cómo enseñar a resolver problemas a nuestros alumnos

Cómo enseñar a resolver problemas a nuestros alumnos

Por: Carlos Enrique Acuña Escobar

Ya en un artículo anterior1 abordé el análisis del proceso de solución de problemas considerando que el conocimiento de este proceso permitirá a los alumnos administrar más eficientemente sus capacidades cognitivas y metacognitivas para resolver problemas. Se ilustró, también, mediante un diagrama de flujo el sentido de nuestras actividades mentales al enfrentar un problema y se propuso una explicación ante la dificultad conocida para la enseñanza de estas capacidades. En el presente artículo me propongo exponer algunas ideas aplicables para la enseñanza de solución de problemas, ejemplificando la labor que debe seguir el docente, mediante un problema que puede ser resuelto con la aplicación de estrategias de álgebra o mediante tanteo, y abordo la importancia de considerar como parte del mismo proceso de solución de problemas y de su enseñanza, la búsqueda de criterios derivados del problema para que sea el propio alumno quien determine si la solución aportada es o no correcta.

1. Solución de problemas como habilidad dependiente del contexto

El proceso de solución de problemas no es una serie de habilidades generales independientes de algún contenido, por el contrario, se trata de habilidades ligadas a contenidos específicos, por lo que el docente no debe pretender que sus alumnos logren habilidades generales y abstractas aplicables a toda clase de problemas, sino que debe tender a que desarrollen un determinado dominio o pericia en campos específicos del conocimiento, ya que la solución eficiente de problemas requiere “de la posesión de una amplia base de datos específicos con los cuales operar sólo en aquellas situaciones que pertenecen a dicho rango y no en otras distintas”.2

Todo proceso de solución de problemas conjunta tres situaciones:

a) Una base de conocimientos específicos jerarquizados y estructurados en función de sus interrelaciones, aprendidos significativamente (cfr Ausubel)

b) Experiencia en la aplicación de esos conocimientos ante cierto tipo de problemas y la habilidad para adaptarlos a situaciones nuevas.

c) Capacidad para saber “qué se sabe” y qué se ignora”.

Con relación a la formación de una base de conocimientos el alumno debe poner en juego capacidades de adquisición, registro y recuperación de información, mediante el uso de técnicas y estrategias de, por ejemplo, estudio mediante la 1 Acuña E., Carlos E., (2001), El proceso de solución de problemas, en: Contexto Educativo. Revista Digital de Educación y Nuevas Tecnologías: http://contexto-educativo.com.ar/2001/1/nota-07.htm Año III, N° 15, marzo 28.2 Ibídem.

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lectura interactiva con el texto con base en preguntas, toma de apuntes con restricción a dos renglones por párrafo, elaboración de resúmenes, síntesis, etc.3

Para la conformación de una base de experiencia se requiere situar al alumno ante problemas diversos en que aplique su conocimiento y su memoria episódica y verbal (cfr Tulving), es decir, mediante técnicas vivénciales que lo lleven al logro de la tercera situación mencionada, desarrollar capacidades metacognitivas sobre “qué sabe y qué ignora”. El logro de estas experiencias dependerá, en parte, de la comprensión que el alumno obtenga del problema, por lo que es esencial una buena capacidad de lectura y retroalimentación sobre sus progresos en solución de problemas.

La metacognición sobre lo que sabemos y la experiencia de situaciones anteriores afectan la perseverancia como actitud básica en la búsqueda de soluciones, ya que ante un problema es necesario que el alumno sepa con qué posibilidades cuenta para hallar una estrategia aplicable. Por ejemplo, ante una pregunta simple como: ¿Cuáles fueron los factores sociales que influyeron para que se iniciara la revolución mexicana?, algunos alumnos saben que pueden reconstruir las causas con base en procesos semejantes de tipo social que conocen, pero si se pregunta por la revolución francesa quizá el alumno sepa que no sabe de manera específica las condiciones sociales aunque pueda suponer que hay causas generales de tipo social y económico parecidas; o si la pregunta establece algo para lo cual se carece de respuesta, como, “las preferencias alimenticias de Cristóbal Colón” o “su talla de calzado”, el alumno sabrá de inmediato que no requiere dedicar ningún tiempo ni esfuerzo a escudriñar su experiencia y conocimiento en busca de un dato que sabe que no sabe.

