control discretizacion de controladores y plantas
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7/23/2019 Control Discretizacion de Controladores y Plantas
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Control Automtico
Discretizacin de reguladores y plantas
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0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Contenido
Discretizacin a partir de la funcin de
transferencia en tiempo continuo Por respuesta invariante al impulso
Por retenedor de orden cero (ZOH)
Por Tustin o transformacin bilineal
Por mapeo de polos (solo para SISO)
Ejemplos
Ejercicios
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Esquema de un control digital
Computador
y(t)
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Escogencia del periodo de
muestreo
El periodo de muestreo Ts debe ser escogido
para que sea menor que una dcima parte dela constante de tiempo dominante, del
sistema que se espera en lazo cerrado
.10
1doms TT q
= en dom.
analgico = s
en el dom. discreto.
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Por mapeo de polos y cerosLa ganancia K se calcula como
Se satisface exactamente la relacin
11
)1(
11
)()1(
)(
==
=
+
=
z
Tz
Tp
q
i
iqn
n
i
i
B
e
e
zz
z
KK
=
=
=
== n
i
i
q
i
i
B
p
z
KsGKs
1
1
0)(
sTez=
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 4: Discretizacin de
una planta por mapeo z = esT
Encuentre el modelo en tiempo discreto para
la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s
Los datos del sistema continuo son:
P = [-4 -1 ]
n = 2; q = 0
KB = P(0) = 1
)4)(1(
4)(
++=
sssP
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 4: cont.
Evaluamos las frmulas
)e)(zez
zzP
.*-.*-
--
101104
)102(
(
)1()(
+=
)(*)( 1 zPKzP =
0.1sT,)90480)(67030(
)1(0156870)( ==
.z-.z-
z+.zP
7486.63)1( =P 7486.63/11 =K
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta al impulso
Se puedeobservar que
solamente la
forma
invariante alimpulso
conserva este
tipo de
respuesta
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta al escaln
Todas lasformas
conservan la
respuesta ante
un escalnexcepto la
invariante al
impulso, que lo
hace solo si es
escalada por T
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pzoh
Ptustin
Pmatched
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta ante rampa
Todas lasformas
conservan la
respuesta ante
una rampaexcepto la
invariante al
impulso.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Respuesta ante rampa
Time (sec)
Amplitude
P
Pzoh
PTustin
Pmatched
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 5: Discretizacin del
regulador PID
El PID ideal se puede discretizar por los
mtodos de
La aproximacin trapezoidal a la integral y la
aproximacin de Euler a la derivada
Transformacin bilineal o mtodo de Tustin
(s z kT)
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Discretizacin del PID por
aproximaciones a la I y D
Partimos de la expresin para el PID en el
dominio del tiempo continuo
Obtenemos la forma posicional del algoritmo
del PID
[ ]0.
)1()(
2
)1()(()()( m
T
kekeKInt
TkekeKkeKkm
s
dprevs
iP ++
+++=
0
0
)()()()( mtedt
dKdeKteKtm D
t
IP +++=
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Discretizacin del PID por
transformacin bilineal
Partimos de la expresin para el PID en el
dominio de la frecuencia compleja
Sustituimos
y obtenemos la forma de velocidad del
algoritmo del PID
[ ] [ ])2()1(2)()()1()()1()( ++++= kekekeT
TKke
T
TKkekeKkmkm
s
dP
i
sPP
dP
i
PPPID TKs
sT
KKsK ++=)(
)1(
)1(2
+
z
z
Ts
ImpulseResponse
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
La forma de velocidad del PID
discreto
La forma de velocidad del PID se puede
simplificar a
donde las constantes A, B y C dependen de
KP, Ti, Td y del tiempo de muestreo TS
Tambin se puede llegar a esta forma si
restamos la forma posicional del PID
evaluada en k y en k-1 Esta forma es menos propensa al windup
)2()1()()1()( +++= keCkeBkeAkmkm
ImpulseResponse
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Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejercicios
Obtenga y compare los modelos discretos,
con el periodo de muestreo T dado para lasfunciones G(s), F(s) y H(s); por los cuatro
mtodos vistos en clase.
0.05sT;
)9(
)3)(4.0()( =
+
++=
ss
sssF
0.1sT;)1(
)3()(
2 =
+
+=
ss
ssH
0.2sT;)2)(1(
*3)(4.0*
=++
=
ssesG
s
0 7Impulse Response
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Time (sec)
Amplitude
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Referencias Bollinger, John G., Duffie, Neil A.. Computer Control of
Machines and Processes, Addison-Wesley, USA, 1988.
Kuo, Benjamin C.. Sistemas de Control Automtico, Ed. 7,Prentice Hall, 1996, Mxico.
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