circunferencia completo
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8/20/2019 Circunferencia Completo
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de umponto (centro)
Corda é um segmento derecta que une dois pontos dacircunferênciaDiâmetro é toda a corda quepassa peo centro dacircunferência
O diâmetro é a maior dascordas
O diâmetro divide acircunferência em duas semi-
Diâmetro
Corda
Raio
!aio é um segmento de rectaque une um ponto dacircunferência ao seu centro
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ângulo ao Centro e Arco de Circunferência
"m ânguo formado por dois raios designa#se
ânguo ao centro (o $értice do ânguo
coincide com o centro da circunferência)
c
A
B
%uaquer por&'o da circunferência determinada
por dois dos seus pontos que s'o os etremos
do arco designa#se *rco de circunferência.
+ota – %uando faamos em arco sem nada
acrescentar referimo#nos ao arco menor
» AB
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
*o ânguo ao centro *C, corresponde a
corda -*, e o arco -*, e $ice#$ersa.
+uma circunferência quaquer ânguo que
n'o seja ao centro di/#se ecêntrico.
0ág.12 – eerc3cio 1Observa a circunferência de centro O da figura:
a) Identifica quatro ânguos ao centro
b) Indica dois !ares de ânguos aocentro geometricamente iguais
c) Cassifica quanto aos "ados o triângu"o
#$OD% 4riânguo is5scees
µ µ µ µ; ; AOB BOC COD e EOD
µ µ
µ µ
BOC F OE
AOB EOD
≅
≅
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
- a cada ângu"o ao centrocorres!onde um arco e vice-versa
&uma circunferência:
- A arcos iguais corres!ondem
cordas e ânguos ao centro iguais
- A ânguos ao centro iguaiscorres!ondem arcos e cordas iguais
- A cordas iguais corres!ondemarcos e ânguos ao centro iguais
- A am!"itude de um arco é igua" ' am!"itudedo ânguo ao centro corres!ondente
C
(
*
I
C
A
B$
D
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Observa a figura onde [MT] ⊥ [EA].
0ág.16 – eerc3cio 6
+rova que
Res!osta:
$sta afirma,o é verdadeira !orque se
trata dos com!rimentos dos "ados de um
quadrado. !ois como #/0% e #$A% so
diâmetros da circunferência. re!resentam
as diagonais de um quadrado. !or serem
iguais
MA AT TE EM = = =
MA AT TE EM = = =
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Na figura abaixo, [AD] é um diâmetro da circunferência de
centro O, é a bissectriz do ânguo !OD"
0ág.16 – eerc3cio 7
a) Ca"cu"a
b) 1ue !odemos conc"uir em re"a,o a
+orquê2
c) $ em re"a,o a +orquê2
d) 3u!ondo que . ca"cu"a o com!rimento do arco AB
A am!"itude dosarcos é 456 !orque a am!"itude dos ângu"os aocentro corres!ondentes também é 456
Os com!rimentos das cordas so iguais!orque a arcos e ângu"os ao centro iguaiscorres!ondem cordas iguais
µ 60º AOB e O C •
=
µ µ . BOC e COD
» » », , . AB BC CD
, . AB BC e CD
2 AO cm=
»2
2
4 22 , 2 4 log .
