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Conjuntos Ejercicios Resueltos
Determinación de conjuntos
Para denotar conjuntos utilizaremos letras mayúsculas, y para especificar los elementos que pertenecen (o no) a los conjuntos usaremos letras minúsculas.
el elemento a pertenece al conjunto A,
simbólicamente
a A
si el elemento s no pertenece al conjunto A, escribimos
s A
Si a A ; b A ; c A ; d A
y solo a ; b ; c y d pertenecen al conjunto A
Podemos escribir :
A = { a, b, c, d }
Hemos definido el conjunto A por extensión, nominando entre llaves todos y cada uno de los
elementos que lo componen
Una representación visual de los conjuntos es la de diagramas de Venn
A
.a
.b
.c.d
1-21-2
33
11 22 33
Pero también al mismo conjunto A podríamos definirlo por comprensión
A = { x /x es una de las primeras cuatro letras del alfabeto }
Definimos por comprensión un conjunto, enunciando las propiedades (o características) que son propias de todos los elementos del
conjunto y solamente de ellos
Ejemplo
A = {x / x N x 4 } por comprensiónA = { 1, 2, 3 } por extensión
B = { -2, -1, 0, 1, 2 } por extensiónB = {x / x Z x 2 } por comprensión
Si un conjunto no tiene elementos decimos que está vacío
Simbólicamente A =
Cuando el conjunto es infinito, como el conjunto de los números naturales; acudiendo a un abuso de notación puede proponerse una
determinación por extensión aparente como:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . . . . . . . . . . . . }
1-21-2
33 66
11 22 33
66
Por ejemplo: el conjunto de los nombres de los jugadores de un equipo de fútbol
Entre los 11 jugadores pueden haber algunos cuyos nombres sean los mismos. Por ejemplo: 3 se laman Juan; 2 se llaman
Alberto; y los 6 jugadores restantes tienen nombres diferentes.
Cada jugador es un elemento,
Sea el conjunto A = { a, a, a, b, c, c }
Conformado por 6 elementos de los cuales 1 se repite tres
veces, otro dos veces y el tercero aparece una sola vez
Decimos que : la multiplicidad del elemento a en el conjunto A es 3
la multiplicidad del elemento b en el conjunto A es 1
la multiplicidad del elemento c en el conjunto A es 2
Multiconjuntos
Puede suceder que en un conjunto algunos elementos no sean diferentes (se repiten), este es el caso de un multiconjunto
aunque hay elementos que tienen el mismo nombre
1-21-2
33
11 22 33
Puede suceder que todos los elementos de un conjunto, pertenezcan también a otro conjunto.
Por ejemplo: A = { x/x es alumno de la carrera Lic. en Sistemas }
B = { x/x es alumno de FACENA }Es obvio que todos los alumnos de la carrera de Licenciatura en
Sistemas son alumnos de la Facultad de Ciencias Exctas y Naturales y Agrimensura
Entonces decimos que: A está incluído en B A B
Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 } en diagramas de Venn A
12
34
5
BB = { 1, 2, 3, 4 }
entonces B A
Todos los elementos de B pertencen al conjunto A
Recordá siempre que
entre elemento y conjunto la relación es de pertenencia
entre conjuntos la relación es de inclusión
44 5 i-iii5 i-iii
5 iv-vi5 iv-vi
1a) Si decimos R es un subconjunto de T
Simbólicamente escribimos R R
T
b) Si decimos x es un elemento de Y
Simbólicamente escribimos x y
Y
. x
c) El conjunto vacío
simbólicamente es A =
. a
. b
A
d) Si decimos M no es un subconjunto de S
Simbólicamente escribimos M S
M S
. a
. b
e) z no pertenece a A A. a .
