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Cónicas

Marcos MarváDepartamento de Física y Matemáticas,Universidad de AlcaláNovember 27, 2013marcos.marva@uah.es

Cómo definir una cónica

Como intersección de un plano y un cono recto de doble hojaLlamaremos

Ángulo de conicidad α: ángulo formado por el planoperpendicular al eje del cono y su recta generatriz.

Ángulo de incidencia β: ángulo formado por el planoperpendicular al cono y el plano que corta al cono.

Casos degenerados: el plano incidente pasa por el vértice del cono.

Punto: α > β Recta: α = β Dos rectas secantes:α ≤ β ≤ π

2

Cómo definir una cónica

Casos NO degenerados: el plano incidente NO pasa por el vérticedel cono.

Circumferencia: β = 0 Parábola: α = β Hipérbola:Elipse: α > β α ≤ β ≤ π

2

Cómo definir una cónica

AlgebráicamenteComo ecuación general de segundo grado:

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (1)

Lugar geométricoConjunto de puntos del plano que satisfacen una determinadapropiedad geométrica

Cónicas: la circumferencia

La circumferencia de centro (a, b) y radio R es el conjunto de lospuntos P = (x, y) del plano cuya distancia a (a, b) es R.

Imponiendo la condición de la definición, el teorema de Pitágorasproporciona la ecuación

(x− a)2 + (y− b)2 = R2 (2)

Cónicas: la circumferencia

AdemásSi hacemos

A = −2a B = −2b C = a2 + b2 − R2

en (x− a)2 + (y− b)2 = R2 la ecuación anterior adquiere laforma

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (3)

Recíprocamente, toda ecuación de tipo (3) con A2 + B2 > 4C2 esuna cirfumferencia de

centro(−A2,−B2

)y radio R =

√A2

4+

B2

4− C

Cónicas: la parábola

La parábola es el conjunto de los puntos P del plano que sonequidistantes a una recta fija L, llamada directriz y a un punto F,llamado foco, que está fuera de dicha recta.

Eje es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.Vértice es el único punto V de la la parábola que está en el eje.

Cónicas: la parábola

Ecuación de la parábola cuando el sistema de referencia es tal que elvértice V está en el origen de coordenadas y el foco F en el eje OX:

y2 = 2px, (4)

donde p es la distancia orientada de foco a la directriz. Si el foco estáen el eje de ordenadas, la ecuación es

x2 = 2py (5)

Cónicas: la parábola

Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h, k) arbitrariorespecto de un sistema de referencia

(x− h)2 = 2p(y− k) o bien (y− k)2 = 2p(x− h) (6)

(x− h) indica desplazamiento horizontal de h unidades.

(y− k) indica desplazamiento vertical de k unidades.

Analogía entre y = f (x− h) + k↔ y = f (x)

Cónicas: la parábola

Teorema: propiedades reflectoras de las parábolasLa recta tangente a la parábola en un punto P forma ángulos igualescon

1 La recta que pasa por P y por el foco.2 La recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola.

Cónicas: la parábola

Hallar la ecuación de la parábola de vértice (2, 1) y foco (2, 4).

Hallar el vértice, en foco, el eje, la directriz y la gráfica de la parábolade ecuación y2 − 8y = 4x− 8

El receptor de una antena parabólica de T.V. dista 3 dm, del vértice yse se encuentra situado en su foco. Hallar la ecuación de la seccióndel reflector (se supone dirigido hacia arriba y que su vértice está en elorigen de coordenadas).

El telescopio de reflexión del monte Palomar utiliza un espejo decontorno circular de 200 plg de diámetro. El perfil del espejo segúnun di ámetro es una parábola cuya distancia focal es 55.5 pie.

1 Encontrar una ecuación de la sección parabólica.2 ¿Cuál es la profundidad máxima del espejo?

Cónicas: la elipse

La elipse es el conjunto de los puntos P del plano cuya suma dedistancias a dos puntos fijos F1 y 2 llamados focos es constante.

Vértices: puntos de corte de la elipse con la recta que une sus focos.Eje mayor: cuerda que une los vértices.Centro : punto medio del eje mayor.Eje menor: cuerda perpendicular al eje mayor por el centro.

Cónicas: la elipse

La ecuación de la elipse cuando el sistema de referencia es tal que elorigen de coordenadas coincide con el centro de la elipse

x2

a2 +y2

b2 = 1 (7)

donde 2a y 2b son las longitudes de los ejes mayor y menor.

Proposición: en las condiciones anteriores se cumple a2 = b2 + c2

Cónicas: la elipse

Proposición:dada una elipse centrada en el origen de coordenadas y ecuaciónx2

a2 +y2

b2 = 1, sus focos están situados en

1 Si a > b, entonces

F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0), c =√

a2 − b2.

2 Si a = b, es una circumferencia.3 Si a < b, entonces

F1 = (0,−c), F2 = (0, c), c =√

b2 − a2.

Cónicas: la elipse

Forma canónica de la ecuación de elipse con centro en (h, k)

(x− h)2

a2 +(y− k)2

b2 = 1 (8)

Donde

Si a > b en (8) los focos (h± c, k) están sobre la recta y = k.

Si a < b en (8) los focos (h, k ± c) están sobre la recta x = h.

Determinar los vértices y los focos de la elipse de ecuación

9x2 + 25y2 − 36x + 150y + 36 = 0

x2 + 4y2 − 2x + 2y− 11 = 0

Cónicas: la elipse

La excentricidad de una elipse es le cociente

e =ca

Para una elipse se cumple que

0 < e < 1

Determina la ecuación de la elipse de excentricidad35

y cuyos

vértices son (±5, 0).

Cónicas: la elipse

Teorema: propiedades reflectoras de la elipseLa recta tangente a una elipse en un punto P forma ángulos igualescon las rectas que pasan por P y por cada uno de los focos.

Cónicas: la hipérbola

La hipérbolaes el conjunto de los puntos P del plano cuya diferencia de distanciasa dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos es constante e igual a,digamos, k.

Cónicas: la hipérbola

La ecuación de la hipérbola Si el sistema de referencia es tal que losfocos se situan sobre el eje de abcisas y el origen de coordenadas es elpunto medio de los mismos,

x2

a2 −y2

b2 = 1 (9)

Vértices: puntos de corte con el eje 0X; (−a, 0), (a, 0) (a =k2< c).

a y b =√

c2 − a2 son las longitudes de los ejes mayor y menor.

Cónicas: la hipérbola

Cuando los focos se situan sobre el eje de ordenadas en (0,−c) (0, c)la forma canónica de la ecuación de la hipérbola es

x2

b2 −y2

a2 = 1 (10)

Las rectasy =

ba

x y =−ba

x

son las asíntotas de la hipérbola de la izquierda.