6 6 3
P Se AO cm r cm e d cm o AB cm
π π ÷
÷
= = = = = =e
µ µ60º ; 60º BOC COD= =
P d π = ×e
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Observa as figuras e determina, em cada caso, os vaores de x e y "
0ág.26 – eerc3cio 1 a) e c)
x y
a)
c)
x+30º 2x - 10º
7ngu"os vertica"mente o!ostos
30º 2 10º
2 10º 30º
1 40º
40º
x x
x x
x
x
+ = − ⇔
⇔ − = − − ⇔
⇔ − = − ⇔
⇔ =
30º 30º y e x= =
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ângulo inscrito
8m ângu"o formado !or duas cordas designa-
se ânguo inscrito 9o vértice do
ângu"o coincide com um !onto da
circunferência)
$c
(
D
A am!"itude de um ânguo inscrito é igua"
a metade da am!"itude do arco
com!reendido entre os seus "ados
O ânguo ao centro tem de am!"itude 8º. "ogo aam!"itude do arco corres!ondente também é 8º. oque significa que a am!"itude do ânguo inscrito é
igua" a metade da do arco corres!ondente 98º:2;7º)
8º
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Observa a figura e indica#
0ág.1< – eerc3cio =
a) 8m ângu"o ao centro
b) 8m ângu"o inscrito
c) 8m arco de circunferência
d) 8m raio de circunferência
e) 8ma corda da circunferência
AOC S
ABC S
» AB
[ ]OC
[ ] AB
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
$onsidera a circunferência de centro O"
0ág.1< – eerc3cio >
a) #AB% e #DC% so diâmetros +orquê2
b) 3e . ca"cu"a:
b;)b)
+orque so cordas que !assam !e"o centro
b?)
µ 34º ( )COB ângulos verticalmente opostos=
µ 34º AOD =
µCOB
µ ABD» DB
µ ADB
µ B AD
µ 34º 17º2
ABD = =
» 180º 34º 146º DB = − =
µ
µ
»
180º 34º 146º73º
2 2
( 1 )
146º73º
2
( 146º )
B AD
ângulos de isósceles
B AD
ângulo inscrito correspondente a BD ue !
−
= = =
= =
Vµ 360º 146º 34º 180º 90º
2 2 ADB
− −
= = =
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Abre agora o !rograma eogebra. no teucom!utador. e verifica o e@erccio anteriorcome,ando !or:
tra,ar uma recta 9com < !ontos) desenar uma circunferência 9centro sobre um !onto e raio
no outro)
marcar os !ontos A e Bmarcar o ângu"o AOD de =>6 e os !ontos D e C marcar a corda DBverificar todos os resu"tados
http://c/Users/Ana%20Lu%C3%ADsa/Desktop/GeoGebra.lnkhttp://c/Users/Ana%20Lu%C3%ADsa/Desktop/GeoGebra.lnk
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ângulo inscrito
0ropriedades?
Os ângu"os inscritos no mesmo arco de
circunferência so geometricamente
iguais
1ua"quer ângu"o inscrito numa semi-
circunferência é recto
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
O triânguo [MA%] re&resentado na figura é rectânguo em A e os seus
três vértices &ertencem ' circunferência"
0ág.1> – eerc3cio 12
3abendo que e que
ca"cu"a
» ¼ MA "M = µ 30º M #A =
µ" A#
» » ¼
µ
¼
µ¼ ¼
µ
µ µ
30º 2 60º log 60º
90º ( )
180º
180º 60º
2 2
12060º
2
MA MA o "M
M A# ângulo inscrito numa semi circun$er%ncia
ent&o M"#
M"# M""A# " A#
" A# " A#
= × ⇔ = =
= −
=
− −= ⇔ = ⇔
⇔ = ⇔ =
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Abre novamente o !rograma eogebra e verificao e@erccio anterior come,ando !or:
tra,ar uma recta com dois !ontos
desenar uma circunferência 9centro sobre um !onto e raio nooutro) marcar os !ontos / e R tra,ar o ângu"o /RA de =56
marcar o !onto A e a corda #/A% verificar que o ângu"o /AR é 56 tra,ar uma recta !er!endicu"ar a /R e marcar o !onto 1 verificar todos os resu"tados
http://c/Users/Ana%20Lu%C3%ADsa/Desktop/GeoGebra.lnkhttp://c/Users/Ana%20Lu%C3%ADsa/Desktop/GeoGebra.lnk
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
@io de simetria de uma circunferência
Qualquer recta que passe pelo centro de uma
circunferência é eixo de simetria da circunferência.
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
%uaquer recta que passe peo centro de uma circunferência
di$ide ao meio as cordas que Ae s'o perpendicuares assim
como os ânguos ao centro e os arcos correspondentes.
