cÁlculo diferencial e integral -...
Post on 23-May-2018
223 Views
Preview:
TRANSCRIPT
CÁLCULO
DIFERENCIAL E
INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN,
COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE
DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS PARA EL
CALCULO DE LIMITES, LIMITES TRIGONOMETRICOS, EL NÙMERO
“e”, CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÒN, PUNTOS DE DISCONTINUIDAD
EN FUNCIONES ÀLGEBRAICAS RACIONALES
2011
ING. ROBERTO MERCADO DORANTES UNIVERSIDAD AUTONOMA DELESTADO DE MÈXICO
PLANTEL DE LAESCUELA PREPARATORIA “IGNACIO RAMIREZ CALZADA 24/03/2011
Relaciones y funciones
Ejercicio1
Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función o una
relación:
A= {(-2,4), (3,9), (4,16), (5,25)} B= {(3,2), (3,6), (5,7), (5,8)}
C= {(2,4), (3,4), (5,4), (6,4)} D= {(2,4), (6,2), (7,3), (4,12), (2,6)}
Ejercicio2
Determina si los siguientes diagramas representan una función o una relación:
1) A B 2) A B
Ejercico3
Determina si las siguientes graficas representan una relación o una función.
a)
2
3
4
4
9
16
4
6
7
8
3
2
b)
Nota: Las funciones y relaciones pueden tener una representación grafica en el plano
cartesiano. Para distinguir si se trata de una función o una relación basta trazar una recta
paralela al eje “y” sobre la grafica; si esta intercepta en dos o más puntos es una relación, si
solo intercepta un punto será una función.
Valor de una función
El valor real )(xf de una función es aquel que toma “y” cuando se asigna a “x” un
determinado valor real
Ejemplo1
Obtén )3(f para 253)( 2 xxxf
Solución:
Para obtener )3(f se sustituye x=-3 en la función y se realizan las operaciones
indicadas,
40215272)3(5)3()3( 2f
Por lo tanto 40)3(f , es decir y=40 cuando x=-3 o lo que es lo mismo la curva pasa
por el punto (-3,40) en el plano cartesiano.
Ejercicios 4
Obtén el valor de las siguientes funciones:
a) x
xxf
5
13)(
Para 4
3f
b) 5)( tts
Para )4(s
c)2
)(x
xxf
Para )2(f
d) 32)( 2xxf
Para 2
1f
Dominio y rango de una función
Ejemplo1
Determina el dominio de la función 6
3)(
x
xxf
Solución: La función es racional, el denominador debe ser distinto de cero, ya que la división
entre cero no esta definida, por lo tanto, se busca el valor para el cual x+6=0 obteniendo x=-6,
por lo tanto el dominio es: fD (- )6, ),6(
Ejemplo2
Determina el dominio de la función 6)( xxf
Solución: El radicando debe ser mayor o igual que cero es decir
06x
De donde 6x , por lo tanto el dominio es: ),6
Ejercicio 5
Determina el dominio de las siguientes funciones:
a) 4)( 2xxf
b) 3)(
x
xxf
c) 16
3)(
2xxf
d) 107
1)(
2 xxxf
e) xxxf
3
1)(
f) 1)( xxf
g) xxf 2)(
Ejercicio 6
Determina el rango de las siguientes funciones:
a) 1)( 2xxf
29)() xxfb
2
2
4)()
1)()
53
110)()
xxfe
xxfd
x
xxfc
Ejercicio 7
Obtén la grafica de las siguientes funciones:
12
1)()
)()
)()
1)()
)()
3)()
xxff
xxfe
xxfd
xxfc
xxfb
xfa
Operaciones con funciones
Sean “f” y “g” dos funciones con dominios fD y gD respectivamente:
0)(),()(
)()
))(()()()
))(()()()
))(()()()
xgxg
f
xg
xfd
xgfxgxfc
xgfxgxfb
xgfxgxfa
Dominio de f(x)+g(x)=Dominio gf DD
Dominio de f(x)-g(x)=Dominio gf DD
Dominio f(x) g(x)=Dominio gf DD
Dominio de )(
)(
xg
xfDominio gf DD , con 0)(xg
Ejemplo1
Obtenga F+G, F-G, FG y F/G, para las siguientes funciones:
F= {(-2,-4), (-1,5),(0,-1),(1,-7),(2,10) y G={(-2,-2),(-1,-6),(3,-3),(5,1)}
En este caso 2,1,0,1,2fD y 5,3,1,2gD y la intersección de ambos
dominios es:
1,2gf DD
Por lo tanto:
F+G= {-2, (-4+ (-2), (-1, (5+ (-6))}
Esto es:
F+G= {-2,-6), (-1,-1)}
De manera similar:
F-G= {(-2,-2), (-1,11)}
FG= {(-2,8), (-1,30)}
F/G= {(-2,2), (-1,-5/6)}
Ejercicio 8
Obtenga F+G, F-G, FG y F/G, para las siguientes funciones:
F= {(-2,5), (-1,-3), (0,9), (1,-7), (2,8), (3,-4), (5,10)}
G= {(-3,6), (0,-5), (-1,7), (2,-6), (3,12), (4,-1)}
Ejercicio 9
Para las funciones F y G del ejercicio anterior, obtenga lo siguiente:
a) F+2G
b) 2F-G
c) F(2G)
d) 4F/3G
Ejemplo 2
Sean las funciones ]}3,3[;9),{( 2 xxyyxF y };),{( RxxyyxG
Determina:
F+G, F-G, FG y F/G
}0]3,3[;9
),{(
]}3,3[;9),{(
]}3[;9),{(
]}3,3[;9),{(
2
2
2
2
xxx
xyyx
G
F
xxxyyxFG
xxxyyxGF
xxxyyxGF
Ejercicio 10
Para las siguientes funciones determina: F+G, F-G, FG y F/G
4)(,3)()
3
2)(,
2
12)()
23)(,54)()
52)(,52)()
2)(,5)()
22
xxgxxfe
xxg
xxfd
xxxgxxxfc
xxgxxfb
xgxfa
COMPOSICIÒN DE FUNCIONES
))}((),{( xgfyyxgf
})({ fggf DxgDxxD
))}((),{( xfgyyxfg
})({ gffg DxfDxxD
Ejemplo1
Si )}8,7(),6,5(),4,3(),2,1{(f y )}2,9(),5,5(),3,1(),1,3{(g , determina gf
Solución: Se determinan los pares ordenados de la función "" g de tal manera que, el segundo
término, sea el primer término de los pares ordenados de la función "" f . Los primeros
términos de cada par ordenado encontrado, forman el dominio de la función composición.