bf) r pertenece a A A
. r. b
Simbólicamente escribimos z A
Simbólicamente escribimos r A
T
también A = { }
ó bien
M S
. a
. b
. c
2) i) A = { x : x es vocal } por extensión se escribe :
A = { a, e, i, o, u }
ii) B = { x : x es dígito del número 2324 } por extensión se escribe
B = { 2, 2, 3, 4 }
con cardinalidad 2 para el elemento 2, si lo tomamos como
multiconjuntoiii) C = {x : x es una letra de la palabra “fallar”} por extensión se escribe
C = { f, a, a, l, l, r }
con cardinalidad 2 para los elementos “a” y “l”, si es
multiconjuntoiv) D = { x : x2 - 2 = 0 } se buscan los valores de x que verifican la
ecuaciónx2
= 2 x2= entonces:
x1
= 2 2 D =
{2 , }
v) E = { x : x2 = 9 x - 3 = 5 }
se buscan los valores de x que verifiquen ambas condiciones
x2=x1
= 39 39 y x1-2 = 8
Los valores que verifican una de las condiciones, no verifican la otra y
viceversa
en consecuencia
E =
2
B = { 2, 3, 4 }
al tomarlo como
conjunto
al tomarlo como
conjunto
C = { f, a, l, r }
3) a) A = { 1, 2, 4, 8, 16, . . . . }
por comprensión, son números naturales que comienzan en 1 y luego se suceden
como el doble del anterior
cualquiera sea i 0 entonces:
A = { x / x N x = 2i, i 0 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . . } por comprensión son números naturales impares
x1 = 20 = 1; x2 = 21 = 2; x3 = 22 = 4; x4= 23 = 8 . . . . . . . . . . xn
= 2n-1
B = { x / x N x es impar } ó B = { x / x N x = 2h - 1, h 1 }
C = {1, -1} por comprensión son números enteros, opuestos (de igual valor absoluto)
C = { x / x Z x= 1 }
D = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 } por comprensión son números que resultan de elevar al cuadrado cualquier natural menor que
7D= { x / x N x = n2, con n N, n 7 }
b) A = { x / x N 3 x 10 }
= A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
B = { x / x N 5 x }
= B = { 5, 10, 15, 20, 25, . . . . . . }
4) Representamos en diagrama de Venn
A = { 1, 2, . . . . ., 8, 9 }
3
5
27
9
46
8
1D
E
C
B
AB = { 2, 4, 6, 8 }C = {1, 3, 5, 7, 9 }D = { 3, 4, 5 }
E = { 3, 5 }
iv) Si X C pero X A
i) Si X y B son disyuntos
en el diagrama se aprecia que
ii) Si X D pero X B
entonces X = E
iii) Si X A pero X C entonces
entonces X =
Esto es imposible, porque en este caso todos los conjuntos dados están
incluídos en el conjunto A
X = C ó X = E
X = B
5) i) { 1, 4, 3 } = { 3, 4, 1 } Es verdadero
porque los elementos de los dos conjuntos son los mismos y si dos conjuntos tienen los mismos elementos, son
igualesii) { 3, 1, 2 } { 1, 2, 3 }
Es verdadero
los elementos de los dos conjuntos son los mismos
podemos decir: A = B y B = A entonces A = A
Todo conjunto está incluido en sí mismo
iii) 1 { 1, 2 }
1 { 1, 2 } porque es un elemento del conjunto
Al establecerse una relación de pertenencia
Negamos que se establezca una relación de inclusión
Mas precisamente 1 no está incluido en { 1, 2 } , sino que pertenece a { 1, 2 }
Es verdadero
5 iv-5 iv-vivi
5) iv) { 4 } { { 4 } }
{ 4 } es un elemento del conjunto { { 4 } }La relación que se
establece entre elemento y conjunto es de
pertenencia
Es verdadero
vi) { { 4 } }
v) { 4 } { { 4 } }
Es falso
es un conjunto, no es un elemento (en este caso)
está incluido en cualquier conjunto
Es verdadero
Recuerde siempre que:
la pertenencia relaciona elementos con conjuntos
la inclusión relaciona conjuntos entre sí
el conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos
6) Determine si los conjuntos dados son vacíos : i) X = {x : x2 = 9 2 x = 4 }
El conjunto X está conformado por elementos que verifican las dos ecuaciones dadas en la definición por comprensión, pero debe verificar
ambas por que los que vincula las ecuaciones es una conjunción
9x9x2 x1 = 3
x2 = - 3
2 x = 4
224
x
En ningún caso coinciden x1 o x2 con x = 1/2
Entonces: X =
ii) Y = { x : x x }
El conjunto Y estará conformado por elementos x que sean distintos de sí mismos . . . .
