log2
[(log2(x− 1))
2 − 3] h) (h ◦ g−1)(x) = log3(x− 4)19. a) (f ◦ g)(x) = cos(2 arc cosx); (g ◦ f)(x) = 2xb) (f ◦ g)(x) = sen(2 arc cosx); (g ◦ f)(x) = arc cos(sen 2x)20. a) f−1 = 2 arc senx b) f−1 = arc sen(1− x2) ) f−1 = −1 + arc cosx d) f−1 =
√senx
74
21. a)(f + g)(x) =
4x− 6
x2 − 3x; Dom(f + g) = R− {0, 3}
(f − g)(x) =− 6
x2 − 3x; Dom(f − g) = R− {0, 3}
(f/g)(x) =x− 3
x; Dom(f/g) = R− {0, 3}
(1/f)(x) =x
2; Dom(1/f) = R− {0}
f−1(x) =2
x; Dom(f−1) = R− {0}
g−1(x) =2 + 3x
x; Dom(g−1) = R− {0}
(f ◦ g)(x) = 4
2− 3x; Dom(f ◦ g) = R− {0, 2/3}b)
(f + g)(x) =x3 + 2x2 − 5x− 9
x+ 2; Dom(f + g) = R− {−2}
(f − g)(x) =− x3 − 2x2 + 5x+ 11
x+ 2; Dom(f − g) = R− {−2}
(f/g)(x) =1
(x+ 2)(x2 − 5); Dom(f/g) = R− {−2,±
√5}
(1/f)(x) = x+ 2; Dom(1/f) = R− {−2}f−1(x) =
1− 2x
x; Dom(f−1) = R− {0}
g−1(x) =√x+ 5; Dom(g−1) =− 5,+∞)
(f ◦ g)(x) = − 5x2 − 20x− 19
(x+ 2)2; Dom(f ◦ g) = R− {−2} )
(f + g)(x) =x+ 1√
x; Dom(f + g) = (0,+∞)
(f − g)(x) =x− 1√
x; Dom(f − g) = (0,+∞)
(f/g)(x) = x; Dom(f/g) = (0,+∞)
(1/f)(x) =1√x; Dom(1/f) = (0,+∞)
f−1(x) = x2; Dom(f−1) = [0,+∞)
g−1(x) =1
x2; Dom(g−1) = (0,+∞)
(f ◦ g)(x) = 14√x; Dom(f ◦ g) = (0,+∞)
75
d)(f + g)(x) =
x3 + x2 + 4x+ 2
x+ 1; Dom(f + g) = R− {−1}
(f − g)(x) =− x3 − x2 − 2x− 4
x+ 1; Dom(f − g) = R− {−1}
(f/g)(x) =x− 1
(x+ 1)(x2 + 3); Dom(f/g) = R− {−1}
(1/f)(x) =x+ 1
x− 1; Dom(1/f) = R− {±1}
f−1(x) =− x− 1
x− 1; Dom(f−1) = R− {1}
g−1(x) =√x− 3; Dom(g−1) = [3,+∞)
(f ◦ g)(x) = 4x2 + 4x+ 4
(x+ 1)2; Dom(f ◦ g) = R− {−1}e)
(f + g)(x) =− x3 + x2 + 5x− 3
1− x; Dom(f + g) = R− {1}
(f − g)(x) =− x3 + x2 + 3x− 5
1− x; Dom(f − g) = R− {1}
(f/g)(x) =(x2 − 4)(1− x)
x+ 1; Dom(f/g) = R− {±1}
(1/f)(x) =1
x2 − 4; Dom(1/f) = R− {±2}
f−1(x) =√x+ 4; Dom(f−1) = [−4,+∞)
g−1(x) =x− 1
x+ 1; Dom(g−1) = R− {−1}
(f ◦ g)(x) = x2 − 3
− x2 + 5; Dom(f ◦ g) = R− {±
√5}f )
(f + g)(x) =3x
x2 − x− 2; Dom(f + g) = R− {2,−1}
(f − g)(x) =x+ 4
x2 − x− 2; Dom(f − g) = R− {2,−1}