Ante un problema cualquiera, el alumno (recurriendo a su metacognición y experiencia) necesita identificarlo como perteneciente a una categoría de problemas y determinar si posee o no reglas y conocimientos para aplicarlos en la búsqueda de una solución (acudiendo a la base de conocimientos que posee) e intentar esa aplicación (acudiendo a su experiencia). Requerirá, también, hacer uso de sus procesos metacognitivos, de su experiencia y conocimiento para decidir si una solución aparente es la adecuada o no.

2. El proceso de búsqueda de soluciones

La búsqueda de soluciones ante un problema cualquiera puede darse, básicamente, de dos maneras distintas, mediante: a) aplicación de algoritmos en

3 Acuña E., Carlos E. (1991), Estrategias de aprendizaje en Ciencia Cognitiva y su aplicación en la enseñanza, en: Serie sobre la Universidad, N° 16, CISE-UNAM, México. Acuña E., Carlos E. (2001), Aprendizaje y campo profesional. Universidad Tecnológica de

México (UNITEC-INITE) Colección Competencias Profesionales. Abril. Acuña E., Carlos E. (2002), Aprendizaje y comunicación. Universidad Tecnológica de México

(UNITEC-INITE) Colección Complementario Ingeniería. Abril.

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tanto serie de pasos predeterminados en secuencia fija que lleven a un resultado, b) búsqueda heurística utilizando estrategias globales como la analogía con otros problemas, la descomposición del problema en sus elementos, el ensayo y error dirigido por la meta buscada, etc. La diferencia entre la solución de tipo algorítmica y la heurística no está en el tipo de conocimiento a emplear sino en la forma de emplearlo, por ejemplo, al aplicar una fórmula para hallar el área de una figura geométrica se demanda del alumno saber y recordar la fórmula específica para esa figura y las operaciones aritméticas que la fórmula dicta; pero el mismo problema puede ser resuelto por ensayo y error guiado por la meta utilizando conocimientos de geometría como el teorema de Pitágoras, en cuyo caso el alumno tantea en busca de una solución pero no lo hace de manera arbitraria ni errática. Con frecuencia la solución de problemas requiere de una combinación de algoritmos y heurísticos en diferentes momentos del proceso.

El uso de algoritmos depende más de la base de conocimientos que se posea, mientras que la heurística depende de la experiencia y procesos metacognitivos.

Por otro lado, para enseñar a un alumno a resolver problemas es necesario que el docente conozca, o cuente con un modelo del proceso, al haber observado sus propios procesos y acciones o los de otros, y localizar momentos críticos y errores comunes. El profesor debe observar, también, cómo sus alumnos tratan de resolver un problema, por qué algunos se dan por vencidos y otros perseveran, qué estrategias intentan unos y otros (analogías cotidianas, teoría de conjuntos, álgebra, representación gráfica, etc.) e interpretarlas como representaciones tanto de las respuestas aprendidas (base de conocimiento y experiencia del alumno) como de la forma en que el alumno ha entendido el problema. Conocer los estilos de solución de problemas de los alumnos facilita que el docente retroalimente y oriente las acciones de ellos.

Los pasos que se sigue para resolverán problema dado son:

Lectura, interpretación y entendimiento del enunciado. Identificación de la incógnita y tipo de dato que representa. Clasificación del problema. Identificación de los datos dados y que servirán de apoyo para la búsqueda. Decidir si se cuenta con conocimientos y principios que aplicar (heurísticos o

algoritmos). Aplicar. Revisar si se resolvió el problema.