Esto contradice el primer principio de la lógica clásica “todo objeto es idéntico a sí mismo” (P. de Identidad)
Entonces : Y =
iii) Z = { x : x + 8 = 8 }
x = 8 – 8 = 0 Z = { 0 }
Entonces : Z
Si un conjunto tiene un número determinado de elementos,
decimos que es un conjunto finito
Formalmente, dado un conjunto A (de n elementos)
si es posible establecer una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los elementos de A con los elementos de un conjunto B de
cardinalidad n
A Bx1
x2
x3
xn
abc
n
B es un conjunto finito de n elementos
Un conjunto es infinito, si no es finito.
Si es posible establecer una relación biunívoca entre los elementos de un conjunto C cualquiera, con los elementos de N (conjunto de números
naturales)Tenemos en C un conjunto infinito contable o numerable
o lo que es lo mismo, podemos decir que la cardinalidad de C es infinita contable
7 i-iii7 i-iii
7 iv-v7 iv-v
7) i) El conjunto de “los meses del año” es un conjunto finito de doce
elementosA = { enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto,
septiembre, octubre, noviembre, diciembre }
Es un conjunto finito
ii) B = {1, 2, 3, . . . ., 99, 100} son los cien primeros números naturales
Es un conjunto finito
iii) C = El conjunto de personas que viven en la tierra
este es un conjunto que a priori suele ser pensado como infinito, o en el
mejor de los casos infinito contable . . .
la cantidad de elementos que posee (personas que viven sobre la tierra) nos
impacta.
debemos reconocer que, si tomamos un instante determinado, la limitación para poder contar los elementos es solo técnica. En el futuro podríamos
empadronar a cada una de las personas que viven sobre la tierra
establecer una relación biunívoca entre el conjunto C y un conjunto de números naturales cardinalidad n (nº de
personas que viven sobre la tierra)
Es un conjunto finito7 iv-v7 iv-v
7 iv) Q = { x / x Q } R : conjunto de los números racionales
Para explicar mejor el problema, analizaremos un intervalo cualquiera de los racionales, por ejemplo el intervalo [0, 1]
Intentamos establecer una correspondencia biunívoca entre los racionales de [0, 1] (conjunto A) y algún conjunto B de cardinal n
0 1 A B
1 2
1/2 3
1/4 41/8 51/16 6
a 0 le corresponde 1 a 1 le corresponde 2
tomamos el valor medio del intervalo [0, 1] a 1/2 le corresponde 3
tomamos el valor medio entre 0 y 1/2 a 1/4 le corresponde 4tomamos el valor medio entre 1/4 y 0
a 1/8 le corresponde 5tomamos el valor medio entre 1/8 y 0a 1/16 le corresponde 6
siempre es posible establecer en A un nuevo número intermedio entre 0 y la última fracción al que le va a corresponder algún
elemento de B la cardinalidad de B así no puede
determinarseEntonces A es un conjunto infinito
Entre cualquier par de valores de Racionales,
puede insertarse
siempre uno mas
En el conjunto de los Reales habrán también números
irracionales. .