(f/g)(x) =2
x2 − x− 2; Dom(f/g) = R− {−1, 2}
(1/f)(x) =x− 2
2; Dom(1/f) = R− {2}
f−1(x) =2 + 2x
x; Dom(f−1) = R− {0}
g−1(x) =1− x
x; Dom(g−1) = R− {0}
(f ◦ g)(x) = x− 2
x; Dom(f ◦ g) = R− {0, 2}A.6. Solu ionario del tema 6: Límite de fun iones. Continuidad1. a) 15 b) +∞ ) −∞ d) +∞e) 2 f ) +∞ g) { +∞ si x → 2+
−∞ si x → 2−h) 0i) { +∞ si x → 1+
−∞ si x → 1−j ) 0 k) 2 l) 2m) 2 n) −15/4 ñ) 1 o) +∞76
p) 0 q) 2/3 r) √5 s) −1/5t) 1 u) 1/32. a) −2 b) 1/4 ) 0 d) 1/3e) 0 f ) −∞ g) 0 h) 03. a) 0 b) 2 ) 2d) 12 e) ∞ f ) −24. a) { +∞ si x → +∞
0 si x → −∞b) 0 ) 1
e6d) 1e) e f ) 1√
eg) 1
e2h) +∞i) 0 j ) 15. a) −∞ b) +∞ ) 0 d) +∞ e) 1 f ) 06. a) 0 b) { −∞ si x → −2+
+∞ si x → −2− ) −1 d) 0e) { −∞ si x → 2+
+∞ si x → 2−f ) 0 g) 1 h) −1i) R− {2,−2} j ) R− {0}7. a) lım
x→0f(x) = 1 b) lım
x→2f(x) = 4 ) lım
x→3f(x) = 2, lım
x→5f(x) no existe; lım
x→5−f(x) = 4 y lım
x→5+f(x) = −8d) lım
x→0f(x) no existe; lım
x→0−f(x) = 1/2 y lım
x→0+f(x) = 28. a) lım
x→1f(x) no existe; lım
x→1−f(x) = −2 y lım
x→1+f(x) = 0b) lım
x→2f(x) = −3/2 ) lım
x→+∞f(x) = 1 d) lım
x→−∞f(x) = −∞9. a) lım
x→0f(x) = 1/2b) lım
x→1f(x) no existe; lım
x→1−f(x) = 1 y lım
x→1+f(x) =
√2
2 ) lımx→+∞
f(x) = +∞ d) lımx→−∞
f(x) = −∞10. k = −15/4
77
11.1 1 1
1 1
1 1 1
PSfrag repla ementsa) b) )d) e) f )
π/2
g) i)h)y = 2
y = 2
x = −3
x = −2
x = −2
x = 2
x = 2
x = 2y = −x− 2
y = −π/2
y = π/2 y = 1
y = 0y = 0
y = 0y = 0
x = 0
x = −1
12. No pro ede a solu ión.13. a) Dis ontinua en:x = −4 (Salto �nito)x = −3 (Evitable) x = −1 (Salto �nito)
x = 2 (Salto �nito) x = 6 (Salto �nito)b) Dis ontinua en:x = −4 (Salto �nito)x = 0 (Evitable) x = 2 (Salto in�nito)
x = 4 (Evitable) x = 6 (Tipo in�nito)14.1PSfrag repla ements
Continua en R− Z
78
15. a) Dom(f) = R− {2} b) En x = 2 ) Habría que de�nir f(2) = 416. a) Dom(f) = Rb) lımx→3
f(x) = 2 lımx→2
f(x) = 1 lımx→4
f(x) no existe; lımx→4−
f(x) = 3 y lımx→4+
f(x) = 11 ) f es ontinua en R− {4}17.