Si bien estos pasos implican una secuencia, durante el proceso el alumno regresa a algunos de ellos de manera indistinta cuantas veces considera necesario y puede variar el resultado de ellos, por ejemplo, decidiendo que el problema no es de la clase que había pensado, encontrando datos que le permiten inferir otros que no son explícitos, cambiando las relaciones y estructura general de los

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mismos, etc. Ningún problema por sí mismo contiene toda la información necesaria para resolverlo, es ahí donde entra en juego la base de conocimientos y la experiencia del alumno.

El paso de revisión de la solución requiere que el alumno cuente con criterios que le permitan decidir por sí mismo si su solución es correcta. En ocasiones este hecho es evidente al desaparecer el problema, pero en otras ocasiones el alumno debe buscar esos criterios y revisar si la solución se adapta a ellos sin caer en contradicciones. Es éste un paso difícil al que el alumno no está acostumbrado y por ello solicita siempre que el libro o alguien le diga si dio o no con la respuesta correcta. Pero en la vida los problemas no vienen con un catálogo de soluciones para revisar, por lo que parte del proceso es saber determinar y manejar esos criterios.

En la búsqueda mediante algoritmo el alumno requiere corroborar los pasos que éste le marca pero acudir a su memoria para decidir si eligió el algoritmo adecuado y si lo aplicó a los datos pertinente (véase por ejemplo el problema del leñador en Acuña 2001, op. cit.). Y en la búsqueda heurística dichos criterios surgen de hecho al decidir las estrategias a aplicar ya que desde ese momento se considera qué características debe tener la solución. En este segundo caso la ausencia de contradicciones es esencial.

El maestro, al pretender enseñar al alumno la resolución de problemas, debe reflexionar sobre los propósitos que persigue: ¿Quiere que el alumno aprenda y recuerde fórmulas (algoritmos) y la manera de aplicarlos?, o ¿quiere que el alumno desarrolle habilidades para aplicar adecuadamente lo que conoce?, o más aún ¿quiere que el alumno resuelva el problema sin importar de qué manera lo haga?, ya que los propósitos definidos influirán sobre las demandas que se le hagan al alumno y los procesos que éste ponga en juego, y recordar que el proceso de solución de problemas va más allá de la sola aplicación de algoritmos o fórmulas.

3. Análisis de un problema

Para ilustrar el quehacer del maestro ante los intentos de un alumno por resolver un problema abordaré el análisis de un caso real ocurrido en un taller sobre desarrollo cognitivo. El problema establece saber en qué hora del día se hallan dos personas, cuando a la pregunta de una de ellas de ¿Qué hora es?”, la otra responde con el siguiente problema:

“Si sumas una cuarta parte del tiempo transcurrido desde la medianoche de ayer a la mitad del tiempo que falta para la medianoche de hoy, sabrás qué horas es”.

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Enfrentado con este enunciado el alumno requiere manejar suficientemente el lenguaje para saber el sentido de los términos “medianoche de ayer” de modo que no confunda el lapso de tiempo que implica, así mismo, requiere saber que la medianoche se contabiliza como las cero horas y la medianoche marca el inicio de un nuevo conteo de horas, y que el día tiene en total 24 horas. Sin estos elementos de la base de conocimiento el alumno no podrá resolver adecuadamente el problema.

Algunos errores comunes cometidos por los alumnos ante este problema, y que requieren de orientación del maestro mediante cuestionamiento de sus decisiones, son: considerar el lapso de tiempo a emplear como de doce horas, confundir la extracción de una cuarta parte del tiempo transcurrido como equivalente a la cuarta parte del día o de una hora y considerar el tiempo que falta para la medianoche siguiente, con base en un esquema de la carátula del reloj, como el trayecto de las manecillas hacia el número doce.

Al tratar de resolver este problema algunos alumnos procedieron mediante dibujar la carátula de un reloj y tomar como la cuarta parte solicitada los primeros 15 minutos (trayecto de las doce a las tres) para luego considerar la mitad del tiempo faltante para la medianoche como 12/2 = 6, y sumando, finalmente, 3 + 6 para concluir que la respuesta es 9 (véase diagrama).

