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Clase N°5Generación de instancias de una v.a. (Parte II)
ICS3723Simulación
Profesor Pedro Gazmuri
Generación de instancias de una v.a. (Parte II)
1. Composición2. Convolución3. Métodos de aceptación y rechazo4. Generación de algunas distribuciones específicas
i. N-Erlangii. GAMMAiii. Weibulliv. Normalv. Beta
1. Composición
• Sea y supongamos que F puede escribirse como una combinación lineal convexa de distribuciones , en que es fácil obtener instancias de esas distribuciones.
• Es decir,(1)
~X F
1 2, , ...F F
1
1
( ) ( )
0, , 1
j jj
j jj
F x P F x
P j P
1. Composición
• Método: Sea J una v.a. tal quei. Generar una instancia de la v.a. Jii. Generar una instancia de la distribución F
• Notemos que si (1) se cumple para la función de distribución F, una expresión análoga se cumple para f
• Aquí es la función densidad asociada a .
( ) jJ j P P
1
( ) ( )j jj
f x P f x
( )jf ( )jF
1. Composición
• Ejemplo: distribución de Laplace:
• Entonces:
| |( ) 0.5 ,xf x e x
x
( )f x
0.5
( ,0) [0, )( ) 0.5 ( ) 0.5 ( )
1,( )
0,
x x
A
f x e I x e I x
si x AI x
si x A
1. Composición
• Luego f(x) es una combinación lineal convexa de:
• Primero generamos una instancia de la v.a. J:
• Generamos• Si , generamos una instancia de• Si , generamos una instancia de
1 ( ,0)
2 [0, )
( ) ( )
( ) ( )
x
x
f x e I x
f x e I x
1, 1 / 2
2, 1 / 2J
conprobabilidadconprobabilidad
~ (0,1)U U
0.5U ( ) xf x e
0.5U ( ) xf x e
2. Convolución
• Supongamos que X puede escribirse como la suma de m v.a. i.i.d.
• Método:i. Generar instancias deii. Calcular
1 2
~
~ , 1,...,
m
i
X Y Y Y
X F
Y G i m
1 2, ,..., mY Y Y
1 2 mX Y Y Y
3. Métodos de aceptación y rechazo
• Supongamos X continua con distribución F y densidad f.
• Supongamos que existe una función t que “mayora” a f, es decir,
• En general, t no será una función densidad ya que:
• Pero si asumimos , definimos• Suponemos que podemos generar con facilidad una
instancia de , de densidad r(x).
( ) ( ), .t x f x x
( ) ( ) 1c t x dx f x dx
c ( ) ( )/r x t x c
~Y R
3. Métodos de aceptación y rechazo
• Método:i. Generar Y de acuerdo a la densidad r.ii. Generar independiente de Y.iii. Si ,retornar , en caso contrario, volver
al paso i.
~ (0,1)U U( )( )
f Yt YU X Y
3. Métodos de aceptación y rechazo
• Demostración del método:o Supongamos que el evento A corresponde a la
aceptación en el paso iii.o Ahora X sólo está definido bajo el evento A.o Ahora cuando A ocurre, , por lo tanto
o Ahora,( , )
( ) ( | )( )
Y x AX x Y x A
A
P
P PP
, ( , | ) ( )
( | ) ( )
y x
y
y x
y
Y x A A Y x Y y r y dy
A Y y r y dy
P P
P
X Y
3. Métodos de aceptación y rechazo
• Demostración del método:o Ahora,
o Luego, ( ) ( )
( ) ( )( | ) f y f yt y t yA Y y U P P
( ), ( )
( )
1 1( ) ( )
y x
y
y x
y
f yY x A r y dy
t y
f y dy F xc c
P
3. Métodos de aceptación y rechazo
• Demostración del método:o Por otra parte,
o Por lo tanto,1
1
( )( , )( ) ( )
( )c
c
F xX x AX x F x
A
P
PP
( )( ) ( | ) ( ) ( )
( )
1 1( )
f yA A Y y r y dy r y dy
t y
f y dyc c
P P
4. Generación de algunas distribuciones específicas
i. N-Erlang• Corresponde a un caso especial de la• Corresponde a la suma de n exponenciales de tasa
λ, es decir, tiene distribución
( , )GAMMA
( , )GAMMA n
4. Generación de algunas distribuciones específicas
ii. GAMMA• Con parámetros , tiene densidad
• Si , se cumple que
• No existe una fórmula cerrada para la función distribución inversa.
1( ; , ) , 0( )
xf x x e x
2( ) , ( )Y Var Y
E
~ ( , )Y GAMMA
, 0
4. Generación de algunas distribuciones específicas
ii. GAMMA
• Recordar que• Si es entero,
1
0( ) tt e dt
( ) ( 1)! 0
( ; , )f x
x
1 2
3
4. Generación de algunas distribuciones específicas
ii. GAMMA• Ahora, si
entonces Y distribuye como βX.• Luego, sólo nos basta saber cómo generar
~ ( ,1)
~ ( , )
X GAMMA
Y GAMMA
~ ( ,1)X GAMMA
4. Generación de algunas distribuciones específicas
ii. GAMMA1. Caso .• Existe un algoritmo de aceptación y rechazo que es
eficiente para este caso:
0 < <1α
1
0 , 0
( ) , 0 1( )
, 1( )
x
si x
xt x si x
esi x
4. Generación de algunas distribuciones específicas
ii. GAMMA1. Caso .0 < <1α
0
1
( ) ,( )
0 , 0
( )( ) , 0 1
, 1x
b ec t x dx b
e
si x
t x xr x si x
c be
si xb
4. Generación de algunas distribuciones específicas
ii. GAMMA1. Caso .• La función de distribución R asociada a r es:
• Y esta función es invertible:
0 < <1α
0
0 1( ) ( )
1 1x
xxb
eb
si xR x r y dy
si x
111
(1 ) 1
( ) 0( )ln 1
bb z
b
bz si zR zsi z
4. Generación de algunas distribuciones específicas
ii. GAMMA2. Caso .• También se usa un algoritmo de aceptación y
rechazo
• En este caso,
>1α
1
2
0 , 02 1
( ) ,, 0
( )
si x
r x uxsi x u
u x
4( )
ec
4. Generación de algunas distribuciones específicas
ii. GAMMA2. Caso .• Las funciones de distribución y su inversa son,
respectivamente
>1α
1
1
0 , 0( )
, 0
( ) ,0 11
si xR x x
si xu x
uzR z z
z
4. Generación de algunas distribuciones específicas
iii. Weibull• Con parámetros , tiene densidad
• Según los valores de a y b, puede dar origen a muchas formas distintas.
• F es invertible en este caso:
1( ; , ) , 0bb axf x a b abx e x
, 0a b
1
1( ) ln(1 ) aF u b u
4. Generación de algunas distribuciones específicas
iv. Normal• F no es invertible.• Método:
o Si U1,U2 son v.a. i.i.d. U(0,1), entonces
1 1 2
2 1 2
2ln cos2
2ln sin2
x U U
x U U
4. Generación de algunas distribuciones específicas
v. Beta• Con parámetros , tiene densidad
• Da lugar a muchas formas distintas.• Resultado: si Y1 e Y2 son independientes con
entonces:
, 0 1 1(1 )
( ; , ) , 0 1( , )
x xf x x
1 1 2 2~ ( ,1) , ~ ( ,1)Y GAMMA Y GAMMA
11 2
1 2
~ ( , )Y
BetaY Y
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