+uma circunferência arcos e
cordas compreendidos entre
cordas paraeas s'o
geometricamente iguais.
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
* tangente a uma circunferência
é perpendicuar B recta que
passa peo centro e peo ponto
de tangência.
tangente
56
0ág. 21 e.1=
a) )
!onto detangência
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
0ág. 21 e.1>
a) b) c)
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Polígono é o conjunto de pontos do plano limitado por uma linhafechada, formada por segmentos de recta unidos pelas extremidades.
+o"gono &o +o"gono
s po3gonos podem ser cEnca$os ou con$eos.Cncavo Conve@o
0o3gonos
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
0o3gono reguar m polígono regular é todo o polígono con!exo com as seguintes
características"
todos os seus lados têm a mesma
medida (são congruentes);
todos os seus ângulos internos têm
a mesma amplitude (são congruentes).
Diagona de um 0o3gono#iagonal de um polígono é qualquer
segmento de recta cujos extremos s$o
!értices n$o consecuti!os do polígono.
0o3gonos
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
0o3gonos !eguares
0o3gono +.º Fados Gnguo aoCentro
GnguoHnterno
4riânguoequiátero
6 12º =º
%uadrado 7 9º 9º
0entágono < >2º 18º
Ieágono = =º 12º
... ... ... ...
... + 6=º:+; 18 # Gnguoao centro
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
* soma das ampitudes dos ânguos internos de um po3gono
(con$eo) de n ados é igua a (n#2) 18º.
triângu"o
Ji ; (6 # 2) 18º ;; 1 18º ;; 18º +entEgono
Ji ; (< # 2) 18º ;; 6 18º ;; 2º
0o3gonos
Concluímos que"
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
0o3gonos
Concluímos que"+um po3gono con$eo quaquer que
seja o nKmero de ados a soma dos
ânguos eternos é sempre 6=º.
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
+o"gonos inscritos numa circunferência
0o3gono +.º ados +.º triânguosJoma dos ânguosinternos
4riânguo 6 1 18º
%uadriátero 7 2 2 L 18º ; 6=º
0entágono < 6 6 L 18º ; 2º
Ieptágono >
ctagono 8
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
0o3gonos
Concluímos que"
* ampitude do ânguo ao centro correspondente ao ado de um
po3gono reguar de n ados é
8m po3gono diF-se inscrito numa circunferência se esta contém todos os
seus vértices A circunferência diF-se circunscrita ao !o"gono
360º
n
µ 360º 72º5
DOC = =
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
0o3gonos !eguares
0o3gono +.º Fados Gnguo aoCentro (*c)
GnguoHnterno (*i)
4riânguoequiátero
6 12º =º
%uadrado 7 9º 9º
0entágono < >2º 18º
Ieágono = =º 12º
... ... ... ...
... + *c ; 6=º:+ *i ; 18 # *c
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
0ágina 61 – e. 2 a)
0o3gonos
0ágina 61 – e. 6
( 2) 180º 720º
180º 360º 720º
180º 720º 360º1080º
180º
6
: .
n
n
n
n
n
# O pol'gono ! um (ex)gono
− × = ⇔
⇔ − = ⇔
⇔ = + ⇔
⇔ = ⇔
⇔ =
(5 2) 180º
3 180º
540º
540ºint 108º
5
: int 108º .
5 360º
360º5
72º
: 72º .
Si
Si
Si
ângulo erno
# O ângulo erno !
n
n
n
# O ângulo externo !
= − × ⇔
⇔ = × ⇔
⇔ =
= =
= ⇔
⇔ = ⇔
⇔ =
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
0ágina 61 – e. =
0o3gonos
0ágina 61 – e. >
( 2) 180º
(6 2) 180º
4 180º720º
Si n
Si
Si
Si
= − × ⇔
⇔ = − × ⇔
⇔ = × ⇔
⇔ =
720º
3 20º 30º 70º 720º
5 720º 20º 30º 70º600
120º5
: 120º .