1PSfrag repla ements
Continua en R− {3}
18. a) Continua en R− {0}. En x = 0 dis ontinuidad de salto �nito, (salto = 2)b) Continua en R ) Continua en R − {3, 4}. En x = 3 dis ontinuidad de salto �nito, (salto = 5) y en x = 4dis ontinuidad de salto �nito, (salto = 16)d) Continua en R− {0}. En x = 0 dis ontinuidad de salto in�nito.e) Continua en R− {0}. En x = 0 dis ontinuidad de salto in�nito.f ) Continua en R.19. k = 220. Imposible.21. Evitable.22. a) a = 1 b) a = −8 ) a =1
2d) c = 1, a y b ualquiera.23. No pro ede la solu ión.24. a) Continua en Rb) Continua en R− {0}. En x = 0 dis ontinuidad de salto �nito, (salto = 2) ) Continua en R−{2, 1/2}. En x = 2 dis ontinuidad de tipo in�nito y en x = 1/2 dis ontinuidadde tipo in�nito.d) Continua en [5,+∞)e) Continua en Rf ) Continua en Rg) Continua en R− {e2}. En x = e2 dis ontinuidad de tipo in�nito.h) Continua en R− {x = 2kπ k ∈ Z}. En x = 2kπ dis ontinuidad de tipo in�nito.i) Continua Rj ) Continua en Rk) Continua en R− {0}. En x = 0 dis ontinuidad de salto �nito.l) Continua en R 79
A.7. Solu ionario del tema 7: Introdu ión al ál ulo diferen ial.Derivadas1. f ′(3) = 292. f ′(3) = 63. No pro ede la solu ión.4. a) f ′(2) = 0 b) f ′(1) = 5 ) f ′(−1) = −8 d) f ′(2) = 12 e) f ′(6) =1
6f ) f ′(0) = 0 g) f ′(1) =1
2h) f ′(2) =
1
25. a) Continua en R y derivable en R− {0} b) Continua en R y derivable en R− {0} ) Continua y derivable en R d) Continua en R y derivable en R− {1}e) Continua y derivable en R− {3}6. a) Es derivable en x = 2, f ′(2) = 3 b) Es derivable en x = 1, f ′(1) = 2 ) No es derivable en x = 1, f ′−(1) = 3 y f ′
+(1) = 2d) No es derivable en x = −2, f ′−(−2) = −5 y f ′
+(−2) = 5; f ′−(3) = −5 y f ′
+(3) = 57. a) a =3
2, b = −2 b) a = −5, b = −3
2 ) a = −13, b = −7 d) a = −1
2, b = −3
2e) a = −1
2, b = 48. Continua y derivable en R− {±1}9. Continua y derivable en [0,+∞)− {3}10. a) f ′(x) = 4x3 b) f ′(x) =
− 2
x3 ) f ′(x) =2
3 3√x
d) f ′(x) = 8x3 − 9x2 + 2xe) f ′(x) = 18x2 + 10x f ) f ′(x) = 20x3 + 4x− 5g) f ′(x) = x4 + 2x2 − 8 h) f ′(x) = − 6
x3− 1
x2i) f ′(x) = − 2
x3− 3
x4− 2
x2j ) f ′(x) = −16
x5− 4
x3− 1
x4k) f ′(x) = 5x4 + 6x2 − 3 l) f ′(x) = 4x3 + 6x2 + 1m) f ′(x) = 4x3 + 3x2 − 8x− 3 n) f ′(x) =2x3 − 6
