cálculo vectorialcálculo vectorial 19/28 integrales 2d flujos y orientaciones superficies...

Cálculo Vectorial 1 / 28

Cálculo Vectorial

Rafael Ramírez Ros

Versión provisional (25 de octubre de 2019)

Cálculo Vectorial 2 / 28

Integrales 1D

Índice

1 Integrales 1D

2 Integrales 2D

3 Resultados útiles

Cálculo Vectorial 3 / 28

Integrales 1D

Integral de una función sobre una curva

Curva regular: C = σ([a,b]) ⊂ Rn con σ′(t) 6= 0.Elemento de longitud: d` = ‖σ′(t)‖dt .Longitud de C: Long(C) =

∫C d` =

∫ ba ‖σ

′(t)‖dt .

Integral de f sobre C:∫

C fd` =∫ b

a f (σ(t))‖σ′(t)‖dt .Gráficas 2D: Si C = {y = g(x) : x ∈ [a,b]} ⊂ R2,

σ(x) = (x ,g(x))

d` =

√1 +

(g′(x)

)2dx∫C fd` =

∫ ba f (x ,g(x))

√1 +

(g′(x)

)2dx

Polares: Si C = {r = g(θ) : θ ∈ [a,b]} ⊂ R2, entoncesσ(θ) = (g(θ) cos θ,g(θ) sin θ)

d` =

√(g(θ)

)2+(g′(θ)

)2dθ∫C fd` =

∫ ba f(g(θ) cos θ,g(θ) sin θ

)√(g(θ)

)2+(g′(θ)

)2dθ

Cálculo Vectorial 4 / 28

Integrales 1D

Aplicaciones 1D

Área de una valla de base C y altura h : C → R+:∫

C hd`.

Promedio de una función f : C → R: f = 1Long(C)

∫C fd`.

Sea C ⊂ R3 un “alambre” con densidad lineal ρ : C → R+.Diremos que C es homogéneo cuando ρ sea constante.Masa: m(C) =

∫C ρd`.

Promedio ponderado por ρ de la función f : f = 1m(C)

∫C fρd`.

Centro de masas: CM(C) = (x , y , z) = 1m(C)

∫C(x , y , z)ρd`.

C homogéneo⇒ CM(C) = CG(C) = centro geométrico.Momento de inercia respecto un eje e:

Ie =

∫C

r2ρd`, r(p) = dist(p,e).

El caso de alambres planos C ⊂ R2 es análogo.

Cálculo Vectorial 5 / 28

Integrales 1D

Circulaciones de campos a lo largo de curvas

Curva regular: C = σ([a,b]) ⊂ Rn con σ′(t) 6= 0.Vector diferencial de longitud: d` = σ′(t)dt .Campo vectorial: F : U ⊂ Rn → Rn.

Circulación (o trabajo):∫

C〈F ,d`〉 =∫ b

a 〈F (σ(t)), σ′(t)〉dt .Caso 2D: σ = (x , y), d` = (dx ,dy) y F = (P,Q), luego∫

C〈F ,d`〉 =∫

C Pdx + Qdy .Caso 3D: σ = (x , y , z), d` = (dx ,dy ,dz) y F = (P,Q,R),luego

∫C〈F ,d`〉 =

∫C Pdx + Qdy + Rdz.

Vector tangente unitario: T (t) = σ′(t)/‖σ′(t)‖.Componente tangencial: Si FT = 〈F ,T 〉, entonces

d` = T (t)d`,∫

C〈F ,d`〉 =

∫C

FT d`.

Cálculo Vectorial 6 / 28

Integrales 1D

Circulaciones y orientaciones

Curvas cerradas: Escribimos∮

en vez de∫

.Toda curva tiene dos posibles orientaciones.Si la curva es cerrada, son la horaria y la antihoraria.La circulación no depende de la parametrización σ, perosu signo depende de la orientación.Antes de calcular una circulación es necesario saber quéorientación nos piden.Una vez fijada la orientación de una curva, escribimos∫

C+

〈F ,d`〉 =

∫C〈F ,d`〉,

∫C−〈F ,d`〉 = −

∫C〈F ,d`〉

para denotar las orientaciones positiva y negativa.

Cálculo Vectorial 7 / 28

Integrales 1D

Campos conservativos y Newton-Leibniz

Gradiente: Si f : U ⊂ Rn → R, entonces

∇f = grad f =

(∂f∂x1

, . . . ,∂f∂xn

).