Como A Como A Q resulta que Q es conjunto Q resulta que Q es conjunto infinitoinfinito
R: conjunto de los números reales
R es conjunto infinitoR es conjunto infinito7 v) R = { x / x R }
Operaciones de Conjuntos – Operaciones en Diagramas de Venn
UniónLa unión del conjunto A con el conjunto B queda
determinada con todos los elementos que pertenecen al conjunto A
A = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4, 5 }
A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
IntersecciónLa intersección del conjunto A con el conjunto B queda
determinada con los elementos que pertenecen al conjunto A
A = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4, 5 }
A B = { 3 }
y también por los los elementos que pertenecen al conjunto B
y al conjunto B (solo a ambos conjuntos)
9-109-10
88
8 i8 i
9 a-b9 a-b
10 i-ii10 i-ii
8 ii8 ii
8 iii8 iii
8 iv8 iv
9 c-d9 c-d 9 e9 e
10 iii-iv10 iii-iv 10 v10 v
Diferencia
La diferencia del conjunto A “menos” el conjunto B queda determinada con todos los elementos del
conjunto A que no pertenecen al conjunto B
A = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4, 5 }
A - B = { 1, 2 }
Diferencia
simétrica
La diferencia simétrica del conjunto A con el conjunto B queda determinada con todos los elementos que pertenecen solamente al conjunto A
A = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4, 5 }
A B = { 1, 2, 4, 5 }
ó al conjunto B(pero no a ambos simultáneamente)
9-109-10
88
8 i8 i
9 a-b9 a-b
10 i-ii10 i-ii
8 ii8 ii
8 iii8 iii
8 iv8 iv
9 c-d9 c-d 9 e9 e
10 iii-iv10 iii-iv 10 v10 v
Conjunto Universal ó Universo
Es un conjunto que contiene todos los elementos del universo en el cual están contenidos los restantes
conjuntosPor ejemplo: A = { x/x N pares }
B = { x/x N impares }
U = {x/x N } Universal = todos los números naturales
Otro ejemplo: A = { alumnos de Lic. en Sistemas}
B = { alumnos de Bioquímica }
U = { alumnos de FACENA }
Si algunos alumnos
estudian las dos carreras
Si ningún alumno estudia las dos carreras
Si todos los alumnos de Bioquímica
también estudian Licenciatura
U A B U UA AB
B
9-109-10
88
8 i8 i
9 a-b9 a-b
10 i-ii10 i-ii
8 ii8 ii
8 iii8 iii
8 iv8 iv
9 c-d9 c-d 9 e9 e
10 iii-iv10 iii-iv 10 v10 v
El complemento del conjunto A está formado por los elementos que son del Universal pero que no pertenecen al conjunto A
A = { 1, 2, 3 }
A1
23
4
5
B
B = { 3, 4, 5 }
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } 6
7
A´ = U – A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } – { 1, 2, 3 } =
A´ = { 4, 5, 6, 7 }
A´ también puede escribirse Ac ; -A ;
A
U
Al conjunto universal le quitamos los elementos del conjunto A
9-109-10
88
8 i8 i
9 a-b9 a-b
10 i-ii10 i-ii
8 ii8 ii
8 iii8 iii
8 iv8 iv
9 c-d9 c-d 9 e9 e
10 iii-iv10 iii-iv 10 v10 v
8) i) W - VSe resuelve confeccionando el diagrama de
Venn de los conjuntos V y W
Luego sombreamos con azul el conjunto W
y con verde el conjunto V
El resultado es la región sombreada en azul (W) que no fue afectada por la
sombra verde
Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V W
sombreamos con azul el conjunto W
y con verde el conjunto V
El resultado sigue siendo la región sombreada en azul (W) (que no fue
afectada por la sombra verde)
U
U
W - V
W – V =
W – V =
unión - unión - intersecciintersecci
ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric
aauniversaluniversal
complemencomplementoto
8 ii8 ii 8 iii8 iii 8 iv8 iv
8 ii) Vc W Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W
sombreamos con azul el complemento de V (Vc)
y con verde el conjunto W
Por tratarse de una unión el resultado es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con ambos
colores
U
U
lo que no es conjunto V
Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V W
sombreamos con azul elcomplemento de V (Vc)
y con verde el conjunto W
Por tratarse de una unión el resultado es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con ambos
colores
Vc W =
Vc W =
Vc W = ( V – W )c
Vc W = U
unión - unión - intersecciintersecci
ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric
aauniversaluniversal
complemencomplementoto
8 iii8 iii 8 iv8 iv
8 iii) V Wc Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W
sombreamos con azul el conjunto V y con verde el complemento de W
(Wc)Por tratarse de una intersección el
resultado es solamente la región sombreada con los dos colores
U
U
Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V W
sombreamos con azul el conjunto V
y con verde el complemento de W (Wc)
Por tratarse de una intersección el resultado es solamente la región
sombreada con los dos colores que en este caso es vacío
V Wc =
V Wc =
unión - unión - intersecciintersecci
ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric
aauniversaluniversal
complemencomplementoto
8 iv8 iv
8 iv) Vc - Wc Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W
sombreamos con azul el conjunto Vc y con verde el complemento de W
(Wc)Por tratarse de una diferencia el resultado es la región sombreada con azul pero no