x3ñ) f ′(x) =− 3x− 8
x5o) f ′(x) =
3
5x2p) f ′(x) =
− 2
(x− 1)3q) f ′(x) =
− x3 + 6x+ 12
x3(x+ 3)2r) f ′(x) =− 4
(2x− 1)2s) f ′(x) =
2x3 − 9x2
(x − 3)280
t) f ′(x) =x2 + 8x+ 1
(x + 4)211. a) f ′(x) = 4x(1 + x ln 4) b) f ′(x) = cosx− senx ) f ′(x) = cosx+ 2ex d) f ′(x) = 3x(ln 3 · lnx+1
x)e) f ′(x) = 4(6x+ 1)(2x3 + x)3 f ) f ′(x) =
2x3(x+ 2)
(1 + x)3g) f ′(x) = 10x(x2 − 3)4 h) f ′(x) = 8e2x(e2x + 3)3i) f ′(x) =ex(x − 1)
x2j ) f ′(x) = x · 2x · a2x(2 + x ln 2 + 2x ln a)k) f ′(x) = 4 cos 4x l) f ′(x) = 4 sen3 x · cosxm) f ′(x) = 4x3 cosx4 n) f ′(x) =
4x
cos2 2x2ñ) f ′(x) = −2 tg 2x o) f ′(x) =1
2√x(1 + x)p) f ′(x) = − senx · ecosx q) f ′(x) = − 1
1− x2r) f ′(x) =cosx
(1− senx)2
√1− senx
1 + senxs) f ′(x) = −x tg
(x2
2
) t) f ′(x) =− 2[1 + tg2(1− 2x)]
tg(1− 2x)=
− 4
sen(2 − 4x)12. a) f ′(x) = xx(1 + lnx) b) f ′(x) = (√x)
√x(1 + ln
√x
2√x
) ) f ′(x) = (senx)x(ln(senx) + x cotg x) d) f ′(x) = (lnx)ln x
[1 + ln(lnx)
x
]e) f ′(x) = (√x)tg x
[(1 + tg2 x) ln
√x+
tg x
2x
] f ) f ′(x) = (tg x)√x
[ln(tg x)
2√x
+
√x(1 + tg2 x)
tg x
]g) f ′(x) = (cosx)sen 2x [2 cos 2x ln(cosx)− tg x · sen 2x]h) f ′(x) =
(x+
1
x
)x [ln
(x2 + 1
x
)+
x2 − 1
x2 + 1
]i) f ′(x) = (arc senx2)2x[2 ln(arc senx2) +
4x2
arc senx2 ·√1− x4
]13. a) f′′′
(x) = 33 · ln3 2 · 23x b) f4)(x) =2 · 4!
(x− 1)5 ) f10)(x) = −310 sen 3x d) f5)(x) =4!
(x + 2)514. a) fn)(x) =(−1)n+1 · (n− 1)!
(x− 1)nb) fn)(x) = ex + (−1)ne−x ) fn)(x) =
(−1)n(n+ 1)!
xn+281
15. a) y′ = 2x3 + x2 − 5 b) y′ = − 6
x3− 6
x4+
5
x2 ) y′ = 5
(− 2
x3− 3
x4
) d) y′ =2
3 3√x+
1
66√x5
+3
4 4√xe) y′ =
2x+ 1
3f ) y′ =
− 2
(x− 1)2g) y′ =x√
x2 + 1h) y′ = 20x(x2 + 1)9i) y′ =
(−7 + x) · (1− x)2
(1 + x)5j ) y′ =
2√x+ 1
4√x2 + x
√xk) y′ =
x2 − 2x− 1
3(x2 + 1) 3√(1 + x2)(1− x)2
l) y′ =2ex
(1− ex)2m) y′ =
1
x lnxn) y′ =
− 4x
1− x2ñ) y′ =2
1− x2o) y′ =
− 1
(1− x)√xp) y′ = senx+ x cosx q) y′ =
2
e−2x16. a) y′ = 2x cosx2 + 2 senx cos x+ 2 cos 2x b) y′ = −6(1 + cos2 x)2 cosx · senx ) y′ = ex(cosx− senx) d) y′ =2
cosxe) y′ = −2ex tg ex f ) y′ =lnx− 1
ln2 xg) y′ =(1 + tg2 x)x − tg x
x2h) y′ =
1
1 + x2i) y′ =4 tg x(1 + tg2 x)
(1− tg2 x)2j ) y′ =
1√4− x2k) y′ =
(arc cosx)−4/3
3√1− x2
l) y′ =ex
1 + e2xm) y′ =− 1√1− x2
n) y′ =
ex(arc tg x− 1
