chi cuadrado
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2χ
Hidrología Aplicada a Obras Hidráulicas
*Mercedes Alexandra Villa Achupallas Febrero, 2011
B7. ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
Usando el método de los momentos, ajustar la distribución normal a la precipitación máxima anual en 24 horas de la estación Alhama-Alcaicería, de la Tabla del ejercicio 1. Graficar las funciones de frecuencia relativa y de probabilidad incremental, y las funciones de frecuencia acumulada y distribución acumulada. Utilizar el test para determinar si la distribución normal se ajusta adecuadamente a los datos.
Año hidrológico 1950 1960 1970 0/1 136.8 95.5 1/2 55.3 147.5 66.7 2/3 47.3 73.6 81.5 3/4 63.6 75 121.5 4/5 77 68 90.5 5/6 133.4 60.5 92.5 6/7 35 72.4 88 7/8 71.5 86.8 107 8/9 135.4 140 107 9/0 121.8 80.7 93
Se determina la precipitación media:
Ʃ=2624.80 mm n= 29 datos
90.51mm29
2624.80n
x === ∑
Calculo de la Desviación Estándar, en la tabla se presenta :
Año hidrológico 1950 1960 1970 0/1 2142.73 44.9 1/2 2239.77 3247.82 566.93 2/3 1867.13 285.96 81.19 3/4 724.17 240.57 960.36 4/5 182.53 506.72 0 5/6 1839.52 900.62 3.96 6/7 3081.4 327.98 6.3 7/8 361.39 13.77 271.91 8/9 2015.08 2449.23 271.91 9/0 979.04 96.24 6.2
= 24695.33 Ʃ
( )2xxi −
( )2xxi −
( )
( )
29.70S
24695.33129
1S
xx1n
1S21
2i
=
−=
−
−= ∑
Primero se divide el intervalo de precipitación (R) en 7 intervalos. El primero es
R≤ 40 y el último intervalo es R>140 y los intervalos intermedios son cada 20, a
cada intervalo asigno un número de datos (ni) en base a la los datos del ejercicio:
Así también se determina la frecuencia relativa para cada intervalo, en base a la
siguiente expresión:
( ) nnfs i
xi=
Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 fs(xi) 0.034 0.069 0.310 0.276 0.069 0.207 0.034
Partiendo de estos datos se determina la frecuencia acumulada:
Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 Fs(xi) 0.034 0.103 0.414 0.690 0.759 0.966 1.000
Cálculo de la variable normal estándar z corresponde al límite superior en cada
uno de los intervalos establecidos, mediante la siguiente expresión:
sxx
z supi
−=
Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 X Sup 40 60 80 100 120 140 160 Zi -1.701 -1.027 -0.354 0.320 0.993 1.666 2.340
Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 ni 1 2 9 8 2 6 1
Considerando los valores obtenidos en Zi, se determina la Probabilidad
acumulada de la distribución normal estándar F(xi), en la tabla que se indica a
continuación, para los Zi negativos, el valor de F(xi) corresponde a una diferencia
entre la unidad (1) y el valor obtenido en la tabla, para Zi positivos, F(xi) corresponde a la lectura realizada en dicha tabla.
A continuación se resumen el cálculo de la Probabilidad acumulada de la
distribución normal estándar F(xi)
Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 Zi -1.701 -1.027 -0.354 0.320 0.993 1.666 2.340 Lect. tabla 0.955 0.849 0.637 0.626 0.839 0.952 1 F(xi) 0.045 0.152 0.363 0.626 0.839 0.952 1
La función de probabilidad incremental p(xi) se calcula mediante una diferencia entre F(xi) del intervalo anterior y F(xi) del intervalo que se evalúa, de tal forma que:
Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 F(xi) 0.045 0.152 0.363 0.626 0.839 0.952 1 p (xi) 0.045 0.107 0.212 0.262 0.213 0.114 0.048
Finalmente, se determina, el valor del CHI CUADRADO:
m= número de intervalos
Intervalo i Rango (mm) ni fs (xi) Fs(xi) zi F(xi) p (xi) X2c 1 < 40 1 0.03 0.03 -1.70 0.96 0.04 0.07 2 40-60 2 0.07 0.10 -1.03 0.85 0.11 0.39 3 60-80 9 0.31 0.41 -0.35 0.64 0.21 1.33 4 80-100 8 0.28 0.69 0.32 0.63 0.26 0.02 5 100-120 2 0.07 0.76 0.99 0.84 0.21 2.83 6 120-140 6 0.21 0.97 1.67 0.95 0.11 2.29 7 >160 1 0.03 1.00 2.34 1.00 0.05 0.12
Ʃ= 29 1.00
1.00 7.05
A continuación se grafica la “Frecuencia Relativa” de la muestra “fs (xi)”y la ajustada “p (xi)”, y la precipitación máxima anual en 24horas.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
< 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >140
Frec
uenc
ia R
elat
iva
Precipitación Máxima Anual en 24h (mm)
Función de Frecuencia Relativa
fs (xi)
p (xi)
Así también se presentan las distribuciones de probabilidad acumulada de la muestra “Fs (xi)”y la ajustada “F (xi)”.
El valor de 2
1, α−vX para una probabilidad acumulada de 1-a=0.95 y
v = m − p −1 m= número de intervalos p= número de parámetros utilizados en el ajuste
v = 7 − 2 −1 v = 4 grados de libertad
de tal forma que:
24;0.95
2αv,1 XX =−
Y de acuerdo a la siguiente tabla:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
< 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >140
Frec
uenc
ia A
cum
ulad
a
Precipitación Máxima Anual en 24h (mm)
Función de Frecuencia Acumulada
F (xi)
Fs(xi)
De la tabla anterior, se obtiene que 𝑋𝑋4.0.95
2 = 9.49 es mayor que 𝑋𝑋2 = 7.05, por lo tanto el ajuste de la distribución normal a la información de precipitación máxima anual se ACEPTA.
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