Teorema de Newton-Leibniz: Si f : U ⊂ Rn → R y C ⊂ Ues una curva orientada desde A hasta B, entonces∫

C+

〈grad f ,d`〉 = f (B)− f (A).

Un campo vectorial F : U ⊂ Rn → Rn

Proviene de un potencial escalar f : U → R si F = grad f .Es conservativo cuando tiene circulación nula a lo largo decualquier curva cerrada C ⊂ U.

F proviene de un potencial escalar⇒ F conservativo.

Cálculo Vectorial 8 / 28

Integrales 1D

Campos irrotacionales 2D & 3D

Rotacional 2D: Si F = (P,Q) : U ⊂ R2 → R2, entonces

∇× F = rot F = (Qx − Py )k = (0,0,Qx − Py ),

donde Qx = ∂Q∂x y Py = ∂P

∂y .

Rotacional 3D: Si F = (P,Q,R) : U ⊂ R3 → R3, entonces

∇×F = rot F =

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣ = (Ry −Qz ,Pz − Rx ,Qx − Py )

Un campo F es irrotacional cuando rot F = 0.F proviene de un potencial escalar⇒ F irrotacional.

Cálculo Vectorial 9 / 28

Integrales 1D

El teorema de Green (o del rotacional 2D)

Frontera orientada: La frontera C = ∂D de un dominioD ⊂ R2 ' R3 ∩ {z = 0} está orientada según k = (0,0,1)cuando k recorre C de forma que D queda a su izquierda.Teorema de Green: Sea D un dominio plano contenido enun abierto U ⊂ R2, sea C+ = ∂D su frontera orientada ysea F = (P,Q) : U → R2 un campo de clase C1. Entonces∫

D(Qx − Py )dxdy︸ ︷︷ ︸∫

D〈rot F ,k〉dxdy(integral 2D)

=

∮C+

Pdx + Qdy︸ ︷︷ ︸∮C+〈F ,d`〉

(integral 1D)

Cálculo Vectorial 10 / 28

Integrales 1D

Cálculo de áreas planas

Si D ⊂ R2 es un dominio plano, entonces

Area(D) =12

∮∂D

xdy − ydx =

∮∂D

xdy = −∮∂D

ydx .

Si D no tiene agujeros y ∂D está parametrizada en sentidoantihorario por σ(t) = (x(t), y(t)) con t ∈ [a,b], entonces

Area(D) =12

∫ b

a

(x(t)y ′(t)− y(t)x ′(t)

)dt

=

∫ b

ax(t)y ′(t)dt = −

∫ b

ay(t)x ′(t)dt .

Cálculo Vectorial 11 / 28

Integrales 2D

Índice

1 Integrales 1D

2 Integrales 2D

3 Resultados útiles

Cálculo Vectorial 12 / 28

Integrales 2D

Superficies importantes

Esfera {x2 + y2 + z2 = R2} S = ϕ([0,2π]× [−π

2 ,π2 ])

y

ϕ(θ, φ) = (R cosφ cos θ,R cosφ sin θ,R sinφ),

Cilindro {x2 + y2 = R2, 0 ≤ z ≤ h} S = ϕ(D) con

ϕ(θ, z) = (R cos θ,R sin θ, z), D = [0,2π]× [0,h].

Cono{

x2 + y2 = R2

h2 z2, 0 ≤ z ≤ h} S = ϕ(D) con

ϕ(θ, z) = (Rh z cos θ, R

h z sin θ, z), D = [0,2π]× [0,h].

Elipsoide{

x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1} S = ϕ

([0,2π]× [−π

2 ,π2 ])

ϕ(θ, φ) = (a cosφ cos θ,b cosφ sin θ, c sinφ).

Notaciones: R = radio, h = altura, θ = longitud, φ = latitud.

