cómo funciona la covarianza
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¿Cómo saber si un conjuntode observaciones representa
un fenómeno lineal?
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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5 5 5
6 6 6
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10 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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10 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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6 6 6
7 7 7
8 8 8
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10 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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6 6 6
7 7 7
8 8 8
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CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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1 1 1
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6 6 6
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CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 0 0
1 1 1
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3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
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10 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 0 0
1 1 1
2 2 2
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4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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1 1 1
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5 5 5
6 6 6
7 7 7
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10 10 10
¿A una mejor calificación en matemáticas le corresponde
una mejor calificación en física?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Al graficar las observacionesen un diagrama de dispersión
se ven así
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
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8
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10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Los puntos se alineanformando una recta perfecta
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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6 6 6
7 7 7
8 8 8
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10 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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5 5 5
6 6 6
7 7 7
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9 9 9
10 10 10
x=0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10
11=5
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10
x=0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10
11=5
La media delos valores de x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
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6
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calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Se sitúa aquí
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
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4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10
y=0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10
11=5
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10
y=0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10
11=5
La media delos valores de y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Se sitúa aquí
¿Qué tan separados de la mediaestán cada uno de los puntos?
Movamos nuestro punto de origenhacia la media para averiguarlo.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Ahora las coordenadasnos dicen qué tanalejados estamos
de la media
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
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-1
0
1
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calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
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4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
+ * + = +¡positivo!
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
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-2
-1
0
1
2
3
4
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calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
- * + = -¡negativo!
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
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-1
0
1
2
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calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
- * - = +¡positivo!
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
+ * - = -¡negativo!
Estamos en condiciones demedir la separación de cada punto
respecto a la media, representando talseparación como el área de un rectángulo
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (6,6)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (7,7)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (8,8)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separación entre la media (5,5) y el punto (9,9)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separación entre la media (5,5) y el punto (10,10)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separación entre la media (5,5) y el punto (4,4)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separación entre la media (5,5) y el punto (3,3)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separación entre la media (5,5) y el punto (2,2)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separación entre la media (5,5) y el punto (1,1)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separación entre la media (5,5) y el punto (0,0)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
En total tenemos110 unidadespositivas dede superficie
Que dividido entre11 observaciones
resulta en +10
Pero...¿qué pasaría si los puntos
no formasen una recta perfecta?
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 2 1
1 3 3
2 4 2
3 4 4
4 5 4
5 6 4
6 6 6
7 7 4
8 7 6
9 8 7
10 10 9
11 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 2 1
1 3 3
2 4 2
3 4 4
4 5 4
5 6 4
6 6 6
7 7 4
8 7 6
9 8 7
10 10 9
11 10 10
Se percibemenos regularidad
que antes
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 2 1
1 3 3
2 4 2
3 4 4
4 5 4
5 6 4
6 6 6
7 7 4
8 7 6
9 8 7
10 10 9
11 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 2 1
1 3 3
2 4 2
3 4 4
4 5 4
5 6 4
6 6 6
7 7 4
8 7 6
9 8 7
10 10 9
11 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 2 1
1 3 3
2 4 2
3 4 4
4 5 4
5 6 4
6 6 6
7 7 4
8 7 6
9 8 7
10 10 9
11 10 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Y también se observamenos regularidad en el diagrama de dispersión
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Ya no dibuja una línea recta perfecta
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 2 1
1 3 3
2 4 2
3 4 4
4 5 4
5 6 4
6 6 6
7 7 4
8 7 6
9 8 7
10 10 9
11 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 2 1
1 3 3
2 4 2
3 4 4
4 5 4
5 6 4
6 6 6
7 7 4
8 7 6
9 8 7
10 10 9
11 10 10
x=2+ 3+ 4+ 4+ 5+ 6+ 6+ 7+ 7+ 8+ 10+ 10
12=6
La media delos valores de x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
se sitúa aquí
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 2 1
1 3 3
2 4 2
3 4 4
4 5 4
5 6 4
6 6 6
7 7 4
8 7 6
9 8 7
10 10 9
11 10 10
CalificaciónMatemáticas
CalificaciónFísica
Dato x y
0 2 1
1 3 3
2 4 2
3 4 4
4 5 4
5 6 4
6 6 6
7 7 4
8 7 6
9 8 7
10 10 9
11 10 10
y=1+ 3+ 2+ 4+ 4+ 4+ 6+ 4+ 6+ 7+ 9+ 10
12=5
La media delos valores de y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
se sitúa aquí
¿Qué tan separados de la mediaestán ahora cada uno de los puntos?
Movamos de nuevo el punto de origenhasta la media para averiguarlo.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
De nuevo las coordenadas nos dicen
qué tan alejados estamos de la media
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Y nuevamente haycuadrantes con
superficie positiva y otros con
superficie negativa
Podemos ahora medir la separaciónde cada punto respecto a la media,
representada como la superficiede un rectángulo
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (6,5)
y el punto (7,6)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Entre la media (6,5)y el punto (6,6)¡no hay área!