con verde
Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V W
sombreamos con azul el conjunto Vc y con verde el complemento de W
(Wc)Por tratarse de una diferencia el resultado es la región sombreada con azul pero no
con verde
Vc – Wc =
Vc – Wc =
unión - unión - intersecciintersecci
ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric
aauniversaluniversal
complemencomplementoto
9) a) A B Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D
sombreamos con azul el conjunto A
y con verde el conjunto B
A B es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con
ambos colores
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D
sombreamos con azul el conjunto A
y con verde el conjunto B
A B es la región sombreada solamente con los dos colores
9 b) A B
A B =
A B =
U
U
unión - unión - intersecciintersecci
ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric
aauniversaluniversal
complemencomplementoto
9 c-d9 c-d 9 e9 e
9 c) (A - C) B Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D
sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C
pintamos el resultado A - C
Por tratarse de una unión pintamos también todo el conjunto B y así
obtendremos que el resultado final es toda la zona pintada
9 d) (A - C) B
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D
sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C
pintamos el resultado A - C
Por tratarse de una intersección, pintamos amarillo la zona identificada con los colores de A-C y de B y así obtenemos que el resultado final
sombreamos color naranja el conjunto B
(A - C) B =
U
U
(A - C) B =
unión - unión - intersecciintersecci
ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric
aauniversaluniversal
complemencomplementoto
9 e9 e
9 e) (A B C) D Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D
sombreamos con azul el conjunto A
con verde el conjunto B
Por tratarse de una triple intersección, pintamos amarillo la zona identificada con los colores de A , de B y de C
simultáneamente
y sombreamos color naranja el conjunto C
U
A B C =
El conjunto D también sombreamos amarillo, para que quede determinado
( A B C ) D =
unión - unión - intersecciintersecci
ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric
aauniversaluniversal
complemencomplementoto
10) Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9} A = {1, 2, 3, 4}
10 i) Ac son todos los elementos del conjunto universal, pero no del conjunto A
Dibujamos el universal con todos sus elementos
Identificamos el conjunto A
Sombreamos Ac =
{ 5, 6, 7, 8, 9 }
10 ii) A C son los elementos del conjunto A y del conjunto C (de ambos)
Dibujamos el universal con todos sus elementos e identificamos los conjuntos A y C
La región con doble sombras es A C =
{ 3, 4 }
Sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C
unión - unión - intersecciintersecci
ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric
aauniversaluniversal
complemencomplementoto
10 iii-10 iii-iviv
10 v10 v
Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9} A = {1, 2, 3, 4} y C = { 3, 4, 5, 6 }
10 iii) Para hallar ( A C )c
Usamos como resultado parcial el ejercicio anterior A C = { 3, 4 }
(A C)c es precisamente todo lo que es universal pero no forma parte de (A C)
( A ( A C ) C )cc = { 1, 2, 5, 6, 7, 8, = { 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 }9 }
que sombreamos color naranja
10 iv) Si queremos hallar A B
Dibujamos en el Universal
A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 4, 6, 8 }
Sombreamos el conjunto A
y también el conjunto B
A B = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }
unión - unión - intersecciintersecci
ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric
aauniversaluniversal
complemencomplementoto
10 v10 v
Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9} B = { 2, 4, 6, 8 } y C = { 3, 4, 5, 6 }
10 v) para hallar B - C
Sombreamos el conjunto B
y luego borranmos la zona sombreada en B que es conjunto
C
B – C = { 2, 8 }
unión - unión - intersecciintersecci
ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric
aauniversaluniversal
complemencomplementoto
11) a) A B A ( A B )
Si A B todos los elementos de A pertenecen también al conjunto B
A
B
en ese caso A B = A
y como todo conjunto está incluido en sí mismo
A B A ( A B ) es verdadero
11 b) B A ( A B ) A
Si B A todos los elementos de B pertenecen también al conjunto A
BA
en ese caso A B = A
y como todo conjunto está incluido en sí mismo
B A ( A B ) A es Falso11 c) C - A = C A C - A es quitarle el conjunto A al
conjunto CLo que tiene resultado diferente de C
Aentonces C - A = C A es Falso
11 d) Si A = B A B = A
Si A = B los elementos del conjunto A son los mismos que los elementos
que los del conjunto B
la unión de ambos conjuntos es igual a cualquiera de ellos
Luego: A = B A B = A es Verdad
12) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas, 120 estudian únicamente francés ; 200 estudian francés e inglés y 50 estudian otros idiomas diferentes. ¿ Cuántos estudian solo inglés ?