Cálculo Vectorial 13 / 28

Integrales 2D

Integral de una función sobre una superficie

Superficie: S = ϕ(D) ⊂ R3 con D ⊂ R2

Vectores tangentes: ϕu = ∂ϕ∂u y ϕv = ∂ϕ

∂v , con ϕ = ϕ(u, v)

Elemento de superficie: dS = ‖ϕu ∧ ϕv‖dudvÁrea de S: Area(S) =

∫S dS =

∫D ‖ϕu ∧ ϕv‖dudv

Integral de f sobre S:∫

S fdS =∫

D f (ϕ(u, v))‖ϕu ∧ϕv‖dudvGráficas 3D: Si S = {z = g(x , y) : (x , y) ∈ D}, entonces

ϕ(x , y) = (x , y ,g(x , y))dS =

√1 + (gx )2 + (gy )2 dxdy∫

S fdS =∫

D f (x , y ,g(x , y))√

1 + (gx )2 + (gy )2 dxdyEsféricas: Si S = {r = g(θ, φ) : (θ, φ) ∈ D}, entonces

ϕ(θ, φ) = g(θ, φ) · (cosφ cos θ, cosφ sin θ, sinφ)

dS = g√

g2θ + (g2 + g2

φ) cos2 φ dθdφ∫S fdS =

∫D f (ϕ(θ, φ))g

√g2θ + (g2 + g2

φ) cos2 φ dθdφ

Cálculo Vectorial 14 / 28

Integrales 2D

Aplicaciones 2D

Promedio de una función f : S → R: f = 1Area(S)

∫S f dS.

Sea S ⊂ R3 un “plancha” con densidad ρ : S → R+.Diremos que S es homogénea cuando ρ sea constante.Masa: m(S) =

∫S ρ dS.

Promedio ponderado por ρ de f : f = 1m(S)

∫S fρ dS.

Centro de masas: CM(S) = (x , y , z) = 1m(S)

∫S(x , y , z)ρ dS.

S homogéneo⇒ CM(S) = CG(S) = centro geométrico.Momento de inercia respecto un eje e:

Ie =

∫S

r2ρdS, r(p) = dist(p,e).

Importante: Conviene aprovechar las simetrías.

Cálculo Vectorial 15 / 28

Integrales 2D

Superficies de revolución

Sea S la superficie de revolución obtenida al girar unacurva generatriz C alrededor del eje vertical z.Coordenadas 2D: r = horizontal, z = verticalCoordenadas cilíndricas: x = r cos θ, y = r sin θ, zGeneratriz: C = {(r(t), z(t)) : t ∈ [a,b]} ⊂ R2

Parametrización: S = ϕ(D) ⊂ R3, con

ϕ(t , θ) =(r(t) cos θ, r(t) sin θ, z(t)), D = [a,b]× [0,2π].

Elemento de superficie: dS =√

(r ′(t))2 + (z ′(t))2 r(t) dtdθ

Area(S) = 2π∫ b

a

√(r ′(t))2 + (z ′(t))2 r(t) dt∫

S fdS =∫

D f(ϕ(t , θ)

)√(r ′(t))2 + (z ′(t))2 r(t) dtdθ

Cálculo Vectorial 16 / 28

Integrales 2D

Teoremas de Guldin

Sea Π+ ⊂ R3 un semiplano y e = ∂Π+.Sean C ⊂ Π+ una curva plana no necesariamente cerraday D ⊂ Π+ un dominio plano sin contacto con e.Primer teorema: Si S es la superficie de revoluciónobtenida al girar la curva C respecto al eje e, entonces

Area(S) = 2π dist(CG(C),e) Long(C).

Segundo teorema: Si W es el cuerpo sólido de revoluciónobtenido al girar el dominio D respecto la eje e, entonces

Vol(W ) = 2π dist(CG(D),e) Area(D).

Advertencia: C = ∂D 6⇒ CG(C) = CG(D).

Cálculo Vectorial 17 / 28

Integrales 2D

Flujos de campos 3D a través de superficies

Superficie regular: S = ϕ(D) ⊂ R3 con ϕu ∧ ϕv 6= 0.Vector diferencial de superficie: dS = (ϕu ∧ ϕv )dudv .Campo vectorial 3D: F = (P,Q,R) : U ⊂ R3 → R3.Flujo:

∫S〈F ,dS〉 =

∫D〈F ◦ ϕ,ϕu ∧ ϕv 〉 dudv .

Notación: Si ϕ = (x , y , z) y F = (P,Q,R), entonces∫S〈F ,dS〉 =

∫S

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =

∫D

∣∣∣∣∣∣P ◦ ϕ Q ◦ ϕ R ◦ ϕ

xu yu zuxu yu zu

∣∣∣∣∣∣dudv

Vector normal unitario: N = ϕu∧ϕv‖ϕu∧ϕv‖ .

Componente normal: Si FN = 〈F ,N〉, entonces

dS = NdS,∫

S〈F ,dS〉 =

∫S

FN dS.