1 + x2
)
(arc tg x)2ñ) y′ =− 2
1 + x2o) y′ =
senx
1 + cos2 xp) y′ =2√
1− x2q) y′ =
− 1
2x(x − 1)
√x− 1
x+ 1r) y′ =− 4
e4x + e−4xA.8. Solu ionario del tema 8: Apli a iones de las derivadas1. a) Re ta tangente: 4x− y + 6 = 0, re ta normal: x+ 4y − 7 = 0b) Re ta tangente: 16x− y − 16 = 0, re ta normal: x+ 16y − 258 = 0 ) Re ta tangente: 9x+ y − 6 = 0, re ta normal: x− 9y − 28 = 0d) Re ta tangente: 9x− 125y + 64 = 0, re ta normal: 625x+ 45y − 2536 = 082
e) Re ta tangente: 8x− 2y − π = 0, re ta normal: 8x+ 32y − π = 0f ) Re ta tangente: 30√6x+16y− 4√2+5π
√6 = 0, re ta normal: 16√6− 180y− 16π+45
√2 = 02. y = e−1x3. 4
√3x− 12y − 37 + 8
√3 = 04. 2x+ y − 14 = 05. (1, 1)6. 4x+ y + 7 = 07. r ≡ 5x− y + 8 = 0, s ≡ 5x− y − 8 = 08. 3x− y − 11 + ln 64
9. y = −x2 + 6x− 710. (1,−3)11. a = 1/812. k = 11/313. v(2) = 11 m/s14. a) vm = 10 m/s b) 21, 87 m.15. a) De re iente en R− {0}b) Cre iente en (−∞, 0) ∪ (2,+∞), de re iente en (0, 2) ) Cre iente en (−1,+∞), de re iente en (−∞,−1)d) Cre iente en (−∞, 0), de re iente en (0,+∞)e) De re iente en su dominio.f ) Cre iente en (−∞,−1) ∪ (−1, 0), de re iente en (0, 1) ∪ (1,+∞)g) Cre iente en (−1, 0) ∪ (1,+∞), de re iente en (−∞,−1) ∪ (0, 1)h) Cre iente en (0,+∞), de re iente en (−∞, 0)i) Cre iente en (1,+∞), de re iente en (−∞,−1)16. a) Máximos relativos: (0, 12), mínimos relativos: (4,−20)b) Máximos relativos: (0, 0), mínimos relativos: (1,−1) y (−1,−1) ) Máximos relativos: (0,−1)d) Máximos relativos: (7π
4,√2
), mínimos relativos: (3π
4,−
√2
)e) Máximos relativos: (π
4,1
2
), mínimos relativos: (3π
4,− 1
2
)f ) Mínimos relativos:(−5
2,53
16
) y (−1,−5)g) No tiene extremos lo ales.h) Máximos relativos: (0, 1)17. a) Máximo absoluto: (π
4,√2
), Máximo relativo: (0, 1),mínimo absoluto: (5π
4,−
√2
), mínimo relativo: (2π, 1)b) Máximo absoluto: (5π
3,5π
3+ 5 +
√3
), Máximo relativo: (0, 5),mínimo absoluto: (π
3,π
3+ 5−
√3
), mínimo relativo: (2π, 2π + 5)18. y = x2 + x19. a) Cón ava: (−∞,−2)∪ (0, 2), onvexa: (−2, 0)∪ (2,+∞), puntos de in�exión: (−2,2202
35
),(0, 0) y (2,−2202
35
) 83
b) Cón ava: (−1, 1), onvexa: (−∞,−1) ∪ (1,+∞) ) Cón ava: (0,+∞), onvexa: (−∞, 0), puntos de in�exión: (0, 0)d) Cón ava: (−∞, 5/3), onvexa: (5/3,+∞), puntos de in�exión: (5
