clase 22 parte 1: funciÓn inversa local. definición. cálculo diferencial e integral ii. eleonora...

CLASE 22 PARTE 1: FUNCIÓN INVERSA LOCAL.

Definición.

Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.

Derechos reservados.

Ejercicios para las clase 22

•Práctico 6 del año 2006. Ejercicios 3 y 11.

Bibliografía de la Clase 22:

•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.2, parágrafos 37 y 38.

Sea dada

en un abierto D. Sea dado un punto y sea

DEFINICIÓN: f es localmente invertible en torno de asi existe un entorno del

punto a, tal que

es biyectiva (biunívoca: inyectiva y sobreyectiva). Entoncesexiste función inversa local:

EJEMPLO.

CLASE 22 PARTE 2: TEOREMA DE LA FUNCIÓN

INVERSA LOCAL.

Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.

Derechos reservados.

Ejercicios para las clase 22

•Práctico 6 del año 2006. Ejercicios 3 y 11.

Bibliografía de la Clase 22:

•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.2, parágrafos 37 y 38.

Sea dada

en un abierto D. Sea dado un punto y sea

TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA LOCAL.

Si

entonces:

Dem.Sea la función auxiliar

Por el teorema de la función implícita local en el caso de unsistema de q ecuaciones:

sigue

Teníamos

sigue

Llamando teníamos

g es la inversa local de f.

Derivando respecto de p y aplicando la Regla de la Cadena

CLASE 22 PARTE 3: TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA LOCAL. Ejemplo.

Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.

Derechos reservados.

Ejercicios para las clase 22

•Práctico 6 del año 2006. Ejercicios 3 y 11.

Bibliografía de la Clase 22:

•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.2, parágrafos 37 y 38.

EJEMPLO

Sea

Probar que f tiene inversa local en torno de a

y hallar las derivadas parciales de x e y respecto de u y v.

Por el teoremade la funcióninversa local:

OBSERVACIÓN. El recíproco del teorema de lafunción inversa es falso. Existen funciones localmente invertibles que no son diferenciables, y otras que son diferenciables pero su Jacobiano tiene determinante iguala cero.

EJEMPLO. Sea

Demostrar que f es localmente invertible pero Jf(a) = 0

f es invertible porque dado (u,v) sea