Cálculo Vectorial 18 / 28

Integrales 2D

Flujos en gráficas 3D y superficies de revolución

Gráficas 3D: Si S = {z = g(x , y) : (x , y) ∈ D}, entoncesParametrización: ϕ(x , y) = (x , y ,g(x , y))Vector diferencial de superficie: dS = (−gx ,−gy ,1) dxdy .

Por tanto, el flujo es∫S〈F ,dS〉 =

∫D

(R(x , y ,g)− P(x , y ,g)gx −Q(x , y ,g)gy

)dxdy ,

donde g = g(x , y), gx = ∂g∂x (x , y) y gy = ∂g

∂y (x , y).

Superficies de revolución: Si S = ϕ(D) ⊂ R3, con

ϕ(t , θ) =(r(t) cos θ, r(t) sin θ, z(t)), D = [a,b]× [0,2π],

entonces el vector diferencial de superficie es

dS =(− z ′(t) cos θ,−z ′(t) sin θ, r ′(t)

)r(t) dtdθ.

Cálculo Vectorial 19 / 28

Integrales 2D

Flujos y orientaciones

Superficies cerradas: Escribimos∮

en vez de∫

.Toda superficie orientable tiene dos posibles orientaciones.Si la superficie es cerrada, son la exterior y la interior.El flujo no depende de la parametrización ϕ, pero su signodepende de la orientación.Antes de calcular un flujo es necesario saber quéorientación nos piden.Una vez fijada la orientación de una superficie, escribimos∫

S+

〈F ,dS〉 =

∫S〈F ,dS〉,

∫S−〈F ,dS〉 = −

∫S〈F ,dS〉

para denotar las orientaciones positiva y negativa.

Cálculo Vectorial 20 / 28

Integrales 2D

Campos solenoidales

Divergencia 3D: Si F = (P,Q,R) : U ⊂ R3 → R3, entonces

∇ · F = div F = Px + Qy + Rz ,

donde Qx = ∂Q∂x , Py = ∂P

∂y y Rz = ∂R∂z .

Un campo vectorial F : U ⊂ R3 → R3

Proviene de un potencial vector G : U → R3 si F = rot G.Es solenoidal (o incompresible) cuando div F = 0.

F proviene de un potencial vectorial⇒ F solenoidal.El Laplaciano de una función f = f (x , y , z) es

∆f = div grad f = fxx + fyy + fzz =∂2f∂x2 +

∂2f∂y2 +

∂2f∂z2 .

Cálculo Vectorial 21 / 28

Integrales 2D

El teorema de Gauss (o de la divergencia 3D)

Orientación: La frontera S = ∂W de una región W ⊂ R3

está orientada según el vector normal exterior N cuando Napunta hacia el exterior de W en cada punto de S.Teorema de Gauss: Sea W una región contenida en unabierto U ⊂ R3, sea S+ = ∂W su frontera orientada segúnel vector normal exterior y sea F : U → R3 un campo declase C1. Entonces∫

Wdiv F dxdydz︸ ︷︷ ︸integral 3D

=

∮S+

〈F ,dS〉︸ ︷︷ ︸integral 2D

F solenoidal ⇒∮

S+〈F ,dS〉 = 0.div F ≡ c ⇒

∮S+〈F ,dS〉 = c Vol(W ).

Cálculo Vectorial 22 / 28

Integrales 2D

Gauss en superficies no cerradas

Si S es una superficie no cerrada y F : U → R3 un campode clase C1, entonces∫

S+

〈F ,dS〉 =

∫W

div F dxdydz −∫

T+

〈F ,dS〉,

donde T es una tapa arbitraria que, pegada a S, encierrala región W ⊂ R3.S y T deben orientarse según el vector normal exterior,luego si nos piden la orientación opuesta tenemos quecambiar el signo del flujo.Las tapas planas son prácticas.

Cálculo Vectorial 23 / 28

Integrales 2D

El teorema de Stokes (o del rotacional 3D)

Frontera orientada: La frontera C = ∂S de una superficieS ⊂ R3 está orientada según un vector normal N cuandoN recorre C de forma que S queda a su izquierda.Teorema de Stokes: Sea S una superficie contenida en unabierto U ⊂ R3, sea C+ = ∂S su frontera (ambasorientadas según un vector normal N) y sea F : U → R3

un campo de clase C1. Entonces∫S〈rot F ,dS〉︸ ︷︷ ︸

integral 2D

=

∮C+

〈F ,d`〉︸ ︷︷ ︸integral 1D

F irrotacional ⇒∮

C+〈F ,d`〉 = 0.