El papel del profesor será, sin asumir nunca que la respuesta es errónea ni decirlo así, cuestionar al alumno sobre las consecuencias de su respuesta o razonamiento y sobre datos que no ha considerado al resolver el problema, por ejemplo:

5

12

3

6

9

15 minutos = cuarta parte

Vuelta completa hasta las tres y

mitad = las nueve

a. Cómo puedes saber si son las nueve de la noche o de la mañana.b. Al dar una vuelta al reloj estás considerando doce horas solamente y no 24 que

tiene el día.c. Al sacar como cuarta parte 15 minutos estás solo considerando una hora y no

un día (o al obtener las tres como la cuarta parte estás considerando solamente doce horas de un día).

d. Cuál es la cuarta parte de un día.

Estos cuestionamientos enfocan la atención del alumno hacia la lectura nuevamente de lo que el problema establece y la revisión del conocimiento y experiencia que está utilizando, la idea que los anima no es ahorrarle camino de reflexión al alumno sino hacerle dudar de su razonamiento y buscar criterios para que pueda demostrarse a sí mismo que éste es correcto, ya que eso es lo que debemos entender por pensar críticamente.

Por otro lado, dado que el problema solicita del alumno saber qué es una cuarta parte y una mitad, y cómo obtenerlas, algunos alumnos concluyen que se trata de un problema matemático y buscan algoritmos que aplicar (generalmente “regla de tres” o ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita). Otros alumnos “descubren” una tautología (razonamiento circular) en el planteamiento del problema, ya que para obtener la hora deben sacar la cuarta parte de la hora que buscan, es decir, requieren saber de antemano la hora para poder buscarla; y concluyen que se trata de un problema capcioso o sin solución. Estos últimos alumnos no llegan a comprender que el planteamiento, en apariencia circular, contiene el criterio para saber si la respuesta encontrada es correcta.

En este caso algunos alumnos trataron de poner en símbolos matemáticos el planteamiento del problema, razonando del siguiente modo:

“Un día tiene 24 horas, por lo que la hora buscada (igual a x) más lo que falta para la medianoche (igual a 24 horas menos x) dará el día completo (igual a 24 horas):

x + (24 – x) = 24”

Tratando luego de resolver esa igualdad pero llegando a la tautología de que 24 = 24, ya que las x se eliminan por ser de signos contrarios.

En este caso el papel del profesor es hacerle notar al alumno que en ningún momento está considerando las operaciones de obtener una cuarta parte y la mitad de ciertas cantidades que el problema pide, y que no necesariamente su razonamiento va por mal camino.

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Luego de estas indicaciones, algunos alumnos buscaron “traducir” uno a uno el planteamiento del problema a símbolos matemáticos, iniciando por formular el problema así:

¼ de la hora actual (que desconozco) más ½ del número de horas que faltan para que sea medianoche (igual a 24 horas menos la hora que desconozco) será igual

a la hora buscada (que será la misma que desconozco).

Y “traduciéndolo” a:

¼ x + ½ (24 – x) = x

Aquí la ecuación incorpora las cantidades planteadas en el problema y refleja la “circularidad” respecto a la hora buscada como incógnita y como dato a despejar. El resto es aplicación del algoritmo para resolver estas ecuaciones, por lo que vemos una combinación de heurística para definir la igualdad más algoritmo para resolverla una vez definida.

En otros casos al tratar de incluir la hora como incógnita algunos alumnos definieron dos variables (x, y) complicando la ecuación: ¼ x + ½ (24 – x) = y.