Se Si ent&o
x x x
x
x x
# O valor de x !
=
+ + + + + = ⇔
⇔ = − − − ⇔
⇔ = ⇔ =
) 360º 60º 6
: .
a
# O pol'gono ! um (ex)gono regular
÷ =
) 360º 110º 3
: .
*
# O pol'gono ! um triângulo regular
÷ =
) 360º 36º 10
: .
c
# O pol'gono ! um dec)gono regular
÷ =
) 360º 90º 4
: .
d
# O pol'gono ! um uadrado
÷ =
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Como se pode determinar a área de um po3gono
reguar quaquer
Dividimos o !entEgono em cinco triângu"os
isGsce"es geometricamente iguais
Cama-se ap5tema de um po3gono reguarao segmento de recta que une o centro do!o"gono com o !onto médio de qua"quer um
dos "ados
#ABCD$% é um !entEgono regu"ar inscrito na circunferência
o a!Gtema do !entEgono coincide com a a"tura de cada triângu"oA
0o3gonos
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
A Erea do !o"gono regu"ar #ABCD$% !ode ser obtida mu"ti!"icando !or ? a Ereade um dos triângu"os em que dividimos o !entEgono
a!
l "ado do !entEgono
0o3gonos
[ ] [ ] ABCDE AOB A 5 A = ×
V
[ ] AOB
ap A
2
×=
V
l
[ ] ABCDE
Logo,ap
A 52
×= ×
l
0 3
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
re!resenta o !ermetro do !entEgono
De modo anE"ogo !rova-se que:
0 H !ermetro do !o"gono
ap H a!Gtema de um !o"gono
0o3gonos
[ ] ABCDE
P A ap
2= ×
poligono regular P A ap2
= ×
[ ] ABCDE
ap A 5
2
= ×l
[ ] ABCDE ap A P 2= ×
0 3
-
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Circunferência
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0o3gonos0ágina 66
e. 2
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Cama-se HJM@4!H* a uma transforma,o geométrica em queso conservados os com!rimentos dos segmentos de recta e as
am!"itudes dos ângu"os
- 4ransa&'o
0ransforma uma figura ( noutra figura ( 9imagem de () tendo
como referência um vector - !efe'o
0ransforma uma figura ( noutra figura ( 9imagem de ()conecendo um ei@o 9recta) de simetria
- !ota&'o
0ransforma uma figura ( noutra figura ( 9imagem de () tendo umcentro de rota,o 9!onto) e a am!"itude 9ângu"o) da rota,o
-
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Intuitivamente. todos nGs sabemos o que é uma
rota,o. até !orque usamos esse termo no dia-a-dia.
quando nos referimos !or e@em!"o:
• uma roda dentada de uma mEquina• aos !onteiros de um re"Ggio
• ' roda de um vecu"o
• ' é"ice de um avio• ao movimento de rota,o que a 0erra faF em
torno de si mesmo
3imetria
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Associado ao conceito de rota,o estE o conceito deângu"o orientado
Deste modo. convencionou-se que o sentido contrErio
ao do movimento dos !onteiros de um re"Ggio é osentido !ositivo. enquanto que o sentido do movimento
dos !onteiros de um re"Ggio é o sentido negativo
3entido !ositivo
ângu"o orientado J56
3entido negativo
ângu"o orientado -56
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
A figura #ABCD$% resu"tada rota,o de centro O e
am!"itude 56 da figura
#ABCD$%+or seu "ado. a figura
#ABCD$% resu"ta da rota,o
de centro O e am!"itude -56da figura #ABCD$%
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Uma Rotação d !nt"o # am$lit%d α &
R(#,α) ' a a$li!ação % ao $onto # a*
!o""+$ond" o $"$"io # a !ada $onto - daig%"a o"iginal a* !o""+$ond" %m $onto -,
tal %
que é uma !ota&'o
&o e@em!"o ao "ado aam!"itude do ângu"o é 456
α == // AO AeOAOA
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
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