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
Y por tantono se acumula
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (6,5)
y el punto (8,7)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (6,5)
y el punto (10,9)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (6,5)y el punto (10,10)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (6,5)
y el punto (7,4)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Entre la media (6,5)y el punto (6,4)¡no hay área!
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
Y por tantono se acumula
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (6,5)
y el punto (5,4)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (6,5)
y el punto (3,4)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (6,5)
y el punto (3,3)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (6,5)
y el punto (4,2)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Área de separaciónentre la media (6,5)
y el punto (1,1)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
positivas
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
Restamos lasáreas negativas
a las áreas positivas
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
En total tenemos71 unidades
positivasde superficie
Que dividido entre12 mediciones
resulta en +5.916
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Cuando formabauna recta perfecta
el resultado fue +10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sicaAl alejarse de
una recta perfectael resultado es +5.916
¿Funcionará igual de bien,si los valores de una variabledecrecen respecto a la otra?
Horasde Estudio
Número deReprobados
Dato x y
0 0 10
1 1 9
2 2 8
3 3 7
4 4 6
5 5 5
6 6 4
7 7 3
8 8 2
9 9 1
10 10 0
Horasde Estudio
Número deReprobados
Dato x y
0 0 10
1 1 9
2 2 8
3 3 7
4 4 6
5 5 5
6 6 4
7 7 3
8 8 2
9 9 1
10 10 0
Horasde Estudio
Número deReprobados
Dato x y
0 0 10
1 1 9
2 2 8
3 3 7
4 4 6
5 5 5
6 6 4
7 7 3
8 8 2
9 9 1
10 10 0
Horasde Estudio
Número deReprobados
Dato x y
0 0 10
1 1 9
2 2 8
3 3 7
4 4 6
5 5 5
6 6 4
7 7 3
8 8 2
9 9 1
10 10 0
Horasde Estudio
Número deReprobados
Dato x y
0 0 10
1 1 9
2 2 8
3 3 7
4 4 6
5 5 5
6 6 4
7 7 3
8 8 2
9 9 1
10 10 0
¿A más horas de estudiole corresponderá
un menor número dereprobados?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Graficando los puntosen un diagrama de dispersión
se ven así
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Los puntos se alineanformando una recta perfecta
de pendiente negativa
Horasde Estudio
Número deReprobados
Dato x y
0 0 10
1 1 9
2 2 8
3 3 7
4 4 6
5 5 5
6 6 4
7 7 3
8 8 2
9 9 1
10 10 0
Horasde Estudio
Número deReprobados
Dato x y
0 0 10
1 1 9
2 2 8
3 3 7
4 4 6
5 5 5
6 6 4
7 7 3
8 8 2
9 9 1
10 10 0
x=0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10
11=5
La media delos valores de x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Se sitúa aquí
Horasde Estudio
Número deReprobados
Dato x y
0 0 10
1 1 9
2 2 8
3 3 7
4 4 6
5 5 5
6 6 4
7 7 3
8 8 2
9 9 1
10 10 0
Horasde Estudio
Número deReprobados
Dato x y
0 0 10
1 1 9
2 2 8
3 3 7
4 4 6
5 5 5
6 6 4
7 7 3
8 8 2
9 9 1
10 10 0
x=10+ 9+ 8+ 7+ 6+ 5+ 4+ 3+ 2+ 1
11=5
La media delos valores de y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Se sitúa aquí
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
De nuevo las coordenadas nos dicen
qué tan alejados estamos de la media
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Y nuevamente haycuadrantes con
superficie positiva ysuperficie negativa
Podemos ahora medir la separaciónde cada punto respecto a la media,
representada como la superficiede un rectángulo
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (4,6)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (3,7)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (2,8)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (1,9)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (0,10)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (6,4)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (7,3)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (8,2)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (9,1)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