Este problema (y una gran mayoría) no necesariamente se resuelve mediante conocimientos escolares, sino que se puede proceder a partir del enunciado mediante tanteos guiados por la meta. Esta vía puede resultar muy compleja ya que hay que considerar todas las posibilidades de la igualdad que expresa el enunciado, pero con las hojas de cálculo computarizadas actuales el problema se reduce a poner en una columna las horas y en la siguiente la relación definida por la hora) + la mitad de 24 horas – la hora que es. El método por tanteo guiado por la meta requiere de esta clase de criterios y, además, es un método hipotético-deductivo o de “que tal si…” o de “si…, entonces…”, ya que se necesita “suponer” una solución y probarla contra el criterio.

Así, podemos suponer que son las 8 o las 3 o la una… y ver que pasa con el criterio, esto es:

Si son las 8 la cuarta parte de 8 es 2 (8 / 4 = 2), más la mitad de 24 menos 8 (24 – 8 = 16 entre 2 = 8), entonces serán las 10 (2 + 8 = 10)

Pero si son las 8 no pueden ser las 10, por lo tanto: No son las 8.

Y procediendo de esta forma se probarían las otras horas, una tras otra:

Hora Resultado Hora Resultado

7

1 11.75 13 8.752 11.50 14 8.503 11.25 15 8.254 11.00 16 8.005 10.75 17 7.756 10.50 18 7.507 10.25 19 7.258 10.00 20 7.009 9.75 21 6.75

10 9.50 22 6.5011 9.25 23 6.2512 9.00 24 6.00

En esta tabla vemos que hay dos casos en que el valor de las dos columnas se aproxima (ya que buscamos que la hora supuesta coincida con el resultado), si son las 9 o las 10, pero al no obtener el valor exacto pensamos que la hora no es exacta sino que tiene una determinada cantidad de minutos. Este resultado se hace evidente mediante una gráfica.

0

5

10

15

20

25

30

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Conociendo el procedimiento lo que hacemos ahora es buscar dentro del rango 9-10 los valores para los decimales:

Hora Resultado 9.0 9.75 9.1 9.73 9.2 9.70 9.3 9.68

8

9.4 9.65 9.5 9.63 9.6 9.60 9.7 9.58 9.8 9.55 9.9 9.53 10.0 9.50

8.48.68.89.09.29.49.69.8

10.010.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y obtenemos que los valores que coinciden son 9.6 para ambos casos, que corresponde a la hora buscada (el mismo resultado se obtiene de despejar la incógnita algebraicamente). Sin embargo hemos estado trabajando con valores numéricos y no con valores horarios, es decir ¿a qué equivale que sean las 9.6? La respuesta es: a 9 más 6 décimas de hora igual a las 9:36. Este resultado puede comprobarse si el procedimiento se hubiese empleado con valores horarios y no numéricos (considerando una serie de la una hasta las 24 horas):

Hora Resultado Hora Resultado1:00:00 a.m. 11:45:00 a.m. 1:00:00 p.m. 8:45:00 a.m.2:00:00 a.m. 11:30:00 a.m. 2:00:00 p.m. 8:30:00 a.m.3:00:00 a.m. 11:15:00 a.m. 3:00:00 p.m. 8:15:00 a.m.4:00:00 a.m. 11:00:00 a.m. 4:00:00 p.m. 8:00:00 a.m.5:00:00 a.m. 10:45:00 a.m. 5:00:00 p.m. 7:45:00 a.m.6:00:00 a.m. 10:30:00 a.m. 6:00:00 p.m. 7:30:00 a.m.7:00:00 a.m. 10:15:00 a.m. 7:00:00 p.m. 7:15:00 a.m.8:00:00 a.m. 10:00:00 a.m. 8:00:00 p.m. 7:00:00 a.m.9:00:00 a.m. 9:45:00 a.m. 9:00:00 p.m. 6:45:00 a.m.

10:00:00 a.m. 9:30:00 a.m. 10:00:00 p.m. 6:30:00 a.m.11:00:00 a.m. 9:15:00 a.m. 11:00:00 p.m. 6:15:00 a.m.12:00:00 p.m. 9:00:00 a.m. 12:00:00 a.m. 6:00:00 a.m.