Cálculo Vectorial 24 / 28

Resultados útiles

Índice

1 Integrales 1D

2 Integrales 2D

3 Resultados útiles

Cálculo Vectorial 25 / 28

Resultados útiles

Algunas integrales definidas trigonométricas

En esta página, m y n son números naturales arbitrarios.Relaciones de ortogonalidad de Fourier:∫ 2π

0 cos(nθ) dθ =∫ 2π

0 sin(nθ) dθ =∫ 2π

0 cos(mθ) sin(nθ)dθ = 0

m 6= n⇒∫ 2π

0 cos(mθ) cos(nθ) dθ =∫ 2π

0 sin(mθ) sin(nθ) dθ = 0

Si In = 1 · 3 · 5 · ··· · (2n−1)2 · 4 · 6 · ··· · 2n , entonces:∫ 2π

0 sin2n θ dθ = 2∫ π

0 sin2n θ dθ = 4∫ π/2

0 sin2n θ dθ = 2πIn∫ 2π0 cos2n θ dθ = 2

∫ π0 cos2n θ dθ = 4

∫ π/20 cos2n θ dθ = 2πIn

Si Jn = 2 · 4 · 6 · ··· · 2n3 · 5 · 7 · ··· · (2n+1) , entonces:

12

∫ π0 sin2n+1 θ dθ =

∫ π/20 sin2n+1 θ dθ =

∫ π/20 cos2n+1 θ dθ = Jn∫ 2π

0 sin2n+1 θ dθ =∫ 2π

0 cos2n+1 θ dθ =∫ π

0 cos2n+1 θ dθ = 0

Cálculo Vectorial 26 / 28

Resultados útiles

Simetrías 2D

Integral 1D: f (−x) = −f (x)⇒∫ a−a f (x)dx = 0.

Si A es un subconjunto de Rn, f : Rn → R es una función yτ : Rn → Rn es una aplicación, entonces

A es τ -invariante cuando τ(A) = A.f es τ -impar cuando f (τ(p)) = −f (p).

Las simetrías 2D básicas son las aplicaciones:

τ(x , y) = (−x , y), τ(x , y) = (x ,−y),

τ(x , y) = (−x ,−y), τ(x , y) = (y , x).

Si τ es una de las anteriores simetrías 2D y f : R2 → R esuna función τ -impar, entonces:

C ⊂ R2 curva τ -invariante⇒∫

C fd` = 0,D ⊂ R2 dominio τ -invariante⇒

∫D f (x , y)dxdy = 0.

Cálculo Vectorial 27 / 28

Resultados útiles

Simetrías 3D

Las simetrías 3D básicas son las aplicaciones:

τ(x , y , z) = (−x , y , z), τ(x , y , z) = (x ,−y , z),

τ(x , y , z) = (x , y ,−z), τ(x , y , z) = (−x ,−y , z),

τ(x , y , z) = (−x , y ,−z), τ(x , y , z) = (x ,−y ,−z),

τ(x , y , z) = (−x ,−y ,−z), τ(x , y , z) = (y , x , z),

τ(x , y , z) = (z, y , x), τ(x , y , z) = (x , z, y).

Si τ es una de las anteriores simetrías 3D y f : R3 → R esuna función τ -impar, entonces:

C ⊂ R3 curva τ -invariante⇒∫

C fd` = 0,S ⊂ R3 superficie τ -invariante⇒

∫S fdS = 0,

W ⊂ R3 región τ -invariante⇒∫

W f (x , y , z)dxdydz = 0.

Cálculo Vectorial 28 / 28

Resultados útiles

Cambios de variable importantes

Polares:x = r cos θ, y = r sin θx2 + y2 = r2

dxdy = r drdθ∫D f (x , y) dxdy =

∫D∗ f (r cos θ, r sin θ)r drdθ

Cilíndricas:x = r cos θ, y = r sin θ, z = zx2 + y2 = r2

dxdydz = r drdθdz∫W f (x , y , z) dxdydz =

∫W∗ f (r cos θ, r sin θ, z)r drdθdz

Esféricas:x = r cos θ cosφ, y = r sin θ cosφ, z = r sinφx2 + y2 + z2 = r2

dxdydz = r2 cosφ drdθdφ∫W f (x , y , z) dxdydz =∫W∗ f (r cos θ cosφ, r sin θ cosφ, r sinφ)r2 cosφ drdθdφ