El conjunto universal es la totalidad de los alumnos que estudian en la escuela de idiomas
U = { x / x es alumno de la escuela de idiomas }
U = U = 400
F = { x/x estudia solamente francés o francés e ingles }
F = 120 + 200 = 320
La cantidad de alumnos que no estudia francés es el complemento de F ( Fc )
Fc = U - F = 400 – 320 = 80 Son los que no estudian solamente francés ni francés e inglés juntosDe estos 80 alumnos que no estudian
francés, hay 50que estudian otros idiomas que no son francés ni inglés
I = { x/x estudia solamente inglés }
I = Fc - O = 80 – 50 = 30
U IF
50
120 200 30
O = 50
Sean : A = { a, b, c } con A = 3 y B = { b, d, e } con B = 3
A B
•a •
b•c
•d•e
A + B = 3 + 3 = 6
Pero (A B) = 5
si los conjuntos no son disjuntos A + B (A
B) Observe que: (A B) = A + B - (A B) = 3 + 3 –
1 = 5 Porque en dos conjuntos rampantes, al sumar la cantidad de elementos de cada conjunto, estamos contando dos veces todos los elementos que son
comunes a ambos conjuntos
entonces si (A B) = A + B - (A B)
(A B C) parece ser A + B + C - (A B) - (A C) - (B C)
deslizamos voluntariamente un error para que aprecie Ud. que :
si A = { a, b, c } con A = 3
A B
•a •
b•c
•d
•e
aparece ahora el conjunto C = { b, c, e f }
•fC
A + B + C - (A B) - (A C) - (B
C) = 3 + 3 + 4 – 1 – 2 – 2 = 5
(A B C) parece ser A + B + C - (A B) - (A C) - (B C)
pero al escribir
sería entonces
y B = { b, d, e } con B = 3
pero ( A B C ) = { a, b, c, d, e, f }
( A B C ) = 6
observando minuciosamente vemos que
A B = { b }
A C = { b, c }
B C = { b, e }
el elemento c aparece en dos conjuntos (A y C) pero se descuenta
una vez en A C
el elemento e aparece en dos conjuntos (B y C) pero se descuenta
una vez en B C
el elemento b que aparece en los tres conjuntos ( A, B y C) ; se descuenta tres vecesse descuenta tres veces: en (A B) ; (A C) y (B C)
(A B C) = A + B + C - (A B) - (A C) - (B C) + (A B C)
A B
•a •
b•c
•d
•e
•fC
sucede que todos los elementos que se encuentren en la triple interseción se descontarán una vez mas que lo que
corresponde, entonces :
a A + B + C - (A B) - (A C) - (B C)
vamos a sumarle (A B C)
así tenemos :
A = 3 B = 3 C = 3 (A B) = 1
(A C) = 2
(B C) = 2
(A B C) = 1 entonces
(A B C) = 3 + 3 + 3 – 1 – 2 – 2 + 1 = 6
13) De 100 estudiantes, 32 estudian matemáticas ; 20 estudian física ; 45 estudia biología ; 15 estudian matemáticas y biología ; 7 estudian matemáticas y física ; 10 estudian física y biología y 30 no estudian ninguna de estas tres materias. a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias. b)Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias.