9

En esta tabla vemos que nuevamente se aproximan entre sí dos valores (ambos correspondientes a la hora AM). Y explorando para ese rango tenemos:

Hora Resultado9:35:00 a.m. 9:36:15 a.m.9:36:00 a.m. 9:36:00 a.m.9:37:00 a.m. 9:35:45 a.m.9:38:00 a.m. 9:35:30 a.m.9:39:00 a.m. 9:35:15 a.m.9:40:00 a.m. 9:35:00 a.m.

Y su confirmación gráfica:

9:31:41 a.m.

9:33:07 a.m.

9:34:34 a.m.

9:36:00 a.m.

9:37:26 a.m.

9:38:53 a.m.

9:40:19 a.m.

9:41:46 a.m.

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Conclusiones

Con el problema anterior se muestra la posibilidad de aprovechar los elementos del enunciado para resolverlo y extraer al mismo tiempo el criterio que nos permita saber si hemos dado con la respuesta correcta. Esta confirmación suele pedirse a loa alumnos una vez que han llegado a una respuesta y deben cerciorarse que corresponde al planteamiento, pero en el ejemplo revisado este paso no es el final del proceso sino el inicio, es decir, el alumno supone una respuesta y la corrobora como parte esencial del procedimiento para hallar la respuesta correcta. El profesor debe reflexionar sobre este recurso: la solución del problema empieza por suponer la respuesta buscada.

El mismo ejemplo nos muestra el uso de estrategias algorítmicas y heurísticas alternadas y distintos caminos para hallar la solución. Así mismo, esos caminos pueden aprovecharse para enseñar algo más al alumno, es decir, si se empieza por tanteo guiado se puede llevar al alumno a que trate de formular las operaciones que está probando mediante una relación algebraica y hacerle evidente la economía de esfuerzo en la búsqueda de una solución. El recurso del álgebra, en este caso, es una forma abreviada de la serie de tanteos. Y, además, se le puede enseñar el apoyo de la representación gráfica.

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La solución de problemas no se queda en el mero ejercicio de resolver el problema, pero la riqueza que encierra dependerá de la creatividad del docente y de su conocimiento sobre sus propios procesos y los de sus alumnos.

El docente debe considerar que en realidad no existe lo que llamamos “dificultad” de un problema. Es decir, no hay problemas más o menos difíciles sino problemas para los cuales contamos o no con recursos aplicables. La capacidad para resolver problemas, en tanto capacidad personal, está dada por los recursos mencionados como situaciones al inicio de este artículo: a) Una base de conocimientos (k), b) Experiencia en su aplicación ante ciertos problemas (e), y c) Capacidad metacognitiva (mk). Y la dificultad de un problema (Dp) estará en función inversa de esa capacidad:4

Dp = 1 / (k, e, mk)

Finalmente, se ha observado5 que un factor que predice positivamente el éxito en la búsqueda de soluciones es que el alumno planee cómo pretende resolver un problema considerando los datos, la incógnita y las restricciones para considerar correcta una solución; ya que cuando el alumno elabora un plan de acción se ve en la necesidad de considerar sus conocimientos aplicables, su experiencia y de organizarlos alrededor de la comprensión que haya logrado del problema, no obstante que pueda modificar su plan durante el proceso. Una comprensión y representación básica del problema previa a la resolución del mismo es un elemento que apoya una buena búsqueda de soluciones y debe considerarse en la enseñanza.

El papel del profesor en la enseñanza de solución de problemas es hacer reflexionar al alumno sobre la forma como aplica su conocimiento y su experiencia, y en la toma de conciencia de sus procesos metacognitivos.

4 La forma como se relacionan los parámetros K, e, mk, así como la manera de medirlos en los alumnos es objeto de una investigación en curso por el autor.5 Acuña E., Carlos E. (1989), El proceso de solución de problemas, en: Metacognición y estrategias de aprendizaje, Serie sobre la Universidad, Nº 9, CISE-UNAM.

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