Los pares ordenados de "" g que cumplen con la condición son:
(3,1), (-1,3), (-5,5)
Por lo tanto, el dominio de la función composición es:
}3,1,5{:gfD
E l rango se evalúa de la siguiente manera:
Por definición )),(( xgfgf entonces el conjunto solución son todas las parejas
ordenadas de la forma: ))((,( xgfx
2)3())3((
4)3())1((
6)5())5((
fgf
fgf
fgf
Finalmente )}2,3(),4,1(),6,5{(gf
Ejemplo 2
Determina gf y fg , para 3)( xxf y 1)(
x
xxg
Solución
2
3
1)3(
3)3())((
1
34
1
)1(33
11))((
x
x
x
xxgxfgfg
x
x
x
xx
x
x
x
xfxgfgf
Ejercicio 11
Determina gf y fg para las siguientes funciones:
a) F= {(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)} y G= {(1,2), (2.3), (3,4), (4,5)}
b) F= {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)} y G= {(-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4)}
Ejercicio 12
Determina gf y fg para las siguientes funciones
253)() 2 xxxfa y 32)( xxg
4)() xfb y 2)(xg
12)() 2 xxxfc y 1)( xxg
FUNCIÓN INVERSA
El concepto de inversa de una función presupone que el dominio y el rango se invierten, razón
por lo cual no toda función tiene inversa, ya que al invertir el dominio por el rango, puede ser
que las primeras componentes se repitan y por lo tanto deje de ser función. Para que una
función tenga inversa es necesario que la función sea inyectiva, es decir, que no se repitan los
elementos ni del dominio ni del rango.
Gráficamente, una función inyectiva se caracteriza por que toda recta horizontal intersecta a la
grafica de la función en solamente un punto.
Ejemplo
Determina la función inversa de f(x)=x3-3
Solución:
3333 3333 xyxyyxxy
Por lo que la función inversa de 33xy es 3 3xy
Grafica:
Ejercicio 13
Determina la función inversa de:
Rxxxfc
xxxfb
Rxxxfa
;)()
);0[;)()
;23)()
2
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia )(xfy cuando la
variable independiente x tiende a un valor fijo a, es el valor L hacia el cual tiende la función, se
denota:
Lxfax )(lim
Que se lee: el limite de f(x) cuando ax es igual a L
Significa que cuando x esta muy cerca de a, la función y=f(x) esta muy cerca de L
Geométricamente:
L y=f(x)
a
Ejemplo1
Considérese la siguiente grafica de una cierta función y=f(x), obtener el valor de su limite
cuando x tiende a 3.
Solución
11)(lim 3 xfx
Ejemplo2
Considérese la siguiente grafica de una cierta función y=f(x), obtener el valor de su limite
cuando x tiende a -2.
2)(lim 2 xfx
Ejercicio 14
Determine el valor de los siguientes límites, para lo cual construya una tabla en donde asigne
valores cercanos al valor hacia el cual tiende la variable x.
)75(lim)
)4)(3(lim)
)323(lim)
2
2
1
2
1
xc
xxb
xxa
x
x
x
LIMITES LATERALES
Al asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor al cual tiende x, tanto con
valores menores como con valores mayores, se denomina: cálculo de un limite mediante sus
limites laterales.