3,−187
27
)e) Cón ava: (−∞, 1), onvexa: (1,+∞)f ) Cón ava: (−∞, 1), onvexa: (1,+∞)20. y = x3 − 3x2 + 221. y = x3 − 3x2 + 322. a) Dom(f)= RContinua en RPuntos de ortes: (1, 0), (−2, 0) y (0, 2)No es simétri a.No tiene asíntotas.Cre iente en (−∞,−1) ∪ (1,+∞)De re iente en (−1, 1)Máximo relativo en (−1, 4)Mínimo relativo en (1, 0)Cón ava en (−∞, 0)Convexa en (0,+∞)Punto de in�exión en (0, 2) 1
b) Dom(f)= RContinua en RPuntos de ortes: (−8/5, 0) y (0, 8)No es simétri a.Asíntota horizontal: y = 0.Cre iente en (−3,−1/5De re iente en (−∞,−3) ∪ (−1/5,+∞)Máximo relativo en (−1/5, 175/21)Mínimo relativo en (−3,−1)
f ′′(x) =2(5x3 + 24x2 + 9x− 5)
(x2 + x+ 1)3
1 y=0
84
) Dom(f)= RContinua en RPuntos de ortes: (−4, 0) y (0, 0)No es simétri a.No tiene asíntotas.Cre iente en (−3,+∞De re iente en (−∞,−3)Mínimo relativo en (−3,−3)Cón ava en (−2, 0)Convexa en (−∞,−2) ∪ (0,+∞)Punto de in�exión en (0, 0) y (−2,−16/9)
-4-3 -2
-1
1 2
-3
-2
-1
1
2
3
4
d) Dom(f)= R− {1, 3}Continua en R− {1, 3}Puntos de ortes: (0, 0)No es simétri a.Asíntota horizontal: y = 1.Asíntotas verti ales: x = 1 y x = 3Cre iente en (0, 1) ∪ (1, 3/2)De re iente en (−∞, 0)∪(3/2, 3)∪(3,+∞)Máximo relativo en (3/2,−3)Mínimo relativo en (0, 0)
f ′′(x) =2(4x3 − 9x2 + 9)
(x2 − 4x+ 3)3
-4 -2 2 4 6 8
-6
-4
-2
2
4
x=3
x=1
y=1
e) Dom(f)= R− {0}Continua en R− {0}Puntos de ortes: (−1, 0) y (1, 0)Es simétri a on respe to al origen (impar).Asíntotas verti ales: x = 0Asíntota obli ua: y = x.Es re iente en su dominio.No tiene extremos relativos.Cón ava en (0,+∞)Convexa en (−∞, 0)No tiene puntos de in�exión. -4 -2 2 4
-4
-2
2
4y=x
x=0
85
f ) Dom(f)= R− {0}Continua en R− {0}Puntos de ortes: ( 3√−4, 0)No es simétri a.Asíntotas verti ales: x = 0Asíntota obli ua: y = x.Cre iente en (−∞, 0) ∪ (2,+∞)De re iente en (0, 2)Mínimo relativo en (2, 3)Es onvexa en su dominio.No tiene puntos de in�exión.
y=x
x=0
-4-2 2 4
-6
-4
-2
2
4
6
23. La grá� a del apartado b).24. a) on 3) b) on 4) ) on 1) d) on 2)25. f ′(−2) =4
5y f ′(4) =
5
726. x = a es máximo relativo; x = b es mínimo relativo y x = c es punto de in�exión.27.PSfrag repla ements
a) b)11
86
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