Extraemos datos de la consigna: U = 100 M = 32 F = 20 B = 45 O = 30 (M F) = 7 (M B) = 15 (F B) = 10
(M F B) = M + F + B - (M F) - (M B) - (F B) + (M F B)
Hacemos pasaje de términos para despejar
(M F B) = (M F B) - M - F - B + (M F) + (M B) + (F B)
(M F B) = 70 – 32 – 20 – 45 + 7 + 15 + 10 = 5
son datos de la consigna: U = 100 M = 32 F = 20 B = 45 O = 30 (M F) = 7 (M B) = 15 (F B) = 10
M F
15
510
8
5
25B
U
2
30
y hemos hallado que (M F B) = 5
así :
Solo matemática = 32 – 2 – 5 – 10 = 15
Otras materias = 30
Solo biología = 45 – 10 – 5 - 5 = 25
(M F) - (M F B) = 7 – 5 = 2
(M B) - (M F B) = 15 – 5 = 10 (F B) - (M F B) = 10 – 5 = 5
Solo física = 20 – 2 – 5 - 5 = 8
14) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis, el 50% juega fútbol ; el 70% corre ; el 20% juega tenis y fútbol ; el 30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre. Si alguien afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis ¿ lo creería ? ; ¿ porqué ?
planteamos la siguiente situación
Todos los que juegan tenis y fútbol, también corren; de manera que:
(F T) = (F T C)
20%
0%T
F
C
en este caso, si el 40% juega fútbol y corre y tenemos un 20% que además de jugar fútbol y correr, juega
tenis; nos quedan entonces el 20% que únicamente juega fútbol y corre 20%
Sabemos así, que del 50% que juega fútbol, solo el 10% juega solamente fútbol
10%
un 30% juega tenis y corre, pero
ya tenemos un 20% que además de jugar tenis y correr; juega fútbol, nos quedan entonces el 10% que únicamente juega tenis y corre
10%
sabemos así que del 60% que juega
tenis, el 30% juega solamente tenis
30%
la suma de los porcentajes de cada una de las regiones del diagrama de Venn, arroja que quedarían solamente un 10% de
profesores que solamente corren . . . Ese resultado arroja un total de 60% de profesores que corre y se contradice con la consigna donde son el 70% los profesores que
corren
10% ?
Los datos son inconsistentesLos datos son inconsistentes (erróneos)
15) Si eran 75 niños en total y los juegos eran tres: la rueda de la fortuna, la montaña rusa y el trencito. Se sabe que 20 de ellos subieron a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. Cada juego cuesta $ 0,50 y el costo total fue de $ 70. Determine el número de niños que no subió a ninguno de los juegos.
Los 20 niños que subieron a los tres juegos, gastaron
20 x 3 x 0.50 = $ 30
Si 55 niños subieron al menos a dos de los tres juegos, y sé también que son 20 los niños que subieron a los tres juegos, es evidente que . . . .