Teorema
El límite de una función existe, si y solo si, sus límites laterales existen y son iguales, esto es:
existexf )(lim )(lim)(lim xfxfaxax
Ejercicio 15
Calcule los siguientes límites, obteniendo sus límites laterales.
x
xc
x
xb
xa
x
x
x
4
3
2
0
lim)
2
8lim)
1lim)
TEOREMAS PARA EL CALCULO DE LÍMITES
Una forma directa para calcular el limite de una función, es mediante el uso de teoremas, los
más importantes son los siguientes
n
ax
n
ax
ax
axax
axaxax
axax
nn
ax
ax
ax
ax
xfxf
xgxg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
ax
kakx
ax
kk
)]([lim)]([lim.8
0)(;)(lim
)(lim
)(
)(lim.7
)(lim)(lim)]()([lim.6
)(lim)(lim)]()(lim[.5
lim.4
lim.3
lim.2
lim.1
Cuando se aplica el teorema #7 para calcular el limite de un cociente de dos funciones se
presentan los siguientes casos:
a) Que resulte una constante dividida entre otra constante, ambas diferentes de cero,
entonces el valor del limite es el número real obtenido al dividir las dos constantes.
b) Que resulte cero entre otra constante diferente de cero, entonces el valor del limite es
igual a cero
c) Que resulte una constante diferente de cero entre cero, entonces el limite de la
función no existe porque la división entre cero no esta definida
d) Que resulte cero entre cero, entonces el limite puede existir y su valor se obtiene
simplificando la expresión y aplicando los teoremas correspondientes
K es una constante
f(x) y g(x) son funciones reales
Ejercicio 16
Calcular el valor de los siguientes límites utilizando los teoremas:
154
32lim)
2
3lim)
)31(lim)
)5)(12(lim)
)45(lim)
21
1
5
2
2
2
2
xx
xe
xd
xc
xxb
xxa
x
x
x
x
x
LIMITES TRIGONOMETRICOS
El limite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas, en los
cuales se considera que u=f(x)
1lim.6
1lim.5
1coslim.4
0lim.3
coscoslim.2
lim.1
0
0
0
0
senu
u
u
senu
u
senu
u
sensenu
u
u
u
u
u
u
Con estos teoremas es posible obtener el limite de funciones trigonométricas. Cuando la
función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se aplican identidades
trigonométricas y después el teorema correspondiente.
Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites, se tienen las siguientes:
uu
uu
senu
uu
u
senuu
sec
1csc
cos
1sec
coscot
costan
Ejercicio17
Calcular el valor delos siguientes límites:
x
xsene
xsend
xsenxc
xb
xsena
x
x
x
x
x
82lim)
5
24lim)
23lim)
3coslim)
7lim)
0
0
2
0
0
0
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x), es continua en un punto
de abscisa x=a, cuando cumple la condición siguiente, llamada condición de continuidad:
)(lim)( xfaf ax
Cuando esta condición no se cumple, entonces la función es discontinua en x=a. En este caso,
el punto de abscisa “a” se denomina punto de discontinuidad de la función.
Existen tres tipos de discontinuidad de una función:
Tipos de discontinuidad Características
a) Discontinuidad evitable o restringible f(a) no esta definida, pero el límite en ese punto existe)
b) Discontinuidad asintótica o infinita f(a) no esta definida, tampoco existe el limite en ese punto)
c) Discontinuidad de salto o brinco f(a) esta definida, el limite en ese punto no existe)
Ejemplo
Analizar la continuidad de la función f(x)=x3-x2-4x en x=1, en caso de que la función sea
discontinua, indique a que tipo de discontinuidad corresponde. Trace la grafica
Solución
1. Sea evalúa la función en el punto x=1
4)1(4)1()1()1( 23f Si esta definida
2. Se obtiene el limite de la función cuando 1x
4)4(lim 23
1 xxxx El limite si existe
Como )(lim)( xfaf ax
La función es continua
Ejercicio 18
Analiza la continuidad de las siguientes s funciones en el punto indicado y traza la grafica, en
caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de discontinuidad pertenece.
3;2)
1;1
1)
1;
1;2)
5;42)
2;3
96)
2
2
xxye
xx
xyd
xx
xxyc
xxyb
xx
xxya
PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
En una función algebraica racional con regla de correspondencia de la forma )(
)(
xg
xfy
Donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales, los puntos en los cuales la función g(x) es
igual a cero, son puntos de discontinuidad porque la división entre cero no esta definida.
Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica
racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador
Ejemplo
Encontrar los puntos de discontinuidad de la función: xx
xxf
3
2)(
2
Solución
Igualando con cero el denominador
032 xx
Resolviendo la ecuación por factorización
303
0
0)3(
xx
x
xx
Por lo tanto la función es discontinua en x=0 y en x=3
Calculando el limite de la función en estos dos puntos
a) para x=0
0
0
)0(30
)0(2)0(
2f , por lo que f(a) no esta definida
3
2
3
2
3
2lim
)3(
2lim
3
2lim 0020
xxx
x
xx
xxxx ; el limite si existe
Por lo que la función presenta una discontinuidad evitable en el punto 3
2,0
b) para x=3
0
6
)3(33
)3(2)3(
2f ; no esta definido
0
2
3
2lim
)3(
2lim
3
2lim 3323
xxx
x
xx
xxxx ; no existe el limite
Entonces la función f(x) presenta una discontinuidad infinita en el punto de abscisa x=3
Grafica
top related