Área de separaciónentre la media (5,5)
y el punto (10,0)
SUPERFICIESPOSITIVAS
SUPERFICIESNEGATIVAS
La acumulamosen las superficies
negativas
En total tenemos110 unidades
negativasde superficie
Que dividido entre11 observaciones
resulta en -10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Cuando formabauna recta perfecta
de pendiente positivael resultado fue +10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
Ahora que supendiente se hace negativa
el resultado es -100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
+10 +5.166
-10Así que la magnitud
indica la fuerzade la dependencia
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
horas de estudio
nú
me
ro d
e r
ep
rob
ad
os
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calif
ica
ció
n fí
sica
+10 +5.166
-10Y el signo
indica el tipo deproporcionalidad:directa o inversa
Ahora revisemos los pasosseguidos para obtener el resultado
Dato x y
1 2 1
2 3 3
3 4 2
4 4 4
5 5 4
6 6 4
7 6 6
8 7 4
9 7 6
10 8 7
11 10 9
12 10 10
Dato x y
1 2 1
2 3 3
3 4 2
4 4 4
5 5 4
6 6 4
7 6 6
8 7 4
9 7 6
10 8 7
11 10 9
12 10 10
m= 6 Calculamosx, la media de x
Dato x y
1 2 1
2 3 3
3 4 2
4 4 4
5 5 4
6 6 4
7 6 6
8 7 4
9 7 6
10 8 7
11 10 9
12 10 10
m= 6 5Calculamos
y, la media de y
Dato x y
1 2 1
2 3 3
3 4 2
4 4 4
5 5 4
6 6 4
7 6 6
8 7 4
9 7 6
10 8 7
11 10 9
12 10 10
m= 6 5
Dato x y x - x
1 2 1 -4
2 3 3 -3
3 4 2 -2
4 4 4 -2
5 5 4 -1
6 6 4 0
7 6 6 0
8 7 4 +1
9 7 6 +1
10 8 7 +2
11 10 9 +4
12 10 10 +4
m= 6 5
Calculamosla anchurade cada
rectángulo:la diferencia
x - x
Dato x y
1 2 1
2 3 3
3 4 2
4 4 4
5 5 4
6 6 4
7 6 6
8 7 4
9 7 6
10 8 7
11 10 9
12 10 10
m= 6 5
Dato x y x - x y - y
1 2 1 -4 -4
2 3 3 -3 -2
3 4 2 -2 -3
4 4 4 -2 -1
5 5 4 -1 -1
6 6 4 0 -1
7 6 6 0 +1
8 7 4 +1 -1
9 7 6 +1 +1
10 8 7 +2 +2
11 10 9 +4 +4
12 10 10 +4 +5
m= 6 5
Calculamosla alturade cada
rectángulo:la diferencia
y - y
Dato x y x - x y - y
1 2 1 -4 -4
2 3 3 -3 -2
3 4 2 -2 -3
4 4 4 -2 -1
5 5 4 -1 -1
6 6 4 0 -1
7 6 6 0 +1
8 7 4 +1 -1
9 7 6 +1 +1
10 8 7 +2 +2
11 10 9 +4 +4
12 10 10 +4 +5
m= 6 5
Dato x y x - x y - y (x – x)(y - y)
1 2 1 -4 -4 +16
2 3 3 -3 -2 +6
3 4 2 -2 -3 +6
4 4 4 -2 -1 +2
5 5 4 -1 -1 +1
6 6 4 0 -1 0
7 6 6 0 +1 0
8 7 4 +1 -1 -1
9 7 6 +1 +1 +1
10 8 7 +2 +2 +4
11 10 9 +4 +4 +16
12 10 10 +4 +5 +20
m= 6 5
Calculamos la superficiede cada rectángulo:
anchura * altura
Dato x y x - x y - y (x – x)(y - y)
1 2 1 -4 -4 +16
2 3 3 -3 -2 +6
3 4 2 -2 -3 +6
4 4 4 -2 -1 +2
5 5 4 -1 -1 +1
6 6 4 0 -1 0
7 6 6 0 +1 0
8 7 4 +1 -1 -1
9 7 6 +1 +1 +1
10 8 7 +2 +2 +4
11 10 9 +4 +4 +16
12 10 10 +4 +5 +20
m= 6 5 Suma: 71
Calculamos la superficie total:la suma de las superficies de todos los rectángulos
Dato x y x - x y - y (x – x)(y - y)
1 2 1 -4 -4 +16
2 3 3 -3 -2 +6
3 4 2 -2 -3 +6
4 4 4 -2 -1 +2
5 5 4 -1 -1 +1
6 6 4 0 -1 0
7 6 6 0 +1 0
8 7 4 +1 -1 -1
9 7 6 +1 +1 +1
10 8 7 +2 +2 +4
11 10 9 +4 +4 +16
12 10 10 +4 +5 +20
m= 6 5 Suma: 71
Sxy= 5.916
La dividimos entre el número
total de observaciones
Dato x y x - x y - y (x – x)(y - y)
1 2 1 -4 -4 +16
2 3 3 -3 -2 +6
3 4 2 -2 -3 +6
4 4 4 -2 -1 +2
5 5 4 -1 -1 +1
6 6 4 0 -1 0
7 6 6 0 +1 0
8 7 4 +1 -1 -1
9 7 6 +1 +1 +1
10 8 7 +2 +2 +4
11 10 9 +4 +4 +16
12 10 10 +4 +5 +20
m= 6 5 Suma: 71
Sxy= 5.916
Llamamos a esteresultado:
la covarianza
Expresado en forma algebraica:
S XY=(x1− x)( y1− y)+ (x2− x)( y2− y)+ ...+ (xn− x)( yn− y)
n
Podemos abreviar esta expresiónmediante la notación de sumatoria:
S XY=∑i=1
n
(x i− x)( y i− y )
n
Y podemos simplificarsu cálculo como sigue:
S XY=∑i=1
n
(x i y i)
n−( x y)
Podemos programar nuestra computadora para que calcule
el valor de la covarianza de dos variables
def media(x): acum = 0 l = len(x) for i in range(0,l): acum = acum + x[i] return float(acum) / l
def Covarianza(x, y):local acum, i, n, xm, ym, covarxm = media(x)ym = media(y)n = len(x)acum = 0for i in range(0, n):
acum = acum + (x[i] xm) * (y[i] ym)covar = float(acum) / nreturn covar
x = [2,3,4,4,5,6,6,7,7,8,10,10]Y = [1,3,2,4,4,4,6,4,6,7, 9,10]
print xprint yprint Covarianza(x, y)
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