Los que subieron solamente a dos juegos son 55 – 20 = 35 niños
Que subiendo a dos juegos gastaron
35 x 2 x 0,50 = $ 35
Entre los niños que subieron a dos o tres juegos (55 en total), llevan gastado $ 30 + $
35 = $ 65
quedan ahora $ 5 y 20 niños que aún no subieron a juego
algunolos $ 5 que restan son suficientes para 10 tickets, pero los niños
son 20
En el caso que reparta 1 ticket por niño, quedarán 10 sin subir a ningún juego
Una Gramática G que genera un lenguaje L, es un cuádruple G (T, N, S0, P ) conformado por:
T conjunto de símbolos terminales
N conjunto de símbolos NO terminales
S0 símbolo inicial
P conjunto de Producciones
Los símbolos terminales son letras minúsculas y tienen el significado que le asigne cada lenguaje en particular
Los símbolos NO terminales son letras mayúsculas y sirven para componer las expresiones (cadenas) del lenguaje
Las producciones son las “leyes” que rigen en la composición de las cadenas del lenguaje
T = { a, b } N = { S0, A } P = { S0 a A ; A a A ; A b }
Así desde el símbolo inicial generamos cadenas como
S0 a A a a A a a b
S0 a A a a a A a a a a A a a a a b
LG = { an b, n 1 }
an significa que a puede repetirse n veces
El símbolo inicial S0 es un No Terminal, que
dá inicio a las secuencias de producciones
(an no es una expresión algebraica
de potencia)
1616 1717
16) Considere el lenguaje especificado por la gramática G = ( T, N, S0, P ) donde T = { a, b, c }; N = { S0, A, B }; S0 es símbolo inicial P = { S0 AB, A ab, A a A b, B c, B B c }Determine si las siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje dado:
a a b b a a a b b c a a a b b b c c c a b a b c c
Para saber si una cadena pertenece a un determinado lenguaje, debemos verificar si es posible formar dicha cadena con la gramática de dicho
lenguaje
Así, en el primer caso, la cadena es a a b b a a
Y la única producción que involucra al símbolo
inicial es S0 ABDe manera que cualquier cadena de este lenguaje necesariamente comienza en S0
ABDe observar atentamente el conjunto de producciones, verá Ud. que el
símbolo no terminal B produce únicamente B c ó B B c
Entonces cualquier cadena que se inicia con S0 AB debe terminar en c
Luego a a b b a a no es una cadena del Luego a a b b a a no es una cadena del lenguaje dadolenguaje dado
En el caso de la cadena a b b c
Si G = ( T, N, S0, P ) donde T = { a, b, c }; N = { S0, A, B }; S0 es símbolo inicial P = { S0 AB, A ab, A a A b, B c, B B c }
S0 AB a b B a b c
No es la cadena buscada
S0 AB a A b B a a b b cNo es la cadena buscada y podemos notar que cualquier cadena de este
lenguaje contendrá igual cantidad de símbolos a que de símboloos b al inicio y
luego una ó mas c La cadena a a a b b b c c c
Se obtiene haciendo
S0 A B a A b B c a a A b b B c c a a a b b b c c c
Usamos A a A b y B B c
Finalmente A a b y B c
Luego, a b b c no es una Luego, a b b c no es una cadena del lenguaje dadocadena del lenguaje dado
Luego, a a a b b b c es una cadena del Luego, a a a b b b c es una cadena del lenguaje dadolenguaje dado
17) Sea : L(G) = { an c bn ; n 0 } , encuentre si es posible, una gramática que pueda generar el lenguaje dado.
Para hallar una gramática que genere un lenguaje dado, debemos definir los conjuibntos que componen el cuádruple que define la gramática, de manera que esa gramática sea capaz dce generar
todas las cadenas del lenguaje y solamente de él.
En nuestro caso, es evidente que el conjunto de símbolos terminales T estará conformado por los
símbolos
T = { a, b, T = { a, b, c }c }
Al conjunto de símbolos no teminales N le asignamos un elemento S0 y un no terminal A N = { SN = { S00, A }, A }
Con estos conjuntos proponemos una primera producción SS00 a A ba A b
Y una segunda y tercera producción pueden ser:
A a A b A c
Con estas producciones se forman cadenas que tienen igual cantidad de a y de b al inicio y al final; y en el medio una c
P = { S0 a A b; A A a B; A c }
Pero si L(G) = { an c bn ; n 0 } puede suceder que no existan símbolos a ni b, (n = 0)
Esto nos lleva a reformular las producciones halladas
S0 a A b; A a A b; A c
Porque es fácil advertir que con estas producciones, siempre
estarán a y b al comienzo y al final respectivamenteEntonces planteamos S0 a S0 b; S0 c
La gramática G = ( T, N, S0, P ) queda conformada con
T = { a, b, c }; N = { S0 }; S0 es símbolo inicial
P = { S0 a S0 b; S0 c }Queda en evidencia que un mismo símbolo no terminal, puede producir
cosas diferentes, inclusive el símbolo inicial (que es un no terminal)
No es perezoso solo el que no hace nada; sino también el que pudiendo hacerlo mejor, no lo hace. Sócrates
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